Differentialligninger. Ib Michelsen
|
|
- Bente Gregersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203
2 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3 Eksempler på kontrol af løsning...4 Eksempel : Er løsningen en løsning?...4 Eksempel 2: Er løsningen en løsning?...4 Eksempel 3: Find løsningen med CAS...4 Betegnelser...5 Beregningseksempler...5 Eksempel 4: Tangent...5 Eksempel 5: Væksthastighed...6 Løsning af den specielle lineære differentialligning...6 Sætning...6 Løsning af den generelle lineære differentialligning...6 Sætning...6 Bevis...7 Formel...7 IT løsningen...7 Løsning af en Bernoulliligning...8 Løsning...8 Løsning af den logistiske differentialligning...8 Løsning...9 Formel...0 Eksempel Løsning af differentialligninger ved separation... Sætning... Bevis...2 Eksempel stx A, 8. maj 20 (opgave 3)...3 stx A, 24. maj 20 (opgave 3)...4 stx A, august 20 (opgave 3)...5 stx A, december 20 (opgave )...7 Differential-ligninger i stxopg Ib Michelsen mimimi.dk C:\AppServ20x2\www\Mixi\difLign\differentialligninger3.odt
3 Ligninger og løsninger 3 Ligninger og løsninger Indledning Almindelige ligninger kender du. De kan fx se sådan ud: ( ) 3 x+4=7 3, 4 og 7 er (i eksemplet og som oftest) nogle reelle tal. Opgaven er at finde den mængde af (reelle) tal, der gør ligningen sand. Her ses nemt, at L={} I andre tilfælde kan der være alt fra ingen til uendelig mange løsninger. Hvis faktoren foran x ikke er nul, kan ligningen omskrives som vist herunder; hvis den er nul, er ligningen ikke særlig interessant. (. ) 3 x+4=7 3 x = x+ = Oftest vil almindelige lineære ligninger kunne omskrives tilsvarende, så vi får en ligning som: (2 ) x+a=b Men lad os udvide ligningsbegrebet. x, a og b kunne jo godt være funktioner med DM =I ℝ. Opgaven er så at finde mængden af funktioner, der gør ligningen sand. Og lad os forudsætte, at i dette hæfte er a og b kontinuerte funktioner. Fx kunne a være defineret som: (2. ) a (t )=t 2 3 t+5 Tilsvarende for b(t) og funktionen x(t) findes nemt som differensen mellem de to funktioner. Og nu nærmer vi os differentialligningerne: Det er ligninger, hvor der skal findes en funktion eller en mængde af funktioner. Her er et vigtigt eksempel: Lineære differentialligninger af første orden (3 ) x ' (t )+a(t ) x (t )=b(t ) Ligningen (3) er en differentialligning. En differentiabel funktion f(x) er en løsning til ligningen, hvis (3. ) f ' (t )+a (t ) f (t )=b(t ) I (3) står x(t) for en (måske) eksisterende ubekendt funktion og x'(t) for dennes afledte funktion. Ligningen siges at være af første orden, fordi den første afledte funktion indgår i
4 4 Ligninger og løsninger ligningen men ikke x''(t), x'''(t) osv. Hvis også den anden afledte indgik, var der tale om en anden ordens differentialligning. Ligningen kaldes lineær når venstresiden kan skrives som en lineær funktion F(x). At F er lineær, betyder at linearitetsbetingelserne er opfyldt: F ( x +x 2 )=F (x )+ F ( x 2) og F (k x )=k F ( x) Eksempler på kontrol af løsning Eksempel : Er løsningen en løsning? Lad der være givet en befolkning (af mennesker, gærceller eller kaniner) med størrelsen B(t) til tiden t, som vokser ligefrem proportionalt med B(t); så fås (4 ) B ' (t )=k B (t ) Det ses nemt, at vi har en differentialligning som i (3); her benyttes blot B i stedet for x. En løsning kunne være (4. ) f (t )= B0 e k t hvis befolkningen til tiden 0 har størrelsen B0 Kontroller, at f(t) er en løsning til (4) Eksempel 2: Er løsningen en løsning? Lad der være givet differentialligningen (5 ) x ' (t )+ x(t )=2 t 2 4 Kontroller, at f(t) er en løsning til (.7), hvor (5. ) f (t )=2 t 2 4 t Eksempel 3: Find løsningen med CAS Givet ligningen (6) skal du finde løsningsmængden med dit CAS-værktøj. (6 ) y ' = y Antag at du benytter GeoGebra: I Vis-menuen vælges CAS, i den første tomme række indtastes: BeregnODE[y'=-y]+<Retur> Efter et øjeblik står der på linjen nedenunder en pil og svaret i (6.): (6. ) y= c3 ex 3 er et tilfældigt løbenummer og har ingen betydning i sig selv. c 3 er en konstant i den enkelte løsning, men der er en løsning for alle mulige værdier af konstanten. Svaret skal c3 læses: f (x)= x er en løsning for enhver værdi af c 3. e
