Problemløsning i retvinklede trekanter
|
|
- Elias Mølgaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Værktøj Pythagoras sætning De trigonometriske funktioner De trigonometriske funktioner og retvinklede trekanter Hvad kan det bruges til? Eksempler på problemløsning 6 4 Opgaver 17
3 Resumé I dette dokument giver vi metoder til og eksempler på hvordan man løser problemer vedrørende størrelser i en retvinklet trekant. 1 Introduktion Matematisk problemløsning er en af de evner som man udvikler mens man lærer matematik, og det er nok den primære grund til at matematik findes som fag i skolerne. Det viser sig nemlig at evnen til at løse problemer på en struktureret og målrettet måde kan bruges mange andre steder end i matematiktimerne. I dette dokumenter viser vi hvordan en generel problemløsningsstrategi kan hjælpe med at bevare overblikket i problemer der vedrører vinkler og sidelængder i retvinklede trekanter. Forudsætninger Det er absolut nødvendigt at du har læst dokumentet om problemløsning 1 inden du læser dette dokument. Derudover er det en fordel at du har set Pythagoras sætning 2 og hørt om de trigonometriske funktioner 3 før, men hvis ikke du har, bliver det repeteret i starten af dokumentet. 1 Læs om problemløsning i matematik her 2 Læs et bevis for Pythagoras sætning her 3 Læs om de trigonometriske funktioner her side 1
4 2 Værktøj Vi skal undervejs bruge følgende fire sætninger. De findes bevist i andre dokumenter på MatBog, så her vil vi betragte dem som velkendte facts. 2.1 Pythagoras sætning Sætning 1 (Pythagoras sætning). I en retvinklet trekant (se figur 1), hvor kateterne har længder a og b, og hvor hypotenusen har længde c, gælder at a 2 + b 2 = c 2 Sagt i ord: Summen af kateternes kvadrater er lig hypotenusens kvadrat. c a b Figur 1: Navngivning af de relevante størrelser i sætning 1. side 2
5 Pythagoras sætning har en omvendt udgave som er lidt mindre kendt, men næsten lige så brugbar: Sætning 2 (Pythagoras sætning, del 2). Hvis en trekant har sidelængder, a, b og c, og disse længder opfylder at: a 2 + b 2 = c 2 så er trekanten retvinklet, og a og b er kateter, mens c er hypotenuse. 2.2 De trigonometriske funktioner Funktionerne sinus, cosinus og tangens er defineret i et andet dokument. Det eneste som vi behøver at vide om dem i dette dokument er, at de er knapper på lommeregneren, og at man kan udregne deres værdi ( tage dem ) til enhver given vinkel. Dette skal forstås som at hver gang man har en konkret vinkel, så kan man udregne tre forskellige tal, nemlig sinus til vinklen, cosinus til vinklen og tangens til vinklen. Det er ikke nødvendigt at vide hvordan disse værdier udregnes, men derimod er følgende facts vigtige: Hvis v er en vinkel, så skriver vi værdierne af sinus, cosinus og tangens til denne vinkel som: sin(v), cos(v) og tan(v) Hvis v er en vinkel mellem 0 og 90, så giver både sin(v) og cos(v) et tal mellem 0 og 1. Men tan(v) giver et reelt tal i intervallet [0; [. Eftersom vi angiver alle vinkler i grader i dette dokument, bør du kontrollere at din lommeregner er indstillet til at regne med vinkler i grader. side 3
6 Der er ikke to forskellige vinkler mellem 0 og 90 som kan give den samme værdi af hverken sinus, cosinus eller tangens. Hvis man derfor kender f.eks. sin(v), hvor v er en vinkel mellem 0 og 90 så er det muligt at bestemme hvad v er, alene ud fra denne oplysning. Til dette formål bruges de inverse trigonometriske funktioner, sin 1, cos 1 og tan 1. De er også bare knapper på lommeregneren indtil videre, og det er ikke nødvendigt at vide hvordan de beregnes. De inverse trigonometriske funktioner er baglæns udgaver af de trigonometriske funktioner: Hvis man f.eks. tager sin 1 til et tal, x, mellem 0 og 1, så får man den vinkel, v, som opfylder at 4 : v [0 ; 90 ] og F.eks. er sin(v) = x cos(60 ) = 1 2 Derfor er: ( ) 1 cos 1 = De trigonometriske funktioner og retvinklede trekanter Bemærk at i en retvinklet trekant er den ene vinkel ret, mens de to andre vinkler altid er spidse (mellem 0 og 90 ). Hvis man tager en af de trigonometriske funktioner til en af de spidse vinkler, så gælder følgende vigtige sammenhænge: 4 Hvis du synes at dette minder om definitionen af kvadratroden, så har du fuldkommen ret! side 4
