i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
|
|
- Sara Groth
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den tilhørende koefficient er forskellig fra. Ovenstående polynomium har altså grad n såfremt an. I denne note skal vi især se på andengradspolynomier, men til sidst også lidt på polynomier af højere grad. Et andengradspolynomium er altså en funktion på formen f ( ) = a + b+ c, hvor abc,, R og a. Som et redskab til at studere graferne for andengradspolynomier vil vi se på parallelforskydning af grafer i næste afsnit. n n B. Parallelforskydning Antag, at vi parallelforskyder grafen for en funktion f. Spørgsmålet er, om vi kan bestemme en forskrift for funktionen hørende til den parallelforskudte graf? Svaret er bekræftende, som de følgende sætninger viser. I næste afsnit vil vi anvende denne viden til specielt at se på parallelforskydninger af grafer for andengradspolynomier. Sætningerne i dette afsnit gælder imidlertid for enhver funktion f. Sætning Parallelforskydes grafen for funktionen f ( ) med i -aksens retning, så fås grafen for funktionen g ( ) = f( ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af med. Bevis: f ( ) g ( ) f g Af figuren ser vi umiddelbart, at funktionsværdien for g i punktet er lig funktionsværdien for f i punktet, altså g ( ) = f( ).
2 Erik Vestergaard 7BEksempel Givet funktionen f( ) = ( + ). Hvis grafen for denne funktion parallelforskydes med 3 i -aksens retning, så vil man få grafen for en funktion med følgende forskrift: 3 3 g ( ) = f( 3) = (( 3) + ) = ( ) idet vi udskifter alle forekomster af med 3. Sætning 3 Parallelforskydes grafen for funktionen f med y i y-aksens retning, så fås grafen for funktionen g ( ) = f( ) + y. Forskriften for g fås altså ved at lægge y til i forskriften for f. Bevis: g () f () y g f () f Alle y-værdier skal der lægges y til, altså er g ( ) = f( ) + y en forskrift for den nye, parallelforskudte graf. Lad os sammenfatte sætningerne og 3 i én sætning: Sætning 4 Parallelforskydes grafen for funktionen f med (, y ), dvs. med i -aksens retning og med y i y-aksens retning, så fås grafen for funktionen med forskrift g ( ) = f( ) + y. Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af med samt til sidst at lægge y til.
3 Erik Vestergaard 3 B. Grafen for et andengradspolynomium Det mest simple andengradspolynomium, man kan tænke sig, er på formen f ( ) = a. Nedenfor til venstre er grafen for et sådant andengradspolynomium afbildet for tilfældene a =, a = ½ og a =. I alle tilfælde er grafen en parabel med toppunkt i (,). Hvis a er positiv, vender grenene opad, mens de vender nedad, hvis a er negativ. Jo større a er numerisk set, jo stejlere er grenene. 4 a a ½ a BEksempel 5 På figuren ovenfor til højre er grafen for f ( ) = blevet parallelforskudt med (, ). Ifølge sætning 4 er en forskrift for funktionen hørende til den parallelforskudte graf lig med g ( ) = f( ) + = ( ) + = ( + ) + = +. Vi har altså at gøre med et andengradspolynomium med koefficienter a=, b= ogc=. Udfra eksempel 5 er det ikke svært at overbevise sig om, at hvis man parallelforskyder grafen for et simpelt andengradspolynomium med forskrift f ( ) = a, så får man i alle tilfælde grafen for et andengradspolynomium. Spørgsmålet er, om vi kan gå den anden vej: Kan grafen for ethvert andengradspolynomium fås ved at parallelforskyde grafen for et simpelt andengradspolynomium med forskriften f ( ) = a? Svaret er bekræftende, som vi skal se i det følgende. Resultatet skal blandt andet benyttes til at udlede en formel for grafens (parablens) toppunkt.
