Elementær Matematik. Polynomier

Transkript

1 Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium

2 Idhold 1. Geerelle polyomier Divisio med hele tal Polyomiers divisio Polyomiers rødder Bestemmelse af røddere i et polyomium af grad større ed Kvalificeret rodgæt....7

3 Polyomiers divisio 1 1. Geerelle polyomier Et polyomium er et udtryk (e fuktio) af forme (1.1) P(x) = a x + a -1 x a 1 x + a 0 Hvor a, a -1, a -2,..., a 1, a 0 er reelle tal, som kaldes for polyomiets koefficieter. Ved polyomiets grad forstår ma det største for hvilket a 0. Med dee defiitio er for eksempel. P(x) = 2x - 3 et førstegradspolyomium med koefficietere a 1 = 2 og a 0 = -3. P(x) = - 21 x er et adegradspolyomium med koefficietere a 2 = - 2 1, a 1 = 0 ad a 0 = 2. P(x) = 5 (E kostat) er et ultegradspolyomium med a 0 = Øvelse Agiv grade og koefficietere for polyomiet: P(x) = -x x 3-6x Fuktioe P(x) = 0 kaldes for ulpolyomiet. Nulpolyomiet tillægges ikke oge grad. Der fides jo itet for hvilket a 0. Et polyomium, som ikke er ulpolyomiet, kaldes et egetligt polyomium. Læg mærke til, at ulpolyomiet ikke er det samme som et ultegradspolyomiet. Et ultegradspolyomium er e kostat forskellig fra ul. 2. Divisio med hele tal. Før vi forklarer, hvad ma forstår ved polyomiers divisio, vil vi se på almidelig divisio med hele tal. Når vi f.eks. skal dividere 17 med 3, betyder det matematisk at bestemme to tal, emlig 5 (kvotiete) og 2 (reste), således at der gælder divisiosligige: 17 = At dividere p (dividede) med d (divisor) betyder at bestemme to tal q (kvotiete) og r (reste), således at der gælder divisiosligige, og således, at grade af reste r er midre ed grade af divisor d. p = q d + r og r < d Hvis specielt r = 0, reste er lig med ul, siges divisioe at gå op.

4 Polyomiers divisio 2 Ved divisio med større tal, har ma e metode, som kaldes for divisiosalgoritme til at udføre divisioe. Vi viser edefor de mest almidelige variat af metode, idet vi vil dividere 406 med går 3 gage op i 40 og 3 13 = 39. Vi trækker 39 fra 40 og får reste 1. Vi trækker 6 ed, så der kommer til at stå 16, som ikke er midre ed 13. Vi fortsætter derfor divisioe: 13 går 1 gag op i 1 13 = = 3, som er midre ed divisor 13, og divisioe ka ikke fortsættes. Kvotiete ved divisioe er 31 og reste er 3, så vi ka opskrive divisiosligige: 406 = Det er lidt omstædeligt, at redegøre for, hvorfor divisiosalgoritme fører til de korrekte divisiosligig, så det udlader foreløbigt beviset, me tager det op ige, år vi ser på polyomiers divisio, der på mage måder mider om divisio med hele tal. Vi bemærker i øvrigt, at divisiosligige ka opskrives, selv om divisor er større ed dividede. I dette tilfælde bliver kvotiete emlig 0, og reste lig med dividede. F.eks. 7 divideret med 11 ka skrives: 7 = Polyomiers divisio. Vi formulerer u e sætig om polyomiers divisio: For to egetlige polyomier P(x) og D(x) af grad p og d, er det altid muligt at bestemme to polyomier Q(x) og R(x) af grad q og r, således at der gælder divisiosligige for polyomier P(x) = Q(x)D(x) + R(x), hvor r < d altså således at grade af reste R(x) er midre ed grade af divisor D(x). Ma aveder de samme betegelser divided, divisor, kvotiet og rest som for hele tal. Hvis R(x) = 0 (ulpolyomiet), siges divisioe at gå op, og ma siger da at P(x) er deleligt med D(x). For overskuelighedes skyld, vil vi geemføre divisiosalgoritme med et eksempel, me uderstrege, at de ka geemføres for vilkårlige polyomier. Som eksempel vælger vi: P(x) = 6x 4 + 5x 3-7x 2 + 7x + 1 og D(x) = 2x 2 + 3x -1 Vi laver da e opstillig, som ved divisiosalgoritme for hele tal. Algoritme bliver forklaret edefor.

