Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Transkript

1 Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som et kryds og ikke som en prik eller et kors - dér, hvor de to streger i krydset mødes, er dér hvor punktet er - et punkt er ikke stort eller lille: et punkt er et sted, der ingen udstrækning/størrelse har. Man kan indsætte et punkt i et koordinatsystem, og punktet får et navn afhængig af, hvor det ligger - punktets navn skrives i en parentes. Punktet (2,4) hedder sådan, fordi det ligger 2 udad X-aksen og 4 opad Y-aksen Punktet (5,6) ligger 5 udad X-aksen og 6 opad Y-aksen Punktet (8,6) ligger 8 udad X-aksen og 6 opad Y-aksen Hvis man altså skal indsætte et punkt - fx (5,7) - kan det kun ligge ét bestemt sted i koordinatsystemet og ikke andre steder. Hvis man omvendt har afmærket et punkt i koordinatsystemet, har dette punkt kun ét bestemt navn og kan ikke hedde andet. Et koordinatsystem kan godt vise punkter, der har negative værdier. I koordinatsystemet til højre er x-aksen forlænget til venstre, hvor aksens negative værdier ligger. Tilsvarende er y-aksen forlænget nedad, hvor denne akses negative værdier ligger. (-5,9) Det muliggør at indsætte punkter som fx. (3,-4) og (-5,9) og (-3,-5) (se figuren til højre) (-3,-5) (3,-4) Hans Pihl, KVUC Side 1

2 Man kan forestille sig at en funktion er en maskine, der "gør noget" ved tal. På maskinen herunder er der en tragt foroven, hvor man kan smide tal ned (dem kalder vi x ere), og når maskinen har gjort noget ved tallene, kommer de ud til højre med en anden værdi (dem kalder vi y ere) x ere 1 forskriften y = 2x + 1 y ere 3 Det maskinen gør ved de tal, der bliver puttet ind, står på skiltet på maskinen - det, der står på skiltet, kaldes forskriften På funktionsmaskinen herunder bliver det x, der bliver smidt ned, ganget med 2, og derefter lægges 1 til, og resultatet kommer ud til højre som en y - dette gøres med alle de tal, der bliver lagt i tragten. Lægges 1 ned i maskinen, kommer det ud som 3 (2 1 +1) - altså: hvis x = 1 så bliver y = 3 Lægges 2 ned i maskinen, kommer det ud som 5 (2 2 +1) - altså: hvis x = 2 så bliver y = 5 Lægges 4 ned i maskinen, kommer det ud som 9 (2 4 +1) - altså: hvis x = 4 så bliver y = 9 Lægges 7 ned i maskinen, kommer det ud som 15 (2 7 +1) - altså: hvis x = 7 så bliver y = 15 Dette kan skrives i en tabel: x y Det kan også skrives som (1,3),(2,5),(4,9),(7,15) - det kaldes ordnede par. De ordnede par er bare en række (x,y) ere, da alle de første tal i parenteserne (1, 2, 4 og 7) jo er de x ere, der bliv smidt ind i maskinen, og alle de sidste tal i parenteserne (3, 5, 9 og 15) er de y ere, der kom ud. De ordnede par er navne på forskellige punkter - vi har altså et punkt, der hedder (1,3), og et punkt der hedder (2,5) og endelig punkterne (4,9) og (7,15) Hans Pihl, KVUC Side 2

3 Den maskine, der har forskriften y = 2x + 1, har altså punkterne (1,3),(2,5),(4,9),(7,15) De punkter forskriften har, sætter vi ind i et koordinatsystem: (7,15) (4,9) (2,5) (1,3) Hvis vi proppede alle tal fra 0 til 15 ind i funktionsmaskinen, ville vi få en hel række af ordnede par og dermed en række af punkter - alle disse punkter vil ligge på en ret linje, så grafen ville komme til at se sådan ud: y = 2x + 1 Vi har altså her det grafiske billede af funktionen y = 2x + 1 Fordi grafen er en ret linje, kaldes denne funktion en lineær funktion Hans Pihl, KVUC Side 3

