3 Overføringsfunktion
|
|
- Karen Fog
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede af udgangssignalet X(s) er den Laplacetransformerede af indgangssignalet H(s) er overføringsfunktionen Variablen s er den komplekse frekvens, hvor s =( + j!) rad/s. Når udgangssignalet også kaldet svaret fra systemet for et bestemt indgangssignal også kaldet påvirkningen af systemet skal beregnes, Laplacetransformeres x(t) til X(s), hvorefter Y (s) beregnes vha. (3.1). Slutteligt beregnes y(t) =L ;1 [Y (s)]. Fig Et lineært system beskrevet vha. funktioner af den komplekse frekvens s.
2 2 Svaret kan også beregnes direkte i tidsdomænet ved: h(t) =L ;1 [H(s)] [;] (3.3) h(t) er impulssvaret H(s) er overføringsfunktionen Impulssvaret (eller impulsresponset) kan via foldning anvendes til beregning af systemets svar i tidsdomænet: Z 1 y(t) = h( )x(t ; ) d [;] (3.4) 0 y(t) er systemsvaret x(t) er påvirkningen h(t) er impulssvaret Poler og nulpunkter Overføringsfunktionen, som er en bruden, rationel, kompleks funktion, der er positiv reel (se senere), har formen: H(s) =K sn + a 1 s n;1 + + a n;1 s k + b 1 s k;1 + + b n;1 [;] (3.5) (3.5) kan faktoriseres som: H(s) =K (s ; z 1)(s ; z 2 ) (s ; z n ) (s ; p 1 )(s ; p 2 ) (s ; p k ) [;] (3.6) De komplekse tal z m kaldes overføringsfunktionens nulpunkter (eng. zero), og p m kaldes polerne (eng. pole). Der gælder: 0 for s = z H(s) = m [;] (3.7) 1 for s = p m En overføringsfunktions poler og nulpunkter er altid enten reelle tal eller også optræder de som kompleks konjugerede par. Poler og nulpunkter kaldes under ét singulariteter. Det komplekse talplan, hvori s er defineret, kaldes det komplekse frekvensplan eller s-planet. Hvis poler og nulpunkter har negativ realdel, er de placeret i venstre halvplan (eng. LHP, Left Hand Plane) af s-planet. Det forudsættes normalt, at alle poler er placeret i LHP, hvilket er betingelsen for at systemet er stabilt. Hvis graden af nævneren i H(s) er større end graden af tælleren, siges H(s) at have et nulpunkt i uendelig. Hvis tællerens grad er størst, har H(s) en pol i uendelig. Systemer,
3 3 hvis nulpunkter udelukkende er placeret i LHP, kaldes minimum-fase systemer. I grafiske gengivelser markeres poler med krydser i s-planen, og nulpunkter med cirkler. En sådan grafisk angivelse kaldes et pol-nulpunkt diagram. Eksempel På figur 3.2 er vist pol-nulpunktdiagrammet for funktionen: s H(s) =7 (s + 6)(s +3; j5)(s +3+j5) [;] Fig Pol-nulpunkt diagram med et kompleks polpar i p 1 2 = ;3 j5 rad/s samt en reel pol i p 3 = ;6 rad/s og et nulpunkt i z 1 =0rad/s. Konstanten K er noteret i øverste højre hjørne.