5 Eksempler på kontrol af løsning 5 Kontroller, at f(x) er en løsning til (6) lige meget hvad konstanten er. Betegnelser Som ubekendt funktion har vi nu benyttet både B, x og y. Og det er i princippet ligemeget. GeoGebra har som default, at den uafhængige variabel er x og den ukendte funktion er y. Det fremgår også af eksemplet herover. Hvis funktionen hedder B(t) kan du indtaste ligningen sådan: BeregnODE[B'=k * B,B,t] Gør det og kontroller løsningen. Den afledte funktion kan betegnes på forskellige måder: Hvis funktionen kaldes y eller y(x) eller f(x), og y=2 x 3 4x+5 kan den afledte funktion navngives med de herunder viste lige gode muligheder: (7 ) y ' = y ' ( x)= f ' ( x)= dy =(2 x 3 4x+5)' dx Beregningseksempler Eksempel 4: Tangent Lad der være givet en differentialligning som: (8 ) y ' =2 x y Løsningernes grafer, som kaldes integralkurver, går gennem ethvert punkt i I er det interval, hvor funktionerne er defineret. I x ℝ, hvor Vi ønsker at finde tangenten i P(2,5) til integralkurven gennem dette punkt; så er x=2, y= 5 og ifølge (8) er tangenthældningen (8. ) a= y ' =2 2 5= Tangentens anden parameter findes med formlen (8.2 ) b= y a x hvor de kendte tal indsættes: (8.3 ) b=5 ( )2=7 Tangentligningen bliver derfor (8.4 ) y= x+7 Som kontrol findes grafen for den relevante integralkurve med CAS : BeregnODE[y'=2*x-y, (2,5)], hvor både ligning og punktet P indgår i kommandoen: (8.5 ) 2 e x x 2 e x+3 e 2 y= ex
6 6 Ligninger og løsninger Graf og tangent ses til højre: Eksempel 5: Væksthastighed y' kan være angivet på 3 forskellige måder; i alle tilfælde er det trivielt at indsætte kendte tal for at finde væksthastigheden til en given tid (x-værdi) eller en given y-værdi (9 ) (9. ) y ' =F ( y ) (9.2 ) y ' =F ( x) (9.3 ) y ' =F ( x, y) Løsning af den specielle lineære differentialligning Sætning Lad b være en kontinuert funktion defineret i et interval I. Den fuldstændige løsning til differentialligningen: (0 ) y ' =b er så mængden af stamfunktioner til b, så hvis (0. ) f (x )= b( x)dx fås alle løsninger som (0.2 ) { f ( x)+k k ℝ } Løsning af den generelle lineære differentialligning Sætning Lad a og b være kontinuerte funktioner defineret i et interval I. Den fuldstændige løsning til differentialligningen: ( ) y ' +a y =b eller y ' ( x)+a (x) y( x)=b( x )
7 Sætning 7 er mængden af funktioner: (. ) A f (x )=e ( B+k ) hvor A er en stamfunktion til a, B er en stamfunktion til b e A og k er en vilkårlig reel konstant. Bevis (2 ) y ' +a y =b Lad A være en stamfunktion til a og definer (2. ) A e (x)=e A(x ) hvoraf følger: (2.2 ) e A (x)>0 Multipliceres der på begge sider af lighedstegnet i ligningen (2) med (2.3 ) e A, fås e A y '+a e A y=b e A I (2.3) kan venstresiden omskrives, hvilket ses i ( ): (2.4 ) (e y) '=(e ) ' y+e y ' (2.5 ) (e y) '=e A' y+e y ' (2.6 ) A A A A A A (e A y) '=e A a y+e A y ' (Produktreglen) ( Differentiation af sammensat funktion) (A' = a, da A er stamfunktion til a) og da venstresiden af (2.3) er lig med højresiden af (2.6) fås (2.7 ) A (e y) '=b e A Nu er problemet med at finde en løsning det samme som i ligningen (0); med A B= b e dx - som eksisterer, da b e A ifølge forudsætningerne bliver en kontinuert funktion, fås (2.8 ) e A f (x )= b e A dx+k =B+k Formel (2.9 ) A f (x )=e (B+k ) IT løsningen Ved at følge linket kan du se, hvorledes du løser en sådan ligning med GeoGebras Casværktøj eller ved indtastning af funktionerne a og b og ved hjælp af formlerne ovenfor
