ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:

Transkript

1 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:

2 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer er forbudt i henhold til Lov om ophavsret. Forbuddet gælder alle former for mangfoldiggørelse ved trykning, fotografering og elektronisk databehandling.

3 Indholdsfortegnelse Titalssystemet Potenser Totalssystemet Index Ottetalssystemet Sekstentalssystemet Regneregler i andre talsystemer Konverterings tabel Sammenhængen og omregninger mellem totalssystemet og det hexadecimale system Konvertering fra decimalsystemet til andre systemer Metode 1: Del med grundtallet Metode 2: Del med potenser af grundtallet Metode 3: Del med potenser af grundtallet med hjælp af en tabel IP adresser Datatyper Opgaver Øvelse i omsætning decimal- til binærtal Øvelse i omsætning binær- til decimal tal Øvelse i omsætning decimal- til hexadecimaltal Øvelse i omsætning hexadecimal- til decimaltal Øvelse i omsætning hexadecimal- til binærtal Øvelse i omsætning binær- til hexadecimaltal

4 1 Når man arbejder med digitale teknikker, vil man støde på forskellige talsystemer. Her vil vi omtale: Titalssystemet (det decimale systemet) Totalssystemet (det binære system) Ottetalssystemet (det oktale system) Sekstentalssystemet (det hexadecimale system) Alle disse systemer er positionssystemer, hvor tallets position i rækken angiver dens værdi. I modsætning til dette system ses romertal. 1.1 Titalssystemet Systemets opbygning Det talsystem, som vi er vant til at arbejde med, og som vi bruger til at lægge sammen og trække fra med og til at regne vores løn ud efter, kaldes titalssystemet eller det det decimale system. Dette skyldes to ting. For det første består titalssystemet af præcis ti forskellige tal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 For det andet er hvert ciffers placering i et helt tal baseret på potenser af 10. Tusinder Hundreder Tiere Enere Som det ses af eksemplet, er det ikke kun tallet egen værdi, der tæller. Tallets placering spiller også en rolle. Tager vi totallet, betyder det ikke bare to, men angiver antallet af tusinder, nemlig to tusinde. 1.2 Potenser Årstallets enkelte cifres betydning kan også anskueliggøres med titalspotenser: Derfor kan årstallet deles med hver ciffer for sig: 2

5 = = = = Totalssystemet Systemets opbygning Alle computersystemer arbejder med totalssystemet, som også kaldes det binære talsystem. Dette talsystem har kun to forskellige cifre at arbejde med: 0, 1 Et tal i totalssystemet kaldes ofte for en bit. Ordet stammer fra BInary digit. Et tal, som er skrevet i totalssystemet, kan anskueliggøres i totalspotenser: 2 5 = = = = = = Index Når man arbejder med forskellige talsystemer, er det klogt at sætte et index på tallet for at fortælle, hvilket talsystem man arbejder med. På engelsk kaldes talsystemet radix D = Titalssystemet ( ) 2010 O = Ottetalssystemet 1010 B = Totalssystemet A01F0 H = Sekstentalssystemet (Hexadecimaletalssystemet) (A01F0 16 ) Hexadecimale tal kan også være mærket med begyndelses tegnene 0x i stedet½ for et index, som f. eks: 3

6 0xBB = BB H Et eksempel fra totalssystemet til decimalsystemet: B = 50 D = = = = = = D Til totalssystemet finder der ganske specielle regneregler som kaldes Booles algebra, som udnytter at der kun er to mulige tilstande: 1 og 0. Totalssystemet er vanskeligt for mennesker at anvende, der er for mange ettere og nuller til at vi kan holde styr på dem ved større tal, derfor indførte man ottetalssystemet, og senere sekstentalssystemet. 1.5 Ottetalssystemet Systemets opbygning Et tal, som er skrevet i ottetalssystemet, også kaldet oktalsystemet, kan beskrives med ottetalspotenser. Dette talsystem har kun otte forskellige cifre at arbejde med: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, = = = = = O Ottetalssystemet blev ofte tidligere anvendt i simple styringsprogrammer, men anvendes i dag ikke ret meget. 4

