Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Transkript

1 Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere klassetrin. Eleverne skal anvende brøker og procent i arbejdet med opgaver, hvor matematik anvendes i eksempler fra hverdagen. Procentpoint introduceres i den forbindelse som en måde at beskrive en ændring af noget, der er udregnet i procent. Promille er et andet nyt begreb som anvendes sammen med begrebet alkoholpromille. Kapitlet sætter også fokus på, at eleverne danner et overblik over regler for regning med brøker og procent på baggrund af deres tidligere erfaringer og dette kapitels eksempler. De mundtlige opslag på side 6-7 og viser en oversigt over forskellige metoder til regning med procent og brøker. Det er vigtigt, at eleverne ikke blot lærer disse metoder udenad, men kommer til at forstå, hvordan de kan regne med brøker og procent. Derfor handler en stor del af opgaverne på disse sider også om, at eleverne skal forklare eksempler og metoder for hinanden. I anden halvdel af kapitlet indgår opgaver af mere undersøgende karakter. Eleverne skal undersøge brøkers omskrivning til endelige eller uendelige decimaltal samt undersøge og formulere regler for at regne med potenser og kvadratrødder. Her er blandt andet ræsonnementskompetencen i spil. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: brøker og de fire regningsarter procent og procentpoint promille endelige og uendelige decimaltal potenser og rødder videnskabelig skrivemåde REELLE TAL 1

2 FRA FAGHÆFTET Kompetencer udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) Matematiske emner I arbejdet med tal og algebra at kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge regne med brøker, bl.a. i forbindelse med løsning af ligninger og algebraiske problemer forstå og anvende procentbegrebet kende regningsarternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler Matematik i anvendelse arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemer Matematiske arbejdsmåder undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med regnemetoder og undersøgelser af tal. Målet er, at I får overblik over metoder til at regne med procenter. får overblik over metoder til at regne med brøker. lærer at beregne procentpoint og promille. undersøger egenskaber ved potenser og rødder. undersøger, hvordan I kan regne med potenser og rødder. REELLE TAL 2

3 Facit: Side 2 - Mundtlig 1. a = b : 39 % 100 % = , c % = , Side 3 - Mundtlig 4. Areal af kvadrat: 49 cm2, areal af cirkel: 50,27 cm2. 5. Kvadratets sidelængde: 8 cm. Cirklens radius: = 2,82 cm Side 4 - Problem % 2. a danskere. b danskere. 3. a. af kvinderne. b. Ca. af kvinderne. 4. a. Der er lidt flere mænd end kvinder, der brugte computer, men forskellen er ikke stor. b. Der er flest af de årige, der brugte computeren og færrest af de årige. 5. Brugen af computer hver dag eller næsten hver dag falder med 5 procentpoint fra år til år, med 10 procentpoint fra år til år og med 28 procentpoint fra år til år. Ændringen i procentpoint i forhold til mindst en gang pr. uge er meget mindre. REELLE TAL 3

4 Side 5 - Færdighed Se grundbogen Side 6 - Mundtlig a. 15 % 400 = 60 b. 4 % 300 = 12 c. 6,5 % 200 = 13 d. 0.5 % 50 = 0,25 e. 115 % 500 = a. = 0,5 = 50 % b. = 0,8 = 80 % c. = 0,0333 = 3,33 % d. = 0,91 = 91 % e. = 1,5 = 150 % Side 7 - Mundtlig a. 20 : 0,05 = 400 b. 80 : 0,08 = 1000 c. 300 : 0,3 = 1000 d. 10 : 0,1225 = 80 e. 250 : 1,25 = REELLE TAL 4

5 9. a ,08 = 216 b ,04 = 312 c. 40 1,025 = 41 d = 85 e. 50 2,2 = ,85 = 170 Vi kan gange tallet med 1 minus den procentdel, der skal trækkes fra, fx 1-0,15 = 0, a. 360 b. 32 c. 125 d. 0 Side 8 - Problem 1. a danskere b danskere 2. a danskere b. 11 procentpoint c. 52,4 % 3. Ja, det er rigtigt. De tal, der står ud for mændene, er større end de tal, der står ud for kvinderne bortset fra når det gælder sms. Side 9 Færdighed Se grundbogen REELLE TAL 5