4 4 Erik Vestergaard Sætning 6 Lad g ( ) = a + b+ cog størrelsen d = b 4ac betegne polynomiets såkaldte diskriminant. Grafen for g kan fås ved at parallelforskyde grafen for det simple andengradspolynomium f ( ) = a med b d () (, y) =, a 4a Specielt er koordinaterne til toppunktet for grafen for udtryk for (, y ). g ( ) givet ved ovenstående Bevis: Lad os starte med at parallelforskyde grafen for f ( ) = a med (, y ), og så først senere afgøre, hvad og y skal sættes lig med, for at man får grafen for g. Ifølge sætning 3 haves: () g ( ) = f( ) + y = a ( ) + y = a ( + ) + y ( ) ( = a a + a + y = a + a + a + y ) Husk, at det er, som er den variable, mens a, og y skal betragtes som konstanter. Vi har altså et andengradspolynomium, hvor koefficienten til andengradsleddet er a, koefficienten til førstegradsleddet er a og nultegradsleddet er lig med a + y. Dette andengradspolynomium er lig med a + b+ c hvis og kun hvis koefficienterne til de forskellige potenser af er ens. Koefficienten til er allerede a, så det stemmer. Derudover kræves altså, at: (3) a = b og a + y = c Første ligning kan opfyldes, hvis vi sætter = b a. Den anden ligning kan opfyldes ved at vælge følgende værdi for y : (4) b b b = = = = y c a c a c a c a 4a 4a = 4ac b 4 ac b (4 ac b ) b 4ac d 4a 4a = 4a = 4a = 4a = 4 a hvor vi i andet lighedstegn har indsat udtrykket for. I femte lighedstegn har vi forlænget første led med 4a, så der skabes en fælles nævner. I syvende lighedstegn har vi ganget med i tælleren og samtidigt ganget hele brøken med. I ottende lighedstegn er minusparentesen hævet og leddenes rækkefølge byttet rundt. Alt i alt viser ovenstående, at grafen for g ( ) = a + b+ cfremkommer ved at parallelforskyde grafen for f ( ) = a med vektoren givet ved udtrykket (). Påstanden om toppunktet for g s graf er herefter en simpel konsekvens af, at toppunktet for grafen for f er (,) : Under parallelforskydningen vil (,) flyttes hen i punktet givet ved ().
5 Erik Vestergaard 5 9BBemærkning 7 Indsættes udtrykkene for og y fra sætning 6 i g ( ) = a ( ) + y, kan vi se, at et generelt andengradspolynomium kan omskrives på følgende måde: (5) b d a + b+ c = a + a 4a BEksempel 8 Betragt andengradspolynomiet g ( ) = + 4. Toppunktet for polynomiets graf fås ved hjælp af formel () i sætning 6, idet d = b 4ac= 4 ( 4) = 9: b d 9 (, y) =, =, (, 4 ) = a 4a 4 Det ses at stemme med grafen nedenfor:
6 6 Erik Vestergaard 3B3. Andengradsligninger En andengradsligning er en ligning på formen a + b+ c =, a. Man skal altså finde eventuelle -værdier, som tilfredsstiller ligningen. Løsningerne til andengradsligningen betegnes i øvrigt også som rødderne til andengradspolynomiet a + b+ c. Sætning 9 Givet andengradsligningen a + b+ c =, a. Idet d = b 4achaves følgende løsninger til andengradsligningen: Hvis d < : Der er ingen løsninger Hvis d = : Der er netop én løsning: = b a Hvis d > : Der er netop to løsninger: b± = a d Bevis: Problemet med andengradsligninger er, at man ikke, som i tilfældet med ligninger af. grad, nemt kan isolere på den ene side af lighedstegnet. Man kan ikke umiddelbart samle leddene med, fordi de har forskellig potens i. Heldigvis kan det alligevel gøres med et trick: Man omskriver ligningen, så man får kvadratet på en toleddet størrelse, hvori indgår. Da derved kun kommer til at stå et sted i ligningen, kan den efter omskrivningen ret nemt løses. Den omtalte omskrivning er faktisk bare den, som vi har i formel (5) i bemærkning 7. (6) a + b+ c = b d a + = a 4a b d a + = a 4a b d + = a 4a For at komme videre må vi splitte op i tre tilfælde, afhængig af værdien af d: d < : Nævneren på højre side af den sidste ligning i (6) er positiv, da a står i anden potens. Når diskriminanten d er negativ, vil hele højresiden derfor være negativ. Venstresiden er en parentes i anden potens; den vil derfor være. Ligningen kan dermed ikke opfyldes. Løsningsmængden er derfor den tomme mængde: Vi skriver L =.