8 8 Løsning af den generelle lineære differentialligning beregne A, B og forskriften for løsningen f. Løs lineær differentialligning Løsning af en Bernoulliligning En Bernoulliligning (3) er ikke en lineær differentialligning; der indgår en potens af funktionen y, hvor eksponenten n er forskellig fra (3 ) y ' +a y =b y n Løsning Løsningen foregår ved at indføre en funktion z (som også er ukendt); den defineres som (3. ) ( n) z= y z differentieres som en sammensat funktion med hensyn til x. z '= (3.2 ) dz n =( n) y ( n ) y '=( n) y( n)= n y ' dx y z' y' = n y n Nu omformes ligningen (3) ved at dividere på begge sider med y n n y ' +a y =b y (3.3 ) y ' a y b y n + = n yn y n y z' +a y n=b n hvor den sidste omskrivning fås med (3.2) (3.4 ) z' +a z=b n og denne med (3.). Ligningen optræder nu som en lineær differentialligning: Afhængig af funktionerne a og b kan løsningen findes først for (3.4) og dernæst for (3). Løsning af den logistiske differentialligning (4 ) y ' =k y (M y) Ligningen beskriver sammenhængen mellem væksthastigheden og en voksende størrelse for y<m, idet k > 0. Ofte gør man brug af modellen i biologi, hvor den beskriver en populations vækst: Hvis y er meget lille sammenlignet med M, er der tale om eksponentiel vækst. Er de to størrelser næsten lige store, er y' tæt på nul og væksten er gået i stå. Er M <
9 Løsning af den logistiske differentialligning 9 y, vil væksten være negativ. Ligeledes har økonomer brugt modellen til at beskrive væksten inden for flere områder: Som eksempler kan nævnes studier af arbejdskraft, kapital og markedet for en vare. Løsning 2 (4. ) y ' =k y (M y)=(k M ) y k y y '+( k M ) y=( k ) y 2 y '+a y=b y 2 hvor a = - k M, b = -k. Det ses, at ligningen er omskrevet til en Bernouilliligning, hvor n = 2. Funktionen z defineres som (4.2 ) z= y( n) og da n her er 2 fås ved indsætning: (4.3 ) z= y = y For z løses differentialligningen (4.4 ) z' +a z=b n hvor de aktuelle størrelser indsættes: (4.5 ) z' +( k M ) z= k z ' +(k M ) z=k Nu løses den sidste ligning som en første ordens lineær differentialligning: (4.6 ) A= k M dx=k M x (4.7 ) B= e k M x k dx=k e k M x dx= (4.8 ) g ( x)=e k M x ( k e k M x = e k M x km M km x e +c)= +c e k M x M M I (4.8) er c en vilkårlig konstant. Da g er en løsning til ligningen med z, fås løsningen f til ligningen med y som (4.9 ) f (x )= M e k M x f (x )= = kmx g(x) +c e k M x e +M c M
10 0 Løsning af den logistiske differentialligning Formel (4.0 ) f (x )= Søges den løsning hvor M e k M x e k M x +M c P=( x, y ) ligger på grafen, fås M e k M x km x e +M c y (e k M x +M c)=m e k M x kmx km x y e + y M c=m e km x km x y M c=m e y e kmx km x Me y e c= y M y = (4. ) Det vil sige, at konstanten kan bestemmes med formlen (4.2) (4.2 ) M ek M x y ek M x c= y M Eksempel 6 Løs differentialligningen: (4.3 ) y ' =0,05 y (00 y ) Løsningen findes umiddelbart ved at indsætte de oplyste konstanter i (4.0): (4.4 ) 00 e 0,05 00 x f (x )= 0,05 00 x e +00 c hvor c er en konstant svarende til den enkelte graf (integralkurve.) Hvis opgaven er at finde kurven gennem et bestemt punkt som P = (0,5 ; 20), indsættes punktets koordinater i (4.0) (eller nemmere i (4.2): 00 e0, e 0, c 00 e 0, e 0, c= e 0, , c= e e 0, , e 20 c= 00 20= (4.5 ) (4.6 ) c=0,487 og heraf følger:
11 Formel (4.7 ) f (x )= 00 e 0,05 00 x e 0,05 00 x +48,7 En tilfældig valgt integralkurve kan ses på tegningen på næste side; med linket her kan du se den samme og undersøge betydningen af konstantens værdi. Undersøg den logistiske differentialligning Løsning af differentialligninger ved separation Lad der være givet en ligning som (5), hvor højresiden, som i den generelle ligning er en kendt funktion af både x og y, men kan skrives som et produkt af to funktioner, hvor den ene er en funktion af y og den anden en funktion af x. Der gælder da: Sætning Ligningen (5 ) y ' =g ( y ) h( x) har løsningen y = f(x) som er implicit givet ved ligningen