4 Det, at der er et bestemt forhold mellem to tal (at 1 bliver til 3, 2 bliver til 5 osv.), kaldes en funktion. y = 2x + 1 er altså en funktion - her er nogle andre funktioner: y = 4x - 6 y = -6x + 8 y = 122x + 86 y = 6x (samme som: y = 6x + 0) y = x (samme som: y = 1x + 0) Opsumering: Vi har fx. en funktion med forskriften y = 2x + 1 Værdierne for denne funktion kan vises i et skema Værdierne i skemaet kan skrives som ordnede par De ordnede par kan indsættes som punkter i et koordinatsystem Og det er faktisk den fremgangmåde, man ofte følger: man får en forskrift for en funktion, og man skal så lave dens grafiske billede i et koordinatsystem. Beregning af grafen Forskriften for en lineær funktion er y = 4x 6 - tegn dens grafiske billede (1)Vi laver først et skema ved at indsætte x-værdierne 1, 2, 3, 4 og 5 - x erne og de tilhørende y-værdier indsættes i skemaet: x y (2)Værdierne i skemaet skrives som ordnede par: (1,-2),(2,2),(3,6),(4,10),(5,14) (3)De ordnede par indsættes som punkter i et koordinatsystem og (4)der tegnes en linje mellem punkterne - (5)navngiv grafen (5,14) (5,14) (4,10) (4,10) (3,6) (3,6) (2,2) (2,2) (1,-2) (1,-2) Hans Pihl, KVUC Side 4

5 Konstruktion af grafen Hidtil har vi beregnet grafen - dvs. lavet en tabel - indsat x-værdier og beregnet y-værdierne. Det er også muligt at konstruere grafen. Har vi en forskrift, kan vi lave dens graf ved at konstruere den v.hj.a. forskriftens a-værdi og dens b-værdi. y = x + 2 dvs.: a = 1 b = 2 Grafenkonstrueres sådan: - afsæt et punkt på y-aksen i 2 (fordi b = 2) - gå fra dette punkt 1 hen (altid 1 hen) og 1 op (fordi a = 1) - her afsættes næste punkt - gå fra dette punkt 1 hen og 1 op og afsæt et punkt - fortsæt med at går 1 hen og 1 op og afsæt punkter - forbind punkterne med en ret linje, og grafen er lavet y = -3x 2 dvs.: a = -3 b = -2 Grafen konstrueres sådan: - afsæt et punkt på y-aksen i - 2 (fordi b = - 2) - gå fra dette punkt 1 hen og 3 ned (ned fordi a er negativ) - her afsættes næste punkt - gå fra dette punkt 1 hen og 3 ned og afsæt et punkt - fortsæt med at går 1 hen og 3 ned og afsæt punkter - forbind punkterne med en ret linje, og grafen er lavet Hans Pihl, KVUC Side 5

6 Andengradsfunktionen Forskriften for en lineær funktion er altså på formen y = ax + b En anden funktion er andengradsfunktionen - den kaldes sådan fordi x er i anden grad - dens forskrift er på formen y = ax 2 + bx + c Forskriften for en andengradsfunktion kunne fx være y = 2x 2 + 5x -4 (hvor a = 2 b = 5 c = -4) eller y = -5x 2-7x +4 (hvor a = -5 b = -7 c = 4) eller y = -x 2 - x (hvor a = -1 b = -1 c = 0) eller y = x 2 (hvor a = 1 b = 0 c = 0) Når man skal lave grafen for en andengradsfunktion, er fremgangsmåden den samme som for en lineær funktion: vælg nogle x-værdier - indsæt dem i forskriften og beregn nogle y- værdier - disse x- og y-værdier er punkter, der indsættes i et koordinatsystem, og grafen tegnes gennem disse punkter. Når man finder punkter til en lineære funktion, er det ligegyldigt, hvilke punkter man finder. Det er ikke lige gyldigt, hvilke punkter man finder, når det er en andengradsfunktions graf, man skal lave. Hvis man har fundet de 5 punkter, som er vist herunder til venstre, har man ingen mulighed for at tegne grafen - har man derimod fundet de punkter, der er vist til højre, kan man tegne grafen. Med andre ord: de punkter man skal finde, er dem, der ligger omkring det punkt, hvor grafen vender - dette punkt kaldes toppunktet - i dette eksempel er toppunktet (1,-4), så man skal altså finde de punkter, der ligger omkring punktet (1,-4). Toppunkt Hans Pihl, KVUC Side 6