4 4 Positivt reel funktion De overføringsfunktioner, der er relevante, er såkaldte positive, reelle funktioner. En sådan funktion opfylder følgende: Hvis s er reel, er H(s) reel Hvis s er imaginær, er realdelen af H(s) større end eller lig med 0 H(s) har ingen poler i højre halvplan Hvis der findes poler på j!-aksen, er de simple. Simple poler er forklaret i afsnit 3.2. Hvis en overføringsfunktion, H(s) er positiv reel, gælder der: H (j!)=h(;j!) [;] (3.8) jh(j!)j 2 = H(j!)H (j!) [;] (3.9) Frekvenskarakteristikker Ved bestemmelse af et systems frekvensgang sættes s = j! rad/s (realdelen sættes til 0), og man lader j! gå fra 0 rad/s til 1 rad/s. Funktionen H(j!) er kompleks, og jh(j!)j for! gående fra 0 rad/s til 1 kaldes amplitudekarakteristikken. Ligeledes kaldes 6 H(j!) fasekarakteristikken. De to størrelser kan bestemmes som: jh(j!)=jkj Q Q n j(j! ; z n)j n j(j! ; p n)j [;] (3.10) 6 H(j!)=6 K + X n p n er polerne [rad=s] 6 (j! ; z n ) ; X n z n er nulpunkterne [rad=s] 6 (j! ; p n ) [;] (3.11)
5 5 Da alle størrelserne (j! ; z n ) og (j! ; p n ) er plane vektorer i s-planen, kan beregningen udføres rent grafisk, idet man lader et punkt bevæge sig ad j!-aksen (ordinaten) fra 0 mod 1, og hele tiden dividerer produktet af længderne af nulpunktsvektorerne med produktet af polvektorerne for at få amplitudekarakteristikken. Fasekarakteristikken fås ved at trække summen af polvektorernes hældningsvinkler fra summen af nulpunktsvektorernes hældningsvinkel. Dette er illustreret på figur 3.3, efter hvilken nedenstående funktioner kan beregnes: jhj = jcj jkj [;] (3.12) jajjbj 6 H = w ; (u + v)+6 K [;] (3.13) Fig Grafisk bestemmelse af amplitude- og fasekarakteristik. Punktet! vandrer fra 0 til 1. C er vektoren fra nulpunktet z til punktet!. A og B er vektorerne fra polerne p 1 og p 2 til punktet!.
6 6 3.2 Bodeplot Det er almindeligt at gengive amplitudekarakteristikken i en dobbeltlogaritmisk afbildning og fasekarakteristikken i en enkeltlogaritmisk, hvor ordinaten i begge tilfælde er inddelt på basis af log!. Det er underforstået at vinkelfrekvenser alle steder er divideret med 1 rad/s. Endvidere anvendes en knækkurveapproksimation konstrueret ud fra asymptoter til bidragene fra hver singularitet. En sådan gengivelse kaldes et Bodeplot. I det følgende betragtes 3 typer af overføringsfunktioner: En konstant Reelle poler/nulpunkter Et komplekst par af poler/nulpunkter. Poler og nulpunkter beskrives under ét, da der kun er et fortegn til forskel. For hver angives bidraget til amplitude- og fasekarakteristikken. Da der er tale om en logaritmisk afbildning for amplitudekarakteristikken, betyder det, at bidragene jf. (3.10) skal adderes. Bidragene til fasekarakteristikken, som er lineær på ordinataksen, skal jf. formel (3.11) også adderes. Amplitudekarakteristikken beregnes som: jhj db = K db + X j(j! ; zn )j db ; X j(j! ; p n )j db [;] (3.14) Fasekarakteristikken beregnes som: 6 H(j!)=6 K + X 6 (j! ; z n ) ; X 6 (j! ; p n ) [;] (3.15) p n er polerne [rad=s] z n er nulpunkterne [rad=s] Angivelsen db betyder, at decibel-funktionen skal anvendes: A db 4 = 20 log A [;] (3.16)
7 7 Betegnelser I det følgende anvendes betegnelsen G for ændringer i amplitudekarakteristikken, jh(j!)j målt i db. ' anvendes for ændringer i fasekarakteristikken 6 H(j!) målt i grader. Størrelsen u står for db pr. dekade. 20 db/dekade er det samme som 6 db/oktav: G =jh(j!)j db [;] (3.17) ' =6 H(j!) [;] (3.18) er ændringen i H(j!) Bidraget fra en konstant Konstanten K giver: G =20logjKj [;] (3.19) ' = 0 for K positiv 180 for K negativ [;] (3.20) hvor symbolernes betydning er som angivet i (3.17) til (3.19). Det er almindeligt at sammenfatte alle konstante faktorer fra poler/nulpunkter i overføringsfunktionen i konstanten K, således at K bestemmes som værdien af jh(0)j.
