Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Transkript

1 Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave Vi kan beregne arealet af s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens areal: Opgave real af må være: ½ lle 4 sider er lige store, når diagonalerne står vinkelret på hinanden. Vi får:

2 Opgave 0 1 h E 0 Linjestykket E er tegnet parallel med. et betyder, at E er et parallelogram, hvorved sidernes længder bliver, som angivet på tegningen. Vi kan beregne areal af s 1. E ved hjælp af Heron s formel: ( E) Vi kan nu beregne højden h i trekanten. enne er samtidig trapezets højde: ½ h h 1. Trapezets areal kan beregnes ud fra formlen for dette eller ved addition af trekantens og parallelogrammets arealer. ( ) ½ Opgave og er begge retvinklede, og vi kan ved brug af Pythagoras sætning få:

3 ( ) ½ Opgave 5 Her skal vi igen bruge Herons formel: s 187 ( ) Opgave 6 realet må være lig med ½ Opgave 7 x 1 x+ er en retvinklet trekant, så vi får følgende:, 1 x x 144 x x 6 x 9 6 x 15 x 5 et betyder:, 5 og, 5 5, 5. Rektanglets areal: 1, Opgave er retvinklet, og dermed kan diagonalen beregnes: 1

4 I kender vi nu alle sider, og vi kan bruge Herons formel til at beregne arealet s realet af er summen af de trekanters arealer. ( ) ½ Trods de forholdsvis store tal fik vi igen pæne tal ved brug af Herons formel. Man skal imidlertid ikke tro, at dette altid er tilfældet. et er absolut nøje konstruerede tal, der her er valgt. Opgave 9 Vi sætter de sidetal til henholdsvis: x og 4 x. Herved bliver arealet: x 4 x 1x. Vi har da: 1x 691 x 576 x 4 (idet kun den positive værdi kan bruges). Rektanglets sider er da: 4 7 og Opgave 10 7, 5 0, 75 18, 75 0, , 5. edet i midten har dimensionerne: Grusgangens areal må være differensen mellem havens areal og bedets areal: Grusgangens areal,,,, m. Rumfang af gruset må ligge mellem følgende tal: 7, 15 0, 04 1, 485 m og ,,, m. er skal derfor købes m. Grusets vægt: kg. 1 Traileren skal køre: 500 : vs. 10 ture. 75 kg grus har rumfanget: m.

5 Vi bestemmer højden ved at dividere rumfanget med bundens areal: højden : (, 05 1, ) 0, , 05 1, Gruset må altså maksimalt stå i en højde af ca. 8 cm. (Mon det bliver overholdt?). Opgave 11 Endevæggen kan deles op i et rektangel og et trapez: real af endevæggen: ,, ½ (,, ) (,, ), m. For at beregne skråvæggens areal skal vi kende dens dimensioner, og her mangler vi den skrå linje på tegningen. en er hypotenusen i en retvinklet trekant med kateterne:, 5, 5 0, 75 m og, 5-1, 5 1 m. et giver: 0, , 5 m. real af den malede flade bliver summen af endevægge, væggen med skråvæg og endnu en væg. Herfra skal fratrækkes areal af vindue og dør. et giver: ,,,,,,,,,,,, m. En bøtte maling rækker til: 8 5 0, m m. er skal derfor købes bøtter. Opgave 1 48 H 144 G 8,8 F 6 E EF G i forholdet: 8, 8 : 144 1: 5 esuden gælder: H G. Også her er forholdet 1: 5 Heraf følger: og Vi kan nu beregne de store trekanter areal, og vejens areal er differensen mellem disse. real real (fskåret trekant) ( ) ½ m.

6 real E ( ) ½ m. real Vej ( ) m. Opgave 1 Q 8 P 6 E R 8 S 6 Ved diagonalen deles real ( ) (½ 6 8) 48. i kongruente retvinklede trekanter. a begge trekanter: og er ligebenede, er midtnormal for. erfor gælder:. a er retvinklet, har vi: I en retvinklet trekant er produktet af kateterne lig med produktet af højde og hypotenuse (underforstået længderne af disse). a er retvinklet, får vi: E 6 8 E 10 E 4, 8. Og hermed: 9, 6. PQ er midtpunktstransversal i, og derfor halv så stor som. Tilsvarende er QR midtpunktstransversal i, og derfor er QR det halve af. imensionerne i rektanglet PQRS er således: 5 4, 8. et betyder, at arealet er 4, der i øvrigt er det halve af arealet af. ette sidste er et generelt resultat, når punkterne P, Q, R og S betegner midtpunkter af firkantens sider. 4

7 Opgave E 10 1 F E er retvinklet. f Pythagoras sætning følger: E og dermed: E a F (ensliggende vinkler ved parallelle linjer) må der gælde: F E i forholdet 10 : 15 :. Heraf følger: F 1 8 og F 9 6. Højden fra F i FE står vinkelret på s forlængelse. Men er parallel med. erfor er højden fra F i F en del af den søgte højden. Resten udgøres af afstanden (på 1) mellem de parallelle linjer og. Om højden h fra F i FE gælder: h h 4, 8. Højden fra F i FE : 4, , 8. real( FE )=½ 16, 8 1 8, 4. Opgave 15 " 8, 5 cm. ette tal er hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateternes forhold er 16 : 9. Idet vi sætter kateterne til henholdsvis 16 x og 9 x, får vi: 16 x 9 x 8, 5 56 x 81x 6975, x 6975, 5904 x ca. 4, 55. Skærmens dimension bliver ca.: 4, , , 8 cm 40, 95 cm. 5

8 Opgave 16 E O F M N bliver delt i trekanter med samme areal, idet de har samme højde (på ) og samme grundlinje. e har derfor hver et areal på 1 6 af kvadratets areal EN FM har et areal på: real( N) real E realet af femkanten NEFM er lig med: