2. ordens differentialligninger. Svingninger.
|
|
- Aksel Overgaard
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af fjederen. 80 kg
2 . ordens differentialligninger. Udledning af forler for løsning af. ordens hoogene differentialligninger. d d y a y by = 0 dx d x En operator D indføres. D y ad y by D = ad b y = D r1 y = 0 ( 1) r 1 og r er rødder i ligningen r ar D r b = 0 Denne ligning kaldes den karakteristiske ligning Vi indfører en funktion: u = d u( xder ) indsættes i ( 1) u = u( x) = D r y D r 1 D r y = D r 1 u = 0 ( ) D r 1 u = 0 d dx u = r 1 u 1 u du = r 1dx 1 du = u r 1 dx ln u = c1 u c e r 1x = Dette indsætte i ( ) r 1 x c e r 1x = D r y So oskrives til: d dx y r y = c e r 1x Dette er en 1. ordens lineær differentialligning: Px ( ) = r Qx ( ) c e r 1x = Px ( ) dx r dx ρ( x) = e ρ( x) = e e r x = yx ( ) = 1 ρ( x) ρ( x) Q( x) dx yx ( ) = 1 e r x e r x c e r 1x dx yx ( ) c e r x = e r 1r x dx Ligningen r ar b = 0 kan have 3 løsninger. reelle og 1 kopleks løsning. of 1
3 1) Den 1. reelle løsning: r 1 og r er relle og forskellige. yx ( ) c e r x e r 1r x = dx c e r x = 1 r 1 r e r 1 r x c3 yx ( ) c e r x e r 1r x cc3 e r x = r 1 r yx ( ) C1 e r 1x = C e r x ) Den. reelle løsning: r 1 = r orker vi ikke udlede nu. Løsningen er yx ( ) e r 1x = ( C1x C) 3) Den koplekse løsning: r 1 = a ibog r a ib =. Vi tager udgangspunkt i løsningen fra den 1. reelle løsning: yx ( ) C1 e r 1x C e r x = k1 e r 1x = k e r x yx ( ) k1 e r 1x k e r x = = k1e ( aib) x ke ( aib) x = k1e ax e ib x ke ax e ib x Vi anvender nu: e ib x = cos bx ( ) isin( bx) yx ( ) = e ax [ k1( cos( bx) isin( bx) ) k( cos( bx) isin( bx) )] Da cos( x) = cos( x) og sin( x) = sin( x) yx ( ) = e ax [ ( k1 k)cos( bx) ( k1 k) isin( bx) ] Da både k1+k og ( k1 k) ier konstanter, kan udtrykket skrives so: yx ( ) = e ax ( C1 cos( bx) Csin( bx) ) Løsningen ed de koplekse rødder er den, vi anvender på svingningsprobleer. 3 of 1
4 Opgaver i. ordens hoogene differentialligninger Opgave 1 Find den fuldstændige løsning til differentialligninger og beste den particulære løsning til de angivne randbetingelser: 4 of 1
5 Svingninger Svingninger og den. ordens hoogene differentialligning x k F(t) c a) x b) F= k. x. g F(t)= A 1. cos( 1. t) F d = c. v R=. g Figur 1 ed ydre kraft Idealiseret odel af et dæpet syste Forudsætninger På ovenstående figur ses en vogn, der står på en plan vandret overflade. Der er ingen friktion i vognens lejer og hjul, og der optræder ingen friktion elle hjul og underlag, ligeso der ikke optræder luftodstand på vognen. Vognen er udover tyngdekraften påvirket af en fjeder - i vandret retning -ed fjederkonstanten, k N, sat af en dæpning i for at en væskefyldt cylinder hvori der befinder sig et stepel, so er fastgjort til vognen. Dæpningen kan forudsættes proportional ed vognens hastighed, og kan N udtrykkes ved dæpningskonstanten, c, og virker ligeledes i vandret retning. s På vognen kan desuden virke en ydre kraft, der er afhængig af tiden - her givet ved funktionen Ft () = A 1 cosω 1 t. Først antages den ydre kraft at være nul, og vognens bevægelse so funktionen af tiden kan bestees so løsning til en. ordens differentialligning, so udledt i det følgende. Vognen trækkes lidt od højre og slippes hvorefter den vil udføre en bevægelse. Det skal vises, at der - ved hjælp af Newtons. lov - kan opstilles en differentialligning hvor vognens stedfunktion x(t) og dens afledte er ubekendte. På ovenstående figur 1 situation b) er vist de kræfter, der virker på vognen når den foretager denne bevægelse. Ps det er lettest at genneskue fortegn på de opstillede kræfterne, når vognen foretager en bevægelse ed højre svarende til positiv retning iht fortegnskonventionen og stedet, der i dette notat benævnes x(t), er større end nul - altså x(t) > 0. 5 of 1
