Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Transkript

1 Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver

2 Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller). De reelle tal indeholder hele tal og brøker som...,,,, 0,,,,..., 5 = 0 6, men også tal som (det tal som ganget med sig selv giver ) og endda π (forholdet mellem omkreds og diameter i en cirkel). Langt de fleste tal har ikke noget navn. Regneoperationer: Man kan addere, subtrahere, multiplicere og dividere to tal med hinanden. Der gælder de sædvanlige regneregler som feks a + b = b + a, ab = ba, b + c a(b + c) = ab + ac, = b a a + c a a c b d = ac bd, a b + c ad + bc = d bd

3 Intervaller: [, ] står for alle tal større end eller lig med og mindre end eller lig med. ], ] står for alle tal større end og mindre end eller lig med. ], [ står for alle tal større end og mindre end. ], [ står for alle tal mindre end. [, [ står for alle tal større end eller lig med end. Ligninger: Man kan addere samme tal eller multiplicere med samme tal 0 på begge sider af en ligning, så feks gælder + a = y = y a a = y = y (a 0) a Uligheder: Man kan addere addere samme tal på begge sider af en ulighed og multiplicere med samme positive tal på begge sider af en ulighed, så feks gælder + a y y a a y y (a > 0) a Ulighedstegnet skal vendes hvis man multiplicerer med et negativt tal.

4 Funktioner En funktion er en forskrift som til ethvert tal (i et interval) knytter et nyt tal. Hvis funktionen hedder f og den til tallet i intervallet [a, b[ knytter tallet y skriver man y = f(), [a, b[ Grafen for funktionen f får man ved at afsætte alle punkterne (, f()) i et koordinatsystem Nogle få standardfunktioner har et navn som potensfunktioner f() = r, f() =, polynomier f() = 7 + 8, absolut værdi f() =, trigonometriske funktioner, sin og cos, logaritmefunktioner, log, og eksponentialfunktionen, ep. 4

5 Eksempel. Funktionen f() =, [ 5, 5], kaldes lineær fordi dens graf er en ret linje.. Grafen for funktionen f() = /( + ), [ 8, 8] f() = /(+) er en parabel.. Grafen for funktionen f() =, 0, er en parabelgren der ligger ned. Nye funktioner fra gamle: Vi kan addere og multiplicere to eller flere funktioner og få en ny funktion. Feks kan f() = + ses som summen af funktionen a() = og den konstante funktion b() =. Vi kan sammensætte to funktioner. Sammensætningen af funktionen f() = og funktionen g() = + er funktionen f(g()) = g() = ( + ). Nogle funktioner har en invers funktion. 5

6 Inverse funktioner: Enhver voksende (eller aftagende) funktion f() har en invers funktion, f (y). Den inverse funktions værdi i tallet y er det tal som ved f føres over i y, dvs eller f (y) = y = f() f (f()) = = f(f ()) for nu at sige det helt klart. Graferne for f og f føres over i hinanden ved spejling i vinkelhalveringslinjen y =. Eksempel Funktionen f() = er voksende når 0, så den har en invers. Da.5 f (y) = y = f() y = = y er den inverse funktion f (y) = y kvadratroden i dette tilfælde

7 0.5 sinus cosinus y 0.5 tangens y cotangens Trigonometriske funktioner Tegn en enhedscirkel i et koordinatsystem. Start i punktet (, 0) og gå en tur på ud af cirkelbue mod urets retning. Førstekoordinaten af det punkt, du nu står i, er cos (cosinus af ), andenkooordinaten er sin (sinus af ). Tangens og cotangens, tan = sin cot = cos cos sin er de længden af de linjestykker der afskæres på den lodrette linje gennem (, 0), henholdsvis den vandrette linje gennem (0, ). Eksempel. En blyant med længde a ligger diagonalt i en skuffe og danner vinkel med skuffens front. Skuffens bredde er a cos og skuffens dybde er a sin.. Hvis solen står i en vinkel på over vandret og flagstangens skygge har længde a, så er flagstangens højde a tan. 7