5 Polyomiers divisio 3 Q 1 (x)+q 2 (x)+q 3 (x) 2x 2 + 3x -1 6x 4 + 5x 3-7x 2 + 7x + 1 3x 2-2x +1 6x 4 + 9x 3-3x 2 Q 1 (x)d(x) - 4x 3-4x 2 + 7x + 1 R 1 (x) = P(x) - Q 1 (x)d(x) - 4x 3-6x 2 + 2x Q 2 (x)d(x) 2x 2 + 5x + 1 2x 2 + 3x - 1 2x +2 R 2 (x) = R 1 (x) - Q 2 (x)d(x) Q 3 (x)d(x) R 3 (x) = R 2 (x) - Q 3 (x)d(x) Vi bemærker, at vi har stadset, år grade af reste R 3 (x) = 2x+2 er midre ed reste af divisor. For at lære at udføre algoritme, ka ma i første omgag se bort fra de tilføjelser, som er skrevet til højre for divisiosskemaet. Ma dividerer u højestegradsleddet i divisor 2x 2 op i højestegradsleddet i dividede 6x 4. 6x 4 divideret med 2x 2 er lig med 3x 2. Dee kvotiet kaldes Q 1 (x). Q 1 (x) multipliceres da med divisor, og resultatet skrives uder dividede. Q 1 (x)d(x) = 3x 2 (2 x 2 + 3x -1) = 6x 4 + 9x 3-3x 2 som subtraheres fra dividede. Herved fås reste R 1 (x) = -4x 3-4x 2 + 7x + 1 Bemærk at højestegradsleddet 6x 4 går ud ved subtraktioe, så R 1 (x) er midst e grad lavere ed dividede P(x). Ma getager u helt de samme procedure, blot med R 1 (x) i stedet for P(x). Q 2 (x) = - 4 x 3 :2x 2 = -2x Således fortsættes, idtil ma får e rest, som har lavere grad ed divisor. Det er tilstrækkeligt, at ma ka geemføre divisiosalgoritme for polyomier, me her vil vi u godtgøre (bevise), at divisiosligige faktisk er opfyldt, hvis vi vælger: P(x) = Q(x)D(x) + R(x) Q(x) = Q 1 (x)+q 2 (x)+q 3 (x) = 3 x 2-2x +1 og R(x) = R 3 (x) = 2x + 2 Af opstillige ovefor fremgår: R 1 (x) = P(x) - Q 1 (x)d(x) P(x) = Q 1 (x)d(x) + R 1 (x)

