Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser

Transkript

1 Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes denne beskrivelse kan åbne for en indsigt i hvordan en nyrestensknuser fungerer Eksempel Figuren viser banekurven for vektorfunktionen æx æ5cos( t) æ3 ç = ç + ç èy èsin( t) è4 hvor t p Banekurven er en ellipse med centrum i ( 34 ) storakse a = 5 = og lilleakse b= = 4 Øvelse Vi vil nu undersge vektorfunktionen æx æacos() t æx ç = ç + ç èy èbsin() t èy hvor t p ved variabelkontrol dvs ved på skift at lade x y a og b variere a) Hold x y og b fast Lad a variere plot en vandret linje igennem ( ) x y aflæs skæringspunkterne med banekurven og aflæs afstanden mellem de to punkter Hvilken betydning har a for banekurvens udseende? b) Hold x y og a fast Lad b variere plot en lodret linje igennem ( ) x y aflæs skæringspunkterne med banekurven og aflæs afstanden mellem de to punkter Hvilken betydning har b for banekurvens udseende? c) Hold x a og b fast Lad y variere plot centrum og aflæs Hvilken betydning har y for banekurvens forlb? d) Hold y a og b fast Lad x variere plot centrum og aflæs Hvilken betydning har x for banekurvens forlb? Øvelse a) Bestem en vektorfunktion for en ellipse med centrum i (- ) storakse på 4 og lilleakse 6 b) Tegn banekurven for ellipsen c) Benyt kurvelængdeformlen til at bestemme ellipsens omkreds Øvelse 3 4 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 Kbenhavn K Tlf: info@lrudk

2 æx æacos() t æx Vis at vektorfunktionen ç = ç + ç èy èbsin() t èy svarer til ligningen ( x-x) (y-y) + = a b Brændpunkter Vi betragter ellipsen med centrum i () og storakse a samt lilleakse b (se figur) Ellipsens brændpunkter F og F er defineret som skæringspunkterne mellem ellipsens storakse og cirklen med centrum P( b) og radius a Afstanden fra koordinatsystemets begyndelsespunkt til brændpunkterne er derfor OF OF a b = = - Dvs brændpunkterne har koordinaterne F (- a - b ) og F ( a - b ) Øvelse 4 Eftervis at OF OF a b = = - Betragter vi i stedet en ellipse med centrum i C( x y ) storakse a og lilleakse b så vil brændpunkterne naturligvis have koordinaterne F( x- a - b y) og F( x+ a - b y) uuur æx svarende til at centrum er parallelforskudt med stedvektoren OC =ç èy Hvis Pxyer ( ) et tilfældigt punkt på ellipsen kaldes linjestykkerne PF og PF brændstrålerne fra P Øvelse 5 a) Bestem F og F for ellipsen i eksempel b) Tegn ellipsen og afsæt et tilfældigt punkt Pxy ( ) på banekurven c) Bestem længden af brændstrålerne fra P d) Undersg ved at variere Pxy ( ) hvad der gælder for afstanden PF + PF Øvelse 6 Vi ser igen på en ellipse med centrum i C( x y ) storakse a og lilleakse b som jo har vektorfunktionen r æacos() t æx st () = ç + ç bsin() t y hvor t p è è 4 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 Kbenhavn K Tlf: info@lrudk

3 Vis at PF + PF = a 3 Excentricitet I forbindelse med ellipser optræder begrebet excentricitet En ellipses excentricitet betegnes e og er defineret ved FF e= hvor F og Øvelse 7 Vis at a F er ellipsens brændpunkter og a er ellipsens halve storakse e = - b a hvor a henholdsvis b er ellipsens halve lilleakse henholdsvis halve storakse Øvelse 8 Undersg excentricitetens betydning for ellipsens udseende idet excentriciteten defineres som en funktion af den halve lilleakse dvs eb ( ) = - b a og a varieres i intervallet b a< 4 Brændstrålernes vinkel med tangenten og anvendelsen heraf i en nyrestensknuser Øvelse 9 Vi ser igen på ellipsen fra eksempel a) Tegn ellipsen og afsæt et tilfældigt punkt Pxy ( ) på banekurven b) Tegn brændstrålerne fra P og tegn tangenten i punktet P c) Bestem ved hjælp af dit geometriprogram vinklen mellem hver af brændstrålerne fra P og tangenten i P (se figur) 4 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 Kbenhavn K Tlf: info@lrudk