8 De omvendte trigonometriske funktioner ophæver de trigonometriske funktioner: Hvis du kender tallet y = sin, så vil arcsin y give dig mellem π/ og π/. Hvis du kender tallet y = cos, så vil arccos y give dig mellem 0 og π. Hvis du kender tallet y = tan, så vil arctan y give dig mellem π/ og π/. Hvis du kender tallet y = cot, så vil arccot y give dig mellem 0 og π/. Regneregler for trigonometriske funktioner: sin( + π) = sin(), sin( ) = sin(), sin () + cos () =, sin( + π ) = cos(), sin( + π) = sin() cos( ) = cos() sin(π ) = sin() cos( + π/) = sin() sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y) cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y) sin() = sin() cos() cos() = cos () = sin () sin(arcsin()) = = arcsin(sin()) ( π π ) 8

9 Eksempel 4. Hvis en lodret pæl på 5m kaster en skygge på 7m, så danner solen en vinkel på arctan(7/5) = 0, 95 med vandret.. En bro af form som en cirkelbue med radius R spænder over en flod med bredde b. Broens længde er R arcsin(b/(r)).. I en retvinklet trekant (hvor C er ret) er b = c cos A = a cot A og a = c sin A = b tan A. Værdier for trigonometriske funktioner og deres inverse sin() cos() tan() cot() π 6 π 4 π π 0 0 Tabellen viser at arcsin ( ) = arcsin ( sin( π 6 ) ) = π 6 arctan ( ) ( = arctan (tan( π ) ) = π arccos ( ) = π = arccot ( ) 9

10 lim 0 sin() = Grænseværdi lim 0 cos() = Funktionen f() har grænseværdien b for gående mod a, hvis vi kan få funktionsværdierne f() til at ligge lige så tæt det skal være ved b ved at vælge tæt nok ved a. Vi skriver så lim a f() = b eller f() b for a. I masser af tilfælde har f ikke nogen grænseværdi. Vi vil også tale om grænseværdi fra venstre lim a f(), eller højre lim a + f(). Funktionen f() har en grænseværdi hviss den har grænseværdier fra både højre og venstre og de er ens. Regneregler for grænseværdier: lim (f() ± g()) = lim f() ± lim a a (f() g()) = lim lim a lim a lim a a a g() f() lim a g() f() g() = lim a f() (hvis lim g() 0) lim a g() a f(g()) = f( lim g()) hvis f() er kontinuert a 0

11 Kontinuerte funktioner En funktion er kontinuert hvis vi kan tegne dens graf uden at løfte blyanten fra papiret, dvs funktionen f(), I, er kontinuert hvis lim a = f(a) for alle punkter a i intervallet I. Sætning Hvis en kontinuert funktion på et interval antager værdien c og værdien d, så antager den alle værdier mellem c og d. En kontinuert funktion på et interval af typen [a, b] har en største og en mindste værdi, dvs f([a, b]) = [m, M] hvor m er mindste og M største værdien. Eksempel 5. Alle funktioner nævnt indtil nu er kontinuerte (hvor de er defineret).. Den hele del funktionen [] = det mindste hele tal er ikke kontinuert. ([, 99] =, [, 0] =.). Der findes et tal så 4 + = π. En funktion, der er bygget op af kontinuerte funktioner, er selv kontinuert.

12 Opgaver til Lektion. Hvad er ?. Løs ulighederne + > 0,,. Løs uligheden <. 4. Løs ligningen 4 = Find i ligningerne ( + a)b = c, + ab = c, + < 0. a + b = c. 6. Find alle tal med sin() =. 7. Udregn (a + b) + 5b. 8. Udregn (a + b), (a b) og (a + b)(a b). 9. Hvad er tan() cot()? 0. Et pendul hænger i en snor på 0 cm og svinger π/ ud fra lodret. Hvor langt er der mellem de to yderstillinger?. Siderne i et telt er m lange og mødes i en ret vinkel i toppen. Kan en person på 75 cm stå oprejst inde i teltet? Hvis siderne mødes i en vinkel på π/6?. Find højden af broen i Eksempel 4.