8 8 Bidraget fra reelle poler/nulpunkter En reel pol eller et reelt nulpunkt af k te orden er defineret ved: (s ; a) k [;] (3.21) a er en pol eller et nulpunkt [rad=s] s er den komplekse frekvens [1=s] Både a og k er reelle tal. Ordenen k udtrykker antallet af poler eller nulpunkter, der har samme størrelse. Hvis k =1, siges polen eller nulpunktet at være simpel. Hvis k>1, siges polen eller nulpunktet at være multipel. Hvis k =0, er der tale om en konstant. Knækfrekvensen! c er givet ved:! c = a [;] (3.22) For frekvenser!! c gælder der: G = 20 log jaj [;] (3.23) ' =0 [;] (3.24) hvor symbolernes betydning er som angivet i (3.17) til (3.19). Disse værdier medregnes almindeligvis i konstanten K. For frekvenser!! c gælder: G = 20ku [;] (3.25) ' = 90k [;] (3.26) + gælder for nulpunkter ; gælder for poler Hver pol giver ;20k db pr. dekade, hvilket svarer til ;6k db pr. oktav. Nulpunkter giver det samme, men med positivt fortegn. De eksakte udtryk er: G = 20k log( p! 2 + a 2 ) [;] (3.27) ' = arctg! a [;] (3.28)
9 9 Figur 3.4 viser amplitude- og fasekurven sammen med knækkurveapproksimationen. Visse af funktionsværdierne er anført på figur 3.5. Fig Amplitude- og fasekarakteristik for en pol af orden k. Knækkurveapproksimationen er vist fuldt optrukket. Den virkelige kurveform er vist punkteret. For et nulpunkt af orden k skiftes fortegnet for hældningen og for argumentet.! Eksakt G Asymptote G Eksakt ' Asymptote ' [rad/s] [db] [db] [ ] [ ] 1 10 a a ,6-31,5 a a ,4-58,6 10a Fig Tabel for værdierne i figur 3.4, gældende for en simpel pol. Værdierne for et tilsvarende nulpunkt fås ved at ændre fortegnene, værdierne for multiple poler/nulpunkter fås ved at multiplicere med ordenen k.
10 10 Eksempel Kredsløbet på figur 3.6 giver overføringsfunktionen: H(s) = s s + 1 RC [;] Der er et nulpunkt og en pol, begge reelle, givet ved: z 1 =0 [;] p 1 = ; 1 RC [;] Knækkurveapproximationen er vist på figur 3.7. Fig Et kredsløb med et reelt nulpunkt og en reel pol.
11 11 Fig Bodeplot for kredsløbet i figur 3.6. Bidraget fra et komplekst pol/nulpunktpar Et komplekst polpar eller nulpunktspar er givet ved: (s ; b)(s ; b ) [;] (3.29) b er en pol eller et nulpunkt [rad=s] b er den kompleks konjugerede af b [rad=s] s er den komplekse frekvens [1=s] Parret opskrives normalt på formen: s 2 ; 2! 0 s +! 2 0 = s 2 ; 1 Q! 0s +! 2 0 [;] (3.30)! 0 er den udæmpede frekvens [rad=s] er dæmpningsfaktoren [;] Q er polgodheden [;] Dæmpningsfaktoren er et tal mellem 0 og 1. Hvis er 0, er polerne eller nulpunkterne
12 12 rent imaginære. Hvis er 1, er polerne eller nulpunkterne rent reelle. Ved at sammenholde (3.29) og (3.30) fås: Re[b] =! 0 [;] (3.31) Im[b] =! 0 p1 ; 2 [;] (3.32) = Re[b]! 0 [;] (3.33)! 0 = p Re[b] 2 + Im[b] 2 [;] (3.34) b =arccos [;] (3.35) b er polvinklen [rad] eller [ ]. Pol-nulpunktdiagrammet på figur 3.8 viser betydningen af størrelserne. Fig Poldiagram for et komplekst polpar. Følgende vinkelfrekvenser, som er illustreret grafisk på figur 3.9, er defineret:! 0 = jbj [;] (3.36)! d =! 0 p1 ; 2 =Im[b] [;] (3.37)