6 Husk bevægelsesligningerne fra fysikken, og at vi i dette notat anvender sybolet x for stedet: xt () : stedet so funktion af tiden x' () t v() t : hastigheden so funktion af tiden x'' ( t) v' () t at () : accelerationen so funktion af tiden Med ovenstående i frisk erindring sat ved hjælp af Newtons. lov fås: a => F d F x'' cx' kx => c x'' x' k x 0 => Eller skrevet ed en anden notation d c d x dt dt x k x 0 Ovenstående genkendes so en. ordens lineær differentialligning ed konstante koefficienter, hvor løsningen til differentialligningen er er styret af egenskaberne af karakterligningens rødder. Det viser sig dog, at uanset udfaldet af rødderne i karakterligningen vil den givne løsning til differentialligningen beskrive en for svingende bevægelse. Karakterligning: r c r k 0 c c 4 k r 1 r c c 4 k I. Karakterligningen giver to reelle rødder hvoro det gælder, at r 1 r c Svarende til 4 k 0 Løsningen til differentialligningen bliver x C 1 e r 1t C e r t, der beskriver bevægelsen (svingningen) i et overdæpet syste: 6 of 1
7 II. Karakterligningen giver to reelle dobbelt rødder hvoro det gælder, at r 1 r c Svarende til 4 k 0 Løsningen til differentialligningen bliver x e r 1t C 1 t C, der beskriver bevægelsen (svingningen) i et kritisk dæpet syste III. Karakterligningen giver to koplekse rødder, hvoro det gælder, at de er koplekst konjugerede. c Svarende til 4 k 0 Løsningen til differentialligningen bliver x e αt C 1 cos( βt) C sin( βt), der beskriver bevægelsen (svingningen) i et underdæpet syste. Læg specielt ærke til, at hvis c= 0 svarende til at der ikke er nogen dæpning, fås løsningen til en haronisk bevægelse - se fysikkopendiet α c β c 4 k Eksepel A - underdæpet syste Se figur 1 og udregn hvilken bevægelse vognen vil udføre under forudsætning af nedenstående værdier, og at den flyttes 0,5 til højre, før der gives slip på den. = 10 kg k = 10 N/ og c = 1 N//s Beregn svingningens periode c 4 k 0 svarende til et underdæpet syste 10 k 10 c 1 α c β c 4 k α 0.05 β 1 xt () e αt C 1 cos( βt) C sin( βt) 7 of 1
8 C 1 og C skal naturligvis bestees ud fra randbetingelser - og så forsvinder den røde farve også fra Mathcad. Randbetingelser 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 ) t 0 => x' ( 0) v( 0) 0 1) 0.5 C 1 1 C 0 => C ) x' () t 1e αt βc 1 sin( βt) αe αt C 1 cos( βt) e αt βc cos( βt) αe αt C sin( βt) α x' ( 0) αc 1 βc 0 C β C 1 C 0.03 xt () e αt C 1 cos( βt) C sin( βt) A C 1 C ϕ o atan C 1 C Oskrivning til haronisk svingning iht fysikkopendiet ω β Hvor er systeets egenfrekvens x f () t e αt Asin ωt ϕ o x 1 () t e αt A ok ed oskrivning se grafen på næste side Indhyldningskurven 8 of 1
