Misopfattelser. Mod en bedre opbygning af matematiske begreber CFU København Bent Lindhardt

Transkript

1 Misopfattelser Mod en bedre opbygning af matematiske begreber CFU København

2 2

3 3

4 Overgeneralisering Der gælder de samme regneregler for alle regningsarterne = så gælder også. at 12 7 = 7 12 Det længste tal er det største tal 3267 er større end 546. så er 32,67 også større end 546. Når man ganger med ti sætter man et nul bagefter. 387 gange 10 er 3870, så må 38,7 være 38,70 4

5 En indkredsning Misopfattelser er ufuldstændige tanker knyttet til et begreb. Der er forskel på fejl og misopfattelser. Fejl kan være tilfældige fordi man ikke er opmærksom nok eller ikke læser opgaven godt nok eller ikke fået undervisning i eller. Misopfattelser er ikke tilfældige. Bag dem ligger der en bestemt ufuldstændig tænkning nogle gange som overgeneralisering af tidligere viden 5

6 Tegn på læring og misopfattelser Tegn på læring blandes for meget sammen med delmål beskrevet som niveauer Sæt ikke for meget fokus på niveauer men hellere fokus på de misopfattelser og faglige faser eleverne bør gennemløbe for at opnå indsigt. 6

7 7

8 Hvor ser I misopfattelserne? Hvor mange tal ligger der mellem 1/3 og ¼? Kan en vinkel i en firkant blive over 180 grader? Kan man løse ligningen -3x + 2x = -x? Er dette her en cylinder? 8

9 Diagnostiske opgaver 10

10 Subitizing se et antal op til uger gamle babyer kan med 80% sikkerhed registrere antal på op til 4 genstande. 11 Kompetencecenteret i Matematikdidaktik

11 Sammenligning af mængder Det er en fundamental evne at kunne sammenligne to mængder og afgøre hvilken der er størst uden at tælle. (ANS) 6. Måneder gamle: Antal 8 og over 16 i forholdet 1:2 9. Måneder gamle: Antal 16 og over 24 i horholdet 2:3 1 2 UCSJ

12 Brobygning Det er i brobygningen mellem talord og talsymboler det væsentligste arbejde skal lægges UCSJ

13

14

15

16 Basistælle Barnet tæller ud i det blå tilfældige ord efter hinanden. Barnet kan remsen men forbinder ikke noget numerisk indhold til remsen. Tælling er en ordleg. Der er knyttet en genstand til de enkelte talord de tegner for eksempel et tårn eller tænker i pæle som sidder ved siden af hinanden. Den tredje pæl er således en bestemt pæl. Indser at det sidste tal i en tælling svarer til antallet. Knyttet til spørgsmålet Hvor mange.? Antalskonservering antallet fem er uafhængig af genstand, tid og sted. 19 Kompetencecenteret i Matematikdidaktik

17 Fingertælling Fingertælling forekommer i alle kulturer men det gøres lidt forskelligt Prøv selv 20 Kompetencecenteret i Matematikdidaktik

18 Ikke-synlige sekvenser Det kan være bevægelse som skridt eller klap med en hånd Det kan være særlige rytmer og lydsekvenser

19 Tallinjen Forstå at starten på tallinjen er 0 og at man kan tælle tilbage til 0. Kan tælle fremad og tilbage fra et vilkårligt sted.

20 Tælling på en tallinje

21 24 Fra tælling til at se antal

22 Regnepinden 25

23 Fem-bundtning Mange børn har en 5-bundtning som mellemstation til 10-bundtning - ofte samtidig med. Romertallene 26 Kompetencecenteret i Matematikdidaktik

24 Tal er opbygget i positioner 1. Tæller uden at se muligheden i bundter af ti. Kan evt. navne på tiere 2. Bundte i tiere med objekter fx 3 tiere og 2 enere -Tiere består altså af ti enere. Kan samle i tiere og enere. Forstår forskellen mellem cifre og tal. 3. Tælleri spring af ti og en fx frem og tilbage. Kan danne tal af cifre fx 5 og 3 kan danne 35 og 53. Kan overføre bundtning af 3 tiere og 2 enere til Opdeler et trecifret tal i 100 ere, 10 ere og 1 ere 5. Beskriver cifrenes betydning i store naturlige tal 27

25 Tal og måling Man kan sammenligne og udtale sig om størrelser (Tid, længde, vægt, areal og volumen) Bemærk forskellen mellem sammenligne noget det relative og så en absolut måling. Eksempel. Din blyant er længere end min. (relativt) Jeg har en lang blyant. Den er. (absolut) Hvornår er noget stort?