13 13! p =! 0 p1 ; 2 2 [;] (3.38)! 3dB =! 0 q1 ; 2( 2 ; p 2 ; 4 ) [;] [3:39]! 0 er den udæmpede frekvens [rad=s]! d er den dæmpede frekvens [rad=s]! p er peakfrekvensen [rad=s]! 3dB er 3 db-frekvensen [rad=s] Størrelsen! 0 kaldes også polresonansfrekvensen. Peakfrekvensen optræder kun, når 1= p 2, hvilket er ensbetydende med, at Re[b] Im[b]. 3-dB frekvensen er den frekvens, hvor amplituden af overføringsfunktionen er faldet 3 db. Visse steder i litteraturen kan findes defineret en størrelse d, som også kaldes dæmpningsfaktoren (i stedet for ): d = 1 Q =2 [;] (3.40) Q er polgodheden [;] d er den alternative dæmpningsfaktor [;] Hvis = 1 p 2 gælder der: Re[b] = Im[b] [;] (3.41)! 3dB =! 0 [;] (3.42)! p =0 [;] (3.43) Q = = 1 p 2 [;] (3.44)
14 14 Fig Poldiagram for et komplekst polpar med angivelse af karakteristiske frekvenser. Frekvenserne konstrueres grafisk vha. en passer. Alle cirkelbuer går gennem polen. Ved bestemmelse af! p anvendes punktet A som centrum. Ved bestemmelse af! 0 anvendes punktet B. Ved bestemmelse af! 3dB anvendes punktet C. Frekvensen! d er givet som imaginærdelen af polen. Bidragene til Bodeplottet er for!! 0 : G = 20 log(! 0 2 ) [;] (3.45) ' =0 [;] (3.46) hvor symbolernes betydning er som angivet i (3.17) til (3.19). For høje frekvenser,!! 0 er bidraget: G = 40u [;] (3.47) ' = 180 [;] (3.48) + gælder for nulpunkter ; gælder for poler Det præcise udseende omkring! =! 0 afhænger af værdien af dæmpningsfaktoren.de eksakte udtryk er givet nedenfor. Kurverne for fase- og amplitudekarateristik er vist på
15 15 figur G = 20 q(! [;] (3.49) log ) 2 +(2! 0!) 2 G = 20 q(! [;] (3.50) log ) 2 +(2! 0!) 2 ' =arctg 2!! 0! 2 0 ;!2 [ ] (3.51)
16 16 Fig Bodeplot for et komplekst polpar for forskellige værdier af dæmpningsfaktoren, vist i et område omkring! 0.
17 17 Eksempel Kredsløbet på figur 3.11 har overføringsfunktionen: H(s) = R L s + 1 RC s 2 + R L s + 1 LC [;] Med komponentværdierne R =1, L =1HogC =2F fås: H(s) = s +0 5 s 2 + s +0 5 s +0 5 = (s +0 5+j0 5)(s +0 5 ; j0 5) [;] Fig Et RLC-lavpasfilter med 2 komplekse poler og 1 reelt nulpunkt. Der er tale om en overføringsfunktion med et komplekst polpar og ét reelt nulpunkt. Følgende karakteristiske størrelser kan udledes, idet p står for den ene pol (p er den anden):! 0 = 1 plc = rad/s [;] = 2 q R L C = [;] Re[p] =! 0 = R 2L =0 5 [;] Im[p] = r L + R 2 L 2 C =1 0 [;] Bodeplottet for amplitudekarakteristikken er vist på figur Kredsløbet udgør et lavpasfilter med afskæringsfrekvensen 0,7071 rad/s. Nulpunktet i -0,5 rad/s kommer
18 18 ikke til at få nogen indflydelse på overføringsfunktionen (det ligger midt imellem de komplekse poler). Fig Bodeplot for kredsløbet på figur 3.11.
Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.
ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mereSkriftlig prøve i KDS
Kredsløbsteori & dynamiske systemer for EIT2/16 Opgavesæt 02 160728HEb Kredsløbsteori & dynamiske systemer Skriftlig prøve i KDS Omprøve d. 16. august 2016 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 4
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereKomplekse tal i elektronik
Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereNoter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant
Noter til Komplekse tal i elektronik. Eksempler på steder, hvor der bruges kondensatorer og spoler i elektronik: Equalizer Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Selektive forstærkere. Når der er
Læs mereIndhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip
m M Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.3 Overføringsfunktion for det samlede system................... 4.3.1 Rodkurveundersøgelse..........................