12 2 Løsning af differentialligninger ved separation (5. ) g ( y ) dy= h( x ) dx+k Bevis Antag, at f(x) er en løsning til (5.). Så følger umiddelbart af omskrivningerne i (5.2) g ( y) dy= h (x)dx +k ( (5.2 ) dy) '=( h( x) dx )' g ( y) dy =h( x) g ( y) dx y ' =h ( x ) g( y) y ' = g ( y) h( x) at f(x) er en løsning til ligningen (5). Og omvendt: hvis f(x) er en løsning til (5), skal den også være en løsning til (5.). Eksempel 7 Løs den separable ligning (5.3): (5.3 ) Idet g ( y )= y y' = y a,x>0 x og h( x)= a x ses ifølge (5.2) y a x y dy= ax dx+c ln( y)=a ln(x )+c a c y= x e y'= (5.4 ) Mængden af løsninger er altså potensfunktioner med begyndelsesværdien b=e c = f (). Bemærk, at når c gennemløber de reelle tal, gennemløber b de positive relle tal. (5.5 ) f (x )=b x a, x > 0
13 stx A, 8. maj 20 (opgave 3) stx A, 8. maj 20 (opgave 3) I et kredsløb er I(t) strømstyrken målt i ampere en funktion af tiden t målt i sekunder, hvorom der gælder: di 0,4 +0 I =9 dt Strømstyrkens væksthastighed Det oplyses, at I = 0,3 Værdien indsættes i differentialligningen, som herefter løses: di di di di 0,4 +0 0,3=9 0,4 +3 3=9 3 0,4 =6 0,4 =5 dt dt dt dt Når I = 0,3 er væksthastigheden af strømstyrken = 5 ampere pr. sekund Forskriften for I(t) Differentialligningen løses, idet punktet (0,0) skal ligge på integralkurven: I CAS-vinduet ses, at løsningen er funktionen 25 t 9 e 9 I (t)= 25 t 0 e I ( t)=0,9 0,9 e 25 t 3
14 4 stx A, 24. maj 20 (opgave 3) stx A, 24. maj 20 (opgave 3) Sars-epidemien beskrives med differentialligningen: dn =0,00526 N (209 N ) dt hvor N er antal smittede til tidspunktet t (som måles i døgn). Væksthastigheden Hvis N = 00, findes væksthastigheden ved indsættelse i ligningen: dn =0, (209 00)=57,334 dt Væksthastigheden er 57 smittede pr. døgn i tidspunktet med 00 smittede Løsning af differentialligningen Differentialligning er en logistisk differentialligning, hvor tallet 209 er det tal, antallet af smittede vil nærme sig efterhånden, som tiden går. (Matematisk udtrykt er det grænseværdien for N(t), når t går mod uendelig.) Alle logistiske differentialligninger kan skrives som: y ' =k y ( M y) og de har alle løsningerne: y=m ek mx, e k m x+m c hvor c er en konstant. Givet at P = (x,y) ligger på grafen for den søgte løsning, kan c beregnes med formlen: c= (M e k M x ye y M k M x ). I denne opgave er M = 209, k = 0,00526 og P = (30, 03). Disse tal indsættes og hermed er løsningen: N (t )=209 e, x e, x+27 02
15 stx A, august 20 (opgave 3) stx A, august 20 (opgave 3) Udviklingen af en bestemt kræfttype beskrives med differentialligningen: dn =0,82 0,88 t N dt hvor N er antal kræftceller (målt i millioner) til tidspunkt t (målt i døgn.) Væksthastigheden for t = 0 Det oplyses, at N(0) = 266; disse tal indsættes i ligningen: dn =0,82 0, =60,7 dt I modellen er væksthastigheden efter 0 døgn 6 mio. kræftceller pr. døgn. Forskrift for N dn =0,82 0,88t N dt N dn = 0,82 0,88t dt+c ln N = N =e 0,82 0,88t +c ln (0,88) 0,82 0,88 t +c ln (0,88) 6,4 0,88x =e c 6,4 0,88 x e =e Da t = N(0) = 266 følger 0 266=e 6,4 0,88 c 266 =c 6,4 0,88 e c =590 0 som indsættes i forskriften for N: N (t )=590 e 6,4 0,88 t (Se graf på næste side) c 5
16 6 stx A, august 20 (opgave 3) Note: CAS-værktøjet i GeoGebra kan finde løsningen funktionen faktisk er den samme. y=266 e 4 e x , hvor 0.565
17 stx A, december 20 (opgave ) stx A, december 20 (opgave ) Fra et rør løber forurenet vand ned i en tønde med vand. Med C(t) betegnes koncentrationen (målt i ppm) af det forurenende stof i tønden til tidspunktet t (målt i minutter). I en model antages det, at C(t) er en løsning til differentialligningen dc =0,4 0,02 C. dt Oplyst: C(0) = 0. Bestem forskriften for C Ligningen løses med GeoGebra: C (t )= 20 e ( t ) Skitse af graf Skitsen tegnes ved indtastning af funktionsforskriften. (Se figur til højre.) Tidspunkt for koncentration = 0 ppm Tidspunktet findes ved at finde skæringspunktet S mellem grafen for C og linjen y = 0. Koncentrationen 0 ppm nås efter 34,7 minutter C'(5) På figuren aflæses C'(5) som tangenthældningen i punktet P = (5 ; C(5)). C'(5) = 0,30 Det betyder, at efter 5 minutter øges forureningen med 0,30 ppm pr minut. 7
