Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf Karsten Juul

Transkript

1 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul

2 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse = vandret akse y-akse = lodret akse Figur 1 Pil pä hver akse: tallene bliver stårre i pilens retning Det er altsä en fejl at sçtte pil i den anden ende 1 Koordinater for punkt Det råde punkt pä Figur 1 har koordinatsçttet ( 4, 7) 4 er -koordinaten fordi 4 er tallet får kommaet 7 er y-koordinaten fordi 7 er tallet efter kommaet At punktets -koordinat er 4, betyder: NÄr vi fra punktet gär lodret ned (eller op) til -aksen, sä kommer vi til tallet 4 pä -aksen At punktets y-koordinat er 7, betyder: NÄr vi fra punktet gär vandret ind pä y-aksen, sä kommer vi til tallet 7 pä y-aksen 13 Funktion Graf pä Figur viser areal som funktion af lçngde Graf pä Figur 3 viser lçngde som funktion af areal Det er tallet pä y-aksen der er funktion af tallet pä -aksen Figur Figur 3 14 AflÄse punkt på graf Figur 4 viser areal som funktion af lçngde Figur 4 Opgave: Bestem areal när lçngden er 8 Dvs: Bestem y när er 8 Nspire: Vi afsçtter punkt pä graf, vi retter punktets -koordinat til 8, vi ser at punkts y-koordinat bliver 6 Dvs: Areal er 6 när lçngde er 8 Figur 5 viser håjde i cm som funktion af vçgt i gram Figur 5 Opgave: Bestem vçgt när håjden er 4 cm Dvs: Bestem när y er 4 Nspire: Vi afsçtter punkt pä graf, vi retter punktets y-koordinat til 4, vi ser at punktets -koordinat bliver 8,65 Dvs: VÇgten er 8,65 gram när håjden er 4 cm Dette er IKKE en brugsanvisning til Nspire Jeg forudsçtter at du pä anden mäde har fäet at vide hvordan man bruger Nspire Jeg har skrevet råde tal pä akserne for at huske dig pä at det er her tallene stär I dine besvarelser er det nok at koordinatsçttet stär ved punktet Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

3 15 Ikke alle grafer er graf for en funktion Figur 6 Figur 7 Figur 8 Figur 6 og Figur 8 viser samme oplysninger om temperatur og antal minutter, MEN: Grafen pä Figur 6 er IKKE graf for en funktion Se hvorfor i 16 Grafen pä Figur 8 er graf for en funktion 16 Hvordan ser vi om en graf er graf for en funktion? PÄ Figur 6 er antal minutter y ikke en funktion af temperaturen da der er en -vçrdi som har to y-vçrdier Feks (se Figur 7): när er 5, kan y bäde vçre 1,9 og 10,4 PÄ Figur 8 er temperaturen en funktion af antal minutter, da ingen -vçrdi har to y-vçrdier Der mä gerne vçre flere -vçrdier der har samme y 17 Forskrift for funktion For en bestemt type figurer gçlder: håjden y kan udregnes ved at dividere 7 med bredden 7 Denne regel kan vi skrive sädan: y Ligningens håjre side er forskriften for håjden y som funktion af bredden 18 FunktionsvÄrdi I forskriften fra 17 indsçtter vi 5 for og fär: NÄr er 5, er y lig 14,4 Vi siger: FunktionsvÇrdien af 5 er 14,4 Vigtig sprogbrug! Det hedder IKKE funktionen af 19 Andre betegnelser end og y Vi behåver ikke bruge og y som betegnelser for -vçrdi og y-vçrdi I eksemplet fra 17 kan vi feks kalde -vçrdien for b og y-vçrdien for h SÄ gçlder h 7 b Vi kan ogsä skrive häjde 7 bredde Figur Udregne punkt på graf (a) Som eksempel vil vi bruge forskriften fra afsnit 17 Denne linje er en kopi fra Nspire-skÇrmen SÄdan kan det se ud hvis du skriver din besvarelse i Nspire sä (6, 1) er et punkt pä grafen for håjden y som funktion af bredden (b) Nspire: Vi afsçtter punkt i koordinatsystem Vi fremkalder punktets koordinater Vi retter punktets koordinater til 6 og 1 (c) PÄ Figur 9 har vi afsat endnu et punkt som ligger pä grafen PÄ Figur 10 har vi afsat flere punkter som ligger pä grafen Derefter taster vi forskriften og fär Nspire til at tegne graf ud fra denne Vi ser at grafen gär gennem de punkter vi har udregnet Tegne graf uden hjçlpemidler: Vi afsçtter punkterne pä papir og tegner blåd kurve gennem dem Figur 10 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf 014 Karsten Juul

4 111 DefinitionsmÄngde DefinitionsmÇngden for en funktion er de tal vi mä indsçtte for Figur 11 viser grafen for funktionen y =,71,15, 7 < 4 DefinitionsmÇngden er intervallet 7 < 4 Dvs definitionsmçngden bestär af tallene mellem 7 og 4 samt tallet 4 Symbolet 7 < 4 lçses: minus syv mindre end mindre end eller lig 4 Figur 1 viser grafen for funktionen y =,71,15, DefinitionsmÇngden er intervallet Dvs definitionsmçngden bestär af tallet og tallene stårre end Intervallet kan ogsä skrives < Symbolet lçses: uendelig Figur 11 Figur 1 Intervallet < < bestär af alle tal Bestemme y eller i tekstopgave 1 Bestem y i tekstopgave For nogle dyr gçlder y = 0,31,, hvor y er vçgten, mält i gram, og er alderen, mält i uger Hvad er vçgten af et dyr hvis alder er 13 uger? Da = alder og y = vägt kan spårgsmälet Bestem vägt när alder er 13 oversçttes til Bestem y när er 13 Da y = 0,31, gçlder: Et dyr hvis alder er 13 uger, har vçgten 3, gram Det er ikke korrekt matematiksprog at skrive eller eller Skriv Denne linje viser hvordan det kan det se ud hvis du skriver din besvarelse i Nspire VIGTIGT: UndgÄ de fejl der er vist i rammen ovenfor Kontrol ved elektronisk afläsning på graf: Bestem y i tekstopgave Vi taster forskrift 0,31, og fär Nspire til at tegne graf ud fra denne Vi afsçtter et punkt pä graf Vi retter -koordinat til 13 Vi ser at y-koordinat bliver 3,098 Vi ser at vores elektroniske aflçsning pä graf giver samme resultat som vores udregning 3 Kontrol ved tabel: Bestem y i tekstopgave Vi taster forskriften 0,31, og fär Nspire til at lave tabel ud fra denne Vi ser at när er 13, er y lig 3,098 Vi ser at tabel giver samme resultat som vores udregning Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

5 4 Bestem i tekstopgave For nogle dyr gçlder y = 0,31, hvor y er vçgten, mält i gram, og er alderen, mält i uger Hvilken alder har et dyr hvis vçgt er 7,5 gram? Da = alder og y = vägt kan spårgsmälet Bestem alder när vägt er 7,5 oversçttes til Bestem när y er 7,5 Da y = 0,31, gçlder: NÄr y = 7,5 er 7,5 = 0,31, Nspire låser ligningen 7,5 = 0,31, mht og fär = 17,6549 Nspire: Et dyr hvis vçgt er 6,7 gram, har alderen 17,7 uger 5 Kontrol ved elektronisk afläsning på graf: Bestem i tekstopgave Vi taster forskriften 0,31, og fär Nspire til at tegne grafen ud fra denne Vi afsçtter et punkt pä grafen Vi retter y-koordinaten til 7,5 Vi ser at -koordinaten bliver 17,6549 Vi ser at vores elektroniske aflçsning pä graf giver samme resultat som vores udregning Figuren viser ikke om der er låsninger uden for grafvinduet 6 Kontrol ved tabel: Bestem i tekstopgave Vi taster forskriften 0,31, og fär Nspire til at lave tabel ud fra denne Vi sçtter -trin til 0,1 Vi ser at när er 17,7, er y tçttest pä 7,5 Vi ser at tabel giver samme resultat som vores udregning En tabel kan ikke vise at der ikke er flere låsninger 7 Bestemme y eller i opgave med svär tekst Det er ikke godt nok hvis du pråver at indsçtte tal for indtil resultatet er 7,5 Du skal regne dig frem til resultatet Det kan du gåre ved at låse ligningen med solve Hvis det er en simpel ligning, kan du låse den ved at omskrive den ved hjçlp af ligningsregler Med almindeligt matematiksprog skal vi skrive hvad Nspire går i solve-linjen, fordi solvelinjen ikke er almindeligt matematiksprog I 1 skal vi ikke skrive noget ekstra fordi der her ikke er forskel pä Nspire-sprog og almindeligt matematiksprog For nogle pakker med brikker gçlder y = 1,1 + 4,5 0,6 hvor y er den mindste diameter (mält i cm) af en brik i pakken, og er den gennemsnitlige vçgt (mält i g) af brikkerne i pakken Bestem den gennemsnitlige vçgt af brikkerne i en pakke hvor den mindste diameter af en brik er 8cm Bestem den mindste diameter af en brik i en pakke hvor den gennemsnitlige vçgt af brikkerne er 1,4g Da = gennemsnitlige vägt og y = mindste diameter fär vi: SpÅrgsmÄlet: Bestem gennemsnitlig vägt när mindste diameter er 8 oversçtter vi til: Bestem när y er 8 SpÅrgsmÄlet: Bestem mindste diameter när gennemsnitlig vägt er 1,4 oversçtter vi til: Bestem y när er 1,4 NÄr vi har oversat, bruger vi metoden fra 1-3 eller metoden fra 4-6 Hvis beskrivelsen af eller y er lang, feks gennemsnitlig vägt af brikkerne i pakken, sä tror nogle elever at det er en svçr opgave og springer den over Du kan låse sädan en opgave hvis du bruger tilstrçkkelig tid pä at gåre dig klart at den lange formulering er det tal der skal indsçttes for eller y Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

6 8 Bestemme når ikke alle punkter på grafen svarer til noget i virkeligheden Antal fugle beskrives ved modellen y = 161, hvor y er antal fugle, og er antal Är efter 014 HvornÄr er der 35 fugle? 161, = 35 har låsningen = 4,3 Forkert svar: I 018 (efter 4 Är) Är er antal ikke helt 35, sä det mä vçre lidt inde i 019 at antal er 35 Dette er forkert, da antal fugle falder i begyndelsen af Äret Model beskriver: hvordan antallet Çndres fra Är til Är Model beskriver IKKE: hvordan antallet Çndres i låbet af Äret M3: NÄr en model er en graf, er det ofte kun nogle af grafpunkterne der svarer til noget i virkeligheden For hvert Ärstal har man Çt tal der angiver resultatet af en optçlling Det er kun de store prikker pä den stiplede graf der svarer til noget i virkeligheden Vi gär ud fra at spårgsmälet betyder SÄ er det korrekte svar: HvornÄr er der 35 fugle? HvornÄr er der ca 35 fugle? I 018 er der ca 35 fugle Hvis spårgsmälet er HvornÄr overstiger antal fugle 35? sä er det korrekte svar: I 019 overstiger antal fugle OplÄg 3 StÉrstevÄrdi og mindstevärdi En funktion har forskriften y = ) NÄr =1 er y=18 ) NÄr =3 er y stårre end när = ) NÄr =8 er y mindre end när =3 4) StÅrst mulige y er 50 3 Bestemme så y er stérst Et dyr behandles med et stof som det indtager gennem fåden Koncentrationen af stoffet i blodet kan beskrives ved y = 8(0,98 0,15 ), 0 hvor y er koncentration af stoffet i blodet (mält i nanogram pr liter) pä tidspunktet timer efter indtagelse LÇg mçrke til at der ikke stär at du skal Bestem tidspunktet hvor koncentrationen er stårst mulig finde den stårste vçrdi Der stär at du skal finde det tal som er när y er stårst mulig Afsnit 3 fortsçtter pä nçste side! Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

7 Vi fär Nspire til at bestemme i intervallet 0 sä 8(0,98 0,15 ) er stårst mulig og fär =,4007 Nspire: Koncentration er stårst pä tidspunktet,4 timer efter indtagelse 33 Bestemme den stérste värdi af y fortsçttelse af 3 Bestem hvor stor koncentrationen er när den er stårst NÄr koncentrationen er stårst, er den 6 nanogram pr liter 34 Kontrol ved elektronisk underségelse af graf: Bestem stérstevärdi Med almindeligt matematiksprog skal vi skrive hvad Nspire går i fma-linjen, fordi fmalinjen ikke er almindeligt matematiksprog I 33 skal vi ikke skrive noget ekstra fordi der her ikke er forskel pä Nspire-sprog og almindeligt matematiksprog Husk at fma ikke finder den stårste vçrdi fma finder det tal som er när y er stårst mulig SÄdan kan det se ud hvis du skriver din besvarelse i Nspire Denne linje er korrekt matematiksprog UndgÄ fejlene i rammen i 1 Hvis du skriver i händen, skal du ikke skrive de parenteser som Nspire har sat om 0,98 og 0,15 Vi taster forskriften 8(0,98 0,15 ), og ud fra denne fär vi Nspire til at tegne grafen i intervallet 0 PÄ grafen ser vi at det er for en -vçrdi mellem 0 og 10 at y er stårst Vi fär Nspire til at undersåge grafen med hensyn til maksimum for -vçrdier mellem 0 og 10 Vi ser at y er stårst mulig när =,4007 og at stårstevçrdien er y = 6,38 Vi ser at vores elektroniske undersågelse af graf giver samme resultater som vores udregninger Vi skal skrive hvilke oplysninger vi giver Nspire, og hvilke handlinger vi fär Nspire til at udfåre Vi skal IKKE skrive hvordan vi taster og klikker for at fä Nspire til at udfåre disse handlinger PÄ grafen kan vi ikke se om der er en stårre y-vçrdi uden for graf-vinduet Dette er kun et matematisk problem, da vi ved at koncentrationen ikke begynder at stige igen 35 Kontrol ved tabel: Bestem stérstevärdi Vi taster forskriften 8(0,98 0,15 ) og fär Nspire til at lave en tabel med -trin=5 Se Tabel 1 I y-såjlen stiger tallene indtil =5 og falder derefter Vi laver ny tabel med -trin=1 Se Tabel I y-såjlen stiger tallene indtil = og falder derefter Vi laver ny tabel med -trin=0,1 Se Tabel 3 I y-såjlen stiger tallene indtil =,4 og falder derefter Vi laver ny tabel med -trin=0,01 Se Tabel 4 Vi ser at i y-såjlen stiger tallene indtil =,4 og falder derefer Det ser ud til at y er stårst när =,4 og at det stårst mulige y er 6,38 Tabel 1 Tabel Tabel 3 Tabel 4 Det er samme resultat som vi fik ved udregningen En tabel kan ikke vise at funktionen ikke har en endnu stårre y-vçrdi 36 MindstevÄrdi Opgaver med mindstevçrdi låser vi som opgaver med stårstevçrdi, bortset fra at vi bruger fmin i stedet for fma, og bortset fra at vi fär Nspire til at undersåge grafen med hensyn til minimum i stedet for maksimum Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

8 41 OplÄg 4 HvornÅr er de lige store? y = 7 0,4 när y er grånt areal, og y = 4 0,1 när y er rådt areal 1) NÄr = er grånt areal stårre end rådt areal ) NÄr = 6 er grånt areal stadig stårst 3) NÄr = 13 er rådt areal stårst 4) NÄr = 10 er grånt areal lig rådt areal 4 HvornÅr er de lige store? For to planter A og B gçlder: A: y = ,98 B: y = hvor y er håjde i cm, og er antal dågn efter flytning HvornÄr er de to planter lige håje? håjde af A = håjde af B ,98 = Nspire låser ligningen ,98 = mht for 0 og fär = 39, De to planter er lige håje 40 dågn efter flytning 43 Kontrol ved tabel: HvornÅr er de lige store? Vi taster forskrifterne for A og B og fär Nspire til at lave tabeller ud fra disse I tabellen ser vi at for lig 40 er A og B ca lige store Dette er lig resultatet af udregningen i 4 En tabel kan ikke vise at der ikke er flere låsninger Her stär hvad Nspire går i solve-linjen Det er ikke nok at skrive solve-linjen da denne ikke er almindeligt matematiksprog 44 Kontrol ved elektronisk underségelse af figur: HvornÅr er de lige store? For hvert tal pä -aksen er der to y-koordinater (plantehåjder), Ñn pä hver graf Vi skal finde tallet pä -aksen hvor de to y-koordinater (plantehåjder) er lige store Det er de i grafernes skçringspunkt Vi taster forskrifterne y = ,98 og og ud fra disse fär vi Nspire til at tegne de to grafer Vi fär Nspire til at finde skçringspunktet mellem de to grafer, og ser at skçrinspunktets -koordinat er 39, Vi ser at vores elektroniske undersågelse af figur giver samme resultat som vores udregning Figuren viser ikke at der ikke er flere skçringspunkter Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

9 51 OplÄg Figurerne viser grafen for funktionen med forskriften 4 y 13 5 Udregne Ändring af y eller NÄr vi Çndrer fra 3 til 4, sä Çndres y fra 5 til 7, dvs y bliver enheder stårre NÄr vi Çndrer fra 6 til 8, sä Çndres y fra 9 til 10, dvs, y bliver 1 enhed stårre 5 Udregne Ändring af y Nspire skriver input med blät og output VÇskehÅjden i en karaffel stiger sädan at y = 9 0,6 med grånt Hvis du skriver i händen, + 15 kan du skrive det hele med samme hvor y er håjden i mm, og er minutter efter kl 800 farve, feks med almindelig blyant Hvor meget stårre bliver håjden i låbet af de fårste minutter efter kl 800? Vi udregner håjden 0 minutter efter 800: Vi udregner håjden minutter efter 800: Vi udregner hvor meget stårre håjden er blevet: De fårste minutter efter 800 bliver håjden 14 mm stårre Vi aflçser elektronisk y-koordinaterne til de punkter pä grafen som har -koordinater 0 og Vi fär de samme håjder som vi fik ved udregning 53 Udregne Ändring af VÇskehÅjden i en karaffel stiger sädan at y = 9 0, hvor y er håjden i mm, og er minutter efter kl 800 Hvor lang tid tager det at Çndre håjden fra 5 mm til 35 mm? Vi bestemmer tidspunktet hvor håjden y er 5: 5 = 9 0, Nspire låser ligningen 5 = 9 0, mht og fär = 1,19196 Nspire: Vi bestemmer tidspunktet hvor håjden y er 35: 35 = 9 0, Nspire låser ligningen 35 = 9 0, mht og fär = 3,7844 Nspire: Vi udregner hvor lang tid der er gäet: Jeg har skrevet råde tal pä akserne for at huske dig pä at det er her tallene stär I dine besvarelser er det nok at koordinatsçttene stär ved punkterne Vi taster forskriften for håjden og fär Nspire til at lave en tabel ud fra denne Vi ser at när Çndres fra 0 til, sä Çndres y fra 15 til 8,6414 Det er samme håjder som vi fik ved udregningen Det tager,6minutter at Çndre håjden fra 5 mm til 35 mm Vi aflçser elektronisk -koordinaterne til de punkter pä grafen som har y-koordinater 5 og 35 Vi fär de samme tidspunkter som vi fik ved udregning Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

10 61 RÄkkefÉlge af udregninger 6 Udregn gange fér plus eller minus 6 Find forskrift Rektanglets areal y er en funktion af cirklens diameter Det er oplyst at vi kan udregne areal sädan: 1) TrÇk diameter fra 0 ) Gang resultat med 4 Skriv forskrift for funktionen Rigtigt svar: (0 )4 Det i parentesen skal udregnes fårst (när vi har indsat et tal for ) Forkert svar: 0 4 Her stär at vi skal gange får vi trçkker fra NÄr et tal stär mellem gange og minus (eller plus), sä er det gange der skal udregnes fårst (när vi har indsat et tal for ) 63 Kontrol af forskrift: NÄr diameter er 5, udregner vi areal pä to mäder Udregning ved hjçlp af sprogligt formuleret regel: 1) TrÇk 5 fra 0: resultat er 15 ) Gang resultat med 4: resultat er 60 Udregning ved hjçlp af forskrift: udregnet af Nspire Begge mäder giver resultat 60 Da de giver samme resultat, er det sandsynligt at forskriften er rigtig Vi kan evt pråve efter med andre tal end 5 for at blive endnu mere sikre 64 Eksempler Överste rektangel: HÅjden er og bredden er +3 areal = (+3) 3 Nederste rektangel: Venstre del har areal og håjre del har areal 3 areal = Udregn potens fér gange En funktion har fålgende forskrift: y = 0,5 3 NÄr = er y = 0,5 3 = 0,58 = 4 Vi mä IKKE starte med at gange 0,5 med NÄr der stär gange foran potens, gçlder: Vi skal oplåfte til potens får vi ganger Hvis meningen er at vi skal gange fårst, sä skal vi skrive y = (0,5) 3 66 Eksempler Venstre figur: Hvert af kvadraterne har areal og der er tre af dem areal = 3 HÅjre figur: Kvadratets side er 3 og arealet er siden i anden areal = (3) Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

11 67 ReducÇr 68 Regler om at gange 4 Arealet y som funktion af mä vçre bredden 4 gange håjden 3 Vi vil reducere forskriften 3 y = ( 4)3 Vi ganger tal ind i parentes ved at gange hvert led Leddene er og 4 Det er kun + og der adskiller led, sä og er ikke led = 3 43 NÄr vi ganger flere tal, er resultatet det samme uanset hvilken rçkkefålge vi ganger tallene i I 3 starter vi med at gange og 3 = Regler om fortegn og regler om at samle led 610 Eksempel Bredden y pä figuren er en funktion af bredden Vi ser at vi fär y när vi fra 7 trçkker tallet 5 Vi vil reducere forskriften 7 y = 7 (5 ) y 5 = 7 (+5 ) Da der ikke stär minus foran 5, er fortegnet plus = 7 5+ Vi fjerner parentesen og minusset foran parentesen Samtidigt skal vi Çndre fortegnene i parentesen Dette er reglen for at hçve en minusparentes = + 7 og 5 er led af samme type (de er begge tal uden ) Vi kan derfor regne dem sammen til Üt led 611 Eksempel Bredden y pä figuren er en funktion af bredden Vi ser at vi fär y ved til at lçgge det vi fär ved fra 6 at trçkke Vi vil reducere forskriften y 6 y = + (6 ) = + (+6 ) Da der ikke stär minus foran 6, er fortegnet plus = +6 Vi fjerner parentesen og plusset foran parentesen uden at Çndre fortegnene i parentesen Dette er reglen for at hçve en plusparentes = + 6 og er led af samme type (de er begge et antal 'er) Vi kan derfor regne dem sammen til Üt led 61 Eksempel T = 1 4( + a) T = 1 ( 8 + 4a) FÅrst ganger vi ind i parentesen uden at hçve parentesen T = a Derefter hçver vi parentesen T = 9 4a 613 Angiv som funktion af Opgave: Svar: Vi laver rektangler hvor bredden er 8 Bestem en forskrift for arealet som funktion af håjden håjden er -vçrdien da der stär som funktion af håjden arealet er y-vçrdien da der stär arealet som funktion af Arealet y kan vi finde ved at gange bredden 8 med håjden, sä y 8 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