6 Side 10 - Problem Vægt Mænds alkoholpromille efter 1 genstand Kvinders alkoholpromille efter 1 genstand 50 kg 0,35 0,44 55 kg 0,32 0,40 60 kg 0,29 0,36 65 kg 0,27 0,34 70 kg 0,25 0,31 75 kg 0,24 0,29 80 kg 0,22 0,27 85 kg 0,21 0,26 90 kg 0,20 0,24 95 kg 0,19 0, kg 0,18 0,22 3. Sammenhængen mellem kvinders alkoholpromille og vægt REELLE TAL 6

7 Sammenhængen mellem mænds alkoholpromille og vægt 4. Ja, det passer. Det kan aflæses i tabellen og på graferne. Det kan også ses af formlerne for alkoholpromille. Nævneren bliver næsten dobbelt så stor i eksemplet med manden på 100 kg sammenlignet med kvinden på 60 kg. 5. Side 11 - Problem 1. Antallet af dræbte er i store træk steget i perioden fra 1930 til 1970 og faldet fra 1970 til 2006 med små udsving. 2. Stigningen kan skyldes, at flere har fået bil, og at der derfor er sket flere ulykker. Faldet i antal kan fx skyldes fokus på trafiksikkerhed, færdselsregler og lignende. 3. a. Ca. 50 % b. Ca. 25 % 4. a. Ca. 25 % b. 25 % svarer til hver fjerde, så det passer godt for år Andelen kan svinge fra år til år. REELLE TAL 7

8 Side 12 - Mundtlig a. b. c. = 1 d. e. f. 3. a. 4 b. 2 c. 15 d a. b. c. 2 d. 2 e. 4 f Vi kan gange tælleren med det hele tal og bevare nævneren. REELLE TAL 8

9 Side 13 - Mundtlig Det kan blive til 7 glas cola Peter skal bruge 6 L cola a. 2 b. 2 c. 5 d. 7 Side 14 - Færdighed Se grundbogen Side 15 - Problem 1. a. 0,25 0,1 0,45 0,33-0,2857 0,06 0,375 b. Brøker med en nævner, der ikke går op i 10, 100, a. Fx, b. Fx 3. Det er nævneren, der afgør, om et tal kan omskrives til et endeligt decimaltal. Decimaltallene bygger på vores titalssystem. Derfor skal nævneren gå op i en potens af 10, for at det kan lade sig gøre at omskrive til endeligt decimaltal. 4. a. 0, - 0, - 0, b. 0, - 0, - 0, - 0, - 0, c. 0, - 0, - 0, - 0, - 0, 5. a. REELLE TAL 9

10 b. c. d. e. f. = 1 Side 16 - Mundtlig 1. a = b. = 2. n = = = = = = = = = 2 n 3. a. Hver gang vi går et trin ned i tabellen, bliver eksponenten 1 mindre, og potensen divideres med 2. Da passer det ind i mønstret, at 20 = 1. b. Hver gang vi går et trin ned i tabellen, bliver eksponenten 1 mindre, og potensen divideres med 2. Da passer det ind i mønstret, at 2-3 =. Et eksempel kan også anskueliggøre det: kan forkortes til =. Det giver god mening, at divisionsreglen, som eleverne skal arbejde med i opgave 4-6, også kan benyttes, når potensen i nævneren har en eksponent med større værdi end tællerens potens. REELLE TAL 10