7 Erik Vestergaard 7 d = : I så fald er højresiden lig med. Den eneste mulighed for at et udtryk i anden potens kan være lig med er, at udtrykket selv er lig med. Det giver netop én løsning: b b b + = + = = a a a d > : I dette tilfælde er både tæller og nævner i højresiden ligning i (6) kan dermed omskrives til: b d b d + = + = a 4a a a d (4 a ) positive. Sidste Den eneste måde, hvorpå to udtryk i. potens kan være ens er, hvis udtrykkene er ens, eller det ene udtryk er lig med minus det andet udtryk: b d b d b + = + = + = a a a a a b d b d b± d = + = = a a a a a d a Hvor vi i sidste ensbetydende har sat på fælles brøkstreg. I dette tilfælde er der altså to løsninger. Sætningen er dermed bevist. BBemærkning b± d Man observerer, at formlen = egentlig også kan benyttes til tilfældet d =. a b Indsættes d =, får man korrekt løsningen både når + og anvendes i formlen. a Løsningen kaldes da også for en dobbeltrod til det aktuelle polynomium. BEksempel Lad os bestemme løsningerne til følgende. gradsligning: + 4=. Andengradsligningens koefficienter er: a =, b = og c = 4. Dette giver følgende diskriminant: d = b 4ac= 4 ( 4) =9. Da d er positiv fås de to løsninger b± d ± 9 ± 3 = = = = a 4 p ( ) = + 4, så ser man som forventet, at gra- Tegner man grafen for polynomiet fen skærer -aksen i 4 og :
8 8 Erik Vestergaard BEksempel Løs ligningen + = 4 grafisk og ved beregning. Løsning: Nedenfor er graferne for f( ) = + og g ( ) = 4 tegnet. Ligningens løsninger fås som -koordinaterne til grafernes skæringspunkter: = =
9 Erik Vestergaard 9 Ligningen kan løses ved beregning ved at isolere alt på venstre side, således, at der kun er et på højre side: + = = Vi har altså at gøre med en andengradsligning: d = b 4ac= 4 ( ) = 9. Der er altså to løsninger: b± d ± 9 ± 3 = = = = a ( ) Det stemmer overens med vore aflæsninger på forrige side. 4B4. Faktorisering af andengradspolynomium I dette afsnit skal vi se, at hvis et andengradspolynomium har mindst én reel rod, så kan det faktoriseres til et produkt af to førstegradspolynomier. Sætning 3 Givet et andengradspolynomium f ( ) = a + b+ c. Hvis diskriminanten d, så kan polynomiet faktoriseres på følgende måde: (7) f ( ) = a + b+ c = a( )( ) hvor og er rødderne i andengradspolynomiet. Hvis d = og der dermed kun er én rod, så bruges denne rod som både og. Bevis: Som nævnt i bemærkning, så holder udtrykkene for rødderne i sætning 9 når d >, dvs. b + d b d = = a a egentligt også når d =. Ved indsættelse af d = heri ser vi nemlig, at vi får den korrekte rod b a, godt nok to gange. Vi kan altså bare checke sætningen ved at indsætte disse udtryk for rødderne i højresiden i (7) og se, om det holder. (8) a ( )( ) = a [ ( + ) + ] b+ d b d b b (9) + = + = = a a a a
10 Erik Vestergaard () b+ d b d b d b d = a = + a a a a a b d b d b b 4ac = = = a a 4a 4a 4a 4a 4ac = = 4a c a Vi har i det tredje lighedstegn i () benyttet formlen for to tals sum gange to tals differens! Indsættes (9) og () i (8) fås: () a ( )( ) = b c a + a a = b c a + + = a + b+ c a a 4BEksempel 4 Sætning 3 er nyttig i forskellige sammenhænge. Antag for eksempel, at vi ønsker at konstruere et andengradspolynomium, som har rødderne = 6 og =. Der er frit valg for a. lad os sætte den til. Et polynomium med de ønskede egenskaber er da: a ( )( ) = ( ( 6)) ( ) = ( + 6) ( ) = + 6 = + 4 5BEksempel 5 Reducér udtrykket ; 5. + Løsning: Rødderne i andengradspolynomiet i tælleren bestemmes via sætning 9 til at være 5 og. Ifølge sætning 3 kan vi derfor faktorisere tælleren: 9 5 ( ( 5))( ) ( + 5)( ) + ( + 5) ( + 5) + = = = Da ( + 5) er en fælles faktor i tæller og nævner, kan den forkortes væk, og vi ender med et langt enklere udtryk.
