Matematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

Transkript

1 ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik B, STX 18 maj Matematik B, STX 23 maj Matematik B, STX 15 august Matematik B, STX 7 december Opgave 1 Betragt ligningen Matematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler Vi løser den og bestemmer. Opgave 2 Vi får angivet renten på og begyndelsesværdien på 250 tusinde, vi omregner renten via fremskrivningsfaktoren., vi indsætter renten og får: og dermed er forskriften: Hvor er antallet af brugere i den bestemte app, og er tidspunktet, målt i år fra år Opgave 3 Vinkel og, samt. Vi bestemmer via arealformlen., her er og, så vi har:

2 Vi kan nu bestemme Det kan gøres via Pythagoras. og vi indsætter vores tal:. Hvilket er den ønskede længde af. Opgave 4 Givet funktionen. Vi bestemmer. Vi bestemmer stamfunktionen til. hvor. Der ønskes godt nok kun een bestemt, så er reelt set underordnet. Opgave 5 Givet tre funktioner. Funktionen kan have forskriften: Hvor og fordi det ligner, at hældningskoefficeinten er 3 for hver gang vokser med 1. Ligeledes ligner det, at den har skæring i på -aksen. Funktionen kan have forskriften: Hvor og fordi det ligner, at hældningskoefficeinten er for hver gang vokser med 1. Ligeledes ligner det, at den har skæring i på -aksen. Funktionen kan have forskriften: Hvor og fordi det ligner, at hældningskoefficeinten er for hver gang vokser med 1. Ligeledes ligner det, at den har skæring i på -aksen. Opgave 6 Givet parablen med forskriften: Tangenten gennemløber punktet og ligningen er: Ligeledes er toppunktet for i. Først og fremmest kan vi bestemme. Den er eftersom dette er skæring med -aksen, så parablen er (indtil videre):

3 Metode 1) Vi differentierer og får: Dernæst udnytter vi tangentligningen. Derudover bruger vi den generelle tangentligning: Vi er så heldige, at kende så: Her er og kender vi jo allerede som, hvor så: Dermed er vores forskrift blevet til: så vi mangler, som vi passende kan finde via toppunktet. Og dermed kan vi altså slutte, at forskriften er: Metode 2) Da vi kender og så ved vi, at toppunktet danner en symmetri parabel. Dvs. at punktet kan bruges. Vi har vores forskrift:, så vi kan bruge formlen fordi vi i forvejen kender Vi bestemmer nu vha. toppunktet, og. værdi af indsætter vi ingen i den faktoriserede polynomium og får: denne Opgave 7 De resterende opgaver løses med hjælpemidler Spgm. a Vi definerer tabellens oplysninger. Vi laver nu potensregression via Maple. (7.1.1) Hvor beskriver antallet af Twitterbruger målt i mio, og angiver tiden, målt i måneder efter 1. januar 2010.

4 Tallene og er bestemt til følgende: Spgm. b Vi kan bruge fordoblingskonstanten eller kapitalformlen. Jeg viser begge metoder. (7.2.1) Dvs. efter ca. 11 måneder, er antallet af brugere på Twitter fordoblet! (7.2.2) Vi kan også bruge kapitalformlen. solve for n Og samme konklusion kan foretages. (7.2.3) (7.2.4) Spgm. c Væksthastigheden bestemmes. Dette kan også foretages i hånden. Og vi indsætter (7.3.1) Dvs. efter 30 måneder fra 1. januar (1. juli 2012), så stiger antallet af brugere på Twitter med 12.97mio brugere hver måned. Opgave 8 Spgm. a Vi definerer funktionen. Vi tegner grafen for via plot funktionen

5 Vi kan nu aflæse nulpunkterne til at være: og vi tjekker om det passer: Alternativt kunne vi løse ligningen: solve for x Vi kan slutte, at nulpunkterne er: 0 0 (8.1.1) (8.1.2) (8.1.3) (8.1.4) Spgm. b Vi bestemmer området, afgrænset af og, så:

6 (8.2.1) Vi kan også regne det i hånden, men dette overlades til læseren. (8.2.2) Opgave 9 Spgm. a Betragt funktionen Vi bestemmer monotoniforholdene for, så vi løser ligningen og får: solve for x Vi får rødderne:. (9.1.1) (9.1.2) (9.1.3) Da vi har løst ligningen kan vi nu bruge to metoder til bestemmelse af monotoniforhold. Metode 1) Da vi har rødderne så kan vi finde tal forskelligt fra rødderne, og disse kan være så vi indsætter i. at 5 digits (9.1.4) (9.1.5) 8 (9.1.6) at 5 digits (9.1.7) (9.1.8) Vi kan nu lave monotoniskema: a b a Og vi kan slutte, at:

7 er aftagende i intervallet er voksende i intervallet er aftagende i intervallet. Metode 2) Vi bruger rødderne i den dobbelte afledede funktion. at 5 digits og da outputtet er positivt for dvs., så har vi et lokalt minimum. at 5 digits og da outputtet er negativt for, dvs. så har vi et lokalt maksimum. (9.1.9) (9.1.10) (9.1.11) (9.1.12) Og da kommer før så følger det, at vi har: er aftagende i intervallet er voksende i intervallet er aftagende i intervallet. Spgm. b Vi løser ligningen: solve for x Warning, solutions may have been lost (9.2.1) (9.2.2) Da Maple går amok over den algebraiske løsning, så kan vi tegne ligningen grafisk og bruge fintervalsolve.

8 Vi bruger nu fintervalsolve: Hvis man ikke var klar over det, så kunne man også bruge WordMat. (9.2.3) Opgave 10 Spgm. a

9 Vi definerer funktionen. Her er æbles overfladeareal i og er rumfanget i. Vi indsætter og får: Så æblet vil have et overfladeareal på. (10.1.1) Spgm. b Vi har eller og, så vi mangler. Så når rumfanget øges med Opgave 11, så øges overfladearealet med (10.2.1) Spgm. a Nulhypotesen er:. Vi bestemmer de forventede værdier. (11.1.1) (11.1.2) (11.1.3) (11.1.4) (11.1.5)

10 (11.1.6) (11.1.7) (11.1.8) (11.1.9) Dermed fandt vi de forventede værdier. Vi definerer dem samt de observerende værdier. ( ) Spgm. b Vi laver en GOF test.

11 Da teststørrelsen er mindre end den kritiske værdi, så accepterer vi nulhypotesen. Stemmerne har ikke ændret sig siden Opgave 12 Spgm. a Tegningen virker lidt uoverskuelig i starten, så nu forsøger jeg at lave en pæn skitse.

12 Vi har vinkel, vinkel samt, så kan vi bestemme ved formlen, så: Højden fra, og dermed er, så: Hvilket er den ønskede højde, målt i meter. (12.1.1) (12.1.2) Opgave 13 Spgm. a Vi bestemmer en forskrift på baggrund af støttepunkterne. Metode 1) (13.1.1) Og forskriften er: 518 (13.1.2) (13.1.3) Metode 2) (vi bruger c og d da a og b er defineret).

13 (13.1.4) Og dermed fandt vi forskriften fra før. Spgm. b Givet funktionen: Vi bestemmer kiloprisen der giver den største omsætning ved at løse ligningen, så: (13.2.1) og dette tal ligger indenfor intervallet. Vi bestemmer den dobbelte afledede. (13.2.2) (13.2.3) Da outputtet er negativt, så har vi, at den kilopris der giver den største omsætning er ca. 36kr. (13.2.4) Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Matematik B STX 23. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

14 Opgave 6 Opgave 7 De resterende opgaver løses med hjælpemidler Spgm. a Spgm. b Spgm. c Opgave 8 Opgave 9 Opgave 10 Opgave 11 Opgave 12 Opgave 13 Opgave 14 Matematik B STX 15. august 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

15 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Opgave 6 De resterende opgaver løses med hjælpemidler Opgave 7 Opgave 8 Opgave 9 Opgave 10 Opgave 11 Opgave 12 Opgave 13 Opgave 14 Matematik B STX 7. december 2017 Vejledende løsning

16 De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Opgave 5 Opgave 6 De resterende opgaver løses med hjælpemidler Opgave 7 Opgave 8 Opgave 9 Opgave 10 Opgave 11 Opgave 12 Opgave 13 Opgave 14

17