VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

Transkript

1 VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium

2 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af Avedøre-værkets 4 bygninger, den pyramideformede kedelbygning som ses bagerst til venstre på billedet på forsiden. Ved hjælp af matematiske vektorer udregninger, kan vi få de forskellige mål til bygningen. Via Python kan vi programmere og visualisere bygningen i 3D. I opgave oplægget får vi følgende informationer: På billedet ovenover ser vi den pyramideformede kedelbygning. Bygningen er en pyramidestub med kvadratisk grundflade, hvis kantlængde Pyramidestubbens 4 sider danner samme vinkel med grundplanen. Pyramidestubben er placeret i et 3-dimensionelt koordinatsystem med grundfladen i xy-planen, hvor hjørnepunkterne og. På pyramidestubbens øverste skrå flade er punkt punkt. parallel med stykket AB. Den modsatte kant er Punkterne, ), er beliggende i planen. De to udluftningsrør har begge diameteren.

3 2 Vektor i rummet OPGAVER - MATEMATIK A) BESTEM KOORDINATERNE TIL PUNKT B I GRUNDFLADEN. RESULTAT: Ud fra det koordinatsystem værket ligger, kan vi finde punktet B. B) OPSTIL EN PARAMETERFREMSTILLING FOR DEN LINJE, DER GÅR GENNEM B OG P. Koordinaterne til punktet P, er opgivet som (20,20,80). UDREGNING: For at finde parameterfremstillingen skal vi have to punkter, og kan derefter sætte det ind i vores parameterfremstilling RESULTAT: Vi har vores to punkter B, og P og kan nu bare sætte dem ind i ligningen. B: (40,40,0) P: (20,20,80)

4 3 Vektor i rummet C) BESTEM KOORDINATERNE TIL PUNKT D. I opgaven får vi opgivet punkt D til at være: (x D,y D,38) UDREGNING: Da vi i den tidligere opgave fandt parameterfremstilling for den linje som D også ligger, kan vi indsætte vores opgivne koordinat z, og derfra beregne de to andre. Herfra finder vi t. Vi kan nu finde det manglende x, og y. RESULTAT D) OPSTIL EN LIGNING FOR PLANEN Α. UDREGNING Vi skal bruge planens ligning på normalform, for at finde ligningen. hvor d er:

5 4 Vektor i rummet For at få opstille den på normal form, skal vi finde normalvektoren. Det finder vi ved at beregne krydsproduktet mellem to vektorer. Vi bruger vores tidligere fundne vektor, og. Herefter finder vi krydsproduktet: Herved har vi fundet vores normalvektor: RESULTAT Efter at have fundet normalvektoren kan vi indsætte de fundne data i vores ligning Vi finder nu d, ved at indsætte et punkt på planen Herved bliver ligningen: E) BEREGN VINKLEN MELLEM EN AF PYRAMIDESTUBBENS SKRÅ SIDER OG GRUNDPLANEN, XY. UDREGNING Vi har valgt at bruge formlen til at finde vinklen mellem en linje og en plan, da det gerne skulle give samme resultat. Hertil bruger vi formlen: Normalvektoren har vi tidligere fundet: Og som retningsvektor bruger vi

6 5 Vektor i rummet RESULTAT Vi har nu alle de værdi vi skal bruge og kan udregne vinklen: F) OPSTIL EN LIGNING FOR PLANEN Π UDREGNING Vi burger samme fremgangsmåde som i opgave. d, her skal vi dog først finde punktet G. G=(x G,28,25), så vi mangler kun x-punktet, som vi finder ved at sætte ind i vores tidligere fundne formel. Vi beregner nu de to vektorer: Vi finder krydsproduktet Som det sidste udleder vi d: RESULTAT Da vi nu har alle værdierne, er det bare at sætte ind i ligningen:

7 6 Vektor i rummet G) BEREGNVINKLEN MELLEM TO PLANER UDREGNING Vi har allerede tidligere regnet de to normalvektorer for de to planer vi skal bruge, så det er bare at sætte dem ind i formlen: Ligningen lyder: RESULTAT H) OPSTIL EN PARAMETERFREMSTILLING FOR SKÆRINGSLINIEN MELLEM DE TO PLANER UDREGNING For at udregne parameterfremstillingen for skæringslinjen mellem to planer, bruger vi formlen: Vores to planer hedder: Herefter indsætter vi værdierne i formlen.

