praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær
|
|
- Lotte Pedersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / ISSN Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion Artiklen søger at vise, hvordan regressionsanalyse og geometrisk data analyse kan integreres. Det er interessant, fordi disse metoder ofte opstilles som modsætninger f.eks. som en modsætning mellem beskrivende og forklarende metoder. Artiklens første del bragtes i Praktiske Grunde 3-4 / Resume af problematikken Tabel 1: Tabel 3: Tabel 4: Tabel 2: Forsvinder Vending Stabilitet Opstår Bestå Dumpe Bestå Dumpe Bestå Dumpe Bestå Dumpe Romeo Dreng Romeo Pige Julie Dreng Julie Pige Hver af tabellerne læses på den måde, at eksempelvis den fremhævede celle i tabel 2 fortæller, at der var 8 piger på gymnasiet Romeo, som dumpede til studentereksamen. Som det fremgår af tabel 1 er der 50 drenge (40 på Romeo i linje 1 og 10 på Julie i linje 3) og 50 piger (10 på Romeo i linje 2 og 40 på Julie i linje 4). Kigger vi på tallene i tabel 1, så er andelen, der har bestået, som følger: 1 Bestået: Begge gymnasier i alt 2 Bestået: Romeo-gymnasiet: 3 Bestået: Julie-gymnasiet: A B C D Tabel 5 Drenge Piger Forskel Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 27
2 1 Bestået: Begge køn i alt 2 Bestået: Drenge 3 Bestået: Piger Tabel 6 Romeo Julie Forskel A B C D Den strukturelle effekt af faktoren køn er dermed -0,16 (Tabel 2 række 1). Dvs. pigerne klarer sig bedre end drengene. Kigger vi i tabel 2 række 2 og 3, ser vi derimod, at drengene på begge gymnasier klarer sig bedre end pigerne. Retningen i den globale effekt af køn, der er -0.16, vendes dermed (til +0,2) i begge de lokale tabeller. Fokus for det følgende er en grafisk repræsentation af forskellige relationer mellem strukturelle effekter i global og marginal sammenhæng. Den grafiske repræsentation Korrelationen mellem to variable er et mål for i hvor høj grad, de samvarierer linært. Det har en minimumsværdi på minus en og en maksimumsværdi på plus en. De tre plot i figuren demonstrerer sammenhængen mellem plottede punkter og korrelationskoefficienter. Ligger punkterne tæt på en ret linje, og udtrykker punkterne, at en lille værdi af den ene variabel hører sammen med en lille også på den anden, så er korrelationen stor, det vil sige tæt på +1. Plottet i midten viser, at når punkterne ligger tæt på en ret linje, men hvor store værdier på en variabel hører sammen med små værdier på den anden, så er korrelationen meget lille, det vil sige tæt på -1. Endelig viser plottet til højre, at når punkterne ikke har nogen lineær sammenhæng, så nærmer korrelationskoefficienten sig 0. Den grafiske fremstilling starter med at tegne en såkaldt korrelationscirkel. Det vil sige en cirkel med centrum i aksernes skæringspunkt (0,0) og en radius på 1 (kaldet en enhedscirkel). I Figur 1 afsættes inden i cirklen to diametre A og B (Figur 2), der mellem sig har en vinkel som svarer til, at: ( ) Data summeret i tabel 1 kan udregnes at have en korrelation mellem gymnasium og køn på 0,6 hvilket svarer til en vinkel mellem de to indtegnede linjer på ca. 53,13 grader. 1 1 ( ). Vinklen bliver dermed ( ) 2 og er afstanden fra centrum (punktet O) til punktet, regnet med fortegn således at den er negativ i retning væk fra den Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 28
3 Den ene diameter løber mellem punkterne A (Julie) og A (Romeo), mens den anden løber mellem punkterne B (Drenge) og B (Piger). Figur 1 Figur 2 I data fra tabel 1 (Vending) så vi i artiklens del 1, at regressionsanalyserne resulterede i følgende ligninger: a) I Simpel regression af : b) I Simpel regression af : c) I Multible regression af på y: Som det fremgår er koefficienterne i regressionsligningerne sammenfaldende med: a) Værdierne i tabel 5 celle D1 og celle C1 b) Værdierne i tabel 6 celle D1 og celle C1 c) Værdierne i tabel 5 celle D3 tabel 3 celle D3 og tabel 2 celle C3. Dette kan udtrykkes grafisk ved på Akse A at afsætte punktet A). På Akse B afsættes punktet med koordinaten -0,48 (Globale effekt af faktor med koordinaten -0,16 (Globale effekt af faktor A). Da begge størrelser er negative bevæger vi os fra centrum mod højre dvs. væk fra de pile, som angiver retningen på A og B (Figur 3). En linje, der er vinkelret på A, trækkes nu fra og en anden, der er vinkelret på B, trækkes fra. Punktet M (variablen bestået) findes i skæringen mellem disse to (Figur 4). Herefter projeceres punktet M ind på akse A med en projektion, der løber parallelt med akse B. Herved fremkommer punktet M b. På tilsvarende vis findes punktet M a (Figur 5). Figur 3 Figur 4 Figur 5 Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 29
4 Betragter vi situationen efter placering af punktet M, gælder det således, at den globale effekt af faktor B (køn) fremkommer ved en vinkelret projektion af punktet M på akse A ( ) mens den globale effekt af faktor B fremkommer ved en vinkelret projektion af punktet M på akse B ( ). Tilsvarende kan de lokale effekter af faktor A og B findes ved parallelle projektioner ( ) (Figur 5). En sammenligning af den lokale effekt og den globale effekt svarer til at sammenligne projektionerne af den lokale effekt ( ) 2 og den globale effekt ( ). I det konkrete tilfælde altså forhold mellem. Dette kommer grafisk til udtryk som en bestemt retning. På en bestemt radius, f.eks. den som er angivet i Figur 6, vil forholdet dermed være den samme, uanset hvor langt fra centrum punktet M ligger. Afstanden fra centrum er derimod et grafisk udtryk for, hvor godt den lineære regression beskriver sammenhængen mellem data, normalt symboliseret ved symbolet. I praksis er et mål for, hvor stor en del af variationen i responsvariablen (Y), som beskrives (eller forklares) af den lineære sammenhæng, som er output af den lineære regressionsanlyse. opstillede linæere sammenhæng. Denne værdi svarer til produktet af de skrå og de lige koordinater dvs: ( ) ( ). Kvadratroden af dette tal svarer til længden af vektoren ( ) og dermed afstanden fra centrum af cirklen til punktet M. Jo længere punktet M ligger fra cirklens centrum, jo bedre beskriver den linære funktion fra regressionsanalysen dermed variationen i responsvariablen (Y). Figur 6 Figur 7 Figur 8 2 og er afstanden fra centrum (punktet O) til punktet, regnet med fortegn således at den er negativ i retning væk fra den retning, som er angivet på de to diametre. Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 30
5 Retningens betydning Figur 9 Figur 10 Figur 11 Med fokus på effekten af B (køn) kan korrelationscirklen deles op i 6 rum eller lagkagestykker med delinger langs akserne A og B, samt en (stiplet) linje, der står vinkelret på akse B, som i det følgende benævnes (Figur 9). Det fremgår af (Figur 9, Figur 10 og Figur 11), at når punktet M bevæger sig rundt som viseren på et ur, vil projektionerne Mb og M b og forholdet naturligvis også ændre sig. Bevæger man derimod punktet M længere fra eller tættere på, vil projektionerne Mb og M b ændres sig, men forholdet vil som nævnt ovenfor være uændret. Forestiller man sig, at vi kører punktet M hele vejen rundt i cirklen, men hele tiden med en afstand fra centrum på 0,7, vil projektionerne og deres forhold undervejs antage følgende værdier. A' A' - E' E' E' - B B B - A A A - E E E-B B' B'-A' OM'b 0 0,53 0,7 0-0,53-0,7 OMb -0,42 0 0,7 0,42 0-0, De to tomme felter indikere, at man ikke kan dividerer med 0. Man kan selv udforske forholdet mellem M og dets lige og parallelle projektion i filen ventilator Udtrykt grafisk kan vi dermed dele cirklen op i 6 felter med forskelligt forhold mellem den globale og den lokale effekt (Figur 12). Et tilsvarende ræsonnement kan gennemføres for faktoren A (gymnasium), og igen vil cirklen kunne deles op i 6 rum (Figur 13). Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 31
6 Faktor B (køn) Faktor A (gymnasium) Figur 12 Figur 13 Figur 14 Kobles de to cirkler sammen (Figur 14) fremgår det, hvordan cirklen kan deles op i rum, hvor de to faktorer bevæger sig parallelt, fordi begge styrkes eller svækkes, og i andre rum hvor den ene styrkes eller svækkes, og den anden vendes. Størrelsen af de forskellige rum vil variere med hvor svag eller stærk sammenhæng, der er mellem de to faktorer A og B, der er udgangspunktet. I det gennemgåede eksempel var korrelationen. Jo stærkere sammenhæng mellem de to faktorer, jo større korrelation og jo mindre Figur 15 Figur 16 vinkel mellem A og B 3. Sammenhængen og korrelationen er dermed stor i Figur 16, derfor bliver vinklen mellem A og B lille, og de grå områder, hvor sammenhængene vendes, store jf. Figur 14. Omvendt ser vi i Figur 15 en svag sammenhæng mellem de to faktorer og derfor også en stor vinkel mellem A og B, hvormed de grå områder er små. Det vil sige, stor korrelation mellem faktor A og B gør de grå områder, hvor sammenhængen vendes for en af faktorerne, relativt store. Regression og Principal Komponentanalyse Vælger vi som her at gennemføre en Principal komponentanalyse, vil analysens første punkt være at omkonvertere inputvariablene, således at materialets forskelle er bedre repræsenteret på de to akser. Ser man på forandringen fra Figur 17 til Figur 19, bliver det tydeligt, hvordan det i praksis fører til, at den første (vandrette akse) kommer til at modstille Romeo+drenge og Julie+piger. De to punkter i Figur 19, som ligger på den vandrette akse, er dermed dem, som i Figur 17 er markeret med kryds (punkterne A og D), men hvorfor nu det? Antal Køn Gymnasium A B C D Figur 17 Kigger man i tabellen over Figur 17, fremgår det, at i punkt A og punkt D, der er de to punkter markeret med kryds i Figur 17, er antallet af personer 40, mens det i de to øvrige punkter kun er 10. Det betyder, at teoretisk set ligger der 40 kryds ovenpå hinanden i både punkt A og D, mens der kun ligger 10 prikker oven i hinanden i punkterne B og C. 3 ( ), mens ( ) Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 32