12 614 Bestem rumfang som funktion af Opgave: Vi laver en kasse uden läg af tre kvadratiske plader med siden Kassens fire sider fär vi ved at skçre to af pladerne midt over Bestem kassens rumfang R som funktion af Svar: R = grundflade håjde R = 1 R = Bestem areal som funktion af Opgave: Pladen pä figuren bestär af to kvadrater Bestem pladens areal som funktion af skulderbredden Svar: Lille kvadrats side er 5 Lille kvadrats areal er ( 5 ) Store kvadrats areal er 5 5 Hele figurens areal A er A A Bestem omkreds eller areal som funktion af Opgave: Bestem klodsens overflade A som funktion af Svar: FÅrst udregner vi areal af hver sideflade: Den skrä forside er et rektangel hvis håjde h er hypotenuse i en retvinklet trekant hvor begge kateter er IfÅlge Pythagoras er h h SkrÄ forside: Bund: ( ) Bagside: Tag: Side: 1 trekant plus kvadrat Side: 1 Vi fär Nspire til at lçgge de seks siders arealer sammen: trekant plus kvadrat A ( 11) Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

13 617 Udtryk h ved, og udtryk derefter y ved 618 Opgave: Svar: Den viste figur bestär af et rektangel (med bredde og håjde h) og en trekant (med håjde y) Rektangels areal skal vçre 100 Trekants håjde fär vi ved at lçgge rektangels håjde til en fjerdedel af rektangels bredde Bestem y som funktion af Da rektangels areal er 100, er h = 100 sä (1) h 100 Trekants håjde y er rektangels håjde h plus 4 1 af rektangels bredde, sä () y h 4 I () indsçtter vi (1) og fär: y Her er y bestemt som funktion af h HUSK fålgende: Vi isolerer h i den ene ligning Det udtryk vi finder for h, skriver vi i stedet for h i den anden ligning Dette er en almindelig metode y 619 Opgave: Der er et hegn om et bed Hegnets lçngde L og bedets areal A er givet ved 1 L h og A h hvor h og er bedets lçngde og bredde Hegnets lçngde er 30 Udtryk h ved, og går rede for at A som funktion af kan beskrives ved A 15 ( 1 ) Svar: L h Dette er oplyst 30 h Vi har indsat 30 for L 30 h 30 h 15 h Her er h udtrykt ved HUSK fålgende: Bedet set ovenfra Vi isolerer h i den ene ligning Det udtryk vi finder for h, skriver vi i stedet for h i den anden ligning Dette er en almindelig metode A A A A h 1 1 Dette er oplyst ( 15 ) Vi har indsat 15 for h ( 1 ) Dette er formlen vi skulle gåre rede for Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

14 71 f () forklaret ved eksempel 7 SkrivemÅden f () For nogle figurer er areal a som funktion af lçngde givet ved: a = + Ofte skriver man sädan: a() = + a(4) = = 4 a(8+t) = (8+t) + (8+t) a() = 3 låser vi ved at låse + = 3 a(4) = 4 fortçller: areal er 4 när lçngde er 4 a(4) = 4 fortçller: y-koordinat er 4 for grafpunkt med -koordinat 4 Se figur I oplysningen a(5) = 35 gälder: 5 er 35 er y a(5) er y a(5) er IKKE 5 Hvis du lçrer dette udenad sä du bliver helt sikker i det, sä er der meget der bliver meget, meget nemmere 7 Bestem g()-forskrift ud fra f ()-forskrift Opgave: f ( ) og Bestem forskrift for g () f ( ) g( ) Svar: g( ) f ( ) Nspire: Opgave: Svar: a( ) og b( ) 3 og c( ) b( ) a( ) Bestem forskrift for c () c( ) b( ) a( ) (3 ) ( ) 3 Nspire: 73 Bestem f ( ) Opgave: En funktion f har forskriften f ( ) Bestem f () Svar: f ( ) sä f ( ) ( ) ( ) f ( ) 4 f ( ) 6 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

15 74 LÉs ligningen f () = Opgave: En funktion f har forskriften f ( ) 8 3 LÅs ligningen f ( ) 13 Svar: f ( ) da f ( ) er låsningen til ligningen f ( ) Bestem f ( ) og forklar hvad dette tal fortäller Opgave: VÇgten af et dyr er givet ved hvor f () f ( ) 4 0, 94 Bestem f (0) er vçgten i gram og er alderen i uger, og forklar hvad dette tal fortçller Svar: f ( ) 4 0, 94 f ( 0) 4 0,94 f ( 0) 17,6177 f ( 0) 17,6 0 sä udregnet af Nspire 17,6 er y-vçrdien som er vçgten, og 0 er -vçrdien som er alderen, sä tallet 17,6 fortçller at dyrets vçgt er 17,6 gram när alderen er 0 uger 76 Bestem f () når er Opgave: Svar: En funktion f har forskriften f ( ) Bestem f () när er 3,1 Dvs bestem f (3,1 ) NÄr er 3,1, er f () lig f ( ) f ( 3,1) 3,1 Nspire udregner dette: f ( 3,1) 11, 674 dvs f ( 3,1) 11, 7 3,1 PÄ Nspire fär vi denne ligning sädan: Vi tager en kopi af den foregäende ligning, håjreklikker pä den og vçlger Attributter, Skjul input, OK og trykker pä Enter (NÄr markår stär i feltet, kan vi se input) PÄ Nspire: Skriv 31 i stedet for 3,1 77 Bestem når f () er Opgave: En funktion f har forskriften Bestem när f () er 4 f ( ) Svar: Vi skal finde sä: f ( ) 4 Nspire låser ligningen 4 mht og fär 1, sä 1, 39 när f () er 4 Nspire: Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

16 78 Opgave hvor tekst oversättes til: Bestem f () når er (, 5 Opgave: For nogle planter er f ) 0,45 1, 5 hvor f () er vçgten i gram og er diameteren i cm Bestem vçgten af en plante hvis diameter er,0 cm Svar: Da = diameter og f () = vägt kan spårgsmälet Bestem vägten när diameteren er,0 oversçttes til Bestem f () när er,0 Se 75 f ( ) 0,45, 5 NÄr er,0, er f () lig f,0) 0,45,0 1, 5 1,5 (, 5 Nspire udregner dette: f (,0) 4, dvs vçgten er 4,0 gram när diameteren er,0 cm 79 Opgave hvor tekst oversättes til: Bestem når f () er (, 5 Opgave: For nogle planter er f ) 0,45 1, 5 hvor f () er vçgten i gram og er diameteren i cm Bestem diameteren for en plante hvis vçgt er er 5,0 gram Svar: Da = diameter og f () = vägt kan spårgsmälet Bestem diameteren när vägten er 5,0 oversçttes til Bestem när f () er 5,0 Se 76 f ( ) 0,45, 5 5, 5 1,5 Vi skal altsä finde sä 0,45 1, 5 5, 5 Nspire låser ligningen 0,45 1, 5 mht og fär, 7165 sä diameter er,3 cm när vçgt er 5,0 cm Nspire: 710 Opgaver hvor svär tekst oversättes 0,8 Opgave: For en vare gçlder at f ( ) hvor f () er det gennemsnitlige overskud pr salgssted, og er antal salgssteder pr kvadratkilometer Bestem gennemsnitligt overskud pr salgssted när antal salgssteder pr km er 4,6 Bestem antal salgssteder pr km när gennemsnitligt overskud pr salgssted er 7500 kr Svar: Da = antal salgssteder pr km og f () = gennemsnitligt overskud pr salgssted fär vi: Tekst: Bestem gennemsnitlig overskud pr salgssted när antal salgssteder pr km er 4,6 Oversat: Bestem f () när er 4,6 Tekst: Bestem antal salgssteder pr km när gennemsnitligt overskud pr salgssted er 7500 kr Oversat: Bestem när f () er 7500 NÄr vi har oversat, bruger vi metoden fra 75 eller metoden fra 76 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

17 711 Bestem så g() er stérst Opgave: For en bestemt type figurer er arealet bestemt ved hvor g() g( ) 8,5, 4, 1 9 er arealet og er håjden Bestem sä arealet er stårst muligt Svar: Nspire bestemmer i intervallet 1 9 sä 8,5, 4 er stårst, og fär 3, Arealet er stårst muligt när 3, 14 Nspire: Bestemme q sä 7,q 1,4q er stårst: 71 Bestem den stérste värdi af g() Opgave: For en bestemt type figurer er arealet bestemt ved hvor g() g( ) 8,5, 4, 1 9 er arealet og er håjden Bestem det stårst mulige areal Svar: Nspire bestemmer i intervallet 1 9 sä 8,5, 4 er stårst, og fär 3, NÄr har denne vçrdi, er arealet g( 3,13585) 8,5 3,13585,4 3,13585 g( 3,13585) 7,5604 Det stårst mulige areal er 7,53 Nspire: 713 Bestem t så h(t) er mindst Opgave: I en model er prisen for en vare fastlagt ved 1,6 t h( t), 0 t t 15 hvor h(t) er prisen i kr og t er tiden i timer Bestem det tidspunkt hvor prisen er mindst Svar: Nspire bestemmer t i intervallet 0 t sä Prisen er mindst pä tidspunktet 13,7 timer 1,6 t er mindst, og fär t 13, 7477 t 15 Nspire: 714 Bestem den mindste värdi af h(t) Opgave: I en model er prisen for en vare fastlagt ved 1,6 t h( t), 0 t t 15 hvor h(t) er prisen i kr og t er tiden i timer Bestem den mindst mulige pris Svar: Nspire bestemmer t i intervallet 0 t sä NÄr t har denne vçrdi, er prisen 1,6 13,7477 h( 13,7477) 13, h( 13,7477) 1,83303 Den mindst mulige pris er 1,83 kr 1,6 t er mindst, og fär t 13, 7477 t 15 Nspire: Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

18 715 Opgave hvor tekst oversättes til: Bestem så f () = g(): Opgave: Svar: VÇgten af to orme M og N er givet ved m( t) 1,7 0, 11t og n( t) 9,4 6,5 0, 98 hvor m(t) og n(t) er vçgt i gram af M og N, og t er antal dågn efter hudskifte Hvilket antal dågn efter hudskifte er vçgten af M og N den samme? At vçgten af M og N er den samme pä tidspunktet t kan skrives sädan: m( t) n( t) 1,7 0,11t 9,4 6,5 0, 98 Nspire låser ligning t t t 1,7 0,11t 9,4 6,5 0, 98 mht t for t 0 og fär t = 47,58 VÇgten af M og N er den samme 47 dågn efter hudskifte Nspire: 716 Udregne Ändring i f () Opgave: MÇngden af vand i en beholder kan beskrives ved f ( ) 0,1 0,4 9,6 hvor f () er vandmçngde mält i liter, og er antal minutter efter start Bestem Çndringen i vandmçngde fra til 5 minutter efter start Svar: minutter efter start er vandmçngde f ( ) 0,1 0,4 9,6 8, 4 5 minutter efter start er vandmçngde f ( 5) 0,15 0,45 9,6 5, 1 ándring i vandmçngde: f ( 5) f () 5,1 8,4 3, 3 VandmÇngde aftager 3,3 liter fra til 5 minutter efter start 717 Udregne Ändring i Opgave: MÇngden af vand i en beholder kan beskrives ved f ( ) 0,1 0,4 9,6 hvor f () er vandmçngde mält i liter, og er antal minutter efter start Hvor lang tid er vandmçngde om at falde fra 3 til 0 liter Svar: Vi bestemmer tidspunkt hvor vandmçngde f () er 3: f ( ) 3 0,1 0,4 9,6 3 Nspire låser 0,1 0,4 9,6 3 mht for 0 og fär = 6,3666 Vi bestemmer tidspunkt hvor vandmçngde f () er 0: f ( ) 0 0,1 0,4 9,6 0 Nspire låser 0,1 0,4 9,6 0 mht for 0 og fär = 8 Vi udregner forskel pä de to tidspunkter: 8 6,3666 1,6334 VandmÇngde er 1,6 minutter om at falde fra 3 til 0 liter Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

19 81 Tegn graf uden hjälpemidler 8 LÉse opgaver om grafer Vi vil tegne grafen for funktionen f ( ) 1 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat NÄr er 1, er ) 4 f ( lig f ( 1 ) sä punktet ( 1, 11) ligger pä grafen for f Se figur til håjre 4 PÄ samme mäde udregner vi flere ståttepunkter for grafen: f () Vi tegner disse punkter i koordinatsystemet og tegner en afrundet kurve gennem dem Ligger punktet P på grafen? Ligger punktet P(4, 15) pä grafen for funktionen f ( ) 80 3? NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat Grafpunktet med -koordinat 4 har y-koordinat f ( 4) som ikke er 15, sä P ligger ikke pä grafen 83 AflÄs graf uden hjälpemidler 84 Vi vil aflçse tallet f ( ) Vi går fålgende: Vi finder det punkt pä grafen hvor er Vi ser at for dette punkt er y lig,8 AltsÄ er f ( ),8 f f ( ),8 85 Vi vil aflçse låsningerne til ligningen g() =,1 Vi går fålgende: Vi finder de punkter pä grafen hvor y er,1 Vi ser at for disse punkter er lig 1,5 og 4, AltsÄ er låsningerne 1,5 eller 4, g Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

20 86 Udregne -koordinat eller y-koordinat når den anden er kendt Figuren viser grafen for f som har forskriften f () = 0,4 + 1,4 1,8 87 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat 88 Udregn n (se figur) 89 Udregn m (se figur) PÄ figuren stär at = 3 PÄ figuren stär at y = f (3) = n f (m) = f Q 0,43 + 1,4 3 1,8 = n 0,4m + 1,4 m 1,8 =,1440 = n Udregnet pä Nspire Nspire låser denne ligning mht og fär n =,14 m = 1,84417 m = 1,84 P 810 SkÄringspunkter mellem graf og -akse 3 Figuren viser grafen for f som har forskriften f ( ) 1 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat, sä när vi indsçtter P's eller Q's -koordinat, fär vi 0: f ( ) Nspire låser denne ligning mht og fär 1 eller 1 Grafen skçrer -aksen i punkterne (, 0) og (, 0) Nspire: P Q f 811 SkÄringspunkt mellem graf og y-akse 3 Figuren viser grafen for f som har forskriften f ( ) 1 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat, sä när vi indsçtter 0, fär vi R's y-koordinat: R ' s ykoordinat f (0) 3 R ' s ykoordinat R ' s ykoordinat 1 Grafen skçrer y-aksen i punktet ( 0, 1) R f 81 SkÄringspunkt mellem to grafer Figuren viser graferne for f og g som har forskrifterne f ( ) 0,551, 43 og g( ) 1,50 1, 15 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat NÄr vi indsçtter -koordinaten til skçringspunktet, giver de to forskrifter samme y : f ( ) g( ) f ( ) g( ) f g 0,551,43 1,501,15 Nspire låser denne ligning mht og fär = 4,60415 Grafpunktet med denne -koordinat har y-koordinaten 4,60415 f ( 4,60415) 0,551,43 f ( 4,60415),85465 SkÇringspunktet er ( 4,60,,85) Udregnet pä Nspire Nspire: Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

