3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden
|
|
- Per Kvist
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde dette kapitel med et kort resumé. Vi har set, hvordan det gyldne snit giver anledning til dannelsen af et system af strukturer, der i denne forbindelse kaldes skalaer og hvis udvikling følger Fibonacci-rækken. Vi har videre set, at at ethvert snit giver anledning til dannelsen af et sådant system af skalaer, og at udviklingen i hvert enkelt tilfælde følger en unik talrække, der i denne forbindelse kaldes delingssekvensen. Sammenhængen mellem snit, delingssekvens og skalaer er grafisk anskueliggjort i fig.3.1, idet jeg endnu engang har valgt snittet 7/17 som eksempel: Figur 3.1 Skalaerne er her repræsenteret ved deres indfoldede orden et begreb der blev forklaret i kap.1. Jeg vil nu gennemgå en algoritme, der sætter os i stand til at finde den indfoldede orden for en given skala, når blot vi kender snittet samt antallet af elementer i skalaen. I algoritmen indgår division med rest også kaldet modulodivision. I nogle situationer og ikke mindst i forbindelse med programmering er det ikke kvotienten, men resten vi er interesseret i, og vi foretager da en modulodivision. Handler det f.eks. om at finde resten, når vi dividerer 12 med 7, skrives det således: 12 mod 7 = 5 (udtales 12 modulo 7 er lig med 5 ). Samme rest får vi, når vi dividerer hvert af tallene 5, 19, 26, 33, 40 osv. med 7, og man siger at disse tal er kongruente modulo 7. Betragt nu den følgende tegning, der fremstiller et delingsforløb baseret på snittet 4/7. Den indre kreds af tal angiver den rækkefølge, hvori delingen finder sted, dvs. den indfoldede orden; den ydre kreds af tal er en nummerering af delingerne regnet fra begyndelsen og i modsat retning af urviserens bevægelse: Figur 3.4
2 2 Det vi nu skal lægge mærke til er, at der er en sammenhæng mellem de to rækker af tal. Ganger vi nemlig tallene i den indre kreds med snittet 4/7, vil resten i hvert tilfælde være identisk med det tilsvarende tal i den ydre kreds eller som det udtrykkes i modulo-terminologi: 0 4 mod 7 = mod 7 = mod 7 = mod 7 = mod 7 = mod 7 = mod 7 = 6 Idet vi symbolisererer et tal i den indfoldede orden (den indre kreds af tal) ved bogstavet q og et tal i den numeriske rækkefølge (den ydre kreds af tal) ved bogstavet n, går opgaven imidlertid ud på at besvare spørgsmålet: Hvilken værdi har q på den n te plads? Opgaven kan kun løses ved, at vi afprøver alle potentielle muligheder og stopper op, når vi har fundet den rigtige. I dette tilfælde skal vi for hver af de syv pladser gennemfører alle syv modulodivisioner, frem til det punkt, hvor resten er identisk med nummeret på den pågældende plads. Det giver en masse regnearbejde, men det er ganske uden betydning, når vi tager computeren til hjælp. Formuleret i et simpelt programmeringssprog er fremgangsmåden (algoritmen) denne: FOR n = 0 TO 6 FOR q = 0 TO 6 IF q * 4 MOD 7 = n THEN EXIT FOR NEXT q PRINT q NEXT n Vi har her to løkker, hvor den ene er indesluttet i den anden. Begge løkker er af typen For-Next, dvs. de gennemløber et antal i forvejen fastlagte værdier, her fra 0 til 6. Lad os som eksempel sige, at vi i den yderste løkke er nået frem til 5. plads. Nu afprøves i den inderste løkke hver af de syv værdier som q kan have. Afprøvningen består i at udføre den før omtalt modulodivision. Når den som resultat giver n (udtrykt i kodeordene IF... THEN), har vi fundet den indfoldede orden på den pågældende plads; vi kan nu forlade den inderste løkke (udtrykt i kodeordene EXIT FOR), hvorefter resultet skrives ud (kodeordet PRINT q). Dermed er vi tilbage i den ydre løkke, og den samme procedure gentages med den næste værdi af n. Som slutresultat vil vi på skærmen have stående skalaens indfoldede orden: Ved hjælp af en tredje løkke, som omslutter de to andre, kan vi få programmet til at udskrive den den indfoldede orden for alle snit, hvor nævneren er 7 (altså 1/7, 2/7... 6/7), og ved at indskyde en passende kode på det sted, hvor der skiftes til en ny tæller, kan vi få det hele sat op i form af en matrice, dvs. en opstilling i rækker og kolonner. Tælleren kalder vi som sædvanlig b; linieskiftet er her blot antydet ved sætningen skift til ny linie : FOR b = 1 TO 6 FOR n = 0 TO 6 FOR q = 0 TO 6 IF q * b MOD 7 = n THEN EXIT FOR NEXT q PRINT q NEXT n (skift til ny linie) NEXT b
3 3 På skærmen står der nu: I fig.2.7 blev samtlige delingsforløb, hvor snittet er rationelt, og hvor nævneren er mindre end 13 anskueliggjort grafisk. Den følgende opstilling viser den indfoldede orden for hver af disse delingsforløb: 2-deling deling deling Den indfoldede orden for alle snit fra 1/2 til 11/12 (sml. med fig.2.7) 5-deling deling deling deling deling deling deling deling
4 4 Sammenligner vi med fig.2.4, er det tydeligt hvordan polygonernes individuelle struktur og indbyrdes symmetri afspejler sig i matricerne. De delinger der bortfalder, fordi tæller og nævner kan forkortes, er markeret ved en prik. Hvad angår den indbyrdes forbindelse mellem rækkerne i den enkelte matrice, så springer det umiddelbart i øjnene, at 1-tallerne danner en diagonal linie ned gennem matricen. Men ser vi nøjere efter, viser det sig, at noget lignende er tilfældet med de øvrige tal; blot er linien her ikke diagonal, men hældningen aftager i takt med at tallet vokser. I den næste opstilling gentages matricen for 11- deling, idet 2-tallerne er fremhævet i opstillingen til venstre, og 3-tallerne er fremhævet i opstillingen til højre: Hvis man forestiller sig at matricen vikles rundt om en cylinder, så vil 1-tallerne danne en skruelinje, som når én gang rundt om cylinderen, 2-tallerne vil danne en skruelinje, som når to gange rundt om cylinderen, 3-tallerne vil danne en skruelinje, som når tre gange rundt om cylinderen og så fremdeles. Hver enkelt række gentages her i et cirkulært periodisk forløb; men man kan også forestille sig, at det samme er tilfældet med kolonnerne nemlig ved at cylinderen forvandles til en torus (en ring). Jeg har skrevet et specielt program, SKALAMATRICER, som grundlæggende er baseret på den algoritme, der er gennemgået ovenfor. Den næste illustration, fig.4.2, viser hvordan brugerfladen ser ud. Figur 3.5
5 5 Øverst til venstre ser vi de samme indtastningsbokse for snittet og for antallet af delinger, som vi kender fra SKALAGENERATOREN. Desuden kan antallet af delinger fastlåses til nævneren. Af praktiske grunde er nævnerens maksimale størrelse sat til 99. Allerede før vi når hertil begynder genereringen af matricen at tage mærkbar tid (det skyldes dog mere opsætningen på skærmen, end det skyldes det egentlige regnearbejde), og desuden vokser matricens udstrækning i både bredde og højde, så det kun er et udsnit ad gangen, der kan ses på skærmen (bemærk rullepanelerne til højre og forneden). Til højre er der tre valg: Vi kan få vist (1) den indfoldede orden, (2) de tilsvarende intervaldifferenser, (3) forkortelsesmønstret. Hvad intervaldifferenser angår, er det let at indse, at der blot skal indskydes en simpel subtraktionsprocedure i programkoden, for at vi kan få disse beregnet og udskrevet. Hvad forkortelsesmønstret betyder, bliver forklaret lidt senere. Uanset hvilken tæller vi har indtastet, vises resultatet for alle tællere mellem 1 og a 1, men vi kan vælge at få fremhævet det indtastede snit. Vi kan også vælge at få fremhævet et bestemt tal i den indfoldede orden i eksemplet er det tallet 2 (fremhævet med rødt) Vælger vi at få vist intervaldifferenserne, får vi dette resultat at se (her er tillige valgt at få fremhævet det indtastede snit, 7/24): Figur 3.6 Vælger vi som den tredje mulighed at få vist forkortelsesmønstret, bliver alle tal erstattet af nuller. Dermed fremkommer et geometrisk mønster, der endnu tydeligere fremhæver de steder, hvor tæller og nævner forkortes. Forkortelsesmønstret, der egentlig mere skal forstås som et matematisk kuriosum, ser i det aktuelle tilfælde sådan ud: Figur 3.7
6 6 Selv om forkortelsesmønstret vel mere må betragtes som et kuriosum, er det ganske fascinerende at følge, hvordan det ændrer sig fra den ene nævner til den anden. I de næste figurer kan vi således følge, hvordan forkortelsesmønsteret udvikler sig mellem nævnerne 23 og 29. I ydertilfældene afslører mønstrets maksimale tæthed, at der er tale om primtal, hvorimod de mere eller mindre gennemhullede mønstre i de mellemliggende tilfælde særdeles tydeligt afslører, hvor tæller og nævner kan forkortes. 24 har som allerede nævnt særlig mange forkortelsesmuligheder, hvorimod 25 kun har en enkelt men jeg vil i øvrigt overlade den aritmetiske tolkning af mønstrene til læseren Man vil også kunne tolke de markerede tal som nodeværdier og de tomme pladser som pauser. Idet det vandrette forløb på sædvanlig vis identificeres med tidsforløbet, kan hele matricen tolkes som et partitur, og måske kan musikeren allerede for sit indre øre høre et rytmisk samspil mellem fra 23 til 29 instrumenter et samspil der strækker sig fra fuldkommen monotoni til de mest komplicerede polyrytmer! I øvrigt minder mønstrene også om de hulkort, der brugtes til Jacquard-vævning (en teknik til vævning af komplicerede mønstre), før denne blev afløst af computerstyret vævning.
4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi
2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit
Dette er den anden af fem artikler under den fælles overskrift Matematiske Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse
5. Betingelsen for at to skalaer har samme indfoldede orden et spørgsmål om Farey-brøker
Dette er den sidste af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 5. Betingelsen for at to skalaer har samme indfoldede orden
Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum
Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet
Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010
HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Elevark 6: Prøv at kode en produktionsproces
Elevark 6: Prøv at kode en produktionsproces De følgende sider handler om at kode en produktionsproces i Scratch. Det minder på mange måder om den måde man koder en maskine på en virksomhed, når man sætter
Løsning af møntproblemet
Løsning af møntproblemet Keld Helsgaun RUC, oktober 1999 Antag at tilstandene i problemet (stillingerne) er repræsenteret ved objekter af klassen State. Vi kan da finde en kortest mulig løsning af problemet
Lektion 3 Sammensætning af regnearterne
Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra
Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens
brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Mircobit Kursus Lektion 2
Mircobit Kursus Lektion 2 I denne lektie skal vi arbejde videre med lille mini computer kaldt microbit. Du kan finde Simulatoren & Programmet til micobit her: http://microbit.org/ (Du skal her vælge Lets
Affine - et krypteringssystem
Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på
Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.
4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter
Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Mircobit Kursus Lektion 5 (Du skal her vælge Lets Code og nederst Microsoft Block Editor.)
Mircobit Kursus Lektion 5 http://microbit.org/ (Du skal her vælge Lets Code og nederst Microsoft Block Editor.) Vi laver en variabel point til at holde styr på pointene. Af en mystisk grund kunne man ikke
Perfinbilledtyperne 1876 til nutid
Perfinbilledtyperne 1876 til nutid Nu skulle man jo tro, at eftersom perfinsamleriet har været på banen i mange år, at alle områder indenfor perfinfilatelien, er blevet belyst og beskrevet på alle leder
Euklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Matricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P
Introduktion til EXCEL med øvelser
Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,
Opgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK)
ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING 3 2 PRØVERNE 3 2.1 Log in 3 2.2 Lydtjek til lytteprøven 5 2.3 Under prøven 5 3 Prøvens opgaver 7 3.1 Lytteopgaver 7 3.2
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo
C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere
Sammenlign og byt. Et eksempel på dokumentering af et program
Sammenlign og byt Et eksempel på dokumentering af et program Sammenlign og byt Jeg har valgt, som et eksempel, at dokumentere et meget enkelt program som indlæser to tal, sammenligner dem og udskriver
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
NetLogo-simuleringen. Simuleringer og fysiske modeller (henfaldsloven)
NetLogo-simuleringen Simuleringer og fysiske modeller (henfaldsloven) Hvad er en simulering? For at kunne arbejde med en simulering er der to vigtige elementer, man må have en grundlæggende forståelse
Grundliggende regning og talforståelse
Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Fag matematik 1. klasse 17/18
Fag matematik 1. klasse 17/18 UGER TEMA MATERIALER Uge 33-38 Kontext 1 elevbog a: s. 2-27 Tal og tælling Vi arbejder vi arbejder med forskellige begreber, hvor mange er der, flest eller færrest, hvad koster
Vejledning til forløb om regnestrategier med multiplikation og division
Vejledning til forløb om regnestrategier med multiplikation og division Denne lærervejledning beskriver i detaljer forløbets gennemførelse med fokus på lærerstilladsering og modellering. Beskrivelserne
GUIDE TIL IT-SYSTEMET RAMBØLL RESULTS
GUIDE TIL IT-SYSTEMET RAMBØLL RESULTS Denne guide beskriver de redskaber, skoleledere har mulighed for at benytte i Rambøll Results. På de følgende sider finder du bl.a. svar på disse spørgsmål: Hvordan
Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Det nye husdyrgodkendelse.dk Sagsbehandlermodulet Fra ansøgning til godkendelse V. 1.0 28/4 2011
2. Sådan kommer du fra ansøgning til godkendelse Før du kan komme i gang med at arbejde på en miljøgodkendelse, skal du have åbnet den tilhørende ansøgning. Det gør du enten ved at indtaste skemanummer
Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter
Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.
Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Brugervejledning til. Vejleder
Brugervejledning til Vejleder UDARBEJDET AF DINO BABIC 12. AUGUST 2016 ADGANG TIL LOGBOGEN... 2 MIN PROFIL... 6 ÆNDRING AF KODEORD... 7 KALENDER... 8 KOMPETENCEOVERSIGT... 9 UDDANNELSESLÆGER... 10 KOMPETENCER
Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver
Kursusbeskrivelse. Forarbejde. Oprettelse af en Access-database
Kursusbeskrivelse Oprettelse af en Access-database Som eksempel på en Access-database oprettes en simpelt system til administration af kurser. Access-databasen skal indeholde: et instruktørkartotek et
Majoritetsproblemet Problem Præcisering af inddata Præcisering af uddata
Majoritetsproblemet Problem: Til præsidentvalget i Frankrig har cirka 20 millioner vælgere afgivet deres stemme på et antal præsidentkandidater. Afgør om en af kandidaterne har opnået mere end halvdelen
OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER
OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER Kan PowerPoint ikke animere, kan programmet i stedet lave overgangs- og opbygningseffekter. Ikke mindst opbygningseffekter giver rige muligheder, for at lave særdeles avancerede
Niveau Eksempler Beskrivelser 2 9 og 15 Korrekt besvarelse. 1 9
I B-delen skal du vurdere elevernes besvarelser ud fra ud fra såkaldte rubrics. En rubric beskriver med tekst og eksempler forskellige niveauer i en opgavebesvarelse. Med udgangspunkt i disse skal du vurdere,
Selv om websites er yderst forskellige i deres fremtræden, så kan de stort set alle sammen passes ind i den skabelon som er illustreret herunder:
Design en praktisk guide. Et design udtrykker dit websites grafiske udseende, lige fra hvilke skrifttyper der anvendes op til hvor navigationen er placeret og hvilke interaktive elementer der skal benyttes.
Sådan gør du i GeoGebra.
Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)
Programmering C RTG - 3.3 09-02-2015
Indholdsfortegnelse Formål... 2 Opgave formulering... 2 Krav til dokumentation af programmer... 3 ASCII tabel... 4 Værktøjer... 5 Versioner af ASCII tabel... 6 v1.9... 6 Problemer og mangler... 6 v2.1...
Sammensætning af regnearterne
Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division
Opstilling af festsange med overskrift og vers.
Side 1 af 12 Opstilling af festsange med overskrift og vers. Spalter 1. Skriv overskrift og vers på normal måde. Lad os sige, at der er 7 vers, hvor de 6 skal stå i 2 spalter. Det sidste skal stå alene
Manual til hjemmeside i Typo3
Manual til hjemmeside i Typo3 Gode tips og genvejstaster Ét linieskift Ctrl + A Ctrl + C Ctrl + X Ctrl + V shift + enter (tasten du normalt bruger til linieskift) Markér alt Kopier Klip Sæt ind Oprettelse
Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
IZAK9 lærervejledning
IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på
Håndtering af lokale hjemmesider (pr )
Håndtering af lokale hjemmesider (pr. 21.12.2016) Forsiden Side 1 A. Skift øverste store foto Side 1 B. Kredsens / afdelingens navn i øverste foto Side 1 C. Kommende Åbne haver Side 2 D. Kommende Arrangementer
Tråden kan med lidt god vilje ses som et S (rødt) - og på den anden tegning et Z (rødt)
Der findes nogle få, fundamentale regler, som jeg vil prøve at redegøre for. Som regel består den af en plade (af meget varierende størrelse, men den for mig bedste størrelse er ca. 5 x 5 cm). Den kan
KOMMUNIKATION/ IT C. Titel: Grafisk design Navn: Mark B, Thomas L og Maria S Klasse: 1.4g Dato: 8/12 2006 Sidetal:
Titel: Grafisk design Navn: Mark B, Thomas L og Maria S Klasse: 1.4g Dato: 8/12 2006 Sidetal: 1 Indholdsfortegnelse: Farvelære s. 2 - farvens fysik s. 2 Øjet s. 2 - farvesyn s. 3 - nethinden s. 3 - efterbilleder
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Projekt Pascals trekant
ISBN 988089 Projekter: Kapitel 9 Projekt 9 Pascals trekant Projekt 9 Pascals trekant Et af målene i dette afsnit er at generalisere kvadratsætningerne, så vi fx umiddelbart og uden nødvendigvis at bruge
Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Løsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Algebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010
Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller
Udlejningssystemet sættes op, således at det passer med den normale forretningsgang i virksomheden.
Udlejningssystemet sættes op, således at det passer med den normale forretningsgang i virksomheden. F.eks. ved biludlejning, betaler man leje og depositum, inden man får lov at tage bilen med sig. Anderledes
matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk
matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale
Elementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Differential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15
LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin
3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
NIMAND A/S SINCE 1987
Control Master M 700 / 3100 spiritus kontrol- & doserings system Bruger- & programmerings manual Aflæsning af salg pr. prop med servicenøgle (kan ikke 0-stilles) Denne aflæsning benyttes kun hvis man ønsker
Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er
Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i
i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Noter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg
Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,
Vi skal således finde en metode til:
Vi skal således finde en metode til: 1. At anvende maskinen som målemaskine til at finde det forudbestemte startpunkt. 2. At finde programmeringskoordinatsystemets afstand til startpunktet. 3. At indføre
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Kapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Introduktion til Calc Open Office med øvelser
Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6
Pointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Differential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Fraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Measuring ability and aptitude. Forberedelsesguide
Forberedelsesguide Indhold Måling af evner, intelligens Generel introduktion Test 1 Test 2 Test 3 Test 4: Test 5: Ræsonnement Opfattelseshastighed Talhastighed -nøjagtighed Sproglig forståelse Spatial
Skabelonfilen er udarbejdet i Word til Windows (Office 2010) og er også afprøvet i Word til Mac.
Nordiske Studier i Leksikografi 13 (København 2015) Brug af stilark Vi vil gerne have at alle forfattere benytter den Word-fil som redaktionen har udarbejdet og sendt ud, både forfattere og redaktører
Tegneserien - Kom godt i gang. Mikro Værkstedet A/S
Tegneserien - Kom godt i gang Mikro Værkstedet A/S Tegneserien - Kom godt i gang Mikro Værkstedet A/S Revision 1.14, 15. maj 2007 Indholdsfortegnelse 1. Forord... 1 2. Kom godt i gang... 3 2.1. Opstart
I beskrivelsen betegnes alle typer af layouts, som faktura, med mindre det er specifikt for en af de andre typer afsendelser
Layout for faktura Proceduren er: En simpel opsætning af faktura, Layout for faktura (hvis man ønsker at komme i gang her og nu) Oprette en Layoutgruppe der benyttes på valgte debitorer Oprette E-mail-opsætning
Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Programmering af Babysimulator
Programmering af Babysimulator Indhold Indhold Introduktion... 3 Programmering via computeren... 3 Class... 5 Student... 5 Baby... 6 Start/stop... 6 Schedule order... 6 Quiet Times... 7 Daycare vuggestue...
Oprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Papirfoldning. en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning.
Papirfoldning en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning. Når man folder og klipper figurer kan man blive irriteret over at skulle vende og dreje saksen. Hvor få klip kan man mon nøjes med?
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Undervisnings plan til Programmering
Undervisnings plan til Programmering Klasse: 7. klasse Fag: Fysik/Kemi Emne: We are all mad Dette forløb tager udgangspunkt i, at filmen Alice i Eventyrland er en blanding af almindelig film og tegnefilm