Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Transkript

1 Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke (96-98) I dag: Lidt om de matematiske formalisme, som i kvatemekaikke avedes til at beskrive de verde, vi lever i Bølgefuktioer Alle partikler, som har e hvilemasse, er kedeteget ved e kompleks bølgefuktio Ψ ( x, yzt, ; ), som ideholder alle iformatioer om partikle(!) Ehver partikel er således kedeteget ved e bølgefuktio, som ideholder oplysiger om partikles eergi, bevægelsesmægde, bølgelægde, fart, osv, idet alle disse oplysiger udtrykker partikles tilstad E elektro i e aslået tilstad har således e ade bølgefuktio ed e elektro i grudtilstade Til hver mulig tilstad for partikle hører således e bølgefuktio og omvedt Afkodig af iformatio Sadsylighede for til tide t at lokalisere partikle ide for volumeet V er givet ved: PV () t = Ψ( x, y, z;) t dxdydz, hvor a+ ib ( a+ ib)( a ib) = a + b beteger V absolutkvadratet Ehver bølgefuktio skal således opfylde ormerigsbetigelse : ( x, y, z; t) dxdydz Ψ = Forvetigsværdie af partikles bevægelsesmægde/impuls d samme måde som dx afkoder tagethældige): p (,, ; ) ˆ x = x y z t px ( x, y, z; t) dxdydz, pˆx Ψ Ψ = i x a+ ib a ib beteger de kompleks kougerede Forvetigsværdie af partikles positio er tilsvarede givet ved: p mv afkodes (på, hvor i =, og hvor x = Ψ( x, y, z; t) xˆ Ψ ( x, y, z; t) dxdydz = x Ψ( x, y, z; t) dxdydz, idet ˆx x Bemærk, at, og V P x p x er reelle og dermed målbare størrelser, hvorimod selve bølgefuktioe er kompleks og dermed ikke målbar =

2 Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Schrödigerligige Ehver bølges (eks e vadbølges eller e sorbølges) udsvig differetialligig kaldet bølgeligige: uxyt (, ; ) uxyt (, ; ) uxyt (, ; ) + =, x y v t hvor v er bølges udbredelsesfart uxyt (, ; ) opfylder flg # I é dimesio reduceres # til: uxt (, ) uxt (, ) = x v t Ispireret af dette foreslog Erwi Schrödiger i 97 (N933), at bølgefuktioe for e partikel opfylder flg differetialligig kaldet Schrödigerligige : Ψ( x, t) Ψ( x, t) + E (, ) (, ) x t Ψ x t = i m x t I er m partikles masse, som er e medfødt egeskab, hvorimod de etielle eergi (eller blot etialet ) E er et udtryk for omgivelseres påvirkig (feks eller ) E, tygde, E Coulomb Bølgefuktioere for de mulige tilstade, e partikel ka befide sig i, fides således ved at løse Partikel i e kasse Klassisk set er der ige begræsiger på partikles eergi Klassisk beskrivelse af sorbølger Kvatemekaisk er partikles bølgelægde λ kvatiseret på e måde, som svarer til de klassiske beskrivelse af ståede sorbølger:

3 Modere Fysik 4 Side 3 af 7 Schrödigerligige Sorbølges (og dermed partikles) mulige bølgelægder λ opfylder: λ L λ L = =, =,,3, E sorbølge har forskrifte: Asi( kx)si( ωt) for 0 x L π π u( x, t) =, k =, ω πν * 0 ellers λ L Bemærk, at * opfylder bølgeligige: ω πν λ kuxt ω uxt v k π (, ) = (, ) v = = = λν Kvatemekaisk beskrivelse af partikler E partikel, hvis bevægelse er begræset til e kasse, siges at være i e kvatebrød med e uedelig stor etialbarriere: E 0 for 0 x L ellers = Bølgefuktioe for e partikel i de te tilstad er givet ved: E si ( ) i t A k, 0 (, ) x e for x L Ψ xt =, i E e t cos( E ) si( E t + i ) 0 ellers t, idet Ψ ( x, t ) opfylder Schrödigerligige: For 0 x L: k k h 4π h p Ψ ( x, t) = E Ψ ( x, t), = = = = mv = E m m m 4π λ m λ m For E = er ødvedigvis Ψ= 0 Partikles tilladte eergiiveauer er: h h E = E,,,3, m λ = 8mL = =

4 Modere Fysik 4 Side 4 af 7 Schrödigerligige Bemærk, at da 0 er E 0, svarede til at partikle ikke ka ligge stille, idet dette ville bryde med usikkerhedsrelatioe: Δp Δ x = mδv Δ x = m 0 L= 0 x x Lokaliserig π Betragt opholdssadsylighede pr volume Ψ ( x, t) = A si ( L x) for de laveste tre tilstade: Ψ ( x, t ) For = er der således størst sadsylighed for at fide partikle i ærhede af ete x = L 4 eller x = 3L 4, hvorimod sadsylighede er ul for at fide de midt imellem, i ærhede af x = L! Hvorda bevæger partikle sig så mellem x = L 4 og x = 3L 4?: De gør de ikke! Partikle opfører sig fudametalt aderledes ed e klassisk partikel og materialiserer sig først i det øeblik, vi måler des positio <PAUSE> Partikles eergi Tilstade Ψ ( x, t ) kedeteger de tilstad, hvori partikle har eergie E E = Me i hehold til superpositiospricippet for lieære differetialligiger er liearkombiatioe aψ ( x, t) + bψ ( x, t) også e løsig til Ehver bølgefuktio Ψ ( x, t) = a Ψ ( x, t ) er altså e løsig til, og kedeteger = således e mulig tilstad for partikle Hvilke eergi har partikle så i de geerelle tilstad Ψ?

