Arealer under grafer
|
|
- Karla Graversen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 HJ/marts Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens hovedsætning) Hvis f(x) er en kontinuert funktion og f(x) 0 for alle x i intervallet [a; b], så er b f(x) dx lig med arealet af den punktmængde, der begrænses af grafen a for f(x) og x-aksen i intervallet [a; b]. Analysens hovedsætning siger altså, at vi kan beregne arealet af det skraverede område (punktmængden) på figuren her til højre ved hjælp af integralregning. Men hvad betyder egentlig arealet af sådan en figur? Som udgangspunkt kan vi jo kun beregne arealet af polygoner (mangekanter). Det kan vi fordi polygoner kan deles op i trekanter, og det kan denne figur jo tydeligvis ikke. I denne note skal vi derfor prøve at definere hvad man egentlig mener med arealet af de figurer som analysens hovedsætning udtaler sig om. Vi skal opbygge (dele af) en matematisk teori for arealer. Du vil opdage at der er lighedspunkter med opbygningen af differentialregningen: I differentialregningen kan vi ikke direkte fortælle hvad en differentialkvotient er, vi kan kun udtrykke den som en grænseværdi af sekanthældninger. Når vi skal definere arealet af figuren ovenfor gør vi noget lignende. Hov, der er lige en ting mere: Hvad betyder egentlig analyse her? Matematisk analyse er den gren af matematikken, der beskæftiger sig med grænseværdier og kontinuerte funktioner. Differentialregningen og integralregningen hører altså under matematisk analyse. 2 Kontinuerte funktioner I det følgende får vi brug for en vigtig sætning om kontinuerte funktioner.
2 HJ/marts Sætning 2 En kontinuert funktion defineret på et lukket, begrænset interval [a; b] har både et maksimum og et minimum indenfor intervallet. Denne sætning kan vi ikke bevise! Det kræver et dybtgående kendskab til både kontinuerte funktioner og de reelle tal. Denne note er for lille til at rumme dette, så vi nøjes med at illustrere sætningen. Opgave 1 (a) Grafen nedenfor viser en kontinuert funktion defineret på intervallet [ 2; 3]. Aflæs maksimum og minimum for funktionen. (b) Tegn grafen for en kontinuert funktion, hvor både minimum og maksimum ligger i det indre af intervallet [a; b]. (c) Tegn grafen for en kontinuert funktion, hvor både minimum og maksimum ligger i endepunkterne af intervallet [a; b]. (d) Tegn grafen for en ikke-kontinuert funktion, som ikke har et maksimum i intervallet [a; b]. 3 Areal 3.1 Oversummer og undersummer For at definere arealet fra før vil vi i første omgang lave en geometrisk tilnærmelse til området med en figur vi kender arealet af, nemlig en polygon. Vi kigger altså på en kontinuert funktion, som er defineret og ikke-negativ i intervallet [a; b]. Den metode vi vil benytte er 1. Inddel først intervallet [a; b] i lige brede delintervaller. Antallet af intervaller kaldes n og bredden af intervallerne kaldes h. 2. Tegn et rektangel over hvert interval, hvor højden vælges til den mindste funktionsværdi i intervallet. Det samlede areal af disse rektangler kaldes undersummen U n.
3 HJ/marts Tegn et rektangel over hvert interval, hvor højden vælges til den største funktionsværdi i intervallet. Det samlede areal af disse rektangler kaldes oversummen O n. Rektanglerne hørende til undersummen U 4 og oversummen O 4 er illustreret på figuren her: Hvis man bruger et større n får man en bedre tilnærmelse til figuren, her illustreret med U 8 og O 8. Opgave 2 I definitionen af oversummer og undersummer brugte vi sætning 2. Forklar hvordan! Opgave 3 Der er givet funktionen f(x) = x samt grænserne a = 0 og b = 8. (a) Inddel intervallet [0; 8] i fire lige store delintervaller. Indtegn de tilsvarende rektangler på figuren og beregn undersummen U 4 og oversummen O 4 med 4 decimaler.
4 HJ/marts (b) Samme spørgsmål, men denne gang med 8 delintervaller, dvs. du skal beregne U 8 og O 8 med 4 decimaler. (c) Beregn 8 0 x dx ved hjælp af stamfunktioner og sammenlign resultatet med de to summer. (d) Beregn U 16 og O 16 med 4 decimaler og kommenter resultatet. Vink: Find systemet ud fra de to første spørgsmål; så kan du beregne summerne uden at lave en tegning.
5 HJ/marts Man kan forholdsvis let bevise denne sætning: Sætning 3 For alle tal n og m gælder at U n O m. Opgave 4 Bevis sætningen ved at tegne fire figurer, der viser hvorfor U n U mn O mn O m. Vink: Tegn figurerne med nogle små værdier af n og m. Vi har altså at enhver undersum er mindre end enhver oversum. 3.2 Definition af arealet Vi ved endnu ikke hvad arealet af det skraverede område betyder. Men man kan lægge mærke til, at: Rektanglerne hørende til en undersum er den del af det skraverede Det skraverede er en del af rektanglerne hørende til en oversum. Hvis vi skal give mening til arealet af det skraverede område så må det være rimeligt at kræve Arealet skal være større end enhver undersum. Arealet skal være mindre end enhver oversum. Figuren her illustrer dette: U viser alle undersummerne og O viser alle oversummerne. Som figuren viser kunne der i princippet være flere tal, der kravene. Men det er der faktisk ikke. Sætning 4 Hvis f(x) er en kontinuert funktion og f(x) 0 for alle x i intervallet [a; b], så er der netop ét tal T som skiller undersummerne og oversummerne i intervallet.
6 HJ/marts At der er mindst et tal lyder oplagt, men er ikke så nemt at bevise. Det kræver et dybere kendskab til de reelle tal. At der er højst et tal er lidt kompliceret at bevise generelt, men i specielle tilfælde er det let nok. Opgave 5 Bevis sætning 4 i det tilfælde, hvor funktionen er voksende. Vink: Tegn en figur, der viser at O n U n = (f(b) f(a)) b a n. Brug dette til at forklare, hvorfor der ikke kan være to forskellige tal, som skiller undersummerne og oversummerne. Og så kan vi endelig definere hvad arealet af det skraverede område er, nemlig tallet T. Med mange ord kan det skrives på sådan: Definition 1 Hvis f(x) er en kontinuert funktion og f(x) 0 for alle x i intervallet [a; b], så defineres arealet af den punktmængde, der begrænses af grafen for f(x) og x-aksen i intervallet [a; b] som det tal, der skiller oversummerne fra undersummerne i intervallet. 3.3 Indskudssætningen for arealer Ved hjælp af sætning 3 og 4 har vi fået en definition af arealet af de områder, vi er interesserede af. Man kan bevise en række sætninger om arealer, men vi vil nøjes med at opskrive denne, som er helt afgørende hvis man vil bevise analysens hovedsætning. Sætning 5 (Indskudssætningen for arealer) Antag f(x) er en kontinuert funktion og f(x) 0 for alle x i intervallet [a; b], og c er et tal i ]a; b[. Så er arealet af den punktmængde, der begrænses af grafen for f(x) og x- aksen i intervallet [a; b] lig summen af arealerne af de punktmængder, der begrænses af grafen for f(x) og x-aksen i intervallerne [a; c] og [c; b]. Opgave 6 Pyh det var mange ord! Tegn en figur, der illustrerer indskudssætningen for arealer. Hvad er det nu indskudssætningen for integraler siger? Sætning 5 lyder helt oplagt, men faktisk er det ikke helt ligetil at bevise den ud fra det foregående. Årsagen er at vi ikke umiddelbart har en sammenhæng mellem summerne på de tre intervaller. Den bedste løsning på dette er at udvide definitionen af undersummer og oversummer, så intervallerne ikke behøver at være lige brede. Så bliver sætning 3 og 4 lidt mere komplicerede at bevise. Til gengæld kan man så også bevise sætning 5!
