Opgave 1 ( Toppunktsformlen )

Transkript

1 Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en lineær funktion ser vi t fortegnet for f ' x må være forskelligt lt efter om x er større eller minre en b. Hvis er positiv vil f ' x først være negtiv og erefter positiv og omvent hvis er negtiv. Det betyer t hvis er positiv så vil f først være ftgene og erefter voksene. Dvs t toppunktet i ette tilfæle svrer til et globlt minimum. Hvis er negtiv er situtionen lige omvent og vi hr ltså t toppunktet er et globlt mximum. For t fine toppunktets y-væri insætter vi x b i f x f b b 2 b b c b2 2 b2 c b2 2 b2 c b2 2 b 2 c b2 c Vi hr erme bevist t grfen for f x x 2 b x c, ( hvor 0 ) hr præcis et toppunkt me koorinterne T b,, hvor b2 c Bemærk: I prksis kn et normlt ikke betle sig t fine toppunktets y-væri vh. enne formel. Det vil som regel være nemmere blot t insætte en funne x-væri i f x og så uregne resulttet. sie 1 / 7

2 Eksempel: 10 f x x T, T 0, g x 0.5 x 2 2 x T, T 2, sie 2 / 7

3 Opgve 2 Tre funktioner er givet ve f x 0.25 x 2 g x 0.25 x x 2 x 2. h x 0.25 x x x f x 0.25 x 2 2 g x 0.25 x h x 0.25 x Vi ser t e tre grfer hr smme useene, men ligger forskellige steer i koorintsystemet. Det kunne ltså se u til prblens "form" kun fhænger f konstnten og t konstnterne b og c bestemmer, hvor toppunktet er plceret. Enviere ser vi t toppunktets koorinter (h,k) svrer til konstnterne h og k i forskriften f x x h 2 k. sie 3 / 7

4 Opgve 3 Et nengrspolynomium er givet ve f x 2 x Vi omskriver ette til stnrformen f x 2 x x 2 6 x x 2 12 x x 2 12 x 19 Vi vil nu bevise t Vi strter me højre sie x 2 b x c x h 2 k, hvor h b og k b2 c x h 2 k x b 2 b2 c x 2 2 x b b 2 b2 c x 2 b x b2 b2 c x 2 b x c Derme hr vi vist t et vilkårligt nengrspolynomium x 2 b x c også kn skrives på formen x h 2 k, hvor h b og k b2 c sie 4 / 7

5 Smmenftning f opgve 2 og 3 Grfen for et vilkårligt nengrspolynomium beskrives f ligningen y x 2 b x c og vi hr ltså nu bevist t enne ligning også kn skrives som y x h 2 k y k x h 2 y 1 x 1 2 Den siste ligning utrykker, t hvis vi i beskriver et punkt me koorinter som er regnet i forhol til toppunktet T h, k, så vil isse koorinter opfyle præcis smme ligning, som prblen me ligningen y x 2. Dette betyer t grfen for f x x 2 b x c x h 2 k, hr præcis smme form som grfen for g x x 2, en eneste forskel er t grfen er prllelforskut h i x-ksens retning og k i y-ksens retning. Eksempel Her bruger vi igen smme funktion som i strten f opgve 3: y 2 x 2 12 x 19 2 x Neenståene tbel viser hvorn enne formel kn opfttes som om en besto f tre uregninger: Først en forskyning i x- ksens retning, erefter bruger vi funktionen f 2 2 og enelig en forskyning i y-ksens retning. x x 1 x y 1 2 x y y Opgve 4 I et nengrspolynomium f x x 2 b x c ingår 3 konstnter, b og c. Vi ser t f b 0 c c hvilket betyer t grfen går gennem punktet 0, c eller m..o. t grfen skærer y-ksen i punktet me værien c. Vi ser også t f ' x x b og erme t f ' 0 0 b b. Dette betyer t i skæringspunktet me y-ksen, er hælningen f tngenten til prblen lig me b. Konstnten viser hvor "bre" eller "sml" prblen er. En stor -væri vil svre til t prblen er meget "sml" eller "spis". Desuen vil en positiv -væri svre til t prblens grene vener op og en negtiv -væri til t grenene vener ne. sie 5 / 7

6 Opgve 5 ( Anengrsligningen ) Vi skl fine en metoe til t løse ligninger f typen x 2 b x c 0 I opgve 3 hr vi set t nengrspolynomiet x 2 b x c kn omskrives til x h 2 k, hvor h, k er toppunktets koorinter. Vi hr også funet t h b og k eller evt. k b2 c b2 c. Vi vil erfor strte me t løse ligningen Bemærk t enne ligning ikke hr nogen løsning hvis k most fortegn, eller hvis evt. k 0. x h 2 k 0 x h 2 k x h 2 k er negtiv. Dette betyer t ligningen kun kn løses når og k hr x h ± k x h ± k Heri kunne vi nu insætte h b og k. Men vi vælger i steet t insætte i x h 2 k x b 2 2 Hvis 0 hr enne ligning ingen løsninger. Hvis 0 kn vi ligesom tiligere bruge kvrtrosfunktionen hvor b 2 c. x b ± 2 x b ± x b ± x b± Bemærk t hvis 0 giver enne formel kun en løsning, nemlig Hvis erimo 0 giver formlen to forskellige løsninger x b x b eller x b Alterntivt bevis... sie 6 / 7

7 Alterntivt bevis... Alterntiv ulening f formlen x b± Hvis 0 hr enne ligning ingen løsning. Hvis 0 kn vi bruge kvrtrosfunktionen Eksempel 1 Et eksempel hvor er er to løsninger Eksempel 2 Et eksempel uen løsninger x 2 b x c 0 x 2 b x c 0 2 x 2 b x c 0 2 x 2 b x c b 2 b 2 2 x 2 b x b 2 b 2 c x b 2 x b ± x b ± x b± 2 x 2 4 x 6 0, x 4± 64 4 x 4±8 4 x 3 eller x 1 2 x 2 4 x 6 0, D 0 ser vi her umielbrt t ligningen 2 x 2 4 x 6 0 ikke hr nogen løsninger y 2 x 2 4 x 6 y 2 x 2 4 x sie 7 / 7