Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
|
|
- Lise Ravn
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget tilsvarende gør man ofte, når elektronisk data skal sendes via en såkaldt informationskanal. Det værktøj, man bruger, kaldes fejlkorrigerende koder. Uden fejlkorrigerende koder ville såvel en CD-afspiller som en DVD-afspiller være ubrugelig, og billeder sendt til jorden fra Mars eller månen ville være af en meget dårlig kvalitet.
2 Et eksempel på en fejlkorrigerende kode er den såkaldte binære Hammingkode. Her indpakkes beskeder af 4 binære symboler til ialt 7 symboler. Som vi skal se senere, beskytter denne indpakning de 4 symboler. Først et eksempel på, hvordan vi pakker ind. Eksempel 1: Beskeden (, 1, 1, ) indkodes ved hjælp af følgende figur Vi tilføjer tre ekstra symboler, e e f c b 1 1 a d g f g Figur 1: kaldet efg, ud fra følgende regler: Summen af elementerne i hver af de tre cirkler skal være lige. Eller sagt i et mere passende sprogbrug, summen i hver af de tre cirkler skal være modulo 2. Øverste cirkel giver anledning til: e (mod 2) e (mod 2) e =. Venstre cirkel giver anledning til: f (mod 2) 1 + f (mod 2) f = 1. 2
3 Højre cirkel giver anledning til: g (mod 2) 1 + g (mod 2) g = 1. Så beskeden (, 1, 1, ) indkodes altså til kodeordet (, 1, 1,,, 1, 1). Opgave 2: Indkod beskeden (1, 1,, 1) til et kodeord i den binære Hammingkode. Opgave 3: Indkod beskeden (1, 1, 1, 1) til et kodeord i den binære Hammingkode. I det følgende ser vi på, hvordan de tre ekstra symboler beskytter de 4 informationssymboler. Eksempel 4: Lad os sige, at du befinder dig i den modtagende ende af informationskanalen og at du modtager ordet (, 1, 1, 1,, 1, 1). Et første gæt ville være, at beskeden er (, 1, 1, 1). Men summen er ikke nul i alle de tre cirkler i nedenstående figur. Så der er altså ikke tale om Figur 2: et rigtigt kodeord. Der er sket fejl. Det er naturligt at starte med at antage, at der kun er sket en enkelt fejl. Som det fremgår af nedenstående figur, er dette en mulighed. Nemlig hvis symbolet 1 i positionen d i virkeligheden skulle have været. Vi konkluderer, at 3
4 det afsendte kodeord i virkeligheden var (, 1, 1,,, 1, 1) og at beskeden derfor er (, 1, 1, ). Opgave 5: Du modtager ordet (,, 1, 1,,, 1). Er dette et kodeord? Hvis vi nu antager, at der højst er sket en fejl, hvad er så det rigtige kodeord? Hvad er beskeden? Opgave 6: Du modtager ordet (, 1, 1,, 1,, ). Hvis vi nu antager, at der højst er sket en fejl, hvad er så det rigtige kodeord? Hvad er beskeden? Den binære Hammingkode er et eksempel på en såkaldt lineær kode. Det betyder, at hvis c 1 = (a, b, c, d, e, f, g) og c 2 = (A, B, C, D, E, F, G) er to kodeord, så er summen c 1 + c 2 = (a + A, b + B, c + C, d + D, e + E, f + F, g + G) også et kodeord. At dette rent faktisk er tilfældet ses på følgende måde. Vi konstaterer, at hvis c 1 = (a, b, c, d, e, f, g) er et kodeord i Hammingkoden, da må der gælde a + b + c + e er lige, a + c + d + f er lige og a + b + d + g er lige. Tilsvarende har vi, at hvis c 2 = (A, B, C, D, E, F, G) er et kodeord i Hammingkoden, da må der gælde A+B+C+E er lige, A+C+D+F er lige og A+B+D+G er lige. Men så er (a+a)+(b+b)+(c+c)+(e+e) = (a+b+c+e)+(a+b +C +E) lige (lige + lige er lige), (a+a)+(c+c)+(d+d)+(f +F ) = (a+c+d+f)+(a+c +D +F ) er lige og (a + A) + (b + B) + (d + D) + (g + G) = (a + b + d + g) + (A + B + D + G) er lige. Dermed er (a+a, b+b, c+c, d+d, e+e, f +F, g+g) et kodeord i Hammingkoden. Opgave 7: Ordene (, 1, 1,,, 1, 1) og (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) er begge kodeord i den binære