7 Sætning 3 (cos, sin og tan i en retvinklet trekant). Hvis A er en af de spidse vinkler i en retvinklet trekant, og m er længden af den modstående katete til vinkel A (den af katerne som ligger overfor A), h er længden af den hosliggende katete til vinkel A (den af kateterne som ligger ind imod A) og c er længden af hypotenusen (se figur 2), så gælder at: cos(a) = h c sin(a) = m c tan(a) = m h c m A h Figur 2: Navngivning af de relevante størrelser i sætning 3. Det er meget klogt at huske sætningen uden brug af bogstaver. Derfor kommer den også lige på slogan form her: Sinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig den modstående katete (til vinklen) divideret med hypotenusen side 5
8 Cosinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig den hosliggende katete (til vinklen) divideret med hypotenusen Tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig den modstående katete (til vinklen) divideret med den hosliggende katete (til vinklen) 2.4 Hvad kan det bruges til? For det utrænede øje kan sætning 3 godt virke lidt ubrugelig1, fordi man kan fristes til at tro at de bare giver en måde at udregne cosinus, sinus og tangens til en spids vinkel på. (Og det har vi jo lommeregneren til.) Men hvis man tror det, er det fordi man læser lighedstegnet forkert! Lige som Pythagoras sætning, udtrykker hver af disse sætninger en sammenhæng mellem størrelser i en retvinklet trekant. I næste afsnit skal vi se at sådanne sammenhænge kan være lige præcis det vi skal bruge for at løse et problem. 3 Eksempler på problemløsning Vi gennemgår nu nogle eksempler på problemer vedrørende størrelser i en retvinklet trekant. I stedet for at fokusere på resultatet, koncentrerer vi os om problemløsningsprocessen, idet vi forsøger at beskrive hvilke tanker der bør løbe igennem ens hovede mens man løser problemet. Eksempel 1. I en retvinklet trekant får vi oplyst at den ene katete har længde 3, og hypotenusen har længde 5. Vi ønsker at finde alle sidelængder i trekanten. side 6
9 Situation Vi har fået oplyst længden af en katete og hypotenusen i en retvinklet trekant. Hvis vi ønsker noget som helst information om trekanten, er begge disse oplysninger selvfølgelig relevante. Man kan også indse at disse oplysninger er tilstrækkelige, eftersom det kun er muligt at lave én retvinklet trekant med de givne sidelængder. Vi vælger derfor at navngive længden af kateten: og længden af hypotenusen: a = 3 c = 5 Opgave Vi ønsker at bestemme et tal, nemlig længden af den sidste katete. Vi vælger at betegne dette ukendte tal som x. Vi tegner situationen (se figur 3). Værktøj Vi leder værktøjskassen igennem efter en sammenhæng mellem de kendte informationer og den søgte information, og Pythagoras sætning skriger på at blive brugt. I vores tilfælde udtrykker Pythagoras sætning følgende sammenhæng mellem de relevante størrelser: x 2 + a 2 = c 2 Udførsel Vi løser ligningen, idet de kendte værdier indsættes: x = 5 2 side 7
10 c a x Figur 3: Kendte og ukendte størrelser i eksempel 1. dvs. x 2 = = 25 9 = 16 Her stopper vi et øjeblik og husker at den slags ligninger normalt har to løsninger. Men da vi ved at x er en sidelængde i en trekant, kan vi øjeblikkeligt udelukke den negative mulighed. Derfor konkluderer vi: x = 16 = 4 Dokumentation Som dokumentation af problemløsningen behøver vi blot at skrive følgende: Lad a = 3 og c = 5 være de givne sidelængder, og lad x betegne længden af den sidste katete. Ifølge Pythagoras sætning gælder: x 2 + a 2 = c 2 dvs. x 2 = c 2 a 2 = = 16 side 8
11 dvs. x = 16 (Vi glemmer den negative løsning, fordi x er en sidelængde i en trekant) Eksempel 2. I en trekant med navngivne sider og vinkler som angivet på figur 4 får vi oplyst at: K = 22 c = 4 Vi ønsker at finde længden af siden m. K m c R d Figur 4: Navngivne størrelser i eksempel 2. Situation I denne opgave har vi to konkrete oplysninger, og en masse navne som ikke indeholder egentlig information. Ved nærmere undersøgelse kan side 9