11 Erik Vestergaard 5B5. Andengradsuligheder og andet godt I dette afsnit skal vi se på løsninger til andengradsuligheder samt se på ligninger, som viser sig at være skjulte andengradsligninger. 6BEksempel 6 4 Løs fjerdegradsligningen + 6=. Løsning: Der findes faktisk en generel formel, der kan angive løsningerne til en vilkårlig fjerdegradsligning. Da der imidlertid kun er led med lige potenser af, kan vi reducere problemet til en simpel andengradsligning via substitutionen t =, hvormed 4 = ( ) =t. Hermed fås følgende ligning: t + t 6= Ved brug af formlen for andengradsligningen ser vi, at det giver følgende løsninger: t = t = 3 = = 3 =± Bemærk, at ligningen = 3 ingen løsninger har, så der er ikke fire løsninger her, kun to løsninger. En 4. gradsligning kan højst have fire løsninger! 7BEksempel 7 Løs ligningen + = 3 7,. Løsning: Vi foretager substitutionen t = + t = + ( t ) t = ( t ) Indsættes dette i ligningen fås t = 3( t ) 7 3t t =. Sidstnævnte ligning 5 har løsningerne t = og t =. Da t giver sidstnævnte mulighed ikke anledning til 3 nogen løsninger. Derimod fås t = = t = 3. Altså er = 3 den eneste løsning til den oprindelige ligning. 8BEksempel 8 Det oplyses, at. gradsligningen p( ) = 4 + c, hvor c er et tal, netop har én løsning. Bestem værdien af konstanten c. Løsning: En opgave af denne type kaldes undertiden for en parameteropgave, idet en af koefficienterne er en ukendt parameter. Vi får følgende udtryk for diskriminanten: d = b 4 ac= ( ) 4 4 c= 44 6c. Da der er netop en løsning, skal diskriminanten være lig med. Det giver d = 44 6c= c= 9.
12 6B Erik Vestergaard 9BEksempel 9 Løs andengradsuligheden Løsning: Først løses ligningen 8+ 5=. Man finder rødderne 3 og 5. Koefficienten til er. Da det er en positiv værdi, vender parablens grene opad, som vist på figuren nedenfor. Derfor ligger parablen under -aksen imellem rødderne. Løsningsmængden til uligheden er dermed alle tallene imellem 3 og 5, inklusive endepunkterne. Vi angiver løsningsmængden som et interval: L = [3,5].