26 Antal og størrelse Der er forskel på Hvor mange? Hvor meget...? 32

27 Sammenparre og adskille 1) Eleven tæller de blå knapper( ) og derefter de grønne knapper ( ). Bagefter starter han forfra. 2) De blå knapper tælles( ). Der fortsættes med de grønne ( ) 3) Eleven ser de 4 blå knapper og fortsætter med de grønne ( ) 4) Eleven vælger at starte med det største antal og fortsætte ( )

28 Additive/subtraktive processer 1 FOTOGRAFIET Addition Subtraktion Den statiske situation: Man i et øjebliksbillede se additionen/ subtraktionen 34

29 Additive/subtraktive processer 2 FILMEN Den dynamiske situation: Man kan forandre en mængde over tid frem og tilbage. 35

30 Additive/subtraktive processer 3 SAMMENLIGNINGEN Ligner den første situation men spørgsmålet er anderledes. Her handler det om en sammenligning knyttet til flere eller færre eller forskel 36

31 Niveauet hos de svagt præsterende? Eksempel: Knud har 4 kr. Han fik nogle kroner af Tom. Nu har Knud 9 kr. Hvor mange kroner gav Tom til Knud? 39

32 Snorre Ostads strategiobservation klasse 4. klasse 6. klasse 8. klasse Øverste kurve normal elever Nederste kurve særlige elever 40

33 43

34 44

35 45

36 46

37 Den tomme tallinje 47 Bent Lind hard t

38 Mængde af ens antal Evt. fortløbende addition Areal opstilling og arealberegning 48 Forstørrelse og formindskelse et antal gange. - Den er 10 gange større eller der 10 var gange flere Gange er ikke bare gange Bent Lind hard t

39 Hvordan er det nu? 49

40 Resultater 50

41 Gange med streger 51

42 En anden divisionsmetode 52

43 Hvad vil du svare? Hvorfor må man ikke dividere med nul? Sådan er det bare..

44 Dividere med 0? 18. juni 2009 af..(gymnasiet) Okay, alle ved at man ikke kan dividere med 0, men er der nogen der kan komme med en god begrundelse eller et bevis på hvorfor man ikke kan? Du kan kigge på hvad det vil sige at dividere: 12 divideret med 3 er 4 fordi 3 gange 4 er divideret med nul er? fordi 0 gange? er

45 De negative tal Når en streg kommer til at betyde for meget forskelligt. - Fortegn fx -7 - Regnetegn fx Der er personer - Mellemrum Flere? 55

46 Tolv tæsk 56

47 Knapper og negative tal

48 Et forløb med gange Hvorfor er det nu at minus gange minus giver plus? N * (-3) Svar 2 * (-3) 1 * (-3) 0 * (-3) (-1) * (-3) (-2) * (-3) (-3) * (-3) 58

49 DanSMa - Skriv resultatet for 0,7 + 0,8

50 DanSMa -

51 Fra antal til forholdstal Brøker kan opfattes som del af en helhed som noget relativt i stedet for noget absolut. Som figur ( fx ¼ af en agurk eller en trekant) Som antal og mængde ( fx en ¼ af 12 knapper) Som værdi og masse (fx en ¼ af 24 liter) Brøker kan opfattes som et tal på en tallinje. Tallet er (relativt) det samme sted på tallinjen, mens 1/3 af noget varierer. Brøker kan repræsentere en division. 61