6 Polyomiers divisio 4 R 2 (x) = R 1 (x) - Q 2 (x)d(x) R 3 (x) = R 2 (x) - Q 3 (x)d(x) R 1 (x) = Q 2 (x)d(x) + R 2 (x) R 2 (x) = Q 3 (x)d(x) + R 3 (x) Idsætter ma u i ligigere til højre udtrykket for R 2 (x) i de ade ligig og deræst udtrykket for R 1 (x) i de første ligig fider ma: P(x) = Q 1 (x)d(x) + Q 2 (x)d(x) + Q 3 (x)d(x) + R 3 (x) P(x) = (Q 1 (x) + Q 2 (x) + Q 3 (x))d(x) + R 3 (x) Idsættes heri: Q(x) = Q 1 (x) + Q 2 (x) + Q 3 (x) og R(x) = R 3 (x) fider ma divisiosligige P(x) = Q(x)D(x) + R(x) hvor r < d Da divisiosalgoritme ka geemføres med vilkårlige polyomier, og da de altid ka fortsættes idtil grade af reste er midre ed grade af divisor, er sætige bevist. 3.1 Øvelse. Geemfør polyomiers divisio med følgede polyomier: a) (2x 3-11x 2 + 6x - 5) : (2x 2 - x + 1) b) (4x 5-2x 4-10x 2 + 8) : (x 3 + 2x - 3) c) (2x 3 + 5x 2-6x - 9) : (2x - 3) d) (3x 7 + 5x 5-2x 3 + 4x) : ( -3x 4 + x 2-5) 4. Polyomiers rødder. Et tal siges at være rod i polyomiet P(x), hvis P( ) = 0 altså hvis ligige P(x) = 0 har e løsig x =. Et førstegradspolyomium har etop é rod, idet det af P(x) = ax + b følger P(x) = 0 ax + b = 0 x = - b/a Som bekedt har et 2.gradspolyomium højst 2 rødder. Røddere fides på sædvalig vis ved at løse e 2.gradsligig. Der fides e løsigsformel for 3.gradsligiger, me løsigsformle er ret kompliceret og ivolverer såkaldte komplekse tal. For ligiger af grad højere ed 4 fides der ige løsigsformler. Det betyder imidlertid ikke, at ma altid er afskåret fra at løse sådae ligiger. Dette vil de følgede sætiger belyse.

7 Polyomiers divisio Sætig: er rod i P(x) hvis og ku hvis P(x) er deleligt med x- Bevis: Ifølge vores sætig om polyomiers divisio, ka vi dividere P(x) med x -, hvad ete er rod i P(x) eller ej. Divisiosligige bliver: P(x) = Q(x)(x - ) + R(x) Reste R(x) må være e kostat, idet restpolyomiet er e grad lavere (evetuelt ulpolyomiet) ed x -, som har grade 1. Vi sætter derfor R(x) = R "Hvis og ku hvis..." betyder, at de to udsag er esbetydede, og sætige derfor skal vises begge veje. Vi viser først " " P( ) = 0 Q( )( - ) + R = 0 R = 0 R = 0, så P(x) er deleligt med x -. Vi viser deræst " " og atager altså at P(x) er deleligt med x -. Hvis dette er tilfældet er reste R = 0, så der gælder ligige P(x) = Q(x)(x - ) Ved at idsætte x =, ses umiddelbart at P( ) = Q( )( - ) = 0, så er rod i P(x). Sætige ka bladt adet avedes til at bestemme samtlige rødder i et polyomium af grad større ed 2. Dette vil vi vede tilbage til. Vi er u i stad til at bevise sætige: 4.2 Sætig: Et polyomium af 'te grad har højst rødder. Lad P(x) være et polyomium af 'te grad. Hvis P(x) har rode 1 er P(x) deleligt med x - 1. P(x) = (x - 1 )Q 1 (x) Q1(x) er da et polyomium af grad - 1. Hvis Q 1 (x) har rode 2 er Q 1 (x) deleligt med x - 2 Q 1 (x) = (x - 2 ) Q 2 (x) Idsættes dette i udtrykket for P(x), får ma P(x) = (x - 1 )(x - 2 ) Q 2 (x) Her er Q 2 (x) et polyomium af grad -2. På dee måde fortsætter idtil ete Q-polyomiet er af grad 0 (og derfor ikke har oge rødder) eller, at ma efter at have fudet p-rødder, får et polyomium Q p (x), som ikke har oge rødder. P(x) = (x - 1 )(x - 2 )... (x - p-1 )(x - p )Q p (x)

