Matematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

Transkript

1 ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik B, STX 18 maj Matematik B, STX 23 maj Matematik B, STX 15 august Matematik B, STX 7 december Opgave 1 Betragt ligningen Matematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler Vi løser den og bestemmer. Opgave 2 Vi får angivet renten på og begyndelsesværdien på 250 tusinde, vi omregner renten via fremskrivningsfaktoren., vi indsætter renten og får: og dermed er forskriften: Hvor er antallet af brugere i den bestemte app, og er tidspunktet, målt i år fra år Opgave 3 Vinkel og, samt. Vi bestemmer via arealformlen., her er og, så vi har:

2 Vi kan nu bestemme Det kan gøres via Pythagoras. og vi indsætter vores tal:. Hvilket er den ønskede længde af. Opgave 4 Givet funktionen. Vi bestemmer. Vi bestemmer stamfunktionen til. hvor. Der ønskes godt nok kun een bestemt, så er reelt set underordnet. Opgave 5 Givet tre funktioner. Funktionen kan have forskriften: Hvor og fordi det ligner, at hældningskoefficeinten er 3 for hver gang vokser med 1. Ligeledes ligner det, at den har skæring i på -aksen. Funktionen kan have forskriften: Hvor og fordi det ligner, at hældningskoefficeinten er for hver gang vokser med 1. Ligeledes ligner det, at den har skæring i på -aksen. Funktionen kan have forskriften: Hvor og fordi det ligner, at hældningskoefficeinten er for hver gang vokser med 1. Ligeledes ligner det, at den har skæring i på -aksen. Opgave 6 Givet parablen med forskriften: Tangenten gennemløber punktet og ligningen er: Ligeledes er toppunktet for i. Først og fremmest kan vi bestemme. Den er eftersom dette er skæring med -aksen, så parablen er (indtil videre):

3 Metode 1) Vi differentierer og får: Dernæst udnytter vi tangentligningen. Derudover bruger vi den generelle tangentligning: Vi er så heldige, at kende så: Her er og kender vi jo allerede som, hvor så: Dermed er vores forskrift blevet til: så vi mangler, som vi passende kan finde via toppunktet. Og dermed kan vi altså slutte, at forskriften er: Metode 2) Da vi kender og så ved vi, at toppunktet danner en symmetri parabel. Dvs. at punktet kan bruges. Vi har vores forskrift:, så vi kan bruge formlen fordi vi i forvejen kender Vi bestemmer nu vha. toppunktet, og. værdi af indsætter vi ingen i den faktoriserede polynomium og får: denne Opgave 7 De resterende opgaver løses med hjælpemidler Vi definerer tabellens oplysninger. Vi laver nu potensregression via Maple. (7.1.1) Hvor beskriver antallet af Twitterbruger målt i mio, og angiver tiden, målt i måneder efter 1. januar 2010.

4 Tallene og er bestemt til følgende: Spgm. b Vi kan bruge fordoblingskonstanten eller kapitalformlen. Jeg viser begge metoder. (7.2.1) Dvs. efter ca. 11 måneder, er antallet af brugere på Twitter fordoblet! (7.2.2) Vi kan også bruge kapitalformlen. solve for n Og samme konklusion kan foretages. (7.2.3) (7.2.4) Spgm. c Væksthastigheden bestemmes. Dette kan også foretages i hånden. Og vi indsætter (7.3.1) Dvs. efter 30 måneder fra 1. januar (1. juli 2012), så stiger antallet af brugere på Twitter med 12.97mio brugere hver måned. Opgave 8 Vi definerer funktionen. Vi tegner grafen for via plot funktionen

5 Vi kan nu aflæse nulpunkterne til at være: og vi tjekker om det passer: Alternativt kunne vi løse ligningen: solve for x Vi kan slutte, at nulpunkterne er: 0 0 (8.1.1) (8.1.2) (8.1.3) (8.1.4) Spgm. b Vi bestemmer området, afgrænset af og, så:

6 (8.2.1) Vi kan også regne det i hånden, men dette overlades til læseren. (8.2.2) Opgave 9 Betragt funktionen Vi bestemmer monotoniforholdene for, så vi løser ligningen og får: solve for x Vi får rødderne:. (9.1.1) (9.1.2) (9.1.3) Da vi har løst ligningen kan vi nu bruge to metoder til bestemmelse af monotoniforhold. Metode 1) Da vi har rødderne så kan vi finde tal forskelligt fra rødderne, og disse kan være så vi indsætter i. at 5 digits (9.1.4) (9.1.5) 8 (9.1.6) at 5 digits (9.1.7) (9.1.8) Vi kan nu lave monotoniskema: a b a Og vi kan slutte, at:

7 er aftagende i intervallet er voksende i intervallet er aftagende i intervallet. Metode 2) Vi bruger rødderne i den dobbelte afledede funktion. at 5 digits og da outputtet er positivt for dvs., så har vi et lokalt minimum. at 5 digits og da outputtet er negativt for, dvs. så har vi et lokalt maksimum. (9.1.9) (9.1.10) (9.1.11) (9.1.12) Og da kommer før så følger det, at vi har: er aftagende i intervallet er voksende i intervallet er aftagende i intervallet. Spgm. b Vi løser ligningen: solve for x Warning, solutions may have been lost (9.2.1) (9.2.2) Da Maple går amok over den algebraiske løsning, så kan vi tegne ligningen grafisk og bruge fintervalsolve.

8 Vi bruger nu fintervalsolve: Hvis man ikke var klar over det, så kunne man også bruge WordMat. (9.2.3) Opgave 10

9 Vi definerer funktionen. Her er æbles overfladeareal i og er rumfanget i. Vi indsætter og får: Så æblet vil have et overfladeareal på. (10.1.1) Spgm. b Vi har eller og, så vi mangler. Så når rumfanget øges med Opgave 11, så øges overfladearealet med (10.2.1) Nulhypotesen er:. Vi bestemmer de forventede værdier. (11.1.1) (11.1.2) (11.1.3) (11.1.4) (11.1.5)

10 (11.1.6) (11.1.7) (11.1.8) (11.1.9) Dermed fandt vi de forventede værdier. Vi definerer dem samt de observerende værdier. ( ) Spgm. b Vi laver en GOF test.

11 Da teststørrelsen er mindre end den kritiske værdi, så accepterer vi nulhypotesen. Stemmerne har ikke ændret sig siden Opgave 12 Tegningen virker lidt uoverskuelig i starten, så nu forsøger jeg at lave en pæn skitse.

12 Vi har vinkel, vinkel samt, så kan vi bestemme ved formlen, så: Højden fra, og dermed er, så: Hvilket er den ønskede højde, målt i meter. (12.1.1) (12.1.2) Opgave 13 Vi bestemmer en forskrift på baggrund af støttepunkterne. Metode 1) (13.1.1) Og forskriften er: 518 (13.1.2) (13.1.3) Metode 2) (vi bruger c og d da a og b er defineret).

13 (13.1.4) Og dermed fandt vi forskriften fra før. Spgm. b Givet funktionen: Vi bestemmer kiloprisen der giver den største omsætning ved at løse ligningen, så: (13.2.1) og dette tal ligger indenfor intervallet. Vi bestemmer den dobbelte afledede. (13.2.2) (13.2.3) Da outputtet er negativt, så har vi, at den kilopris der giver den største omsætning er ca. 36kr. (13.2.4) Opgave 1 Betragt ligningen Matematik B STX 23. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler Vi løser den og bestemmer. Vi kontrollerer: så det passer. Opgave 2 Givet to ensvinklede trekanter. Vi bestemmer forstørrelsesfaktoren mellem de kongruente trekanter.