7 1.6 Sekstentalssystemet Systemets opbygning Sekstentalssystemet, eller det hexadecimale system, forkortet til Hex er i dag enerådede i computersystemer. Dette talsystem har seksten forskellige cifre at arbejde med. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Da vi kun har ti forskellige talsymboler, har det været nødvendigt at tage nogle bogstaver til hjælp = = = = = 1 7 A 3 F 9 H Fra sekstentalssystemet til decimalsystemet: 7A3F9 H = D 7 A 3 F 9 H 9 1= = = = = D 1.7 Regneregler i andre talsystemer De almindelige regneregler for addition, subtraktion, multiplikation og division (lægge sammen, trække fra, gange og dividere) gælder også i andre talsystemer. Eksempler

8 2 Konverterings tabel Binær Oktal Hex Dec A B C D E F A B C D E F

9 3 Sammenhængen og omregninger mellem totalssystemet og det hexadecimale system. Som tidligere nævnt er totalssystemet velegnet til elektrisk udstyr, men uegnet for mennesker. Ved at indføre det hexadecimalesystem, er der indført en mellemting som er egnet for både computere og mennesker. Et binært tal kan inddeles i grupper af 4 cifre (bagfra), hvert af disse kan nemt konverteres til et hexadecimalt tal B B 3 E 7 5 C H 3 E7 5C H Tilsvarende er det nemt at gå fra et hexadecimalt tal til et binært: B 51 A8 0C 7F H = B B 5 1 A 8 0 C 7 F H B 7

10 4 Konvertering fra decimalsystemet til andre systemer Der er 2-3 forskellige måder til at konvertere fra decimal tal til andre talsystemer. Metode 1: Del med grundtallet Metode 2: Del med potenser af grundtallet Metode 3, som metode 2: Del med potenser af grundtallet med hjælp af en tabel. Alle metoder beskrives. 4.1 Metode 1: Del med grundtallet For at konvertere et tal fra titalssystemet til et andet talsystem, skal tallet divideres med det nye talsystems grundtal. Resten er det mindst betydende ciffer (LSB : least significant bit). Heltallet fra den første division deles igen med grundtallet. Resten er det næstmindst betydende ciffer. Divisionen gentages indtil der kun er en rest tilbage. Denne rest er det mest betydende ciffer. (MSB : most significant bit). Eksempel 1: Konverter D til hexadecimal: D /16 giver 771, resten er 9 Mindst betydende ciffer, LSB 771 D /16 giver 48, resten er 3 48 D /16 giver 3, resten er 0 3 D /16 giver 0, resten er 3 Mest betydende ciffer, MSB Resultat: D = 3039 H Bemærk: Denne metode giver det mindst betydende ciffer først og det mest betydende til sidst. Eksempel 2: Konverter D til binær: D /2 giver 6172, resten er 1. 1 LSB (Bemærk at er ulige, derfor bliver resten 1) 6172 D /2 giver 3086, resten er 0 8

11 3086 D /2 giver 1543, resten er D /2 giver 771, resten er D /2 giver 385, resten er D /2 giver 192, resten er D /2 giver 96, resten er 0 96 D /2 giver 48, resten er 0 48 D /2 giver 24, resten er 0 24 D /2 giver 12, resten er 0 12 D /2 giver 6, resten er 0 6 D /2 giver 3, resten er 0 3 D /2 giver 1, resten er 1 1 D /2 giver 0, resten er 1 MSB Resultat:12345 D = B 4.2 Metode 2: Del med potenser af grundtallet For at konvertere et tal fra titalssystemet til et andet talsystem, skal tallet fratrækkes det største antal af potens af grundtallet, der kan være i tallet. Antallet noteres og er det mest betydende ciffer. Resten fratrækkes igen den næste mindre potens af grundtallet. Antallet noteres og er det næstmest betydende ciffer. Således fortsættes indtil man har divideret med 1. Den sidste division giver det mindst betydende ciffer. Eksempel 1: Konverter D til hexadecimal: D , giver resten 57 3 Mest betydende ciffer, MSB 57 D 0 256, giver resten D 3 16 giver resten D 9 1 giver resten 0 9 Mindst betydende ciffer, LSB Resultat: D = 3039 H 9