9 1 0.5 xt () x f () t x 1 () t x 1 () t t T π β Se fysik kopendiet ed hensyn til den haroniske svingning T 6.9 Eksepel B Med systeet i eksepel A kan an nu spørge hvor stor dæpningen skal være for at vi får et kritisk dæpet syste? svarende til situation II Kritisk dæpning => at diskriinanten i karakterligningen skal være nul, svarende til at: c 4 k 0 => c k Med ovenfor angivne værdier betyder det at c k => c 0 10 k 10 Løsningen til differentialligningen bliver på den baggrund x e r 1t C 1 t C, der beskriver bevægelsen i et kritisk dæpet syste c r 1 x kri () t e r 1t C 1k t C k 9 of 1
10 C 1 og C skal ligeso i eksepel A bestees ud fra randbetingelser. Randbetingelserne er de sae so i eksepel A. Randbetingelser 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 ) t 0 => x' ( 0) v( 0) 0 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 => C k 0.5 ) x' kri () t r 1 e r 1t = C 1k t 0.5 e r 1t C 1k c 0 = r 1 ( 0 0.5) C 1k => C 1k = 4 r 1 C 1k C 1k 0.5 kontrol c x kri () t e r 1t C 1k t C k x kri () t t 10 of 1
11 x kri () t xt () t Eksepel C - overdæpet syste Hvis vi forsætter ed de sae antagelser so i eksepel A - en nu antager at c kfås et overdæpet syste Vi kan eksepelvis vælge at c 50 Løsningen til differentialligningen bliver således x C 1 e r 1t C e r t, der beskriver bevægelsen (svingningen) i et overdæpet syste: c c 4 k r 1 r c c 4 k Kontrol c 50 k x ov () t e r 1t C 1ov C ov e r t C 1ov og C ov skal ligeso i eksepel A og B bestees ud fra randbetingelser. Randbetingelserne er de sae so i eksepel A. Randbetingelser 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 ) t 0 => x' ( 0) v( 0) 0 11 of 1
12 1) t 0 => x0 ( ) 0.5 => C 1ov C ov 0.5 ) x' ov () t r 1 e r 1t C 1ov r C ov e r t ) 0 = r 1 C 1ov r C ov => r C ov r C ov = 0 => 0.5r 1 r 1 C ov r C ov 0 = => r 1 C ov r r r r C 1ov 0.5 C ov C 1ov 0.48 C ov 0.0 x ov () t C 1ov e r 1t C ov e r t 0.4 x ov () t t 1 of 1
13 Eksepel A,B og C 0.5 x ov () t x kri () t xt () Løsninger af differentialligningen hvis vognen påvirkes af en ydre kraft so nævnt på side 1 Ft () = A 1 cos ω 1 t t Hvorfor er der valgt netop denne for på den ydre kraft, der kunne i princippet være valgt en hver anden funktion af tiden? Ft () = A 1 cos ω 1 t er valgt fordi den kan være et led i en Fourierrækkeudvikling af en vilkårlig funktion. Fourierrækken kan i princippet beskrive en vilkårlig funktion ed en præcision, der udelukkende afhænger af edtagne led i rækken. Der henvises iøvrigt til special litteratur vedrørende Fourierrækker - so ligger uden for dette fags pensu. Da alle led i en Fourierrække er enten en sinus eller cosinusfunktin har an - hvis an finder en løsning til x(t) når der virker en ydre kraft på foren F() t = A 1 cos( ωt) - løst probleet for alle tænkelige ydre kræfter idet disse i princippet kan oskrives ved hjælp af en Fouierrække. Når der virken en ydre kraft so beskrevet ovenfor bliver den styrende differentialligning en inhoogen. ordens differentialligning på foren: d c d x dt dt x k x = Ft () A 1 cos ω 1t = eller ed en anden notation d c d x dt dt x k x = C 3cosω 1 t Den fuldstændige løsning til den inhoogene. ordens differentialligning på forrige side fås so bekendt so den fuldstændige løsning til den tilsvarende hoogene differentialligning plus én løsning til den inhoogene. 13 of 1