7 Derfor: Det første man skal gøre, når man skal lave grafen for en andengradsfunktion, er at finde ved hvilken x-værdi grafen vender, og det gøres med formlen: b x top = 2a Køreplanen kunne altså være: 1. find ved hvilken x-værdi grafen vender 2. indsæt denne x-værdi i forskriften - find dens y-værdi og indsæt værdierne i skemaet 3. indsæt 4-6 andre x-værdier, der ligger tæt på Xtop i forskriften, og find deres y-værdier og indsæt disse i skemaet Eksempel 1 Tegn grafen for andengradsfunktionen y = x 2-2x - 3 b x top = 2a x top 2 x top = 2 x top = 1 ( 2) = 2 1 Grafen vender altså der, hvor x er 1, så det er de x-værdier, der ligger omkring 1, der er interessante - disse x-værdier, indsættes i forskriften og deres y-værdier findes x=1 indsættes i forskriften: y = x 2-2x - 3 y = y = y = - 4 x=2 indsættes i forskriften: y = x 2-2x - 3 y = y = y = - 3 x=3 indsættes i forskriften: y = x 2-2x - 3 y = y = y = 0 På samme måde findes y-værdierne for -5, -1, 0 og 6 og disse indsættes i et skema x y Hans Phil, KVUC Side 7

8 Læg mærke til, at de x-værdier, der ligger lige langt fra 1, har samme y-værdi - det er fordi grafen er symmetrisk omkring der, hvor x er 1 Beregningerne fra skemaet angives som punkter: (-3,12) (-1,0) (0,-3) (1,-4) (2,-3) (3,0) (5,12) punkterne indsættes i et koordinatsystem grafen tegnes forskriften angives langs grafen Hans Pihl, KVUC Side 8

9 Eksempler på 2. gradsfunktioner Forskrift: y = 0,1x 2-5x + 25 Grafisk billede: en parabel Forskrift: y = -2x 2 + 5x + 4 Grafisk billede: en parabel Hans Pihl, KVUC Side 9

10

11 Eksponential-funktionen En eksponentialfunktion er en funktion af typen y = b a x y = 5 x y = 5 4 x y = 6 1,03 x y = 10 0,04 x Eksempel 1 Forskrift: y = 3 2 x Grafisk billede: en eksponentielt stigende kurve (stigende fordi a > 1) Eksempel 2 Forskrift: y = 3 0,5 x Grafisk billede: en eksponentielt faldende kurve (faldende fordi a < 1) Hans Pihl, KVUC Side 11

12 Hvis man fx. har for 500 kr. aktier, der stiger 15% hvert år, kan man beregne, hvor meget aktierne er værd, efter at de er steget x gange: y = 500 1,15 x (at gange med 1,15 giver resultatet efter en stigning på 0,15 eller 15%) y = 500 1,15 x En befolkning falder 8% pr. år, Befolkningstallet er , og man kan beregne, hvor mange der er tilbage efter x år: y = ,92 x (at gange med 0,92 giver resultatet efter et fald på 0,08 eller 8%) y = ,92 x Hans Pihl, KVUC Side 12

13