11 4. 5. Vi kan gange potenser med samme rod ved at beholde roden og lægge eksponenterne sammen. Vi kan dividere potenser med samme rod ved at beholde roden og trække nævnerens eksponent fra tællerens. 6. a. 5 9 b. 2 9 c d. 4 4 e. 6 6 Side 17 - Mundtlig 1. At finde kubikroden af 27 betyder at finde et tal som ganget med sig selv tre gange giver a. b. 3. a. 4 b. 5 c a. 8 b. 15 c. 20 Lommeregnere er forskellige, men på mange lommeregnere kan man trykke fx 3 8 = 5. a. Den tredje rod af 216 er 6, fordi 6 ganget med sig selv tre gange er 216. b. Den fjerde rod af 1296 er 6, fordi 6 ganget med sig selv fire gange er c. Den femte rod af 7776 er 6, fordi 6 ganget med sig selv fem gange er a. 10 b. 30 c. 3 d. 3 REELLE TAL 11

12 8. a. Fx Vi kan gange kvadratrødder med hinanden ved at beregne værdien af hver kvadratrod og dernæst beregne produktet. Vi kan gange kvadratrødder med hinanden ved at beregne produktet af tallene under kvadratrodstegnet og dernæst uddrage kvadratroden af produktet. Vi kan dividere kvadratrødder med hinanden ved at beregne værdien af hver kvadratrod og dernæst beregne kvotienten. Vi kan dividere kvadratrødder med hinanden ved at beregne kvotienten mellem tallene under kvadratrodstegnet og dernæst uddrage kvadratroden af kvotienten. b. Fx Vi kan gange kubikrødder med hinanden ved at beregne værdien af hver kubikrod og dernæst beregne produktet. Vi kan gange kubikrødder med hinanden ved at beregne produktet af tallene under kubikrodstegnet og dernæst uddrage kubikroden af produktet. Vi kan dividere kubikrødder med hinanden ved at beregne værdien af hver kubikrod og dernæst beregne kvotienten. Vi kan dividere kubikrødder med hinanden ved at beregne kvotienten mellem tallene under kubikrodstegnet og dernæst uddrage kubikroden af kvotienten. Side 18 - Problem m/s 2. a. 1, m/s b. 1, m/s c. 2, m/s 3. 1, m 4. 1, m = 1, km 5. Ca. 109 gange større. 6. a. Rumfang: 1, km 3. Overfladeareal: 6, km 2 b. Rumfang: 1, km 3. Overfladeareal:5, km 2 Side 19 - Problem 1. a. Sandt. b. Sandt. c. Falsk. d. Falsk. REELLE TAL 12

13 e. Sandt. f. Sandt. g. Falsk. h. Falsk. i. Falsk. j. Sandt. k. Sandt. l. Sandt. 2. Når man finder produktet af potenser med samme rod, kan eksponenterne lægges sammen. Når man finder kvotienten mellem potenser med samme rod, kan divisorens eksponent trækkes fra dividendens eksponent. Der findes ikke regler for at finde produktet af eller kvotienten mellem potenser med forskellige rødder. Der findes ikke potensregneregler for addition og subtraktion Værdien af en potens bliver negativ, hvis roden er negativ, og eksponenten er et ulige tal. 5. a. Reglen gælder. b. Reglen gælder ikke. c. Reglen gælder. d. Reglen gælder ikke. e. Reglen gælder. f. Reglen gælder. g. Reglen gælder. h. Reglen gælder. 6. Man ganger kvadratrødder med hinanden ved at gange tallene under rodtegnet og beholde rodtegnet. Man dividerer kvadratrødder med hinanden ved at dividere tallene under rodtegnet og beholde rodtegnet. Side 20 Problem Længden af diagonalen i kvadrat 1har samme længde som diameteren i cirkel 1 og dermed samme længde som siden i kvadrat 2. REELLE TAL 13

14 3. Kvadrat Sidelængde Areal = = = 2 4 = = = Arealet af kvadrat n er 2n-1 5. Længden af diagonalen i et kvadrat svarer til sidelængden i det næste kvadrat. Tallet under rodtegnet ganges med to for hvert trin, vi flytter os i kvadratrækken. 6. Kvadratets sidelængde svarer til den indskrevne cirkels diameter. Man kan derfor beregne arealet af den indskrevne cirkel ved ( sidelængde)2 π. Side 21 Færdighed Se grundbogen. REELLE TAL 14