7 HJ/marts Numerisk integration I differentialregning er vi heldigt stillet: Uanset hvilken forskrift vi skriver op for en funktion (baseret på vores standardfunktioner), så kan vi altid beregne den afledede funktion ved hjælp af regnereglerne. Sådan er det ikke med integralregning. Her kan man let stille en funktion op, hvor vi ikke kan finde forskriften for en stamfunktion. Et eksempel er funktionen f(x) = e x2. I dette afsnit skal vi derfor se på hvordan man kan bruge summer til at beregne en tilnærmelse til arealet uden at kende en stamfunktion. Dette kaldes numerisk integration. 4.1 Middelsummer Vi skal indføre endnu en type sum. Inddel igen i intervaller som ovenfor 1. Vælg et vilkårligt tal i hvert delinterval. Tallene kaldes t 1, t 2,..., t n. 2. Tegn et rektangel over hvert interval, hvor højden vælges til f(t i ). Middelsummen M n er så det samlede areal af disse rektangler Dette er illustreret på figuren: Vi kan skrive en formel for middelsummen op sådan: M n = f(t 1 ) h + f(t 2 ) h + + f(t n ) h Læg mærke til at der er mange forskellige middelsummer til hvert n, men det er klart at de alle opfylder U n M n O n (1)
8 HJ/marts Opgave 7 Der er givet funktionen f(x) = x samt grænserne a = 0 og b = 8. (a) Inddel intervallet [0; 8] i otte lige store delintervaller og lad t 1, t 2,..., t 8 være midtpunkterne i de otte delintervaller. (b) Indtegn de tilsvarende rektangler på figuren og beregn middelsummen M 8 med 4 decimaler (som i dette tilfælde kaldes midtsummen pga. den måde tallene er valgt). (c) Beregn desuden venstresummen V 8 og højresummen H 8 (gæt selv betydningen af dette). (d) Beregn endeligt trapezsummen T 8 = 1 2 (V 8 +H 8 ), og prøv at gennemskue hvorfor den hedder sådan! (e) Hvilke af de beregnede summer giver den bedste tilnærmelse til arealet? Note: Nogle af figurerne stammer fra disse bøger: MAT 2A af Jens Carstensen og Jesper Frandsen (Systime 1998). Matematik 2.1 af Erik Kristensen og Ole Rindung (G.E.C. Gads forlag 1973)
Lektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereOpgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).
Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen
Læs mereAreal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO
Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede
Læs mereTekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion
1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereHøjere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.
054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016, eksamen maj / juni / 2016 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs mereEksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.
Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereGeometri med Geometer I
f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereDifferentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012
Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens
Læs mereTaxageometri og metriske rum
Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Sommer 2016 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik, niveau
Læs mereArbejdsmiljøgruppens problemløsning
Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereBogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016, eksamen maj / juni / 2016 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00
Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/b-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er
Læs merePotens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner
Læs mereVIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium
VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...
Læs mereModule 2: Beskrivende Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereVEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk
VEJLEDNING SPAMFILTERET 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk Udarbejdet af: Styrelsen for IT og Læring Vester Voldgade 123, 1552 København V Indholdsfortegnelse Vejledning -
Læs mereOpgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereLektion 9 Statistik enkeltobservationer
Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereVejledning til Photofiltre nr.129 Side 1
Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014
Matematik A Studentereksamen stx141-mat/a-705014 Tirsdag den 7. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereBeregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:
Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereAndengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Læs mereModulpakke 3: Uendelige Rækker
Chapter 5 Modulpakke 3: Uendelige Rækker 5. Indledning. Summer. En meget benyttet notation til at udtrykke gentagen addition benytter det græske store sigma (Σ) på følgende måde: de enkelte led man summer
Læs mereMatematik Eksamensprojekt
Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende
Læs mereGode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen
Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereMatematik B. Højere forberedelseseksamen
Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe11-mat/b-3108011 Onsdag den 31. august 011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFlemming Jensen. Parforhold
Flemming Jensen Parforhold Papyrus Publishing Art direction: Louise Bech Illustatorer: Lea Maria Lucas Wierød Louise Bech Forskningsleder: Flemming Jensen Faglige konsulenter: Gitte S. Nielsen Lene V.