7 Når det kommer til at spille en rolle, hænger det sammen med ønsket om en afbildning, hvori førsteaksen opfanger en maksimal del af afstandene mellem punkterne, det vil sige af variansen. Man kan tænke på det på den måde, at der er flere punkter i position A og D, og derfor optræder afstanden mellem mange gange, de afstande har dermed stor vægt. Måden at tage højde for det på er at lægge begge punkterne på den nye førsteakse, hvormed disse afstande bliver fuldstændigt afbildet på førsteaksen. Pointen i den betragtning kan ses i Figur 18, der viser to afstande af samme længde ( ). Som det fremgår på grafen til venstre, opfanger den vandrette akse stykket af afstanden, men stykket af afstanden. Når stykket er længere end stykket, handler det ikke om forskel på afstandene mellem punkterne, afstanden var jo netop den samme som afstanden. Valgte vi nu at trække en linje gennem både A og B (midterste graf) og gøre det til den nye førsteakse (grafen til højre), så ville afstanden fra A til B blive opfanget fuldstændigt på første aksen. Det ville imidlertid kun være delvist tilfældet for afstanden fra A til C, det vil sige, nu ville det gælde, at, og at er længere end. Figur 18 På Figur 19 er det illustreret ved, at de to punkter på førsteaksen er større end de to øvrige. Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 33
8 Med den gennemførte variablekonvertering opnås en førsteakse, der repræsenterer 80% af materialets interti, der er et mål for de samlede afstande mellem punkterne, ( ), og en anden akse, der repræsenterer de Figur 19 sidste 20%. Der fremgår af Figur 19, at førsteaksen modstiller drenge på gymnasiet Romeo (venstre) og piger på gymnasiet Julie (til højre), mens akse nummer to modstiller drenge på gymnasiet Julie (bund) og Piger på gymnasiet Romeo (top). Fordelingen af drenge og piger på de to gymnasier er skæv. Gymnasiet Romeo, der har 80% drenge, kan derfor betragtes som et drengegymnasium, mens gymnasiet Julie, der har 80% piger, tilsvarende kan betragtes som et pigegymnasium. I det lys modstiller førsteaksen drenge på drengegymnasiet (venstre) og piger på pigegymnasiet (højre), men anden aksen modstiller drenge på pigegymnasiet (bund) og piger på drengegymnasiet (top). Den første principale variable eller komponent er dermed i overensstemmelse mellem gymnasium og køn, mens anden principale variabel eller komponent er i uoverensstemmelse mellem gymnasium og køn. Vi vælger nu at indlægge den tredje variabel (bestået/ikke-bestået) som såkaldt supplementær variabel (modsat køn og gymnasium, der var aktive variable), så får vi afbildet den tredje variabel på den eksisterende graf. 4 Figur 20 Når variablen Bestået indlægges, vises tre yderligere punkter: Det gennemsnitlige punkt for alle der har bestået, det gennemsnitlige punkt for piger der har bestået og det gennemsnitlige punkt for drenge der har bestået. Det gennemsnitlige punkt for alle der har bestået, orienterer sig på første aksen tættere på Julie+piger end på Romeo+Dreng, fordi der er flere Julie+piger, der har bestået end der er Romeo+Drenge. På den lodrette anden akse er punktet tættere på Julie+Dreng end det er på Romeo+Piger, hvilket igen afspejler, at der er færrest af sidstnævnte. Taler vi om effekter kan man summerer resultatet således: 4 Havde vi i stedet valgt at medtage den tredje variable som aktiv, ville den være inddraget i aksernes placering, hvorfor de andre punkter ville ændre position. Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 34
9 Den første principale variabel (overensstemmelse mellem gymnasium og køn) kan fortolkes som udtryk for, at flere piger er bestået på pigegymnasiet end drenge er bestået på drengegymnasiet. Den anden principale variabel (uoverensstemmelse mellem gymnasium og køn), kan fortolkes som udtryk for at flere drenge består på pigegymnasiet end piger gør på drengegymnasiet. Ovenstående er resultatet, når et fænomen som vending udtrykkes i geometriske termer. Det bør bemærkes at selvom de to principale variable ikke korrelerer (de to akser står vinkelret på hinanden (Figur 20)) så omfatter effekten af en principal variabel på den afhængige variabel både en global effekt og betingede effekter på de øvrige principale variable. Afrunding Som det er fremgået, kan regressions-procedurer forbindes med geometrisk data analyse. En geometrisk fremstilling kan udtrykke såvel de betingede som de globale effekter af regressionsanalysens variable. Ulf Brinkkjær, Institut for pædagogik, Danmarks Pædagogiske Universitetsskole ved Århus Universitet Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 35
10 Praktiske Grunde 3 / 2010 Brinkkjær: Regression og geometrisk data analyse 36
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereBilag 1. Om læsning og tolkning af kort udformet ved hjælp af korrespondanceanalysen.
Bilag 1. Om læsning og tolkning af kort udformet ved hjælp af korrespondanceanalysen. Korrespondanceanalysen er en multivariat statistisk analyseform, som i modsætning til mange af de mere traditionelle
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net
STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU 2g
NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereDansk Erhvervs gymnasieanalyse Sådan gør vi
METODENOTAT Dansk Erhvervs gymnasieanalyse Sådan gør vi FORMÅL Formålet med analysen er at undersøge, hvor dygtige de enkelte gymnasier er til at løfte elevernes faglige niveau. Dette kan man ikke undersøge
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereVektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul
Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereExcel tutorial om lineær regression
Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mere1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210
1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereBacheloruddannelsen 1. år E15
Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning
Læs mereIntroducerende undervisningsmateriale til Geogebra
Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereDansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gjorde vi
Dansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gjorde vi INDHOLD Formålet har været at undersøge, hvor dygtige de enkelte gymnasier er til at løfte elevernes faglige niveau. Dette kan man ikke undersøge blot ved
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus
Læs mereModellering af elektroniske komponenter
Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)
Læs mereProjekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A)
Projekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A) (Data er hentet fra M. Radelet, "Racial characteristics and imposition of death penalty", American Sociological Review, 46 (1981), pp 918-927
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA
GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt
Læs mereDansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gør vi
Dansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gør vi FORMÅL Formålet har været at undersøge, hvor dygtige de enkelte gymnasier er til at løfte elevernes faglige niveau. Dette kan man ikke undersøge blot ved at
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereAnalyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi
Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereEksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet
Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereDeskriptiv statistik for matc i stx og hf
Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede
Læs mereMATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereVektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 2st111-MAT/A-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereMatematik i grundforløbet
Mike Vandal Auerbach Matematik i grundforløbet y x www.mathematicus.dk Matematik i grundforløbet. udgave, 208 Disse matematiknoter er skrevet til matematikundervisningen i grundforløbet (som det ser ud
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereFokus på Forsyning. Datagrundlag og metode
Fokus på Forsyning I notatet gennemgås datagrundlaget for brancheanalysen af forsyningssektoren sammen med variable, regressionsmodellen og tilhørende tests. Slutteligt sammenfattes analysens resultater
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereMatlab script - placering af kran
Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereNordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen
Opgave 1 Sum af produkter i en trekant Antag at der i et koordinatsystem er en trekant hvis vinkelspidser ligger i punkterne ( 2, 1), (3, 3) og (4, 3). Find alle de punkter inden i trekanten hvis koordinater
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereRegression og geometrisk data analyse (1. del)
Regression og geometrisk data analyse (1. del)! Ulf Brinkkjær Institut for pædagogisk sociologi, Danmarks Pædagogiske Universitetsskole ved Århus Universitet Introduktion Artiklen 1 søger med konkrete
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx121-MATn/A-31052012 Torsdag den 31. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereGeogebra Begynder Ku rsus
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant
Læs mereUNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER
UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER Undervisningseffekten udregnes som forskellen mellem den forventede og den faktiske karakter i 9. klasses afgangsprøve. Undervisningseffekten udregnes
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereTema: Kommunal variation i tilkendelse af førtidspension i 2008
Tema: Kommunal variation i tilkendelse af førtidspension i 2008 Der er stor variation i, hvor mange førtidspensioner kommunerne har tilkendt i 2008. Nogle kommuner har tilkendt én eller derunder pr. 1.000
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mere