1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU

Transkript

1 ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII UVRUGQ Vi operer med flere typer af første ordens differentialligninger: en simpleste type den type, hvor I ( ) ( ) I ( ) ( ) I ( ) )( ). er gælder naturligvis blot, at: () en næste type. ordens differentialligninger er separable differentialligninger. isse kan opskrives på formen I ( ) J( ). er separerer man de variable: G ( ) I ( ) J( ) G I ( ) () J () år integralet er udregnet har du løsning, der dog kan tænkes at være på implicit form. %6 er skal du også være opmærksom på de såkaldte RQVQO VQQJU, der er de tilfælde, hvor J 0, dvs. de tal: { 5 J 0 }, disse giver de konstante løsninger: Vi ser nu på lineære differentialligninger af første orden. Vi starter med det lette tilfælde. er kan ligningen skrives:,, 5. øsningen kan skrives: &,,, & 5. (3) ( ) enne gang ses på lidt sværere lineære differentialligninger af første orden, der kan løses vha. den såkaldte Panserformel. - -

2 ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 igningen er magen til den ovenfor, blot er og ikke læ ngere skalarer, men funktioner af : ( ) ( ) er bliver løsningen (Panserformlen): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) & ( ), KYRU $ ( ) ( ) & () Så mangler vi Bernoullis differentialligning. en kan skrives på formen: ( ) 5( ) igningen løses ved at man indfører en substitution: ]. erefter fås ligningen: ] Q ( ( ) 5( ) enne skal først normeres, og derefter kan den løses vha. Panserformlen (). Til sidst skal der substitueres tilbage, idet: ( ) ]( ) Således er løsningen fundet. (5) (6) Til sidst skal næ vnes en speciel type af de separable differentialligninger, dem der kan %. Bemæ rk, at. Udtrykket på højre side af skrives på formen ( )( ) lighedstegnet svarer til en omskrivning af et andengradspolynomiet. vs. at vi vil løse de differentialligninger, hvor den første afledede er lig med et andengradspolynomium. (i x) Bemæ rk i øvrigt, at metoden ikke kan bruges, hvis polynomiet har en dobbeltrod. % ( ) ( )( ) & & ( ) & ( ) ( ) år man løser denne type. ordens differentialligninger, så er det vigtigt, at der henvises til Sydsæ ter bind II s. 0-, hvor udregningerne står. (7) - -

3 ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 'IIUQOOJQQJUIQGQRUGQ I virkeligheden er løsningsmetoden til differentialligninger af anden orden væ sentlig simplere end for første ordens. ette hæ nger naturligvis blot sammen med, at det er meget lille udsnit af andenordens differentialligninger vi beskæ ftiger os med. Vi ser nemlig på typen: G G I ( ) øsningsmetoden, er at man starter med at finde løsningen til den tilsvarende homogene differentialligning: G G 0 Ved at indsæ tte funktionen () e fås idet () e og () e at e e e 0 <> 0, idet e RJVåledes kan vi godt dividere et drejer sig derfor nu om at løse denne andengradsligning, der kaldes UUVV SRO\QRPXP. Vi udregner på sæ dvanlig vis diskriminanten: G vis G > 0: Så findes der to reelle rødder og, således at ( ) RJ ( ) GYV ( ) F F, F, F 5 ermed kan løsningsrummet også skrives som { / VSQ ; } vis G 0: Så findes der én reel dobbeltrod 0, således at 0 F ( ) / VSQ 0 F 0 0 { ; } 0, F, F 5 OOU - 3 -

4 ote til differentialligninger rik Bennike marts vis d < 0: Så findes der to komplekse rødder, således at ( )( ) Vi kan derfor opstille en kompleks løsningsfunktion ] til differentialligningen:,, ] & vis vi nu sæ tter ½, så fås: ( ) cos idet vi i sidste led benytter os af en af ulers formler. Tilsvarende sæ tter vi nu RJ erved fås: ( ) sin Alt i alt fås således: ( ) F F # # sin cos Vi har nu fået løst den homogene ligning i alle tilfæ lde. øsningsmetoden til den inhomogene differentialligning er, at man tager den fuldstæ ndige løsning til den homogene differentialligning (som vi fandt ovenfor) og læ gger en gæ ttet partikulæ r løsning til. Fremgangsmåden til at finde den partikulæ re løsning: vis I () A, så er en partikulæ r løsning X $ % & vis I () er et n te grads polynomium, så findes der et n te gradspolynomium med ukendte koefficienter, der kan bruges som partikulæ r løsning. Koefficienterne findes ved at differentiere den gæ ttede partikulæ re løsning og sæ tte ind i differentialligningen. vis I () S ')(, så er en partikulæ r løsning * T T S X *

5 ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ette kræ ver dog, at T T vis dette ikke er tilfæ ldet, så kan man finde en konstant %, således at % ',( bliver en partikulæ r løsning. ette må så gøres på slavemetoden, dvs. at der skal differentieres og indsæ ttes i differentialligningen. vis I () S sin(u) T cos(u) er er der heller ikke nogen easy way, men man sæ tter X $ $ sin(u) % cos(u) og sæ tter denne og dens afledede ind i differentialligningen, og dermed bestemmes konstanterne $ og %