12 vi se at de givne størrelser er henholdsvist en vinkel i den retvinklede trekant og en side, nemlig den hosliggende katete til denne vinkel. Ved grundig eftertanke kan man indse at disse to oplysninger er tilstrækkelige til at fastlægge trekanten, idet det kun er muligt at konstruere én retvinklet trekant med en given vinkel og en given længde på den modstående katete. Opgave Vi skal finde længden af den side, m, som er hypotenuse i den retvinklede trekant. Da den allerede har et navn, behøver vi ikke finde på et. For at hjælpe på overblikket tegner vi trekanten igen, men denne gang kun med de relevante størrelser angivet. (Se figur 5.) K m c Figur 5: Relevante størrelser i eksempel 2. Værktøj Igen leder vi værktøjskassen igennem efter en sammenhæng mellem de relevante størrelser, og sætning 3 skriger på opmærksomhed. I side 10
13 vores tilfælde siger den at: cos(k) = c m Udførelse Vi indsætter de kendte størrelser og får dermed en simpel ligning med m som ukendt. Derefter isoleres m: cos(22 ) = 4 m dvs. dvs. m = 4 1 cos(22 ) = m 4 1 cos(22 ) 4,3141 Dokumentation Eftersom R er en vinkel i en retvinklet trekant, c er den modstående katete til R, og m er hypotenusen, siger sætning 3 at: cos(r) = c m Idet de kendte værdier af R og c indsættes fås en simpel ligning som løses: cos(22 ) = 4 m dvs. dvs. m = 4 1 cos(22 ) = m 4 1 cos(22 ) 4,3141 side 11
14 Eksempel 3. Den direkte afstand mellem Andeby og Gåserød er 40km. En tilfældig and kører langs en ret linje ud af Andeby, men ikke i den direkte retning mod Gåserød. Efter et stykke tid kommer han til en sidevej, der går vinkelret på den nuværende vej og fører langs en ret linje til Gåserød. Ved denne sidevej oplyses det at afstanden til Gåserød er 12km. Vi vil nu bestemme hvor stor vinklen mellem den direkte vej til Gåserød og den kørte vej har været. Situation I denne opgave er det sværeste næsten at finde ud af hvilke oplysninger der er relevante. Efter lidt eftertanke med en blyant indser man der er tre linjestykker som tilsammen udgør en retvinklet trekant, nemlig den direkte vej, a, det første lige stykke af den kørte vej, b og det andet lige stykke af den kørte vej, c. Af disse størrelser kender vi kun a og c. Vi tegner situationen. (Se figur 6) Opgave Vi leder efter vinklen mellem det første stykke kørt vej, b og den direkte vej a. Da denne vinkel ligger overfor siden c, er det naturligt at kalde den C (se figur 6). Vi bemærker at de kendte størrelser er henholdsvist hypotenusen a og den modstående katete c til den søgte vinkel. Værktøj Vi åbner værktøjskassen, og vi falder over sætning 3. Den giver følgende sammenhæng mellem de relevante størrelser: sin(c) = c a side 12
15 C a c Figur 6: Relevante størrelser i eksempel 3. Udførelse Idet vi indsætter kendte størrelser, får vi: sin(c) = = 3 10 Da vi således kender sinus til vinkel C, kan vi bestemme vinkel C ved at bruge den inverse sinus. Det giver: ( ) 3 C = sin 1 17, Dokumentation Da den direkte vej a og det sidste kørte stykke, c udgør en retvinklet trekant, hvor a er hypotenusen og c er den modstående katete til den søgte vinkel C (se figur 6) giver sætning 3 følgende sammenhæng: sin(c) = c a side 13
16 Dvs. Dvs. sin(c) = = 3 10 ( ) 3 C = sin 1 17, Eksempel 4. I en trekant får vi oplyst samtlige sidelængder: a = 3, b = 8 og c = 73 Vi ønsker at beregne den vinkel som ligger mellem siden med længde a og siden med længde c. Situation Denne gang står vi med en trekant hvor alle sidelængder er kendte, men til gengæld ved vi ikke at den er retvinklet. Heldigvis får vi øje på sætning 2 i værktøjskassen, og den siger øjeblikkeligt at eftersom c 2 = ( 73 ) 2 = 73 og a 2 + b 2 = = = 73 så kan vi konkludere at trekanten er retvinklet og at a og b er dens kateter mens c er dens hypotenuse. Efter denne indsigt kan vi konkludere at den ene af de tre informationer er overflødig, eftersom en retvinklet trekant er fastlagt hvis bare to af sidelængderne er kendte. Da c er det mindst behagelige tal at arbejde med, glemmer vi denne information fremover. side 14
17 Opgave Vi ønsker at finde vinklen mellem a og c. Da denne vinkel ligger overfor siden b, vælger vi at kalde den B. Alle de relevante størrelser indtegnes på en tegning. (Se figur 7) b B a Figur 7: Relevante størrelser i eksempel 4. Værktøj Sætning 3 giver øjeblikkeligt en sammenhæng mellem de relevante størrelser: tan(b) = b a Udførelse De kendte størrelser indsættes: tan(b) = 8 3 side 15