21 813 Graf og längde af linjestykke 814 LÄngde af AB AB er parallel med -aksen, sä vi skal bruge -koordinaterne Da B ligger lçngere til håjre end A, skal 14 stä får minustegnet: AB 14 ( 6) 0 A (6, 11) B(14,11) 815 LÄngde af BC BC er parallel med y-aksen, sä vi skal bruge y-koordinaterne Da B ligger lçngere oppe end C, skal 11 stä foran minustegnet: C(14, 3) D(, 3) BC LÄngde af CD CD 14 Grafen for f ( ) er pä figuren 817 LÄngde af PQ Q's y-koordinat er 3 Med metoden 89 udregner vi Q's -koordinat : f ( ) da > 0 PQ Se P(1, 3) Q S R f 818 LÄngde af RS Med metoden 87 ser vi at R's y-koordinat er 1 1, sä 8 RS 9 ( 1 8 1) Se Opgave g( ) 30 Figuren viser lidt af grafen for g og et grånt linjestykke hvis håjde er 4 Rammer grafen det grånne linjestykke? Svar Vi ser pä det punkt pä g-grafen hvor er 7 Se nederste figur Vi udregner dette punkts y-koordinat: Se g(7) y 30 y 7 7 4,11 y g g 4 y-koordinaten er stårre end 4, sä grafen rammer ikke det grånne linjestykke Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

22 Övelse 11 (a) LÇs afsnit 11 PÄ figur skal du skrive ved -akse og y ved y-akse (b) LÇs fårste halvdel af afsnit 1 Et punkt A har koordinatsçttet (15, 9) A har -koordinaten og y-koordinaten (c) LÇs anden halvdel af afsnit 1 Udfyld fålgende ved at se pä figur: B har -koordinaten og y-koordinaten D B har koordinatsçttet (, ) C har koordinatsçttet (, ) D har koordinatsçttet (, ) (d) Tegn fålgende punkter pä figuren: E( 5, 3), F(, 0), G(0, 3), H(5, 4) C B Övelse 1 (a) PÄ figuren skal du skrive ved -aksen og y ved y-aksen (b) Udfyld fålgende ved at se pä figur: A(, ), B(, ), C(, ), D(, ), E(, ), F(, ) (c) Tegn fålgende punkter pä figuren: G( 4, 3), H(, 3), I(, 0), J(4, 0) F E D C B A Övelse 13 (a) PÄ figuren i Åvelse 1 skal du tegne punktet P(6,,3) Nu er der tegnet fire punkter som har egenskaben er 6 Der er uendelig mange punkter der har denne egenskab Disse uendelig mange punkter udgår en linje Tegn denne linje (b) Tegn et punkt der har egenskaben y er 1 stärre end Der er uendelig mange punkter der har denne egenskab Disse punkter udgår noget du kan tegne GÅr det Övelse 14 (a) LÇs afsnit 13 Graf A viser som funktion af Graf B viser som funktion af Graf C viser som funktion af A B C (b) LÇs afsnit 14 PÄ figur med A-graf: Tegn punkt pä -akse hvor =15 Tegn punkt pä graf hvor =15 I dette punkt er y= NÄr temperaturen er 15 grader, er antallet (c) PÄ figur med A-graf: Tegn punkt pä y-akse hvor y=5 Tegn punkt pä graf hvor y=5 I dette punkt er = NÄr antal er 5, er temperaturen grader (d) Hvor stort er antallet när temperaturen er 35 grader? Svar: (e) Hvad er temperaturen pä et tidspunkt hvor antallet er 5? Svar: grader (f ) PÄ figur med B-graf: Tegn det punkt pä grafen hvor er 9 for dette punkt er y lig Hvad fortçller dette om lçngde og bredde? Svar: (g) PÄ figur med B-graf: Tegn det punkt pä grafen hvor y er 7 For dette punkt er lig Hvad fortçller dette om lçngde og bredde? Svar: (h) PÄ figur med C-graf: Tegn de punkter pä grafen hvor y er 6 For disse punkter er = eller = Hvad fortçller dette om pris og diameter? Svar: Övelse 15 (a) PÄ graf C i Åvelse 14 kan vi se prisen pä en vare af type C när vi kender diameteren For en vare af type D gçlder at for enhver diameter er prisen 1 kr håjere end for type C For en vare af type D med diameter mm er prisen kr Tegn denne oplysning som et punkt pä figuren til håjre Tegn grafen der for type D viser pris som funktion af diameter (b) For varer af type E gçlder: For hver diameter er prisen halvdelen af prisen for C Tegn grafen der for type E viser pris som funktion af diameter Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

23 Övelse 16 Se afsnit 11-1 (a) PÄ figur skal du skrive ved -akse og y ved y-akse (b) P(, ), Q(, ), R(, ) (c) Tegn A(0, 4), B(4,5, ), C(, 1), D(, 3,7) (d) Tegn et punkt E hvor er lig y Tegn et nyt punkt F til hvor er lig y (f) Der er uendelig mange punkter hvor er lig y Disse udgår noget du kan tegne Tegn dette P Q R Övelse 17 Se afsnit (a) For en bestemt type kasser viser b-grafen bredden som funktion af lçngden Tegn det punkt pä grafen hvor er 40 For dette punkt er y lig Hvad fortçller dette om lçngde og bredde? Svar: (b) Hvad er bredden när lçngden er 80? Svar: (c) For enhver lçngde er kassens håjde halvanden gange bredden For en kasse med lçngde 10, er håjden (d) Tegn en h-graf der viser håjden som funktion af lçngden b Övelse 18 (a) LÇs afsnit AfgÅr for hver graf om den er graf for en funktion Svar: A B C Övelse 19 (a) LÇs afsnit For figurer af type A fär vi arealet ved at gange grundlinje med og lçgge 8 til resultatet NÄr y er areal og er grundlinje, sä vil forskriften for areal som funktion af grundlinje vçre y = FunktionsvÇrdien af 4 er 7 er FunktionsvÇrdien af,5 er FunktionsvÇrdien af 0,5 er (b) For figurer af type B fär vi arealet ved at lçgge 8 til grundlinjen og gange resultatet med NÄr y er areal og er grundlinje, sä vil forskriften for areal som funktion af grundlinje vçre y = FunktionsvÇrdien af 4 er 7 er 30 FunktionsvÇrdien af 1 er FunktionsvÇrdien af 3 er Övelse 110 (a) LÇs afsnit 110 (a) En funktion har forskriften: y = ( 3) NÄr = 1 er y = = sä (, ) er et punkt pä grafen Tegn dette punkt pä figuren (b) Bestem flere punkter ved at udfylde fålgende tabel, og tegn punkterne : 1,5 3 3,5 4 y: (c) LÇs afsnit 110 (c) og 111 Tegn grafen for funktionen givet ved y = ( 3), 1 4 Övelse 111 (a) Her er nogle funktionsvçrdier for y som funktion af : GÇt en forskrift: y = (b) Her er nogle funktionsvçrdier for y som funktion af : GÇt en forskrift: y = (c) Her er nogle funktionsvçrdier for y som funktion af : GÇt en forskrift: y = (d) Her er nogle funktionsvçrdier for y som funktion af : GÇt en forskrift: y = : y: : y: : y: : y: Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf 014 Karsten Juul