Læs mereMatematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven
Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereVejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre
Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med
Læs mereFP9. 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone. 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre cirkler 6 Talfølger i en gangetabel
FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning Maj 2015 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre
Læs mereLæsevejledning til resultater på regionsplan
Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...
Læs mereManual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax
Læs mereKurver i planen og rummet
Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereTeknologi & Kommunikation
Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereNår mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet
Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det
Læs mereVejledende Matematik B
Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereDet danske sundhedsvæsen
Det danske sundhedsvæsen Undervisningsmateriale til sprogskoler Kapitel 8: Undersøgelse for brystkræft (mammografi) 8 Undersøgelse for brystkræft (mammografi) Brystkræft Brystkræft er en alvorlig sygdom.
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Stx Matematik
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler
Læs mereDet er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden
DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage
Læs merehttps://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf
Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens
Læs mereInverse funktioner og Sektioner
Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs merePinsedag Joh. 14,15-21; Jer. 31,31-34; Apg. 2,1-11 Salmer: 290, 300, 283-291,292 (alterg.), 298
Pinsedag Joh. 14,15-21; Jer. 31,31-34; Apg. 2,1-11 Salmer: 290, 300, 283-291,292 (alterg.), 298 Lad os bede! Kære hellige ånd, tak fordi Du er hos os som vor ledsager gennem livet. Vi beder dig: bliv hos
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereFACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i
1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen
Læs mereDe 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298
Inventor 2011 - Del 1 Featuren Circular Pattern 2D Constraints Constraints er bindinger, der kan oprettes mellem de forskellige elementer i fx en Sketch. Du har allerede arbejdet med nogle af dem, programmet
Læs mereMATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB
MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet
Læs mereTegning og figurer. 1 Tegn med GeoGebra. Du skal bruge Computer. Tablet. 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd. Kvadratpapir.
Tegning og figurer 1 Tegn med GeoGebra Du skal bruge Computer Tablet KG 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd Kvadratpapir Arbejdsark 23 24 KG Værksted 3: Byg huse. 25 26 27 Værksted 4: Tegn, hvad
Læs mereDet skal I vide, når I planlægger jeres barsel
1 Det skal I vide, når I planlægger jeres barsel Indhold Når I får barn...2 Betingelser for orlov...3 Løn under orloven...4 Hvor meget kan jeg få?...4 Sammensæt jeres forældreorlov...5 Del forældreorloven
Læs mereProjekt 4.8. Kerners henfald (Excel)
Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve
Læs mereLUP læsevejledning til regionsrapporter
Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for
Læs mereGRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET
GUIDE 6 Noget om blænde GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET 2015 LÆRfoto.dk Indhold Indhold... 2 Indledning... 3 Blænde... 4 Blænde og dybdeskarphed... 5 Blænde og lyset... 6 LÆRfoto.dk s serie af guides
Læs mereBILAG A SPØRGESKEMA. I denne At-vejledning præsenteres et kort spørgeskema med i alt 44 spørgsmål fordelt på otte skalaer.
16 BILAG A SPØRGESKEMA I denne At-vejledning præsenteres et kort spørgeskema med i alt 44 spørgsmål fordelt på otte skalaer. Skalaernes spørgsmål indgår i et større spørgeskema, der omfatter i alt 26 skalaer
Læs mereLederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil
Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil Instruktion Formålet med Lederadfærdsanalyse II Egen er at give dig oplysninger om, hvordan du opfatter din ledelsesstil. I det følgende vil du blive
Læs mereBrøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point:
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Brøkregning Følgende gennemgås: Brøk typer Forlængning Forkortning Addition Subtraktion Blandede tal Multiplikation Division Heltal & Brøk Brøk & decimal & Procent
Læs mere