12 Bemærk: Denne metode giver det mest betydende ciffer først og det mindst betydende til sidst. Eksempel 2: Konverter 17 D til binær: 17 D 1 16 resten er 1 1 MSB 1 D 0 8 resten er D 0 4 resten er D 0 2 resten er D 1 1 resten er 0 1 LSB Resultat: 17 D = B Eksempel 3: Konverter D til binær: D giver resten MSB 4153 D resten er D resten er D resten er D resten er D resten er D resten er D 0 64 resten er D 1 32 resten er D 1 16 resten er D 1 8 resten er D 0 4 resten er D 0 2 resten er D 1 1 resten er 0 1 LSB Resultat: D = B 10

13 4.3 Metode 3: Del med potenser af grundtallet med hjælp af en tabel Denne metode er en videreudvikling af metode 2, hvor der bruges en tabel som hjælpeværktøj. For at konvertere et tal fra titalssystemet til et andet talsystem, skal tallet fratrækkes det største antal af potens af grundtallet, der kan være i tallet. Tabel til brug ved omsætning mellem decimaltal og hexadecimatal: A B C D E F Eksempel Konverter D til hexadecimalt: I tabellen findes det største tal, som er mindre end tallet, der skal konverteres. I dette tilfælde som er 3*16 3. (Det hexadecimale tal vil da blive 3xxx) = 57 Alle tal i kolonnen 16 2 er for store, så dette ciffer er 0 (Det hexadecimale tal vil da blive 30xx) Det største tal der er mindre end 57 er 48 = 3*16 1. (Det hexadecimale tal vil da blive 303x) = 9 Det største tal der er mindre end 9 er 9 = 9*16 0. Det hexadecimale tal vil da blive = 0 11

14 5 IP adresser På internettet har alle computere, servere og routere et nummer/ip adressen. IP adressen er et binært tal med 32 cifre. Som tidligere nævnt er vi mennesker ikke glade for totalssystemet, og man har valgt dele de 32 cifre op i 4 grupper af 8 bits, og angive hver gruppe med et decimal tal. Fordelen ved dette system ses når der skal laves sub-netting mv. i netværk. Eksempel: IP adresse: : IP adresse: Hex.: 50 C4 92 BA Binært.: Binært bliver adressen da : B Den højeste mulige adresse i dette system bliver da: svarende til binært: B Der er i alt 2 32 = forskellige mulige adresser (knapt en til hvert menneske på jorden) med den nuværende standard, kaldet Ipv4. I den nye standard IPv6 er adressernes størrelse udvidet til 128 bit. Det betyder at er 2 128, eller 3, , tilgængelige adresser. Med en verdensbefolkning på cirka 6,6 milliarder svarer det til cirka 5, adresser per person. 6 Datatyper 4 bit samlet kaldes ofte en nybble 8 bits samlet kaldes ofte en byte. En byte på 8 bits kan angive en af 2 8 = 256 forskellige tilstande. 12

15 7 Opgaver 7.1 Øvelse i omsætning decimal- til binærtal Omsæt følgende tal til binær: 257 D = 68 D = 7 D = 33 D = 10 D = 6 D = 150 D = 97 D = 615 D = 2436 D = 512 D = D = 7.2 Øvelse i omsætning binær- til decimal tal Omsæt følgende tal til decimal: 1101 B = 1001 B = B = B = B = 101 B = 11 B = B = B = B = 13

16 7.3 Øvelse i omsætning decimal- til hexadecimaltal Omsæt følgende tal til hexadecimal: 16 D = 145 D = 391 D = 56 D = 4032 D = 1024 D = 159 D = 615 D = 68 D = 97 D = 2222 D = 7.4 Øvelse i omsætning hexadecimal- til decimaltal Omsæt følgende tal til decimal: FC0 H = 400 H = C3 H = 1804 H = 91 H = 187 H = 0F H = A8 H = ABC H = ABCD H = H = FFFF H = 14

17 7.5 Øvelse i omsætning hexadecimal- til binærtal Omsæt følgende tal til binærtal ved at opdele i grupper af 4 bits som vist: 2C8 H = 2 C 8 H B FC0 H = 0C3 H = 4F H = AA H = 1234 H = 7.6 Øvelse i omsætning binær- til hexadecimaltal Omsæt følgende tal til hexadecimaltal ved at opdele dem i grupper af 4 bits som vist: B = C 8 H B = B = B = 100 B = 15