14 Det der specielt kan være interessant at analysere er hvis frekvensen af den ydre kraft er ens ed frekvensen af egensvingningen til løsningen til den hoogene differentialligning (her er der tale o det tilfælde hvor løsningen beskriver et underdæpet svarende til at der forekoer koplekse rødder i karakterligningen). Dette er interessant i forbindelse ed resonansfænoener, tænk eksepelvis på hængebroen, so gik i egensvingninger. Eksepel A genoptages og odøbes til Eksepel D Se figur 1 og udregn hvilken bevægelse vognen vil udføre under forudsætning af nedenstående værdier, og at den flyttes 0,5 til højre, før der gives slip på den. = 10 kg k = 10 N/ og c = 1 N//s Beregn svingningens periode 10 k 10 c 1 α c β c 4 k α 0.05 β 1 C 0.03 C x() t e αt C 1 cos( βt) C sin( βt) A C 1 C ϕ o atan C 1 C Oskrivning til haronisk svingning iht fysikkopendiet ω β Defineres so den (sykliske) egenfrekvens se Teknisk Ståbi x f () t e αt Asin ωt ϕ o ok ed oskrivning se grafen på næste side T π β T of 1
15 x f () t xt () Tjek af at oskrivningen passer! t Hvad vil der ske ed vognens bevægelsesønster hvis vi påvirker den ed en ydre kraft ed sae cykliske egenfrekvens so ovenstående d c d x dt dt x k x = C 3cosω 1 t ω 1 = β C 3 = 0.01kN C xt () = x h () t x p () t x h () t e αt C 1 cos( βt) C sin( βt) 15 of 1
16 Opgave Pendulet ed og uden dæpning I kuplen i Pantheon i Paris ophænges et lod ed assen M i en snor ed længden L, se skitsen ovenfor. Der regnes kun ed eget så udsving i forhold til snoren længde. Bevægelsen starter ed, at pendulet trækkes ud til siden til vinklen θ 0. Herefter slippes pendulet, og svingningerne starter. Fra Newtons.lov ved vi, at den resulterende kraft F = a. Den resulterende kraft i dette tilfælde er F T. Opstil ligningen for pendulets svingning uden dæpning og ed dæpning. Dæpningen indføres på grund af vindodstanden. d Denne dæpning er proportional ed hastigheden og dered også af vinkelhastigheden dt θ. Dæpningen D P = v k L og D d P = - dt θ k. d Vis at differentialligningen kan skrives so θ g dx L θ = 0 i det udæpede tilfælde. d d Vis at differentialligningen kan skrives so θ θ k g dx dt L L θ = 0 i det dæpede tilfælde. d Randbetingelser er at: θ( 0) = θ 0 og dt θ er 0 for t=0. Løs differentialligningerne ed værdierne L = 100, θ 0 = 0.1, M = 5kg og k = 0.1 kgl. s Opgaven løses først sybolsk uden anvendelse af talværdier. 16 of 1
17 Eksepel ed svingning af en indspændt søjle 1 Udbøjningen for en udkraget fast indspænt bjælke ( søjle) er: u = 3 3E I eller: P = L 3 u. Kontrollér ed Teknisk Ståbi afsnit 3.. PL 3 d Vis at differentialligningen for søjlens udbøjning er: u 3E I d t L 3 u = 0. u = u(t). u(0) = 0.. Massen af søjlen sættes til 1 4 søjlensasse 3E I Løs denne differentialligning, og vis at løsningen er: u = u o sin L 3 t. N Søjlen er en stålsøjle ed E odul :10000, ed dette tværsnit: EI of 1
18 Vis at inertioentet o den stærke akse er ca: Længden er Optegn svingningen. Find egenfrekvensen til: f o =. T Eksepel på svingningskurve, hvor aksernes værdier dog ikke passer ed denne opgave: 18 of 1
19 Løsningsovervejelser: ux ( ) 1 PL 3 3 x 1 x = ul ( ) EI 3 L 3 L 1 3 P L 3 ( EI ) = Fra Teknisk Ståbi Gennesnitlig udbøjning: r L 1 1 L 0 PL 3 EI 3E I L 3 = 0 3 x 1 x L 3 P dx 3 L 3 L 8E I 3E I r = L 3 i u = C1cos Alligevel antages assen sættes til 1/4 af den totale asse. 3E I L 3 t Csin 3E I L 3 t u er 0 for t=0, giver C1 =0 u = uo for t= 90 3E I 3E I uo = C u = u o sin L 3 t u = u o sin L 3 t. 19 of 1
20 Taleksepel: I N kg L1 E L s N I = PL1 1 P 1980N u o 3 P L1 3 u o ( EI ) t s 1s u o 100 ut () u o sin 3E I L1 3 t s T t π 3E I L1 3 s 1 T t 0.8 s f o f o T t s ut () t Teknisk ståbi: K 3.5 K f ots 10 f ots.6 88 π 0 of 1