Hammingkode. Find summen. Vis ved hjælp af de tre cirkler, at summen er et nyt kodeord. Lineære koder er specielt nemme at beskrive. Eksempel 8: Hver af de fire rækker i nedenstående system (kaldet en matrix) svarer til et kodeord i den binære Hammingkode. G = Vil du indkode for eksempel beskeden (1, 1,, 1), så kan du gøre det ved at lægge 1 gange række 1 sammen med 1 gange række 2, sammen med gange række 3 og sammen med 1 gange række 4. Hvorfor virker denne metode? Jo for det første er Hammingkoden lineær, så række 1 plus række 2 er et nyt kodeord. Til dette lægges række 4. Igen fås et kodeord, da summen af to kodeord jo er et kodeord igen. Så række 1 plus række 2 plus række 4 er helt klart et kodeord. Hvad er de fire første tal i det herved udregnede kodeord? Jo ved 4
5 at betragte matricen ovenfor ser vi, at disse netop udgør vores besked (1, 1,, 1). Metoden virker selvfølgelig ikke bare for beskeden (1, 1,, 1) men for alle beskeder (a, b, c, d). Opgave 9: Benyt metoden fra eksempel 8 til at indkode beskeden (1,, 1, 1). Lister vi alle lovlige kodeord i Hammingkoden, så vil vi opdage, at bortset fra kodeordet (,,,,,, ) så er der ingen kodeord med mindre end 3 ikke-nul symboler. Det mindste antal ikke-nul symboler, der kan forekomme i et kodeord forskelligt fra (,,, ) kaldes minimumsafstanden, og forkortes d. Der gælder følgende simple resultat, som vi dog ikke vil bevise. Sætning 1: En lineær kode med minimumsafstand d kan rette d 1 2 fejl (altså (d 1)/2 rundet ned). Opgave 11: Hvor mange fejl kan den binære Hammingkode rette? Hvis en kode har minimumsafstand d = 4, hvor mange fejl kan den så rette? Hvad hvis den har minimumsafstand d = 17? Indtil videre har vi kun arbejdet med symbolerne og 1. Det vil sige, vi har indtil videre kun arbejdet med det binære alfabet F 2 = {, 1}. Man arbejder i praksis med forskellige alfabeter svarende til de såkaldte endelige legemer. Disse har alle størrelsen p m, hvor p er et primtal. I det følgende ser vi kun på de tilfælde, hvor m = 1. Altså på de tilfælde, hvor alfabetet indeholder p elementer. Eksempel 12: Alfabetet F 3 = {, 1, 2} tilfredsstiller ligningen 3 =. Det vil sige = 2, = 3 = og = 4 = = + 1 = 1. Vi siger, at vi reducerer modulo 3. Tilsvarende gælder 2 2 = 4 = = + 1 = 1. Vi får følgende additions- og multiplikationstabeller Opgave 13: Alfabetet F 5 = {, 1, 2, 3, 4} tilfredsstiller ligningen 5 =. Vi siger, at vi regner modulo 5. Udfyld følgende additions- og multiplikationstabeller
6 Vi behandler afslutningsvis de såkaldte Reed-Solomonkoder. Disse er defineret for alle alfabeter. Eksempel 14: Lad os for eksempel betragte alfabetet F 5. Lad os sige, at vi gerne vil have beskeder af længde 3 pakket ind i kodeord af længde 5. Vi vil opstille en matrix, som i eksempel 8. Da vi vil have beskeder af længde 3, skal denne matrix have 3 rækker. Vi vælger som første række (1, 1, 1, 1, 1). Som anden række vælger vi ( ) = (, 1, 2, 3, 4). Som tredie række vælger vi ( ) = (, 1, 4, 4, 1). Så anden række er altså fremkommet ved at stoppe punkterne, 1, 2, 3, 4 ind i polynomiet x, tredie række er fremkommet ved at stoppe punkterne, 1, 2, 3, 4 ind i polynomiet x 2 og første række er fremkommet ved at stoppe punkterne, 1, 2, 3, 4 ind i polynomiet 1. G = Vil vi nu indkode beskeden (1, 2, 4) lægger vi simpelthen 1 gange række 1 sammen med 2 gange række 2 og sammen med 4 gange række 3. Vi får 1 (1, 1, 1, 1, 1)+2 ( 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1 )+ 4 ( 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2 ) = ( , , , , , ) = (p(), p(1), p(2), p(3), p(4)), hvor p(x) = 1+2x+4x 2. Generelt indkodes beskeden (a, b, c) til (p(), p(1), p(2), p(3), p(4)), hvor p(x) = a + bx + cx 2. Bemærk, at denne indkodning har en enkelt ulempe! Når først vi har indkodet vores besked, da kan vi ikke direkte se af kodeordet, hvad beskeden er. F.eks. indkodes (1, 2, 4) ovenfor til (1, 2, 1, 3, 3). Dette er ikke et problem i praksis. Opgave 15: Lad os igen betragte alfabetet F 5. Lad os nu sige, at vi gerne vil have beskeder af længde 2 pakket ind i kodeord af længde 5. Opskriv den tilhørende matrix. Hvilket polynomium skal du bruge for at indkode beskeden (2, 2)? Opgave 16: Samme som opgave 15 men med beskeder af længde 4. Hvilket polynomium skal du bruge for at indkode beskeden (2, 1, 3, 1)? En af fordelene ved Reed-Solomonkoderne er, at det er så let at finde deres minimumsafstand. Eksempel 17: Betragt koden fra eksempel 14. Et kodeord findes ved at benytte et polynomium af grad højst 2. Et ikke-nul polynomium af grad højst 2 har højst to nulpunkter. Derfor må der i ethvert ikke-nul kodeord forekomme højst 2 nuller. Men så er der mindst 3 ikke-nul symboler. Hermed er minimumsafstanden d lig 3. Vi kan rette = 1 fejl. 6
7 Opgave 18: Benyt metoden fra eksempel 17 til at finde minimumsafstanden af koden i opgave 16. Hvor mange fejl kan vi rette? Opgave 19: Benyt metoden fra eksempel 17 til at finde minimumsafstanden af koden i opgave 15. Opgave 2: Find selv på flere eksempler. Prøv for eksempel at lave Reed-Solomonkoder over alfabetet F 7 = {, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. I det følgende vil vi gerne arbejde os hen imod at vise, at et polynomium af grad n højst kan have n forskellige nulpunkter. Vi får brug for divisionsalgoritmen for polynomier. Vi nupper lige et eksempel med heltal først. Eksempel 21: Betragt de positive heltal a = 7612 og b = 7. Vi vil gerne finde ikke-negative heltal q og r således, at der gælder a = q b + r og således, at r < b holder. Divisionsalgoritmen er velkendt, men er måske her skrevet lidt anderledes op end I er vant til : 7 = Vi konkluderer, at 7612 = Altså er q = 187 og r = 3. Opgave 22: Lad a = 9635 og lad b = 4. Find q og r, så a = q b + r, hvor q og r er ikke-negative heltal, og hvor r < 4. Vi konstaterer, at divisionsalgoritmen altid stopper (det vil sige, den bliver færdig i endelig mange trin). Det er også let at indse, at vi altid vil ende med et r som opfylder r < b. At vores bud på q og r altid opfylder a = qb + r, ses nok lettest ved at betragte eksempel 21 en gang til. Eksempel 23: Vi betragter udregningerne i eksempel 21. Sidste linie i den ni-liniers udregning svarer til r. Ottende linie svarer til 7 b og syvende linie svarer til 7 b + r. Sjette linie svarer til 7
8 8 b og femte linie svarer til 8 b + 7 b + r. Fjerde linie svarer til b og tredie linie svarer til b + 8 b + 7 b + r. Anden linie svarer til 1 b og første linie svarer til 1 b b+8 b+7 b+r. Vi har 1 b b+8 b+7 b+r = (1++8+1) b+r = q b+r. Men første linie er jo også lig a, og vi har a = q b + r. Vi går nu over til at se på divisionsalgoritmen for polynomier. Det virker selvfølgelig lidt mere abstrakt end ovenstående, men er dybest set det samme. Eksempel 24: Betragt polynomierne a(x) = 8 x x og b(x) = 2 x + 1. Vi vil finde polynomier q(x) og r(x) så a(x) = q(x) b(x) + r(x), hvor graden af r(x) er mindre end graden af b(x). 8x 3 + 6x 2 + x + 1 : 2x + 2 = 4x 2 8x 3 + 8x 2 2x 2 + x + 1 x 2x 2 2x 2x x Så q(x) = 4x 2 x + 1 og r(x) = 1 opfylder a(x) = q(x) b(x) + r(x) og ganske rigtigt er r(x) af grad nul. Opgave 25: Lad a(x) = 8x 4 + 4x 3 2x 2 + x + 1 og b(x) = x + 4. Find ved hjælp af divisionsalgoritmen q(x) og r(x), så a(x) = q(x)b(x) + r(x) og så graden af r(x) er mindre end graden af b(x). Opgave 26: Lad a(x) = 8x 4 + 4x 3 2x 2 + x + 1 og b(x) = x 2 + x + 4. Find ved hjælp af divisionsalgoritmen q(x) og r(x), så a(x) = q(x)b(x) + r(x) og så graden af r(x) er mindre end graden af b(x). Opgave 27: I denne opgave benyttes metoden fra eksempel 23. Denne gang tager vi udgangspunkt i eksempel 24. Forklar, hvorfor vi kan være sikre på, at divisionsalgoritmen altid stopper. Forklar hvorfor vi altid ender med et r(x) som har grad mindre end b(x). Forklar hvorfor der altid gælder a(x) = q(x)b(x) + r(x). Eksempel 28: Vi øger nu abstraktionsniveauet yderligere idet vi istedet for de rationale tal vil arbejde med legemet F 3 fra eksempel 12. Blandt andet gælder der altså nu 2 2 = 1 og 1 2 = 2. Vi betragter polynomierne a(x) = 2x 3 + 2x 2 + x + 1 og b(x) = x + 2. Vi søger som ovenfor q(x) og r(x), men denne gang med koefficienter i F 3. 8
9 Så q(x) = 2x 2 + x + 2 og r(x) =. 2x 3 + 2x 2 + x + 1 : x + 2 = 2x 2 2x 3 + x 2 x 2 + x + 1 +x x 2 + 2x 2x x + 1 Opgave 29: Ligesom i ovenstående eksempel regner vi i legemet F 3. Lad a(x) = 3x 2 + x 2 + 2x + 1 og b(x) = 2x + 2. Find ved hjælp af divisionsalgoritmen q(x) og r(x). Opgave 3: I dette eksempel regner vi i legemet F 3 fra eksempel 13. Lad a(x) = 2x 3 + 2x 2 + x + 1 og b(x) = x + 2 og find ved hjælp af divisionsalgoritmen q(x) og r(x). Eksempel 31: Betragt polynomiet f(x) = x 3 7x x 8 med koefficienter i de rationale tal. Ved indsættelse kan man overbevise sig om, at f(x) har nulpunkterne 1, 2 og 4. Vi vil nu bevise, at det ikke har flere nulpunkter end disse. Vi får kraftigt brug for divisionsalgoritmen. Først tages udgangspunkt i nulpunktet 1. Vi søger som sædvanlig q(x) og r(x) så x 3 7x x 8 = q(x) (x 1) + r(x) (1) og så r(x) har grad mindre end polynomiet x 1. Men så er r(x) altså en konstant. Vi ved, at =, og selvfølgelig gælder også q(1) (1 1) =. Vi konkluderer, at r(x) derfor bliver nødt til at være lig. x 3 7x x 8 : x 1 = x 2 x 3 x 2 6x x 8 6x 6x 2 + 6x 8x x 1 Vi har altså f(x) = (x 2 6x + 8) (x 1) +. Bemærk, at vi som forventet fik rest r lig. Vi fortsætter nu med at kigge på nulpunktet 2. Da 2 ikke er nulpunkt i polynomiet x 1, 9
10 må 2 i følge ovenstående være nulpunkt i x 2 6x + 8. Vi regner ligesom ovenfor. x 2 6x + 8 : x 2 = x x 2 2x 4x x + 8 Hermed haves x 2 6x+8 = (x 2) (x 4), og dermed altså f(x) = (x 1) (x 2) (x 4). Ud fra denne opskrivning (faktorisering) er det klart, at der ikke kan være flere nulpunkter end de tre vi allerede kender. Sætning 32: Lad f(x) være et polynomium af grad g over et givet legeme. Da kan f(x) højst have g forskellige nulpunkter i legemet. Opgave 33: Skitser med baggrund i eksempel 31 et bevis for sætning 32 (hint: antag, at f(x) har mindst d + 1 forskellige nulpunkter og nå frem til en modstrid). Sætning 34: Betragt Reed-Solomon koden over alfabetet F p defineret ved hjælp af polynomier af grad op til g. Koden har minimumsafstand mindst lig p g. Opgave 35: Bevis sætning 34 ved hjælp af sætning 32. Opgave 35: Lad polynomiet f(x) = x 3 + 2x 2 x 2 have koefficienter i F 3. Find ved indsættelse rødderne i F 3 for dette polynomium. Benyt metoden fra opgave 31 til at finde ud af, hvilken af disse rødder, der er dobbeltrod. Opgave 36: Vi betragter divisionsalgoritmen for positive heltal (behandlet i eksempel 21). Vi vil argumentere for, at det r vi finder ved hjælp af algoritmen altid er det mindste positive heltal, som opfylder, at a = q b + r. Lad q og q være positive heltal og lad r og r være positive heltal mindre end b således at a = q b + r og a = q b + r. Vi vil vise, at så gælder q = q og r = r. Betragt differensen = a a = (q b + r) (q b + r ) = (q q ) b (r r ). Overbevis dig om, at der er følgende to muligheder. Mulighed 1: q = q og r = r. Mulighed 2: Der gælder (q q ) b b og r r < b. Argumenter for, at mulighed 2 aldrig kan forekomme. Genereliser resultatet til divisionsalgoritmen for polynomier. 1