18 8 Differential-ligninger i stxopg Differential-ligninger i stxopg 202
19 202 9
20 20 Differential-ligninger i stxopg
21
22 22 Differential-ligninger i stxopg
Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereContents. Introduktion 2
Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mere6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1
6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mere10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereKontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B
1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen
Læs mere9 Eksponential- og logaritmefunktioner
9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereOpgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015
Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses
Læs mereUNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN. Maten1atik A. Studenterel<sam.en. Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-14.
- UNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN Maten1atik A Studenterel
Læs mereMonotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:
Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2014
Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende
Læs mereBernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereLøsning MatB - januar 2013
Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs merePeter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 17. august Stamfunktionen til t 1 /2. Grænserne er indsat i stamfunktionen. a 2 +9.
Opgave 6 Arealet under grafen udregnes. b) Arealet er givet ved M = 4 0 2x x 2 + 9 dx Arealet udregnes ved at integrere funktionen. M = 25 9 t dt Der er foretaget substitution t = x 2 + 9. [ ] 25 M = Stamfunktionen
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereTekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion
1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,
Læs mereLøsningsforslag Mat B 10. februar 2012
Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net
STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereLøsningsforslag MatB Jan 2011
Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereStudentereksamen i Matematik B 2012
Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er
Læs merePeter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.
Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen
Læs mereMatematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2
Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 0 = 8 0 = 8 0 2 Opgave 2 a) Først differentierer vi løsningen: y = 10x. Dernæst indsættes løsningen y i y og vi får: y = 2 5x2 x =
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereDifferentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereDifferentialligninger nogle beviser og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Differentialligninger nogle eviser og modeller Vi skal i dette lille tillæg give elegante eviser for de fuldstændige løsninger til følgende typer af differentialligninger:
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014
Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereØvelse 10. Tobias Markeprand. 11. november 2008
Øvelse 10 Tobias Markeprand 11. november 2008 Kapitel 10 i Blanchard omhandler vækst, dvs. økonomien på det lange sigt. For at kunne foretage analyser af vækst og dets årsager må man kunne sammenligne
Læs mereGL. MATEMATIK B-NIVEAU
GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs merematx.dk Mikroøkonomi
matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................
Læs mereDifferentialligninger
Matematikprojekt om Differentialligninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 5 November 2010 Indhold I Differentialligninger........................ 3 I Generelt om
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereNøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mere