14 og derfra kan vi bestemme og. Vi bestemmer. Vi bestemmer, så: Og dermed fandt vi de ønskede længder. Opgave 3 Der er givet 3 funktioner: For har vi, at ligger i intervallet og det betyder, at grafen er aftagende, og det er grafen for. For har vi, at ligger i intervallet og det betyder, at grafen er voksende. Det ses også, at og har samme -værdi og dermed må det så være grafen for. For har vi, at også ligger i intervallet og det betyder, at grafen er voksende. Men her har vi en -værdi som er på og dermed er det grafen for. Kort sagt: er grafen. er grafen. er grafen. Opgave 4 Givet forskriften: Her er, og hvoraf ikke er angivet. Vi kan lave en mulig parabel:

15 Her har vi at hvor man kan se, at grafen er konveks, dvs. glad parabel, hvorved tangenten til grafen ved skæring med y-aksen har en positiv hældning (grøn graf) og skæringen med y-aksen er over x-aksen og dermed positiv. Diskriminanten er dog negativ og dermed har ingen nulpunkter. Opgave 5 Givet funktionen. Vi bestemmer stamfunktionen i punktet. hvor. Vi indsætter punktet i og løser. så forskriften er: Hvilket er den ønskede stamfunktion. Opgave 6 Givet funktionen Vi bestemmer så: Vi vil undersøge om er tangent for. Vi kan prøve at udnytte et tilfældigt punkt,, så: (hvilket også er hældningstallet for tangenten)

16 Vi indsætter i tangenten og får: Dvs. vi får ved det tilfældige punkt en tangent, der er identisk med oplyste tangent en tangent til grafen for. så dermed er den (Grunden til valget af i punktet er til dels at hvoraf og andre tal ikke er nemme at regne i hånden.) Man kan dog også bare løse ligningen. Opgave 7 De resterende opgaver løses med hjælpemidler Givet tabellen med et hav af oplysninger. Vi definerer hele pivtøjet. Vi udfører en lineær regression hvor vi bestemmer tallene og samt en forskrift. Dvs.: (20.1.1) Hvor beskriver antallet af misligholdte SU-lån under kr, og angiver tiden, målt i år efter Tallene og er bestemt til følgende: Spgm. b År 2018 svarer til, hvoraf 2010 svarer til, så: Dvs. ifølge modellen vil der være 5616 misligholdte SU lån under kr. (20.2.1) Opgave 8 Vi kan hurtigt se, at der er tale om en eksponentiel funktion, hvorfor og årligt, dvs. og dermed er forskriften: beskriver udvilkingen af råvildt i en bestemt skov. Her beskriver af råvildt til tidspunktet, målt i år efter år mængden Spgm. b

17 Fordoblingstiden kan bestemmes ved at løse ligningen: solve for t Eller at bruge formlen: at 5 digits Dvs. der skal gå ca. 21 år før, at mængden af råvildt i den bestemte skov er vokset til formentlig ske i år. (21.2.1) (21.2.2) Det vil Opgave 9 Givet modellen: (22.1.1) Hvoraf er afgrænset i intervallet. Her er mængden af biomasse og er år. Vi tegner nu grafen for

18 Vi løser dernæst ligningen, dvs. (22.1.2) solve for t Dvs. der skal gå ca. 20 år før, at biomassen er 100 tons pr. ha. (22.1.3) Spgm. b Vi differentierer og får: (22.2.1) Dernæst indsætter vi dvs. 10 år efter begyndelsestiden og får: Dvs. efter 10 år vokser biomassen hvert år med tons pr. ha. 140 år frem i tiden. (22.2.2)