8 7 Vektor i rummet RESULTAT Nu er der kun tilbage at forkorte: Hvis vi sammenligner resultatet med figuren, hænger det meget godt sammen med at y-aksen er konstant, og skæringslinjen ikke bevæger sig i y-aksen. I) BEREGN AREALET AF DEN DEL AF PLANEN, DER AFGRÆNSES AF PUNKTERNE F, G OG H UDREGNING Til at beregne arealet benytter vi formlen: Vi dividere med 2, da det er arealet af en trekant vi skal finde, som er halvdelen af den firkant vi ellers beregner. RESULTAT Da vi allerede har fundet normalvektoren i en tidligere opgave, kan vi bare indsætte det.

9 8 Vektor i rummet J) BEREGN LÆNGDEN AF STORAKSEN TIL DEN ELLIPSE, DER UDGØR EN UDSKÆRING TIL ET AF RØRENE I TAGET. UDREGNING Til udregning af den storaksen bruger vi formlen: Inden vi kan bruge den formel mangler vi en retningsvektor og en normalvektor. For at finde disse skal vi finde de manglende koordinater til E, og koordinaterne til det modstående punkt som vi vil kalde Q. Dette gør vi ved første at opstille en parameterfremstilling til linjen der går gennem C og P: Da vi allerede kender z-koordinatet kan vi beregne t, og derfra x og y koordinatet: Derved har vi fundet vores retningsvektor, nu skal vi bare gøre det samme for punktet Q for at kunne beregne vores normalvektor: Vi går ud fra at punktet Q deler samme z-koordinat som punktet D:

10 9 Vektor i rummet Vi har nå to retningsvektorer så vi kan finde vores normalvektor: Selvom vi gik ud fra D og Q havde samme z-koordinat, virker resultatet troværdigt da de også ende med af få samme x-koordinat, som det også på figuren ser ud som om de har RESULTAT

11 10 Vektor i rummet OPGAVER PROGRAMMERING K) TEGN/PROGRAMMER/VISUALISER VHA VPYTHON AVEDØRE VÆRKET. L) TILFØJ EN KUGLE PÅ SIDEN ELLER TOPPEN AF VÆRKET. KUGLEN SKAL GÅ IGENNEM VÆGGEN/TAGET. α

12 11 Vektor i rummet M) BEREGN EN LIGNING FOR SNITFLADEN MELLEM KUGLE OG FLADEN. UDREGNING: Kuglen har radius 2,5 og har centrum i punkt C=(20, 30, 32). Kuglen kan dermed skrives ved ligningen: Kuglen skæres af planen, α, som har følgende ligningen på normalform: Vi skal derfor finde normalvektoren, det gør vi ved at finde krydsproduktet mellem og Vi kan nu finde krydsproduktet: Vi kan nu finde d ligesom i opgave D. Vi vælger punktet for B (40,40,0) Vi kan nu indsætte værdierne i ligningen for planen. Parameterfremstillingen bliver: Radius er bestemt som 2,5 m og vi kan nu finde arealet.

13 12 Vektor i rummet N) LAV EN BEVÆGELSE AF FX EN BOLD INDE I VÆRKET. Da vi ikke nåede at lave en zoom-funktion, har vi lavet en bevægelse uden på værket.

14 13 Vektor i rummet O) SKRIV USER STORIES SOM BESKRIVER DE KRAV OG FORVENTNINGER SOM DU/BRUGEREN HAR TIL PROGRAMMET. Vores mål var at vores model skulle ligne den virkelige bygning. Dette synes vi selv er blevet opfyldt, da vi har lavet en figur på baggrund af virkelighedens mål. P) DOKUMENTER DIT PROGRAM. From visual import * fortæller Python at det skal bruge visuelle/grafiske moduler. Stjernen fortæller at det skal hente alt fra modulet. Scene funktionen er det definere og skaber rammen for 3D vinduet. Som standart har vi sat vinduet til at være 720x480, men vi har også valgt at få vinduet i fullscreen. Man kan slå funktionen til og fra ved at skifte mellem 0 og 1.

15 14 Vektor i rummet convex gør det muligt at tegne figurer inden for de punkter (positioner) man har angivet. Normalt når man arbejder med 3D bruger man koordinaterne x, y og z, men Python læser det som y, z og x. Det er derfor vigtigt at man husker at vende punkterne, ellers får man en forkert figur. label er tekst som vises i 3D vinduet.

16 15 Vektor i rummet