Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august kl

Transkript

1 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl hhx1-mat/a Fredag den 17. august 01 kl

2 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time. Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning. Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.

3 Side 1 af 1 side Side 1 af 1 side Opgave 1 Vektorerne a og b er givet ved t a 1 = og b =. 3 1 a) Gør rede for, at a og b er parallelle for t = 3. Opgave En cirkel med centrum i x, ) og radius r har ligningen 0 ) + ( y y0 ) ( 0 y0 ( x x = r I koordinatsystemet til højre er cirklen C indtegnet. a) Bestem en ligning for C. Opgave 3 33 y 11 C x Funktionen F er den stamfunktion til funktionen f ( x) = x 3 + 4x, der opfylder at F ( 0) = 5. a) Bestem en forskrift for F. Opgave 4 y y 1 3 En funktion f er givet ved forskriften f ( x) = x x. a) Bestem monotoniforholdene for f. 3 f f x x Opgave 5 Egenkapitalen i en nystartet virksomhed vokser lineært over en tidsperiode. Udviklingen i egenkapitalen kan ses i tabellen nedenfor. Lad f (x) angive egenkapitalen x år efter 003. Årstal x 4 6 Egenkapital i 1000 kr. f (x) a) Bestem en forskrift for f, og benyt denne til at bestemme egenkapitalen i år 01.

4 Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

5 Matematik A Højere handelseksamen. Delprøve hhx1-mat/a Fredag den 17. august 01 kl

6 Matematik A Prøven med hjælpemidler Prøvens varighed er 5 timer. Dette opgavesæt består af 9 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning. Af opgaverne 9A og 9B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 9A. I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder ITværktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

7 Side 1 af 7 sider Side 1 af 7 sider Opgave 1 Lægevagten på et hospital har i en periode på 100 dage observeret antallet af patienter i nattetimerne. Fordelingen af antal patienter er samlet i nedenstående tabel. Antal patienter ] 0 ;5 ] ] 5 ;10 ] ] 10 ;15 ] ] 15 ;0 ] ] 0 ;5] Antal dage a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen. Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks. typeinterval kvartilsæt median gennemsnit varians standardafvigelse b) Beskriv fordelingen ved hjælp af statistiske deskriptorer. Opgave Trekant ABC er bestemt ved punkterne A (,4), B ( 3, 1) og C ( 6,5). a) Bestem koordinaterne til AB og AC. b) Bestem vinkel A i trekant ABC. y C A B - x

8 Side af 7 sider Side af 7 sider Opgave 3 Efterspørgselskurven D for en given vare beskriver sammenhængen mellem prisen på varen og den efterspurgte mængde af varen. Lad D være givet ved 3 D ( x) = x 50x , 0 x hvor x er den efterspurgte mængde og D(x) er prisen. Udbudskurven S for den samme vare beskriver sammenhængen mellem prisen på varen og den udbudte mængde af varen. Lad S være givet ved S ( x) = x + 47x + 400, 0 x hvor x er den udbudte mængde og S(x) er prisen. De to kurver er tegnet i koordinatsystemet herunder. Skæringspunktet A mellem graferne for D og S giver ligevægtsmængden og ligevægtsprisen på markedet. Punktet A har koordinaterne ( 100,5300). Den gevinst forbrugerne opnår ved den gældende ligevægtsmængde og ligevægtspris kaldes forbrugeroverskuddet FO. Den tilsvarende gevinst producenterne opnår, kaldes producentoverskuddet PO. Disse to størrelser bestemmes som arealet af de to grå områder på figuren pris FO PO A (100,5300), S D mængde a) Gør rede for, at størrelsen af forbrugeroverskuddet FO producentoverskuddet PO. er kr. og bestem størrelsen af

9 Side 3 af 7 sider Den samlede velfærdseffekt VE kan bestemmes som Side 3 af 7 sider VE = FO + PO Efterspørgslen ændres til D 1 givet ved 3 D 1( x) = x 40x x b) Gør rede for, at graferne for D 1 og S skærer hinanden i punktet A. c) Bestem størrelsen af den samlede velfærdseffekt VE som følge af ændringen i efterspørgslen. Opgave 4 En lille virksomhed producerer og afsætter to typer græsslåmaskiner, BIO og FORCE. Det samlede dækningsbidrag pr. uge kan beskrives ved funktionen DB ( x, y) = 50x + 000x 10y + 100y, x 0 og y 0 hvor x er antal BIO, og y er antal FORCE. Niveaukurven N(t) er defineret ved DB ( x, y) = t. a) Gør rede for, at niveaukurven N (0 000) er en ellipse med centrum i ( 0,5). Produktionen er begrænset af, at virksomheden maksimalt kan producere 7 maskiner pr. uge, hvilket betyder at x + y 7. b) Indtegn polygonområdet bestemt af begrænsningerne samt to niveaukurver for DB. c) Bestem det antal BIO og det antal FORCE, der skal produceres pr. uge for at det ugentlige dækningsbidrag bliver størst muligt og bestem dette dækningsbidrag.

10 Side 4 af 7 sider Side 4 af 7 sider Opgave 5 En større virksomhed opretter en fond med et beløb på,5 mio. kr. Renten tilskrevet fondens beløb de tre følgende år er vist i tabellen. Rente p.a. 6,5 % 4,0 %,0 % a) Gør rede for, at størrelsen af beløbet efter de tre rentetilskrivninger er , 00 kr. b) Gør rede for, at den gennemsnitlige rente i de tre år er 4, 15%. Opgave 6 4 y Graf 1 Grafen for en differentiabel funktion f og grafen for den afledede funktion f ' er vist til højre. a) Gør rede for hvilken af de to grafer Graf 1 eller Graf, der viser grafen for funktionen f Graf x -3-4 Opgave 7 En funktion f er bestemt ved forskriften 3 f ( x) = x + 1x 16x Funktionen kan blandt andet beskrives ved følgende analysepunkter: Nulpunkter Fortegnsvariation Monotoniforhold Ekstrema Vendetangent a) Beskriv funktionen f ved hjælp af af ovenstående analysepunkter.

11 Side 5 af 7 sider side 5 af 7 sider Opgave 8 Arealet under grafen for f ( x) = ax + a er bestemt til at være 30 i intervallet [ 1 ;3] for et positivt tal a. yy f f (x) ( x) = = ax ax + a Areal = 30 Areal = 30 Nedenfor er tallet a bestemt a) Forklaring til nedenstående linjer skal gives. Benyt evt. bilag 1. x x 1 3 f ( x) dx = 30 Arealet under grafen er givet som det bestemte integral af f i intervallet [ 1 ;3]. 3 ( 1 ax + a) dx = [ + ax] = 30 ax 1 4,5a + 3a (0,5a + a) = 30 a = 5 Forskriften for funktionen f ændres til f ( x) = ax + a. b) Bestem værdien af a, så arealet under grafen for f i intervallet [ 1 ;3] fortsat er 30.

12 Side 6 af 7 sider Side 6 af 7 sider Af opgaverne 9A og 9B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 9A. Opgave 9A 3 Herunder ses grafen for funktionen f ( x) = x x x +, samt tangenten t gennem punktet ( 1, ( 1) ) f. til grafen for f 15 y 10 5 t f x a) Gør rede for, at ligningen for tangenten er y = 3 x + 5. Tangenten t skærer grafen for f i x = 1 og x = 3. b) Bestem arealet af det grå område, der afgrænses af grafen for f og tangenten t.

13 Side 7 af 7 sider Side 7 af 7 sider Opgave 9B Et uddannelsessted ønsker at reklamere for sine uddannelser med annoncer i lokalavisen og reklamespots i den lokale biograf. Lad x angive antal annoncer i lokalavisen og lad y angive antal reklamespots i den lokale biograf. Budgetkrav samt øvrige økonomiske begrænsninger er givet ved følgende betingelser 5x + 4y 48 x + y 4 x + 4y 3 Disse betingelser definerer et polygonområde, der er vist som det grå område på figuren. Figuren er gengivet i bilag.. y y = 1 1,5x x + 1 y = 0 0,5x x + 1 y = 0 0,5x x + 8 x Prisen for en annonce i lokalavisen er 7500 kr., og prisen for et reklamespot i den lokale biograf er kr. De samlede reklameomkostninger er givet ved funktionen f ( x, y) = 7500x y. a) Bestem, det antal annoncer i lokalavisen samt det antal reklamespots i den lokale biograf uddannelsesstedet skal vælge, for at de samlede reklameomkostninger bliver mindst mulige. b) Bestem, indenfor hvilket interval prisen for reklameomkostningerne for annoncer i lokalavisen kan variere, således at f stadig antager sin mindsteværdi i punktet bestemt i spørgsmål a).

14

15

16 Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

17 Bilag 1 til opgave 8 (med hjælpemidler). Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: 1 3 f ( x) dx = 30 Arealet under grafen er givet som det bestemte integral af f i intervallet [ 1 ;3]. 3 ( 1 ax + a) dx = [ + ax] = 30 ax 1 4,5a + 3a (0,5a + a) = 30 a = 5

18

19 Bilag til opgave 9B (med hjælpemidler). Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: y y = 1 1,5x x y = 0 0,5x x + 1 y = 0 0,5x x x