19 Opgave 10 Givet funktionen Vi bestemmer monotoniforholdene for, så vi løser ligningen og får: solve for x Vi får rødderne:. (23.1.1) (23.1.2) (23.1.3) Da vi har løst ligningen kan vi nu bruge to metoder til bestemmelse af monotoniforhold. Metode 1) Da vi har rødderne så kan vi finde tal forskelligt fra rødderne, og disse kan være så vi indsætter i (23.1.4) Vi kan nu lave monotoniskema: (23.1.5) (23.1.6) b a b Og vi kan slutte, at: er voksende i intervallet er aftagende i intervallet og Metode 2) Vi bruger rødderne i den dobbelte afledede funktion. og da outputtet er negativt for dvs., så har vi et lokalt maksimum og da outputtet er positivt for, dvs. så har vi et lokalt minimum. (23.1.7) (23.1.8) Og da kommer før så følger det, at vi har:

20 er voksende i intervallet er aftagende i intervallet og Spgm. b Vi bestemmer ligningen for tangenten i punktet ved at indsætte i og, så: (23.2.1) Dette indsætter vi i tangentligningen: (23.2.2) Som er tangentligningen. Approximeret er den: Vi kan også bare indsætte det hele i tangenten og få: Hvilket er tangenten for i punktet. (23.2.3) (23.2.4) (23.2.5) Opgave 11 Vores nulhypotese er:. Vi definerer tabellens oplysninger i en matrix: (24.1.1) Dermed har vi defineret de observerende værdier som skal bruges i opgave b. Spgm. b De forventede værdier kan beregnes ved formlen: Vi bruger dog Maple's gennemvej: (24.2.1)

21 Vi laver dernæst vores test på et 5% signifikansniveau og får: Og da vores p-værdi er utrolig lav, hvilket er mindre end de 5% vi testede med, så skal nulhypotesen forkastes. Der er tilsyneladende sammenhæng mellem bekymring og køn. Opgave 12 Vi tegner skitsen og danner os et overblik over, hvad vi reelt set skal bestemme.

22 Vi bestemmer, det kan vi gøre ved at halvere længden af for at få, den længde er markeret med rødt på nedenstående figur. Ligeledes deles med også markeret med rødt. Dermed vil man være i stand til at bestemme. Vi får:

23 Vi bruger Pythagoras og får: (25.1.1) (25.1.2) Så og dermed kan vi bestemme vinkel. Vinkel mod F er 90 grader, så vi skal blot addere den vinkel fra A mod B på, så vi får vinklen af hele A. Vinklen bestemmes ved formlen:, dvs. (25.1.3) Dvs. vinkel er. Vi har dermed vinkel. Vi bestemmer vinkel. Det gør vi ved at bestemme vinkel i to trekanter:

24 Så vi bestemmer via cosinusrelationerne, formlen er: Hvilket er vinkel. (25.1.4) Spgm. b Vi bestemmer omkredsen af een flise, og da vi har, så er:, dvs. (25.2.1) Omkredsen af flisen er. Længden af bestemmes ved hjælp af cosinusrelationerne., så: Og dermed fandt vi længden af som er. (25.2.2) Opgave 13 Givet funktionen

25 Her er intervallet, vi indsætter i, så: (26.1.1) (26.1.2) Dvs. 50% af den fattigste andel af landets befolkning udgør 32.5% af landets samlede indkomst. Spgm. b Vi definerer den nye funktion Her er intervallet det samme. Vi bestemmer maksimum af solve for x, så: (26.2.1) (26.2.2) Vi tjekker med den dobbelte afledede om vi har fundet maksimum, så: (26.2.3) Og da outputtet er negativt, så følger det, at Robinhood indekset er så: (26.2.4) og dermed har vi et maksimum. Robin Hood indekset er (26.2.5) Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Matematik B STX 15. august 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

26 Opgave 5 Opgave 6 De resterende opgaver løses med hjælpemidler Opgave 7 Opgave 8 Opgave 9 Opgave 10 Opgave 11 Opgave 12 Opgave 13 Opgave 14 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Matematik B STX 7. december 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

27 Opgave 4 Opgave 5 Opgave 6 De resterende opgaver løses med hjælpemidler Opgave 7 Opgave 8 Opgave 9 Opgave 10 Opgave 11 Opgave 12 Opgave 13 Opgave 14