24 Övelse 11 Se afsnit Udfyld tabel og tegn graf for funktionen : y: y 5 4, 1 8 Övelse 1 (a) LÇs afsnit 1 og 4 For nogle figurer gçlder y = 3 36, 1 <, hvor er omkredsen og y er arealet Hvis vi bliver spurgt om hvad omkredsen er for en bestemt af figurerne, er det sä eller y vi skal finde? Svar: Hvis vi fär at vide at arealet er 51, er det sä eller y der er 51? Svar: (b) Bestem arealet for en figur hvor omkredsen er 0 (c) Bestem omkredsen for en figur hvor arealet er 10 Övelse (a) LÇs afsnit 7 Ved fabrikation af en vare gçlder at y = 5 0,31, hvor y er vçskehåjde i mm, og er den procentdel af arbejdet der er udfårt Udregn den procentdel af arbejdet der er udfårt pä det tidspunkt hvor vçskehåjden er 100 mm Övelse 3 Se afsnit 7 Det er fastsat at y = 40,55 hvor y er den mçngde (mält i gram) af et stof som man mä indtage pr uge, og er det som stoffets densitet (mält i gram pr kubikcentimeter) overstiger 1,1 Hvor stor en mçngde af stoffet mä man indtage pr uge hvis dets densitet er 0, over 1,1? Övelse 4 (a) LÇs afsnit 8 Vi har en forskrift for overskuddet (i mio kr) i Ärsregnskabet som funktion af antal Är efter 005 Vi sçtter forskriften lig 40 og låser med hensyn til Är og fär 6,3 Hvis spårgsmälet er HvornÄr er overskuddet 40 mio?, er facit: Hvis spårgsmälet er HvornÄr overstiger overskuddet 40 mio?, er facit: (b) Vi har en forskrift for ovnens temperatur (i C) som funktion af tiden (i timer) Vi sçtter forskriften lig 600 og låser med hensyn til tiden og fär 1,5 Hvis spårgsmälet er HvornÄr er ovnens temperatur 600 grader, er facit: Övelse 5 Se afsnit 8 Vi har en forskrift for antal der bestär en bestemt eksamen som funktion af antal Är efter 00 Vi sçtter forskriften lig 100 og låser mht Är og fär 9,3 Hvis spårgsmälet er Hvilket Är vil antal der bestär eksamen, overstige 100?, er facit: Övelse 6 Det skçrmbillede du laver i denne opgave, skal du skitsere til håjre, og du skal skrive de relevante oplysninger pä skçrmbilledet Lav kontrol af (b) og (c) i Åvelse 1 ved elektronisk aflçsning pä graf pä den mäde som er vist i afsnit og 5 Övelse 7 Svarene i denne Åvelse kan du finde ved at du pråver dig frem (a) I afsnit 1-6 undersåger vi forskriften y =0,31, Hvis = 1 er y = Ligger punktet (1, 3) pä grafen? Svar: Hvis vi erstatter 0,3 i forskriften med, vil grafen gä gennem punktet (1, 3) (b) Hvis vi i forskriften y =0,31, erstatter 1, med, vil grafen gä gennem punktet (1, 3) (c) Vi ser nu pä funktionen med forskriften y = 0,5 I grafpunktet med den positive -koordinat er y-koordinaten 1 stårre end -koordinaten Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

25 Övelse 8 Se afsnit 7 I en speciel uddannelse er y = 1 0,5 hvor y er elevens karaktergennemsnit, og er gennemsnittet af antal fejl i 10 pråver Bestem gennemsnittet af antal fejl i de 10 pråver for en elev hvis karaktergennemsnit er 3,7 Övelse 31 (a) Figuren viser grafen for en funktion Vi forestiller os at vi har forskriften NÄr vi indsçtter for i forskriften og regner udtrykket ud, er resultatet (b) NÄr vi indsçtter for, er resultatet stårst mulig Det stårst mulige resultat er (c) LÇs anden del af afsnit 3 I Nspire taster vi fma(- - -,) 06 med forskriften i stedet for Resultatet er NÄr vi indsçtter dette resultat for i forskriften, er resultatet (d) FunktionsvÇrdien af er NÄr =, er funktionsvçrdien stårst mulig Den stårst mulige funktionsvçrdi er Övelse 3 Se afsnit 3-33 For en bestemt type figur er y = 3 1,1 0,1, 0 3 hvor y er rumfanget og er lçngden Bestem det stårst mulige rumfang Facit: Övelse 33 (a) LÇs afsnit (b) For en bestemt type figur er y =, 0 < hvor y er håjden og er bredden 10 Bestem bredden sä håjden er mindst mulig Facit: Övelse 34 Se afsnit 36, 3-33 (a) Figuren viser grafen for en funktion Vi forestiller os at vi har forskriften NÄr vi indsçtter 1 for i forskriften og regner udtrykket ud, er resultatet (b) NÄr vi indsçtter for, er resultatet mindst mulig Det mindst mulige resultat er (c) I Nspire taster vi fmin(- - -,) 16 med forskriften i stedet for Resultatet er NÄr vi indsçtter dette resultat for i forskriften, er resultatet (d) FunktionsvÇrdien af 1 er NÄr =, er funktionsvçrdien mindst mulig Den mindst mulige funktionsvçrdi er Övelse 41 Figuren viser grafer for to funktioner A og B Vi forestiller os at vi har forskrifter for de to funktioner A Hvis vi indsçtter for, B sä vil A-forskrift give resultat, og B-forskrift vil give resultat Hvis vi indsçtter 8 for, sä vil A-forskrift give resultat, og B-forskrift vil give resultat Hvis vi indsçtter 6 for, sä vil A-forskrift give resultat, og B-forskrift vil give resultat Hvis vi indsçtter for, sä vil A-forskrift og B-forskrift give samme resultat Vi laver en ligning ved at sçtte de to forskrifter lig hinanden NÄr vi låser ligningen, fär vi = Övelse 4 NÄr vçgt mäles i gram gçlder efter uger: A's vçgt er y = 31, og B 's vçgt er y = 71,1 PÄ et tidspunkt gçlder A's vçgt er 10 dvs 31, = 10 dvs = PÄ et tidspunkt gçlder B's vçgt er 10 dvs dvs = PÄ et tidspunkt gçlder A's vçgt er lig B's vçgt dvs dvs = Tegn i et Nspire-vindue grafer for A s og B s vçgt og en lodret linje l (grafindtastning/ligning/linje/=c) Bestem skçringspunkter mellem l og de to grafer (Geometri/Punkter og linjer/skçringspunkt) TrÇk l frem og tilbage og se hvad der sker med skçringspunkternes y-koordinater PrÅv at erstatte et eller flere af tallene 3, 1,, 7, 1,1 med andre positive tal, og se om du kan opnä at pä hvert tidspunkt er B s vçgt gange A s vçgt Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