18 Dermed ved vi altså hvad tangens til B er. For at finde hvad B er, bruger vi den inverse tangensfunktion. Dermed kan vi konkludere at: ( ) 8 B = tan 1 69,44 3 Dokumentation Da c 2 = 73 og a 2 +b 2 = 9+64 = 73, kan vi ifølge sætning 2 konkludere at trekanten er retvinklet med siden c som hypotenuse. Dermed giver sætning 3 at: tan(b) = b a Idet de kendte størrelser indsættes, fås: tan(b) = 8 3 dvs. ( ) 8 B = tan 1 69,44 3 side 16
19 4 Opgaver Øvelse 1. I en retvinklet trekant med sidelængder a, b og c, hvor c er længden af hypotenusen, oplyses at: a = 1 og Hvad er c? b = 1 Øvelse 2. I en retvinklet trekant, med sidelængder b, d og k, hvor b er længden af hypotenusen, oplyses b = 3 og at vinklen mellem b og d er 71. Hvad er d? Øvelse 3. Midt på et 22 meter langt skibsdæk står en mast som er 10 meter høj. Fra toppen af masten til stævnen (det forreste punkt på skibet) hænger et helt stramt reb. Hvor stor er vinklen mellem rebet og skibsdækket? Øvelse 4. Er det rigtigt at hvis man får oplyst to størrelser (sidelængder eller vinkler) i en retvinklet trekant, så kan alle de andre udregnes? side 17
User s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereTrigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereEnhedscirklen og de trigonometriske Funktioner
Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9b & 9c)
Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereOm problemløsning i matematik
Om problemløsning i matematik Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs merePythagoras og andre sætninger
Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereProjekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af
Læs mereRENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L
SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs mereTrekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul
Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereIb Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt
Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereProjekt Beholderkonstruktion. Matematik - A
Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en
Læs mereTRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.
TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereMatematik A1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mereMatematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereM I K E A U E R B A C H. c a
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereM A T E M A T I K A 1
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereA U E R B A C H. c h A H
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereLigningsløsning som det at løse gåder
Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereM A T E M A T I K B 1
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereTrigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet
Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens
Læs mereTrigonometri - Facitliste
Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis
Læs mereMåling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning
Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i
Læs mereMåling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning
Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereÅrsplan matematik 8. klasse
Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2
GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...
Læs mereMine matematik noter C
Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereElevark Niveau 2 - Side 1
Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereNoter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDen Flydende Kran Samson
Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen.
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereLouise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde
Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...
Læs mere10 Elevplan. en tværfaglig læringsaktivitet. Når eleven skal have afvinket en læringsaktivitet eller et læringselement, vil det være samtlige
10 Elevplan Organisatoriske forhold Matematik kan i Elevplan udbydes som en selvstændig læringsaktivitet og/eller som elementer i tværfaglige aktiviteter. Beskrivelsen i Elevplan er en uddybning og præcisering
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereKære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):
Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereOpgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mere