13 Erik Vestergaard 3 Opgaver Opgaverne er nummereret, så det første ciffer angiver afsnittets nummer. Opgave 3 angiver således opgave i afsnit 3. BOpgave Nedenfor parallelforskydes grafen for en funktion f med (, y ), så man får grafen for en funktion g. Bestem en forskrift for g ( ). Reducer udtrykket om muligt. a) Grafen for f ( ) = parallelforskydes med (, y ) = (,6). b) Grafen for f ( ) = parallelforskydes med (, y ) = (,). c) Grafen for f ( ) = parallelforskydes med (, y ) = (,4). d) Grafen for f ( ) = 5 parallelforskydes med (, y ) = (, 4). e) Grafen for f( ) = ( + ),8 parallelforskydes med (, y ) = (,). f) Grafen for f ( ) = 4 parallelforskydes med (, y ) = ( 3,3). BOpgave Grafen for g ( ) = ( 5) + 4 kan opfattes som værende en parallelforskydning af grafen for en noget simplere funktion. Hvilken funktion er det, og angiv parallelforskydningen. BOpgave Bestem toppunkterne for nedenstående andengradspolynomier. a) b) c) d) e) f) f( ) = + 3 f( ) = 8+ 4 f ( ) = 6+ 5 f ( ) = 4 6 f( ) = 3 9+ f( ) =,8 5,+,7 3BOpgave Bestem toppunkterne for følgende andengradspolynomier og skitser deres grafer: a) b) c) f ( ) = + 3 f ( ) = 3 f( ) = + 4
14 4 Erik Vestergaard 4BOpgave 3 Tegn graferne for følgende andengradspolynomier: a) b) p( ) = p ( ) = 4 5BOpgave 3 Løs følgende andengradsligninger: a) b) c) d) e) f) g) h) 5 6= + 7 4= 4 + 3= 4+ 4= 4= + 5+ = + 4=, 6, 7 5,9 = 6BOpgave 3 Løs følgende andengradsligninger: a) = b) 4+ 4= c) 4+ 3= d) e) 7= + 5= f) + 4 = 7BOpgave 33 Bestem løsningerne til andengradsligningen aflæses på grafen? 3+ 4=. Hvor kan disse løsninger 8BOpgave 34 9BI et rektangel er den længste side meter længere end den korteste side og rektanglets areal er 7 m. Bestem sidelængderne i rektanglet.
15 Erik Vestergaard 5 Opgave 35 Løs nedenstående ligninger: (Husk grundmængder!) a) ( + ) = 6 b) c) d) e) f) 5+ 7= 3. Løs den også grafisk. 3 4 = = = 6 + = 3BOpgave 36 (Det gyldne snit) Definition: Givet et linjestykke AB. Punktet P imellem A og B siges da at dele linjestykket AB i det gyldne snits forhold, såfremt forholdet mellem længden af hele linjestykket og længden af det lange stykke er lig med forholdet mellem længderne af det lange og det korte stykke. a) Forklar hvorfor og y skal tilfredsstille: + y =. y b) Indfør det gyldne snits forhold som z =. Vis, at der må gælde y + = z. z c) Sidste ligning i b) er en andengradsligning. Løs den med hensyn til z. Angiv både den eksakte værdi og et kommatal med 4 decimaler. d) Vis, at z er eksakt lig med ( 5 ) og udregn værdien i kommatal med 4 decimaler. Sammenlign med kommatallet for z: Hvad observerer du? 3BOpgave 37 Givet andengradsligningen 3 + b =, hvor b er en fast parameter. Bestem b således at 6 er rod i polynomiet. Hvad er den anden rod? 3BOpgave 38 Givet andengradsligningen a + 5 =, hvor a er en fast parameter. Bestem a, idet det oplyses, at ligningen netop har en løsning. Hvilken rod er der tale om?
16 6 Erik Vestergaard 33BOpgave 39 (Kasteparabel) Ved kast i tyngdefeltet vil en genstand følge en parabelbane, hvis man kan se bort fra luftmodstand. Lad os sige, at vi kaster en bold skråt op i luften med en vinkel på α. Starthøjden lige i det øjeblik, hvor bolden forlader hånden, betegner vi y og starthastigheden, betegner vi v. Vi indlægger et koordinatsystem i boldens baneplan, således at -aksen er langs jorden og har værdien lige under personens hånd, mens y-aksen er lodret og går igennem personens hånd. Det er hensigtsmæssigt at regne afstande i meter (m), hastigheder i m/s og tiden i sekunder. Man kan vise, at bolden i ovennævnte koordinatsystem vil have følgende koordinater til tiden t, hvor g betegner tyngdeaccelerationen ( g = 9,8m/s ): () t () = v cos( α) t y() t = g t + v sin( α) t+ y Hvis man ikke ønsker positionerne som funktion af tiden, men kun banekurven, så kan den fås af følgende udtryk: (3) y g = + tan( α) + v (cos( α)) y En bold kastes op i luften i en vinkel på 4. Bolden slippes i en højde af 3, m og har en starthastighed på m/s. Til at besvare følgende spørgsmål må du ikke benytte solvefunktionen på grafregneren: a) Benyt () til at bestemme boldens koordinater til tidspunktet,3 sek. b) Til hvilket tidspunkt er bolden m over jorden?