5 Modere Fysik 4 Side 5 af 7 Schrödigerligige Det viser sig, at ma ved målig af eergie for e partikel i tilstad Ψ altid får e af de tilladte eergier E Edvidere er sadsylighede for at ma etop får eergie givet ved Dermed er a = = a agiver således de såkaldte egetilstad Et eksempel på e superpoeret tilstad kue være: Ψ ( x, t) = 3 Ψ ( x, t) + Ψ( x, t ), E Ψ s vægt i tilstade a a = Ψ= Ψ hvor sadsylighede for at måle eergiere og E er hhv 75% og 5% E Hvis første målig gav eergie E, vil ma ved getage måliger af eergie måle samme eergi E med sadsylighed Efter de første målig er de partikel, som før var i tilstad Ψ, altså i tilstad Ψ! Målige ødelægger således de superpoerede tilstad, og bølgefuktioe Ψ siges at være kollapset til Ψ Egetilstade for eergie Da Ψ (, ) k (, ) (, ) x t = Ψ x t = EkiΨ x t afkoder operatore m x m kietiske eergi af tilstade Ψ ( x, t ) De såkaldte Hamiltooperator H ˆ + m x E afkoder således partikles samlede eergi m x de Tilstadee Ψ ( x, t) = ψ ( x) φ( t) er kedeteget ved, at deres rumlige del ψ ( x) = Asi( k x er e løsig til egeværdiligige for Hamiltooperatore: ) Hˆ ψ ( x) = Eψ ( x) Tilstadee Ψ siges således at udgøre systemets egetilstade for eergie (På kx samme måde, som fuktioere f ( x) = e er egetilstade for operatore d dx med tilhørede egeværdier k )

6 Modere Fysik 4 Side 6 af 7 Schrödigerligige Ved målig af eergie vil ma måle é af de til systemets Hamiltooperator hørede egeværdier, som derfor udgør de tilladte eergiiveauer for systemet E Ψ ka skrives som e liearkombiatio af egetilstade for systemets Hamiltooperator: Ψ= a Ψ, og ved målig af eergie måles e af egeværdiere = E for Hamiltooperatore, idet sadsylighede for at måle etop eergie givet ved a Egeværdiligiges betydig Løsig af differetialligige giver således egetilstadee for eergie og de tilhørede tilladte eergiiveauer Et materiales vekselvirkig med lys sker ved at lyset får materialets elektroer til at skifte mellem forskellige egetilstade Når et materiale leder e elektrisk strøm foregår det også ved, at dets elektroer bliver tilført e eergi og dermed skifter mellem forskellige egetilstade Kedskabet til et systems egetilstade og tilhørede eergier er således selve fudametet for al vide om det pågældede systems elektriske og optiske egeskaber, såsom ledigseve, brydigsideks, absorptio, osv! Løsig af de meget beskedet udseede differetialligig giver således adgag til e eorm mægde oplysiger For e elektro i et britatom, hvor: ˆ e H = m x y z 4 πε0 ( x x0) + ( y y0) + ( z z0), er det muligt at løse, og herved fås de eergiiveauer, som Bohr i si tid fadt(!) Me allerede for helium er det pga elektro-elektro-vekselvirkige umuligt at løse eksakt (!) For slet ikke at tale om makroskopiske systemer, hvor der måske idgår i omege af 30 0 elektroer! Så e fysikers arbede består lagt he ad vee i at fide metoder til at opå tilærmede løsiger til E er

7 Modere Fysik 4 Side 7 af 7 Schrödigerligige Tueleffekte Betragt e skål med e kugle i, som ikke har tilstrækkelig fart til at rulle op over kate på skåle Kvatemekaisk svarer dette til e partikel i e kvatebrød, hvor etialbarriere er større ed partikles eergi, me ikke er uedelig stor Dermed er bølgefuktioe ikke lægere ul ude for kvatebrøde/skåle, og dermed er der e sadsylighed forskellig fra ul for at partikle geembryder barriere, selvom de i klassisk forstad ikke har eergi ok til det! I et metalt billede ka ma forestille sig, at elektroe har gravet e tuel geem barriere, og dette fæome er derfor kedt som de kvatemekaiske tueleffekt Scaig Tuelig Microscope Et STM er et eksempel på et tekologisk fremskridt baseret på kvatemekaikke Et STM består af e meget tyd ål, som scaes meget tæt he over e overflade, hvis koturer øskes bestemt Pga de kvatemekaiske tueleffekt vil elektroer være i stad til at overkomme de barriere, som mellemrummet mellem overflade og ål udgør De herved opståede strøm kaldes tuelstrømme Sadsylighede for at e elektro overvider barriere er meget følsom over for bredde af barriere, og dermed vil størrelse af tuelstrømme være et meget præcist mål for afstade mellem overflade og åle [F,F,F3, Fig 48, 49] Niels Bohr: De, der påstår at have forstået hele kvatemekaikke, har i virkelighede ikke forstået oget som helst Næste gag lidt om de oplysiger, som løsig af giver os Opgaver: 4) 5, 0, 5, 3, 33