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER
EE Basis, foråret 2009 ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 1 Emner for idag Komplekse tal sådan helt fra bunden DefiniHoner og regneregler Lidt flere definihoner og lidt
Læs mereKomplekse tal i elektronik
3/-8 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase -forskyder strømme og spændinger,
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereTotal systembeskrivelse af AD1847
Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3
Læs mereIndhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip
Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.2.1 Integrator anti-windup.......................... 4.3 Overføringsfunktion
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereFigur 1.1: Blokdiagram over regulatorprincip
Indhold 1 Design af regulator til DC-motor 2 1.1 Besrivelse af regulatorer............................. 2 1.2 Krav til regulator................................. 3 1.2.1 Integrator anti-windup..........................
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereImpedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L
Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold IBC Aabenraa HHX Matematik C Lars Erik Henriksen 1HHI 1 Funktioner og polynomier a) Lave en grafisk funktionsanalyse. 1. Definitionsmængde.
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereLøsninger til øvelser i kapitel 1
Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav.
Læs mereSkriftlig omprøve i matematik 4
Matematik 4 for E4+D4/08 Opgavesæt 04 080812HEb Skriftlig omprøve i matematik 4 Omprøve d. 18. august 2008 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 6 opgaver således: Opgave 1: 20% (Kompleks funktionsteori
Læs mereAnalog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %
A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.
Læs mereD1 1 Partikelformede bjergarter
D1 1 Partikelformede bjergarter Af Kurt Kielsgaard Hansen Sigteanalyse Kornstørrelser kan defineres ved hjælp af sigter med trådvæv med kvadratiske masker. Et korn, som ved en nærmere specificeret forsøgsprocedure
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs merelineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1
Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte Strange-Pedersen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereVideregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!
Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består
Læs mereFunktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012
Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs merei(t) = 1 L v( τ)dτ + i(0)
EE Basis - 2010 2/22/10/JHM PE-Kursus: Kredsløbseori (KRT): ECTS: 5 TID: Mandag d. 22/2 LØSNINGSFORSLAG: Opgave 1: Vi ser sraks, a der er ale om en enkel spole, hvor vi direke pårykker en kend spænding.
Læs merepraktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær
praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereAnvendelse af den diskrete fouriertransformation
KAPITEL SYV Anvendelse af den diskrete fouriertransformation En meget anvendt beregningsprocedure inden for digital signalbehandling er den diskrete fouriertransformation (i det følgende forkortet til
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFasedrejning og komplekse tal i elektronik Version
9/-8 KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase -forskyder strømme og spændinger, og hvis ohmske værdier afhænger
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereOpførslen af LCR lavpasfiltre undersøges gennem udmåling af frekvensgang og steprespons for en række af disse.
LCR lavpasfiltre Nummer 136350 Emne Vekselstrøm / elektronik Version 2017-01-18 / HS Type Elevøvelse Foreslås til gyma p. 1/5 420600 Formål Opførslen af LCR lavpasfiltre undersøges gennem udmåling af frekvensgang
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne
De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte
Læs mereIndhold. 0.1 Beskrivelse af regulatorer
Indhold. Beskrivelse af regulatorer................................. Overføringsfunktion for et reguleringssystem................ 2..2 Specifikationer til beskrivelse af systemet.................. 2.2
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereVores logaritmiske sanser
1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereHi-Fi forstærker med digital styring
Hi-Fi forstærker med digital styring POWER VOLUME VÆLGER BAS DISKANT MUTE OP NED MUTE Klass #39 P3 PROJEKT 008 GRUPPE 39 INSTITUT FOR ELEKTRONISKE SYSTEMER AALBORG UNIVERSITET DEN. 7 DECEMBER 008 Titel:
Læs mereGrafregnerkravet på hf matematik tilvalg
Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse 1 Indledning...2 2 Logiske kredsløb...3 Eksempel:...3 Operatorer...4 NOT operatoren...4 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mere