21 Opgave 3 Lod ophængt i fjeder. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af fjederen. 80 kg Massen M er 80 kg, S og X åles i eter, fjederkonstant k= 50 N. a) Opstil ud fra Newton s. lov ligevægtsligninger for loddet. b) Vis at ligevægtligningerne fra a) kan opstilles so d x k dt M x = 0 c) Løs differentialligningen og find udsvinget X til tiden t=5 sek. 10 x 0 d) Hvorlang tid tager et udsving elle yderstillingerne. e) Løs det sae proble ed dæpning. c = 5 N. sec 1 of 1
Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereRKS Yanis E. Bouras 21. december 2010
Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 23. januar 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereTallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.
Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive
Læs mereStabilitet af rammer - Deformationsmetoden
Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereØvelsesvejledning: δ 15 N og δ 13 C for negle.
AMS 4C Daterings Laboratoriet Institut for Fysik og Astronoi Øvelsesvejledning: δ 5 N og δ 3 C for negle. Under besøget skal I udføre tre eksperientelle øvelser : Teltronrør - afbøjning af ladede partikler
Læs mereDiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Læs mereLøsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008
Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi
Læs mereImpulsbevarelse ved stød
Iulsbevarelse ved stød Indhold. Centralt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevarelse ved stød... 5. Centralt elastisk stød...3 6. Centralt fuldstændig uelastisk stød...5 7. Ekseler
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereLastkombinationer (renskrevet): Strøybergs Palæ
Lastkobinationer (renskrevet): Strøybergs Palæ Nu er henholdsvis den karakteristiske egenlast, last, vindlast, snelast nyttelast bestet for bygningens tre dele,, eedækkene kælderen. Derfor opstilles der
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereSvingninger & analogier
Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereCurling fysik. Elastisk ikke centralt stød mellem to curling sten. Dette er en artikel fra min hjemmeside:
Crling fysik Dette er en artikel fra in hjeeside: www.olewitthansen.dk Ole Witt-Hansen 08 Indhold. Elastisk stød.... Centralt elastisk stød..... Masseidtpnkts systeet. : Centre of ass...3 3. Crling fysik...4
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereForsøg med udkraget bjælke og ramme. - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner
Forsøg med udkraget bjælke og ramme - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner Titel: Emne: Forsøg med udkraget bjælke og ramme Dynamisk analyse af simple konstruktioner Udført af: Vejleder: Projektperiode:
Læs mereAfleveringsopgaver i fysik i 08-y2 til
convert cobine (1.2.1), 'units', 'units', 1 / s Page 1 of 7 Afleveringsopgaver i fysik i 08-y2 til 11.01.11 Fra hæftet: pgaver i fysik A-Niveau pgave A10 side 32 A10a Kaliu-40 henfalder ved elektronindfangning
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet
Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet SMÅ FORSØG OG OPGAVER Lineal-lyd 1 Lineal-lyd 2 En lineal holdes med den ene hånd fast ud over en bordkant. Med den anden anslås linealen. Det sker ved
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Appetitvækker : Togdynamik.