11 Opgave 37: Legemet F 2 2 = F 4 består af elementerne Der benyttes følgende regneregler {, 1, α, 1 + α} (2) 2 = og α 2 + α + 1 = (3) Første regel indebærer, at og + er det samme. Kan du se hvorfor? Vis, at der derfor gælder α 2 = α +1. Opskriv additionstabellen for F 4. Hvilke elementer i (2) svarer til α 2 og α 3? Konkluder, at {α, α 2, α 3 } svarer til ikke-nul elementerne i (2). Udnyt, at α 2 α 2 = α 4 = α 3 α, til at finde det element i (2), som svarer til α 2 α 2. Opskriv multiplikationstabellen for F 4. 11
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereFejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi)
Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Olav Geil Afdeling for Matematiske Fag Aalborg Universitet Møde for Matematiklærere i Viborg og Ringkøbing amter 7. november, 2006 Oversigt Fejlkorrigerende
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereModerne kryptografi. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet. Elektronik og IT-Gruppen 24. april 2008
Moderne kryptografi Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Elektronik og IT-Gruppen 24. april 2008 Matematik og ingeniørvidenskab Uden ingeniørvidenskab var komplekse tal blot en kuriøsitet
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereAffine - et krypteringssystem
Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereProjekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereKvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter
Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Fredag den 28. maj 2004, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (20%) En (r, k) kryds-graf er en orienteret graf
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereKryptering kan vinde over kvante-computere
Regional kursus i matematik i Aabenraa Institut for Matematik Aarhus Universitet matjph@math.au.dk 15. februar 2016 Oversigt 1 Offentlig-privat nøgle kryptering 2 3 4 Offentlig-privat nøgle kryptering
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereSvar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereTilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet
Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()
Læs mereDiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereProjekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereSecret sharing - om at dele en hemmelighed Matematiklærerdag 2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik, Aarhus universitet 24. marts 2017 Resumé Secret sharing henviser til metoder til fordeling af en hemmelighed blandt en gruppe af deltagere, som hver især
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereProjekt Pascals trekant
ISBN 988089 Projekter: Kapitel 9 Projekt 9 Pascals trekant Projekt 9 Pascals trekant Et af målene i dette afsnit er at generalisere kvadratsætningerne, så vi fx umiddelbart og uden nødvendigvis at bruge
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereProposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b
vil have samme chance for at få eller 7 skilling i et retmæssigt spil, som det senere vil blive vist. Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSelvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mere