52 Grobund for misopfattelser Der er uendelige mange brøktalsnavne, som har samme position på tallinjen de er alle lige store. Man kan altid finde et nyt brøktal mellem to brøktal på tallinjen der er altså uendelig mange. Jo større nævneren bliver desto mindre bliver brøkdelen. De er en sammenhæng mellem decimaltal og brøktal. 62

53 Modeller er vigtige Modeller er vigtige som visuelle mellemstationer til matematikkens verden. 63

54 At forstå det relative 64

55 20% svarer rigtigt i 6. klasse Hvor mange svarer rigtigt? 65

56 16% i 4. kl og 55 5 i 6. klasse svarer rigtigt 25% i 4. klasse og 45% i 6. klasse svarer rigtigt 66

57 5 % svarer rigtigt (6. klasse) 67

58 6 % svarer rigtigt (6. klasse) 68

59 10% svarer rigtigt i 6. klasse 69

60 Dobbelte tallinjer Hvad er 5% af 320 kr.? 0% 100% 0 kr. 320 kr. 70

61 Hvordan regner man med procent? 71

62 En indledning i 4. klasse 82

63 MF og koordinatsystemet Eleven opfatter (2,3) og (3,2) som det samme idet D3 og 3D er det samme på et brætspil Eleverne ved ikke at det er to forskellige tallinjer som krydser hinanden i nulpunktet. Eleverne skelner ikke mellem koordinatsystemet punkter som geografisk positionering fx på et kort og så punkter repræsenterende sammenhængende mellem to talmænder fx y = 2x Eleverne opfatter linjer i et koordinatsystemet som billeder og ikke sammenhænge mellem to talmængder. 83

64 Tal og bogstaver 92

65 a = fald b = hop c = gestik Eleverne viser regnestykkedansen for hinanden og publikum skal regne ud, hvad regnestykket var ved at se på bevægelserne. b + c + c + b + a + c Dansematematik 93

66 Er det en god model? Bogstaverne står for noget fysisk en slags etikette på en genstand eller en bevægelse.. r + b + r + b + r + b + r + b Men bogstaver som variable er noget mere og andet fx hvis a = 2 m eller

67 Er det en god model? Hvert bogstav står for en bevægelse b + c + c + b + a + a + c + b = b + 2 c + b + 2a + c + b Men det er ikke denne dans 2c + 2b + 2a + c + b idet bevægelsen skal tænkes over tid som en serie af begivenheder. Altså ikke samme dans, hvis addender ændres. 2a + 3b + 3c har kun en løsning dansekoreografisk nemlig a + a + b + b + b + c + c + c. Konklusion - det virker ikke dansemæssigt meningsfuldt 95

68 Hvad er det det vanskelige? Vi ved at 6n + 3n = 9n (Norsk KIM ca. 10% svarer forkert) normalt erkendes af de fleste elever mens brug af fx lighedstegnet er problematisk =. kan svaret være = ? 2 * = = =

69 x + y x + y 98

70 99

71 100

72 101

73 Væddeløbet 102

74 Funktioner KIM/Janvier Fra Til Situation Tabel Graf Formel (forskrift) Situation Måle Skitse Modellere Tabel Aflæse Plotte Beregne/ Tilnærme Graf Tolke Aflæse Aflæse/ Tilnærme Formel (forskrift) Oversætte Beregne Beregne/ Plotte 103

75 Oppgave 6c Funksjoner årstrinn 7. årstrinn 9. årstrinn Ubesvart C (Riktig svar) B Oppgave 6d Funksjoner årstrinn 9. årstrinn Ubesvart B og D (Riktig svar) 5 13 A og C C og D A og B 5 4

76 Fra formel til graf Oppgave 9 Funksjoner årstrinn Ubesvart 47 Tegner grafen korrekt * 12 Merker av punkt, trekker ikke opp linje ** 20 Velger punktet (0, 0) som svar 12 Tegner linje gjennom origo 7

77 Der mangler variationer mellem de forskellige repræsentationsformer. Sproglig forskrift grafisk tabellægning Funktioner er sammenhænge 106