8 Polyomiers divisio 6 Q p (x) er et polyomium af grad - p > 0, som ifølge atagelse ikke har oge rødder. Det er u emt at idse, at alle tallee 1, 2,..., p-1, p er rødder i P(x). Hvis ma idsætter et af disse tal i højreside af udtrykket for P(x), vil etop e af faktorere være ul. Omvedt ka ma idse, at P(x) ikke ka have adre rødder, idet idsætter ma emlig et tal som er forskelligt fra 1, 2,..., p-1, p, fider ma: P( ) = ( - 1 )( - 2 )... ( - p-1 )( - p )Q p ( ) Alle faktorere er forskellige fra ul, da var ataget forskellig fra alle røddere og Qp( ) 0, da Qp(x) ifølge atagelse ikke havde oge rødder. P(x) har derfor etop røddere 1, 2,..., p-1, p og ige adre. Da - p > 0 er p <. At er atallet af rødder p er midre ed polyomiets grad, følger det, at et polyomium af 'te grad højst har rødder. Som e kosekves af dee sætig følger umiddelbart: 4.3 Sætig: Nulpolyomiet er ikke et egetligt polyomium. Nulpolyomiet har emlig uedelig mage rødder, og ka derfor ikke være (fremstilles ved ) et polyomium af grad. 4.4 Sætig: Idetitetssætige for polyomier To polyomier er idetiske (fuktioer), hvis og ku hvis de har alle koefficieter es. Dee sidste sætig ka syes overflødig, me de er faktisk vigtig. Ma kue emlig forestille sig at samme fuktio kue fremstilles ved et polyomium på flere forskellige måder. Vi atager derfor at et polyomium ka fremstilles på to måder: P(x) = Q(x) a x + a -1 x a 1 x + a 0 = b m x m + b -1 x b 1 x + b 0 Ved at flytte leddee på højre side over på de vestre, og samle leddee med es poteser af x, fider ma så. Hvis m, har vi ataget at >m. a x + a -1 x -1 + (a m - b m ) x m +.(a m-1 - b m-1 ) x m (a 1 - b 1 ) x + a 0 b 0 = 0 Da dette polyomium fremstiller ulpolyomiet er alle koefficieter = 0. (Nulpolyomiet er ikke et egetligt polyomium). Der må således gælde: a = 0, a -1 = 0, a m - b m = 0, a m-1 - b m-1 = 0,, a 1 - b 1 = 0, a 0 b 0 = 0 Hvoraf følger, at samtlige koefficieter er idetiske, hvormed sætige er bevist. 5. Bestemmelse af røddere i et polyomium af grad større ed 2 Der fides ige formler til bestemmelse af røddere i et polyomium af grad større ed 4. Udledige af formle for røddere i et 3.grads polyomium er lagt over gymasiepesum.

9 Polyomiers divisio 7 Vi skal derimod vise, at hvis ma ka "gætte" -2 rødder i et 'te grads polyomium, ka ma bestemme samtlige rødder. Vi illustrerer dette ved et par eksempler. 5.1 Eksempel. Løs ligige 2x 3-5x 2 + 7x -10 = 0 Vi vil om et øjeblik agive e metode til "kvalificeret" rodgæt, me foreløbig vil vi gætte på +1, +2, +½,..?. Vi fider P(1) = = -6 ; P(-1) = = -24 ; P(2) = = 0! 2 er altså rod i polyomiet. Me så er polyomiet deleligt med (x-2) ifølge sætig 4.1. Polyomiers divisio giver: x - 2 2x 3-5x 2 + 7x -10 2x 2 - x +5 2x 3-4x 2 Polyomiet ka da skrives (divisiosligige): -x 2 + 7x -10 2x 3-5x 2 + 7x -10 = (x - 2) (2x 2 - x +5) -x 2 + 2x 5x x - 10 Idet 2.gradsligige ikke har løsiger. P(x) = 0 (x - 2) (2x 2 - x +5) = 0 0 x - 2 = 0 v 2x 2 - x +5 = 0 x = 2 6. Kvalificeret rodgæt. For polyomier med heltallige koefficieter, fides der et par yttige regler, som vi afører edefor. 6.1 Sætig: Hvis p er e heltallig rod i et polyomium P(x) = a x + a -1 x a 1 x + a 0 med heltallige koefficieter, så går p op i a 0. Bevis: Hvis p er rod gælder: P(p) = 0 a p + a -1 p a 1 p + a 0 Ved at sætte p udefor e paretes i de første led og flytte ao over på de ade side fås: p(a -1 p.1 + a -2 p a 1 ) = a 0 På højre side står et helt tal og på vestreside står produktet af det hele tal p og et helt tal. Heraf slutter vi at p går op i a 0. Hvis ma vil udersøge om et polyomium med heltallige koefficieter har heltallige rødder, ka ma altså idskræke sig til at udersøge de heltal, som går op i kostatleddet a Eksempel. Vi vil løse ligige: -3x 3-9x 2 + 3x + 9 = 0 Hvis polyomiet har heltallige rødder, skal de søges bladt divisorere i 9, som er 1, 3, 9 Ved idsætig ses at x = 1 er rod. Ved divisio med x - 1 fås:

10 Polyomiers divisio 8 Ifølge divisiosligige er x - 1-3x 3-9x 2 + 3x + 9-3x 2-12x - 9-3x 3 + 3x 2-12x 2 + 3x x x - 9x + 9-9x x 3-9x 2 + 3x + 9 = (x - 1) (-3x 2-12x - 9) Og de oprideligig er derfor ifølge ulregle esbetydede med x - 1 = 0-3x 2-12x - 9 = 0 x = 1 x 2 + 4x + 3 = 0 x = 1 x = -1 x = -3 Røddere i 2.gradsligige er fudet på sædvalig vis eller ved rodgæt (-1-3 = -4 og (-1)(-3) = 3 ). Sætige om heltallige rødder i et polyomium ka skærpes til: 6.3 Sætig: Hvis q p er rod i et polyomium, P(x) = a x + a -1 x a 1 x + a 0 med heltallige koefficieter, og hvor q p er e uforkortelig brøk, så går p op i a0 og q går op i a Beviset for dee sætig forløber efter helt de samme retigsliier, som beviset for de simplere sætig, bortset fra e ekelt talteoretisk detalje. p er rod i q p q a x p q a 1 1 x... a1x a 0 p q 1 a ( ) a 1( )... a1 a0 0 (Vi gager igeem med q ) 1 1 a p a 1 p q... a1 pq a0q (Vi flytter p ude for e paretes på vestre side) p( a p a 1 p q... a1q ) a0 q På højre side står et helt tal, som på vestre side er skrevet som p gage et helt tal. Altså må p gå op i højreside a 0 q. Idet p/q er ataget uforkortelig, er p og q idbyrdes primiske. Her af slutter vi, at p må gå op i a 0. Beholder vi i stedet a p på vestreside og flytter de øvrige led over på højreside og sætter de fælles faktor q ude for e paretes, fider ma. 1 1 a p a 1 p q... a1 pq a0q a p q( a 1 p... a1 pq a0q )

11 Polyomiers divisio 9 På samme måde som før, ka vi se, at a er skrevet, som et produkt af q og et helt tal. Altså går p q op i a p. Da p og q er idbyrdes primiske, går q op i a, hvormed begge sætiges dele er bevist. 6.4 Eksempel. Vi vil løse ligige: 2x 3-11x x - 3 = 0 Vi gætter på ratioale rødder af forme p/q. Ifølge sætige ovefor, skal der gælde p = 1, 3 og q = 1, 2 og derfor: p/q = 1, 1/2, 3, 3/2. Ige egative tal ka være rod i ligige, for idsættes et egativt tal bliver alle led egative. 1 er ikke rod, me vi fider P(½) = 2 (½) 3-11(½) (½) - 3 = 0, så ½ er rod. Ved polyomiers divisio: Løsige til ligige er således: x -½ 2x 3-11x x - 3 2x 2-10x+6 2x 3 - x 2-10x x -3-10x 2 + 5x 6x -3 6x x 2-10x+6 = 0 x 2-5x+3 = 0 d = = 13 x = (5 13)/ x x x Bemærk, at sætige om ratioale rødder i et polyomium med heltallige koefficieter ikke udsiger oget om, hvorvidt sådae rødder fides, me hvis der fides ratioale rødder, så gælder sætige. Sætige ka i øvrigt udvides til at gælde for alle polyomier med ratioale koefficieter, idet koefficietere ka gøres heltallige ved at multiplicere med fællesævere for de brøker, der udgør koefficietere.