MATEMATIK A-NIVEAU 2g

Transkript

1 NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål, der hver tillægges 5 point Helhedsindtrykket tillægges 10 point STX0409-MAA-net

2 I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation. (Udkast til ændring af Undervisningsvejledningen til Matematik, St)

3 side 1 af 7 Delprøven med formelsamling 2 timer Opgave 1 a) Løs ligningen 5 + 2( 1) = 14. Opgave 2 a) Bestem en forskrift for den lineære funktion, hvis graf går gennem punkterne A (1,3) og B (11, 23). Opgave 3 En parabel er graf for funktionen 2 f( ) = 2 3. a) Løs ligningen 2 2 3= 0. b) Bestem koordinatsættet for parablens toppunkt. Opgave 4 I efteråret 2007 gennemførte alle 1g eleverne på et gymnasium en konditionstest, hvor de fik målt deres kondital. Nedenfor ses en sumkurve, der angiver pigernes kondital. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Kondital a) Bestem kvartilsættet for pigernes testresultater (brug gerne vedlagte bilag). Kvinder i års alderen skal have et kondital på 46 eller derover for at være i god form. b) Bestem hvor stor en procentdel af pigerne, der er i god form.

4 side 2 af 7 Opgave 5 Udviklingen i antallet af mobilabonnementer i Danmark i perioden kan beskrives ved følgende model M( ) = 0,395+ 3,492 hvor er antallet af år efter 2000, og M ( ) er antallet af mobilabonnementer (opgjort i millioner). a) Beskriv betydningen af de konstanter, der indgår i modellen. Opgave 6 I en bestemt population af snegle udvikler antallet af snegle sig eksponentielt med tiden. Da man påbegyndte observation af populationen var antallet af snegle 1185, og i tiden derefter voksede antallet af snegle med 12% pr. år. a) Indfør passende variable, og opskriv en model, der beskriver antallet af snegle i populationen som funktion af tiden. Opgave 7 På figuren ses graferne A, B og C for tre forskellige funktioner. Netop en af disse er graf for en eksponentiel udvikling. y A B C a) Argumenter for hvilken af de tre grafer, der er graf for den eksponentielle udvikling. Opgave 8 En funktion f er givet ved f ( ) 2ln( ) 3 = +, 0 >. a) Bestem f ( ). ( ) b) Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i punktet P 1, f () 1.

5 side 3 af 7 Opgave 9 I en retvinklet trekant ABC er C ret og A = 30. Punktet D er skæringspunktet mellem AB og cirklen med centrum i B og radius BC, som vist på figuren. B D A a) Bestem vinklerne i trekant BCD, og gør rede for at trekant DAC er ligebenet. C Opgave 10 Et andengradspolynomium, p, er givet ved 2 p( ) a b c = + +, og andengradspolynomiets diskriminant kaldes d. a) Skitsér en mulig graf for p, når a > 0, c < 0 og d > 0, og argumenter for grafens beliggenhed i forhold til koordinatsystemets akser. Opgave 11 På figuren ses grafen for et andengradspolynomium g. Rødderne i andengradspolynomiet er 3 og 5. Funktionen g er den afledede funktion for en funktion f. y g a) Bestem monotoniforholdene for f. Besvarelsen afleveres efter 2 timer

6 side 4 af 7 Delprøven med alle hjælpemidler 3 timer Opgave 12 I trekant ABC er A = 37,2, og sidelængderne b = 5,3 og c = 13,8. a) Tegn en model af trekanten, og bestem længden af siden a. Opgave 13 UN har en række databaser på Data for udviklingen i verdens befolkning fra 1950 til 2005 kan hentes fra forskellige kilder. I bilag 1(Bilag1_UNDataVerdensBefolkning.htm) ligger et uddrag fra UNData. a) Bestem den eksponentielle model, der med god tilnærmelse passer til data, og bestem den årlige procentvise vækst i verdens befolkningstal ifølge modellen. b) Find en pålidelig kilde, som forudsiger verdens befolkningstal i 2050, og vurdér den eksponentielle models pålidelighed ved fremskrivning af verdens befolkningstal.

7 side 5 af 7 Opgave 14 En funktion f er givet ved f( ) = a) Bestem monotoniforhold og ekstrema for f. ( ) b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P 1, f () 1, og gør rede for at denne tangent har netop ét andet skæringspunkt med grafen for f. Opgave 15 Tema: Tredjegradspolynomier Et tredjegradspolynomium kan have op til 3 rødder, dvs grafen for polynomiet kan have op til 3 skæringspunkter med førsteaksen. Et tredjegradspolynomium med 3 forskellige rødder, r 1, r 2 og r 3, kan skrives på formen p ( ) = a ( r)( r)( r), hvor a er en konstant. y p r 1 r 2 r 3 For et bestemt tredjegradspolynomium p gælder, at grafen for p skærer førsteaksen i de tre punkter ( 2,0), (1,0) og (3,0) samtidigt med, at grafen skærer andenaksen i (0,6). a) Angiv r 1, r 2 og r 3 for p, og opskriv en forskrift for p på formen 3 2 p( ) a b c d =

8 side 6 af 7 Opgave 16 Ved en konditionstest har man målt konditallet for 77 personer. I bilag 2 (Bilag2_Kondital_M_K.htm) findes testresultaterne opdelt efter køn. a) Tegn to boksplot, der viser fordelingen af kondital for henholdsvis mænd og kvinder. b) Beskriv forskellen på kvindernes og mændenes testresultater ud fra de to boksplot, idet kvartilsættene inddrages. Opgave 17 Et kræmmerhus har en sidelængde på 10 cm. Rumfanget af et kræmmerhus kan beregnes ved V = h A, cm h hvor h er kræmmerhusets højde, og A er arealet af den cirkel med radius, der danner kræmmerhusets top. a) Udtryk højden h ved hjælp af og vis, at kræmmerhusets rumfang kan beregnes ved formlen V = π 100, 0< < b) Bestem, så kræmmerhusets rumfang bliver så stort som muligt.

9 side 7 af 7 Opgave 18 Under en luftfærd befinder en luftballon sig mellem to byer A og C. B A 15 km D C Afstanden mellem A og C er 15 km. Vinklen mellem den vandrette linje igennem B og sigtelinjen BA er 31. Vinklen mellem den vandrette linje igennem B og sigtelinjen BC er 35. D er et punkt på vejen mellem A og C. BD står vinkelret på AC. Den vandrette linje igennem B og linjen i gennem A og C er parallelle. a) Bestem længden af BD. Ballonen stiger lodret op til 6000 m s højde. b) Bestem størrelsen af den spidse vinkel som sigtelinjen til C nu danner med vandret. Opgave 19 Ifølge vejdirektoratet er der en sammenhæng mellem reduktion i antallet af personskadeuheld på en vejstrækning og hastighedsnedsættelsen på vejstrækningen som følge af etablering af vejbump. Sammenhængen mellem personskadeuheld (PU) og hastighed (v) er nærmere beskrevet ved en model på hjemmesiden: Modellen kan også findes i bilag 3 (Bilag3_Vejdirektoratet_Rapport_281_Kap_6.pdf). På en bestemt vejstrækning ønsker man at nedsætte antallet af personskadeuheld fra 15 til 12. Hastigheden på strækningen før etablering af vejbump er 60 km/t. a) Bestem, hvad hastigheden ifølge modellen skal være efter etablering af vejbump. På en villavej er der en del personskadeuheld. Hastigheden på strækningen før etablering af vejbump er 50 km/t. b) Bestem, hvor mange procent antallet af personskadeuheld kan nedsættes med, hvis vejen omlægges til legegade med en hastighedsgrænse på 20 km/t.