4 d) Undersg hvad der gælder om de to vinkler når Pxy ( ) varieres e) Hvad gælder der om en brændstråle der starter i et af brændpunkterne og reflekteres i tangenten? Den egenskab vi opdagede eksperimentelt i velse 9 vil vi nu bevise Egenskaben i velse 9e) udnyttes i de såkaldte nyrestensknusere idet en patient placeres så den nyresten der skal pulveriseres befinder sig i den ene brændpunkt af en ellipsoide (en omdrejningsellipse) mens der i det andet brændpunkt befinder sig en lydkilde der kan udsende ultralyd Når lydblgerne herfra rammer overfladen reflekteres de og samles i det andet brændpunkt Derved opstår en hj koncentration af lydenergi som vil være i stand til at delægge nyrestenen uden noget operativt indgreb Øvelse Vi betragter ellipsen med centrum i () og storakse a samt lilleakse b Vis at ellipsens brændpunkter F og F har koordinaterne F (- e a) og F ( e a) FF (Vink: Udnyt fx formlen e = som kan omskrives til: FF = e a og udnyt ellipsens symmetriegenskab) a Øvelse uur æx æacos() t Betragt et tilfældigt punkt P på ellipsen med stedvektor OP = ç = ç Stedvektoren som funktion èy èbsin() t r af t betegnes rt () r r æ-asin() t a) er retningsvektor for tangenten Vis at = ç è bcos() t b) Kald vinklen mellem brændstrålen FP og tangenten for u og vinklen mellem brændstrålen FP og tangenten for v Bemærk dette er vinkler mellem linjestykker Argumenter ud fra tegningen ovenfor eller ud fra din egen tegning for at vinkel u svarer til vinklen mellem vektorerne PF og og at vinkel v svarer til vinklen mellem vektorerne FP og uuur æ-ea-acos() t uuur æacos() t -ea c) Vis at disse vektorer har koordinaterne: PF =ç og FP =ç è -bsin() t è bsin() t 4 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 Kbenhavn K Tlf: info@lrudk

5 Vi nsker at vise at vinkel u er lig med vinkel v Dette gr vi ved at vise at cos( u) = cos( v) Og i den sidste ligning kan vi udnytte vores viden om sammenhæng mellem skalarprodukt og vinkel: PF F P cos() u= cos(v) = PF F P Vi udnytter nu formlen e a a b = - som vi får fra velse 7 samt formlen ( ) ( t ) gennemfre flgende udregninger: (de farvede udtryk svarer til hinanden argumenter for hvert trin i omskrivningen) uuur PF = -ea- acos( t) + -bsin( t) ( ) ( ) ( ) ( cos() ) cos() ( sin() t ) é ù é ù = e a + a t + ea a t + b ë û ë û ( ) ( a -b ) a ( cos() t ) ea acos() t b -( cos() t ) = ( ) ( ) = a + a cos( t) - b cos( t) + ea acos( t) ( a -b ) ( ) = a + cos( t) + ea aco( s t) + e a ( ) ( a e a ( cos() t ) ) = a = + Konklusion: uuur PF = a+ e a cos() t cos() t + ea acos() t ( ) Øvelse Vis efter samme opskrift flgende: uuur uuur a) ( FP ) = ( a- e a ( cos() t ) ) F P = a- e a cos() t b) PF rt () = ea sin() t ( a+ ea ( cos() t ) ) c) F P ea sin() t a- ea cos() t = ( ( ) ) hvoraf: ( ) cos(t) + sin( ) = til at Øvelse 3 Indsæt nu de fundne udtryk i formlerne for cos( u) og cos( v ) og konkluder at cos( u) = cos( v) hvoraf vi kan slutte at u= v: Brændstrålernes vinkel med tangenten er lige store Derfor vil et signal udsendt fra det ene brændpunkt og reflekteret i overfladen af elipsoiden samme ned i det andet brændpunkt 4 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 Kbenhavn K Tlf: info@lrudk