26 Övelse 43 (a) Figuren viser grafer for to funktioner A og B I Nspire taster vi fma(- - -,) 06 med forskriften for A i stedet for Resultatet er (b) Forskrifterne for de to funktioner sçtter vi lig hinanden Denne ligning har låsningen (c) NÄr svar fra (a) indsçttes i A-forskriften er resultat (d) NÄr svar fra (b) indsçttes i A-forskriften er resultat (e) NÄr svar fra (b) indsçttes i B-forskriften er resultat Övelse 51 (a) LÇs afsnit 51 Figuren viser grafen for en funktion NÄr er, er y lig NÄr er 6, er y lig NÄr vi Çndrer fra til 6, sä Çndres y fra til NÄr vi Çndrer fra til 6, sä vil y blive enheder stårre (b) NÄr vi Çndrer fra 8 til 1, sä Çndres y fra til NÄr vi Çndrer fra 8 til 1, sä vil y blive enheder stårre (c) NÄr y Çndres fra 4 til 6, sä er blevet enheder stårre Övelse 5 (a) LÇs afsnit 5 Det planlçgges at antallet af beboere skal Çndres sädan at y = 951,4 hvor y er antal beboere og er antal Är efter 015 Hvor meget (mält i antal), er antal beboere stårre i 00 end i 017? (b) LÇs afsnit 53 Hvor mange Är er antallet om at stige fra 500 til 1000? Övelse 53 Det skçrmbillede du laver i denne opgave, skal du skitsere til håjre, og du skal skrive de relevante oplysninger pä skçrmbilledet I denne opgave skal du finde facit ved at aflçse elektronisk pä graf En funktion har forskriften y = 0, ,015 0,175+7,15 NÄr stiger fra 1 til 3, sä aftager y fra til NÄr y stiger fra til 3, sä aftager fra til Övelse 54 (a) Om en funktion gçlder: NÄr =0 er y= NÄr stiger fra 0 til 4, sä vil y blive 1 enhed stårre NÄr stiger fra 4 til 8, sä vil y blive 3 enhed stårre NÄr stiger fra 8 til 1, sä vil y blive 5 enhed stårre Skitser grafen i koordinatsystemet til håjre (b) De fire ståttepunkter skal du ogsä afsçtte i et koordinatsystem i Nspire I samme koordinatsystem skal du fä Nspire til at tegne grafen for funktionen med forskriften y = 4 + 0,1 PrÅv dig frem med at Çndre tallene 4 og 0,1 indtil grafen gär gennem punkterne Skriv forskriften her: y = Övelse 55 (a) Lav det viste skçrmbillede i Nspire (b) PrÅv dig frem med at Çndre tallene 3 og 4 i forskriften indtil grafen gär gennem punkterne Skriv forskriften her: y = Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

27 Övelse 61 (a) LÇs afsnit 6 I nogle spil kan vi udregne antal point när vi kender antal krydser = antal krydser I et spil kan vi udregne antal point sädan: LÇg antal krydser til 10 Gang resultatet med 4 Er det (1) eller () der angiver disse udregninger? (1) 10 4 () ( 10 ) 4 Svar: (b) I et spil kan vi udregne antallet y af point sädan: Gang 3 med antal krydser LÇg resultatet til 5 Angiv disse udregninger ved at skrive forskrift med : y = Hvis 6 er y = (c) I et spil kan vi udregne antal point sädan: LÇg 4 til antal krydser Gang med resultatet Angiv disse udregninger ved at skrive forskrift med : y = Hvis 5 er y = Övelse 6 Se afsnit 6 Udregn uden regnehjçlpemiddel: (a) 5+3 = = (d) 0 53 = = (g) 3 5 = = (b) 35 = = (e) 35+ = = (h) (5 )3 = = (c) 3(5 ) = = (f) 3(5+) = = (i) 0+53 = = Övelse 63 Figuren viser en retvinklet trekant Skriv forskrift for trekantens areal y som funktion af y = Övelse 64 Figuren viser et rektangel Skriv forskrift for rektanglets areal y som funktion af y = Övelse 65 Skriv forskrift for arealet y af rådt rektangel som funktion af y = 3 Övelse 66 Arealet af trekanten er 6 Skriv forskrift for arealet y af råd figur som funktion af y = Övelse 67 LÇs afsnit 65 Udregn uden regnehjçlpemiddel: (a) 5 3 = = (b) (5) 3 = = (c) = = Övelse 68 Se afsnit 65 (a) I en terning har enhver af kanterne lçngden 3 Terningens rumfang er y = (b) I nogle terningeformede klodser har alle kanter lçngden En figur bestär af 6 af disse klodser Figurens rumfang er y = Övelse 69 LÇs afsnit 68 (a) 54 = (b) 6 = (c) 83 = (d) = (e) 3( )+5 = = (f) 4(+1)+1 = = (g) (+5) 8 = = (h) (4 3) 5+3 = = Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

28 Övelse 610 FÅrst kåber vi 4 båger, og derefter kåber vi 7 båger til For hver bog betaler vi månter (a) For de fårste 4 båger betaler vi månter, og for de nçste 7 båger betaler vi månter, sä vi betaler i alt + månter for bågerne (b) Vi har i alt kåbt + båger, og for hver af dem betaler vi månter, sä vi betaler i alt ( + ) månter for bågerne (c) I (a) og (b) skrev vi to udtryk der begge var det vi betaler i alt De to udtryk mä altsä give samme tal uanset hvilket tal vi indsçtter for Brug et lighedstegn til at skrive at de to udtryk er lig hinanden: (d) I (c) skrev du en ligning Gyldigheden af denne ligning kan vi ogsä begrunde ved hjçlp af en af reglerne fra afsnit Övelse 611 stär for et bestemt tal I enhver klasse er der 0 elever, og af disse er piger P1: piger i Ün klasse D1: drenge i Ün klasse E1: elever i Ün klasse P4: piger i fire klasser D4: drenge i fire klasser E4: elever i fire klasser (a) 0 er antal, og 4 (0 ) er antal (b) 4 0 er antal, og 4 er antal, og er antal (c) NÄr 8 er 4 (0 ) og (d) Hvilke tal kan vçre hvis 4 (0 ) og skal vçre samme tal? Svar: Övelse 61 Vi kåber båger som hver koster 19 månter Vi leverer 7 af bågerne tilbage og fär pengene igen (a) For de båger betalte vi månter, og for de 7 båger fär vi månter tilbage, sä for de båger vi beholder, har vi betalt månter (b) Antallet af båger vi beholder er, og vi betalte månter for hver bog, sä for de båger vi beholder, har vi betalt ( ) månter (c) I (a) og (b) har du skrevet to udtryk som begge er lig det vi har betalt for de båger vi beholder, sä de to udtryk er lig hinanden Skriv udtrykkene med lighedstegn imellem: (d) Vi behåver ikke tçnke pä båger for at begrunde ligningen Vi kan begrunde den med regel fra afsnit Övelse 613 (a) LÇs afsnit (3 ) = = = (b) LÇs afsnit ( 5) = = = (c) LÇs afsnit 61 9 (3 ) = = = Övelse 614 Se afsnit 67 (a) + ( + 8) = = = (b) 6 (5 4) = = = (c) 9 5(3 + 4) = = = (d) 1 (3 5) = = = Övelse 615 (a) LÇs afsnit 613 (b) Vi ser pä alle rektangler hvor håjden er lig gange bredden Arealet som funktion af bredden er en funktion hvor er og y er (c) Forskriften er y = =, og definitionsmçngden er intervallet (d) Omkredsen som funktion af bredden er en funktion hvor er og y er (e) Forskrift er y = =, og definitionsmçngde er intervallet (f) NÄr bredde=4, er areal = og omkreds = (h) NÄr areal=50, er bredde = Övelse 616 Figuren fäs ved at fjerne et lille rektangel fra et stårre (a) Bestem arealet y som funktion af y = = (b) NÄr = 5 er y = (c) NÄr y = 113, er = Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul