Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Transkript

1 Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

2 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end tre sider. Poly = mange, gon = kant. Polygon betyder altså mangekant. Et polygon vil altid være todimensionelt. Til højre ses eksempler på polygoner. 1.2 Forskellige typer af polygoner og deres kende, egenskaber og formler. Polygoner får navn efter hvor mange kanter de har: Se skemaet herunder. Formel for vinkelsum i ethvert konveks polygon: Vinkelsum = (antal sider 2) * 180 Der findes forskellige typer af polygoner konveks, konkav, regulær og irregulær. Herunder forklares typerne: Konveks polygon Alle vinkler er under Ingen af hjørnerne peger mod figurens midte, tværtimod buer de udad. Der er ingen formler for udregning af enten areal eller omkreds Konkav polygon En eller flere vinkler er over Et eller flere hjørner af figuren peger altså indad mod figurens midte. Der er ingen formler for udregning af enten areal eller omkreds Se næste side Side 2 af 12

3 Regulær polygon Alle vinkler og kanter i figuren er ens. Der er også formler for udregning af omkreds og areal i et regulær polygon. Formler for et regulær polygon: Omkreds = sidelængde * n Antallet af sider i en figur beskrives som n i en formel. Areal = 1 4 * antal sider * sidelængden 2 * cotangens ( π cos(v) ), (Cotangens (v) = ) n sin (v) BEMÆRK! AT DISSE FORMLER KUN GÆLDER I ET REGULÆR POLYGON! Irregulær polygon Ikke alle kanter og vinkler i figuren er ens. Der er ingen formler for udregning af enten areal eller omkreds Her ses eksempler på forskellige polygoner: Se næste side Side 3 af 12

4 Opgaver tilhørende polygoner: 1 Udregn vinkelsummen i en konveks femkant benyt den nævnte formel. 2 Udregn omkredsen i et regulær polygon med 8 kanter. Sidelængden er 5 Benyt formel. 3 Udregn sidelængden i en 10-kantet polygon. Omkredsen er svar: (5-2)*180 = 540. I en femkant er vinkelsummen 540 grader. 2 svar: 5 * 8 = 40. Omkredsen er svar: 50 = 5. Sidelængden i et 10-kantet regulært polygon med omkredsen 50 er Polyeder. 2.1 Generelt om polyeder. En polyeder er en tredimensionel figur, som er dannet af polygoner. Poly = mange, eder = side(t). Polyeder betyder altså mangesidet. En Polyeder består af et vilkårligt antal polygoner dog MINDST fire der er sat sammen til en rummelig figur. I en konvekst polyeder er der en relation mellem antal sideflader ( f ), hjørner ( h ) og antal kanter( k ). Begreberne f, h og k kan også aflæses i skemaet på forrige side.(markeret med rødt) Relationen for et konvekst polyeder er : h k + f = 2 Side 4 af 12

5 Kravene er blot, at overfladen skal være sammenhængende og uden huller. Derfor skal polygonerne, som figuren er dannet af, have fælles kanter. - Alle kanter skal hænge sammen. Her illustreret med stiplede røde linjer 2.2 Forskellige former for polyeder og deres kendetegn, egenskaber og formler. Der findes uendelig mange former for polyeder. Fælles for alle eksemplerne i skemaet herunder er, at de alle er såkaldte konvekst polyeder. - Regulære polyeder er udelukket dannet af kongruente polygoner. - Plantonisk legeme eller konvekst polyede: er en polyeder der er dannet af kongruente polygoner, sådan, at der i hvert hjørne mødes lige mange sidehjørner det kan også kaldes et konvekst polyeder. Side 5 af 12

6 Opgaver tilhørende polyeder: 1 - Bekræft, at relationen for konvekse polyeder er sand prøv det evt. på flere konvekse polyeder. 2 Udregn volumen af en heksaeder med sidelængden svar: Tetraeder: = 2. Heksaeder: = 2. Relationen er korrekt. 2 svar: 10 3 = Rumfanget er Cirklen Generelt om cirklen En cirkel er en geometrisk figur, hvor alle punkter er NØJAG- TIG lige langt væk fra centrum. Er de ikke det, er det ikke en cirkel. Vinkelsummen i en cirkel er 360 grader. Periferi: Periferien er cirklens kant. Radius: Afstanden centrum til cirklens periferi er radiussen. Diameter: Diameteren er størrelsen eller bredden på cirklen. Diameteren skal ALTID skære i centrum. Tangent: Tangenten til cirklen er en linje, som rammer periferien, men også er vinkelret på radiussen. Korde: Korden er en linje, som er inde i cirklen. Den rammer periferien i begge ender af linjen Forskellige former for cirkler og deres kendetegn, egenskaber og formler. Formler for den todimensionelle cirkels radius, diameter, omkreds, areal, korde Radius: r = d 2 Diameter: d = r * 2 - Radiussen er halvt så lang som diameteren, og omvendt er diameteren dobbelt så lang som radiussen. Radius: ( O π ) : 2 Diameter: ( O π ) - π beskriver forholdet mellem omkredsen og cirklens diameter/radius. Omkredsen delt med π er lig diameteren, og deler man det yderligere med 2 beregner man radius, fordi radius er d 2 Side 6 af 12

7 Omkreds: O = d * π O = 2 * r * π - Modsat formlen for diameter, d = ( O ), er det muligt at vende ligninngen og π udregne O, omkredsen - O = d * π. Kender man kun radiussen er det også muligt at udregne diameteren, og senere omkredsen. Simpelt ved at benytte formlen O = 2 * r * π Areal: A = r 2 * π - Produktet af, r 2 * π, er arealet af den givne cirkel. Kender man diameter, er det også simpelt at udregne, bare halvér diameteren og så har man radiussen. Derefter er det nemt at udregne arealer. Korde: K = 2 * r * sin ( v 2 ) - V er vinklen af cirkeludsnittet, hvori korden er. Det er vigtigt at huske, at vinklen har toppunkt i cirklens centrum eller midte En centervinkel. Hver enkelt vinkel vi altid ramme kordens ender, som også skærer i periferien. Her er vist et eksempel, hvor vinklen er ca. 112 grader. 3.3 Centervinkler og periferivinkler: Begge vinkler har det tilfælles, at de er et vinkeludsnit inde i en cirkel. Centervinkel: En centervinkel har toppunkt i cirklens centrum. Begge af centervinklens sider udgøres af radius. Når man benytter en centervinkel til at udregne korden, vil der derfor altid dannes en ligesidet trekant. Se evt. under under udregning af korde. En centervinkel er med andre ord en vinkel mellem to radiusser i en cirkel. Periferivinkel: En periferivinkel har toppunkt i cirklens periferi, deraf navnet. Vinklens ben er altid korder i cirklen. Periferivinklen er halvt så stor som cirkelbuens spænd. Cirkelbuen er en del af periferien. Her markeret med rød. Side 7 af 12

8 4 Tegninger. Skitse: En skitse er en ikke-målsat tegning. Skitser tager ikke forbehold i, at vinklerne er nøjagtige og stregerne helt lige. Man kan altså ikke aflæse vinkler og længder på en skitse med vinkelmåler og lineal. Det er bare en hurtig, overskuelig tegning over en ny idé eller konstruktion. Skitser er oftest tegnet hurtigt i hånden, netop, fordi den ikke er nøjagtig. Konstruktion: En konstruktion er et bygningsværk, som ofte er sammensat af flere dele. Man siger, at man konstruerer bygger - konstruktioner ud fra en skitse eller anden tegning. Forskellen mellem en konstruktion og en skitse er, at konstruktionen er målfast: man kan altså aflæse mål og vinkler ved at måle på den, hvorimod skitse, som før skrevet, ikke er målfast. Et eksempel på en meget avanceret konstruktion kunne være denne bro. Størrelsesforhold: Størrelsesforholdet i både to- og tredimensionelle figurer er forholdene mellem længderne - vinklerne i de vilkårene figurer, som er har samme størrelsesforhold, SKAL være ens. På den måde vil figurens form forblive den samme, så tvillingefiguren(e), som enten er større eller mindre end udgangspunktet er bare en mindre eller større version af udgangspunktet. Figurerne her har fælles vinkler. Den mindste figur er 5 enheder høj, og den anden er ligeledes 15 enheder høj. Her bruger vi den lille figur som udgangspunkt den er 1:1, netop, fordi den er udgangspunkt. Målene på den store figur er 3 gange så store som på den korte. Dette forhold skrives 3:1. Størrelsen på den store er altså 3 gange større end den lille figur. Kongruens og ligedannethed: Man kan sige, at figurer er kongruente og ligedannede det fortæller noget om denne enkelte figur sammenlignet med andre. Kongruente figurer er helt ens; det gælder både vinkler og længder. Med andre ord identiske. Det er muligt at lægge flere kongruente figurer oven i hinanden vha. spejlinger, flytninger og drejninger. Figurer, som er ligedannede liggende i ordet: dannet ens, har samme vinkler som hinanden. Målene er underordnede, så længe vinklerne er de samme. På billedet (th) ses eksempler på hhv. kongruente og ligedannede figurer. Side 8 af 12