Togaik side 1 Institut for Mateatik, DTU: Gynasieopgave Appetitvækker : Togaik. Teori: Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende Fysik 1 For Adgangskursus og HTX, Gyldendal 1993,. udgave, siderne 73-75, 94-95
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner
Læs mereLodret belastet muret væg efter EC6
Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan
Læs mereNb: der kan komme mindre justeringer af denne plan.
Efterårets øvelser, blok 2 Fysik2 Introduktion Fysik 2 øvelser består af 3 øvelser hvori der indgår måling af de fundamentale størrelser: længde, tid og masse. Alle øvelserne handler på en eller anden
Læs mereOpgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015
Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereOpgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:
Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes
Læs mereDen ideelle operationsforstærker.
ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereDet skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard
Det srå ast - ed luftodstand Eri Vestergaard Eri Vestergaard www.ateatisider.d Eri Vestergaard, Haderslev 9. Eri Vestergaard www.ateatisider.d 3. Indledning Denne note an danne udgangspunt for et 3g-projet
Læs mereKuglers bevægelse i væske
Kuglers bevægelse i væske Øvelsens formål er - at eftervise v 2 -loven for bevægelse i væsker: For et legeme der bevæger sig i vand. - at se at legemet i vores forsøg er så stort, at vi ikke har laminar
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereA7 5 Måling af densitet, porøsitet og fugtparametre - Gravimetri. Prøvningsmetode 1. Densitet, porøsitet og vandindhold
A7 5 Måling af densitet, porøsitet og fgtparaetre - Gravietri Kildeæssig baggrnd Teksten til etoderne er darbejdet so vejledning til øvelser i bygningsaterialelære på BYG- DTU af lektor Krt Kielsgaard
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net
NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereDen elektrodynamiske højttaler
Den elektrodynaiske højttaler Ideel højttaler: arbejder i stepelorådet (stift stepel) kun translatoriske bevægelser dynaiske bevægelser foregår lineært Højttalerebranen betragtes so et sipelt svingende
Læs mereDen Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006
Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs merePeter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.
Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereQ (0, 1,0) MF(161): y a( x) y b( x) har løsningen: y e b( x) bx ( ) e dx e e dx e dx e. y e 8e. Delprøve uden hjælpemidler: kl
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle,
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereBernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning
Læs mereLorentz kraften og dens betydning
Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet
Læs mereEksempler på differentialligningsmodeller
1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereDansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer
Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 15 spørgsmål fordelt på 5 opgaver. Bemærk, at de enkelte spørgsmål ikke tæller
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereModellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven
Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet 1 Formål Formålet med opgaven
Læs mereMassefylden af tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C bruges som standard i vindkraftindustrien og er lig med 1, 225 kg
0.1 Vindens energi 0.1. VINDENS ENERGI I dette afsnit... En vindmølle omdanner vindens kinetiske energi til rotationsenergi ved at nedbremse vinden, således at hastigheden er mindre efter at rotorskiven
Læs mereProjektering - TwinPipes. Version 2015.10
Projektering - TwinPipes Version 2015.10 1.0.0.0 Oversigt Introduktion Denne projekteringsanual for TwinPipe-systeer er udarbejdet specielt til følgende driftsforhold: - Freløbsteperatur, T ax, på 80
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net
STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereFysik A. Studentereksamen
Fysik A Studentereksamen 2stx101-FYS/A-28052010 Fredag den 28. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet består af 7 opgaver med tilsammen 15 spørgsmål. Svarene på de stillede spørgsmål indgår med samme vægt
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-14 med i alt 19 spørgsmål.
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014
Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereStål. Brandpåvirkning og bæreevnebestemmelse. Eksempler september 2015/LC
Stål. Brandpåvirkning og bæreevnebestemmelse. Eksempler september 2015/LC Stål og Brand. 1) Optegn standardbrandkurven. 2) Fastlæg ståltemperaturer for 3 uisolerede profiler efter 30 min. standardbrand:
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mere