17 Erik Vestergaard 7 c) Benyt (3) til at bestemme hvor langt bolden når ud, før den rammer jorden, altså bestem ma. d) Benyt (3) til at bestemme den maksimale højde, y ma. e) Benyt () til at bestemme til hvilket tidspunkt den maksimale højde opnås. Nu får du lov til at benytte grafregnerens graf-faciliteter: f) Indtast funktionen i (3) med de aktuelle parameter-værdier ovenfor. Tegn grafen for parabelbanen i et passende vindue og løs herefter spørgsmålene c) og d) igen. Formel () kan vi ikke umiddelbart udlede, da der skal nogle fysiske overvejelser til. Formel (3) kan derimod ret let udledes udfra (): g) Isoler t i den første ligning i () og indsæt udtrykket for t i den anden ligning i (). Reducer det fremkommende udtryk og vis, at det giver (3). De følgende tre opgaver er frivillige: h) Måske er du træt af at skulle foretage de samme beregninger, hver gang du skal bestemme den maksimale højde, som bolden opnår: Vis, ved at benytte de generelle udtryk, at der gælder: y v (sin( α)) ma = + y g i) Den generelle formel for kastelængden ma er meget uskøn, men i specialtilfældet, hvor y = bliver den relativ simpel. Benyt symmetrien i parablen til at vise, at i dette tilfælde gælder: cos( α) sin( α) v ma = (hvis y = ) g Hjælp: Tænk på, at toppunktet ligger midt mellem j) Lad os sige, at y =. Benyt da formlen under spørgsmål i) til at vise, at den vinkel α, som giver den største kastelængde, er 45. Hjælp: Her skal du benytte grafregneren: Du skal finde maksimum for med hensyn til α. ma
18 8 Erik Vestergaard 34BOpgave 4 Konstruer et andengradspolynomium, som har følgende rødder: a) og 6 b) 3 og 4 35BOpgave 4 Reducer følgende udtryk: a) b) BOpgave 5 Løs følgende ligninger: 4 a) + 8 = b) = c) 4 3 4= 37BOpgave 53 Løs nedenstående ligninger: 5 + a) = b) = 9 c) 3 + = d) + = + 4 d) = 3 38BOpgave 54 Løs følgende andengradsuligheder: a) b) c) d) e) < >
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereBevægelse i to dimensioner
Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette
Læs mereMATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...
Læs mereAndengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereMatematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver
Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereTilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet
Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereProjekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereDefinition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5
Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereProjekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFormålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.
Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereGUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2
GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve
Læs mereDet grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.
Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereMatematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05
Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien
Læs mereSome like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS
Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereOpgaver om koordinater
Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1
6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan
Læs merePolynomier. Ikast Ib Michelsen
Polynomier Ikast 017 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Polynomier Sidst ændret: 31. Januar ca kl 151 Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Andengradspolynomium og andengradsligning...7 Definition af
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereProjekt 8.1 Andengradspolynomier og andengradsligningen
ISBN 978877066879 Projekt 8.1 Andengradspolynomier og andengradsligningen (Dette projekt er hentet fra kapitel i B-bogen. Det rummer således en mulighed for at gøre arbejdet med andengradspolynomier færdig
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mere1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU
ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereGUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB
GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net
NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereDet Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mere