9 Opgaver tilhørende skitser: 1 konstruer skitsen på forrige side. 2 Konstruer to hhv. ligedannede og kongruente figurer. 1 svar: 2 svar: 5 Vinkler og linjer. Vinkelsum: En sum er resultatet af addition et simpelt plusstykke. Resultatet af alle vinkler i en figur sammenlagt - kaldes vinkelsummen. Førhen læste du formlen for udregning af vinkelsummer i forskellige konvekse figurer. Denne formel vil her være relevant at huske: (n-2) *180. Vinkelsummen i en trekant er f.eks. 180 grader og 360 grader i enhver figur med fire sider. Billedet (th) illustrerer vinkelsummer i 3 figurer. Nabovinkler: To omsideliggende vinkler, som tilsammen danner en vinkel på 180 grader det samme som en halvcirkel. Nabovinkler er ligger derfor altid på en lige linje. Man siger, at de har et ben tilfælles en streg, som forener dem. Kender man kun den ene nabovinkel er det derfor nemt at udregne den anden. Det kan man vha. denne formel: 180 kendt vinkel = ukendt vinkel. Topvinkler: Topvinkler er to ens vinkler, som står overfor hinanden. De er altså hver omgivet af to andre vinkler. Man kan, ved at kende til nabovinklerne kende topvinklerne. Vi ved at u + w = 180 grader. Og at u + w = 180 grader. v = 180 u w = 180 u u og w er altså ens lige store. Side 9 af 12

10 6 Trigonometri. For at lære begreberne sinus, cosinus og tangens er det vigtigt at kunne kende nogle basale begreber om trekanter, og hvilke betingelser, der er for brugen af de geometriske begreber. Man kan aldrig bruge den rette vinkel som udgangspunkt for beregning af vinkler og sidelængder med Cos, Sin og Tan. Man kan kun bruge de to andre vinkler A og C Hosliggende katete: Kateten tættest på vinklen (i forhold til vinkel A eller C) Modstående: Ligeledes kateten overfor vinklen. Siderne er altid navngivet med små bogstaver og vinklerne med store. Den rette vinkel overfor hypotenusen vil skal hedde C. Den hosliggende katete hedder b og den modstående a. I den lille røde trekant er sidelængderne: - Cos(A), som er ensliggende med b. - Sin(A), som er ensliggende med a. - Linjen A til P er enhedscirklens radius, 1. Længden 1 er ensliggende med c. Begge trekanter er ensvinklede. De deler begge vinklen A og er retvinklede. Jeg kan nu påvise, hvorfor formlerne er opbygget, som de er. Vha. disse formler kan man med Cos, Sin og Tan bestemme vinklerne sidelængderne i den valgte trekant. Side 10 af 12

11 Sinus: Sinus er et begreb, som fortæller forholdet mellem siderne a og c. Når man kender disse sider, er det muligt at udregne vinkel A eller C de ikke-rette vinkler. Ved at benytte Sin -1 ( a ) udregner man den givne c vinkel. Her beregner man vinklen på A. Vi kender Sin(A) = a og kan nu finde de forskellige sidelængder, blot ved at ændre formlen c lidt. Du ønsker at finde a: Sin(A) = a c * c Sin(A) * c = a Du øsnker at finde c: f Sin(A) Sin(A) * c = c = a Sin(A) a Sin(A) Der er samme teori bag Cos og Tangens: Cosinus: A = Cos -1 ( b c ) Du ønsker at finde b: Cos(A) = b c * c Cos(A) * c = b Du ønsker at finde c: Cos(A) = b c * c Cos(A) * c = b Cos(A) Cos(A) * c = b Cos(A) c = b Cos(A) Side 11 af 12

12 Tangens: A = Tangens -1 ( a b ) Du ønsker at finde a: Tan(A) = a b * b Tan(A) * b = a Du ønsker at finde b: Tan(A) = a b * b Tan(A) * b = a Tan(A) Tan(A) * b = a b = Cos(A) a Cos(A) Formler for udregning af forskellige sider og vinkler: Vinklen A eller B: Sin -1 ( a c ) Cos -1 ( b c ) Tan -1 ( a b ) Formler for udregning af siden a: Sin(A) * c = a Tan(A) * b = a Formler for udregning af b: Cos(A) * c = b a b = Tan(A) Formler for udregning af c: c = a Sin(A) c = b Cos(A) Side 12 af 12