Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Transkript

1 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt sværere opgaver Kombiatioer Multipliatiospricippet Ved et valg der består af forsellige delvalg med heholdsvis m, m,, m valgmuligheder, er der i alt m m m valgmuligheder Esempel Når ma fx sal udfylde e tipsupo, sal ma træffe 3 valg da ma sal sætte 3 rydser, et i hver ræe I hver ræe er der 3 muligheder for at sætte et ryds, dvs ma a udfylde e tipsupo på måder 3 Esempel Ma a også bruge multipliatiospricippet til at bestemme hvor mage forsellige delmægder der fides af e mægde med elemeter Når ma sal udtage e delmægde, sal ma for hvert elemet afgøre om det sal med eller ie med, der er altså to muligheder for hvert elemet Derfor er der forsellige delmægder af e mægde med elemeter Her er både de tomme mægde og mægde selv talt med 4 Opgave Tallee fra til 00 sal fordeles i tre disjute delmægder således at ige af mægdere er tomme, og ige mægde ideholder to på hiade følgede tal At to mægder er disjute betyder at de ie har oge elemeter tilfælles På hvor mage måder a det gøres? 5 Esempel Til et stæve er der 4 hold der æmper om guld, sølv og broze Når ma sal bestemme på hvor mage forsellige måder medaljere a fordeles, har ma 4 muligheder for at uddele guld, 3 for sølv og for broze, dvs der er i alt 4 3 måder at fordele medaljere på I oveståede esempel sulle ma udtage tre hold ud af 4 hvor ræefølge havde betydig Geerelt hvis ma sal udtage r ud af elemeter således at ræefølge af de r elemeter har betydig, a ma gøre det på måder r r!

2 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Sætig Symbolet r beteger atallet af måder hvorpå ma a udtage r elemeter ud af ude hesytage til ræefølge af de elemeter ma udtager Altså atallet af måder hvorpå ma a udtage e delmægde med r elemeter ud af e mægde med elemeter Der gælder at r r! r! Nogle beytter betegelse K, r i stedet for r Bemær at 0! per defiitio, og at formle derfor også gælder for r 0 I første omgag huser vi på at ma a udtage r elemeter i ræefølge på r! måder Desude a r elemeter ordes i r! forsellige ræefølger, dvs hver delmægde er talt med r! gage, hvis vi udtager de r elemeter i ræefølge Derfor er r! r r! r! r! 7 Esempel Sætige a bruges i et utal af sammehæge, år ma sal afgøre på hvor mage måder ma a udvælge oget Fx a de syv vidertal i lotto, år der er 36 tal at vælge imellem, udtræes på forsellige måder 8 Esempel Ma a også bruge sætige til at udrege på hvor mage måder ma a udtage syv ort af et sæt almidelige spilleort med 5 ort, således at ma etop har et par, altså to ort med samme talværdi og fem ort med fem adre talværdier Der er 3 forsellige talværdier, dvs vi a udvælge de talværdi parret har, på 3 3 måder Desude a vi vælge de fem talværdier de fem sidste ort sal have, på 5 79 måder For hver talværdi er der fire ort, dvs vi u a vælge de to ort der idgår i vores par, på 4 6 måder Desude a vi vælge hvert af de fem adre ort på 4 4 måder I alt er der altså ifølge multipliatiospricippet måder at udtage syv ort på, så ma etop har et par 9 Opgave Bestem på hvor mage måder ma a udtage ses ort fra et sæt spilleort, således at ma etop har to par 0 Esempel På et sabræt med 8 8 felter ravler e myre fra det ee hjøre til det diagoalt modsatte hjøre De ravler u på stregere mellem feltere eller lags ate af brættet, og de sørger for at ture bliver så ort så mulig Vi sal u rege ud hvor mage forsellige

3 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar ruter myre a vælge Først bemærer vi at de samlet sal gå otte felter op og otte felter til højre, hvis vi forestiller os at de starter i ederste vestre hjøre De sal med adre ord vælge præcis hvile otte af de 6 sridt der sal være lodrette, dvs de har forsellige ruter at vælge imellem Opgave I e by har ma et cetrum der u består af veje der går ord-syd og øst-vest Der er syv veje ord-syd og fem veje øst-vest, me pga vejarbejde er vejrydset mellem de midterste vej ord-syd og de midterste vej øst-vest totalt spærret så ma ie a passere fra e af de fire veje rydset består af, til e af de adre Joata står i det sydvestlige hjøre af cetrum og sal til det ordøstlige hjøre, og ha øser at gå så ort så muligt Hvor mage forsellige ruter a ha vælge imellem? Opgave Der sal bygges 5 byer på 3 øer, midst e på hver Desude sal der etableres færgeforbidelser mellem hvert par af byer på forsellige øer Bestem det midst mulige atal færgeforbidelser BW994 3 Opgave I e oves -polygo idteges samtlige diagoaler, og det atages at der ie fides tre diagoaler som særer hiade i samme put Polygoes sider er ie diagoaler a Bestem atallet af særigsputer mellem diagoaler b Bestem atallet af dele som diagoalere deler polygoe i c Bestem atallet af treater der opstår Altså treater hvis hjører er polygoes hjører eller e særig mellem to diagoaler Pascals treat og regig med biomialoefficieter Biomialoefficietere r viser sig at ue frembriges på e iteressat måde, og for at vise dette har vi behov for følgede formel Sætig Der gælder at Hvis ma sal udtage + elemeter ud af +, a ma ete udtage + ud af de første af de + elemeter, eller ma a udtage elemeter bladt de første samt udtage det sidste ud af de + elemeter Dermed er

4 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Bemær at ma år frem til lighedsteget ved at tælle det samme på to forsellige måder; dette er et meget avedeligt tric Alterativt a ma også blot rege, me det er ie helt så elegat: + +! + +!! +!! +! +! +!! + + Pascals treat + + Biomialoefficietere a derfor opstilles i det ma alder Pascals treat således at e biomialoefficiet hele tide er summe af de to ovefor: Sætig Der gælder at + x 0 x Når ma gager + x ud, får ma etop x ved at gage x et fra af paretesere med -tallere fra reste Dette a ma gøre på måder 4 Biomialformle Der gælder at Ifølge sætig 3 er i0 + i i0 i Alterativt a ma beytte tricet med at tælle det samme på to forsellige måder, da begge sider af lighedsteget agiver atallet af delmægder af e mægde med elemeter Vi har tidligere set at der fides etop delmægder af e mægde med elemeter Ma a også tælle delmægdere ved at summere atal delmægder med 0,, op til elemeter, og det er etop det der står på højreside 5 Opgave Vis at 0 + 0

5 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave Lad P x + x + x + x Vis at + x P x P for alle reelle tal x og alle aturlige tal BW998 Hit: Udyt at xp x x 3 Flere ombiatioer At vælge r elemeter ud af svarer til at splitte de elemeter op i to buer: e med r elemeter og e med r elemeter Nogle gage har ma imidlertid brug for at fordele de elemeter i mage flere buer 3 Sætig Symbolet r,r,,r m beteger atallet af måder hvorpå ma a dele e mægde med elemeter i m disjute delmægder A, A,, A m med heholdsvis r, r,, r m elemeter i hver delmægde, således at r + r + + r m Der gælder at r, r,, r m r!r! r m! Vi viser sætige ved idutio efter m Hvis m, følger det af sætig 6 Atag at sætige er sad for m, og vi øser at vise at sætige er sad for m disjute delmægder med heholdsvis r, r,, r m elemeter i hver Atal måder hvorpå ma a dele mægde i m disjute delmægder med r, r,, r m, r m + r m elemeter i hver, er ifølge idutiosatagelse r, r,, r m, r m + r m r!r! r m!r m + r m! Desude a delmægde A m med r m +r m elemeter deles i to disjute delmægder med heholdsvis r m og r m elemeter på r m +r m r m,r m r m +r m! r m!r m! måder Ifølge multipliatiospricippet får vi u r m + r m! r, r,, r m r!r! r m!r m + r m! r m!r m! r!r! r m! 3 Esempel E lasse med elever sal deles i tre grupper med fire i hver På hvor mage måder a dette gøres? Hvis gruppere beteges A, B og C, a de tolv elever ifølge sætige fordeles i gruppere A, B og C med 4 i hver på 4,4, måder Me i spørgsmålet havde de tre grupper ige betegelse og var altså ie ordede, dvs vi har talt hver ombiatio med 3! 6 gage Der er dermed måder at dele lasse på

6 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave E ube er sammesat af små ehedsuber På hvor mage måder a ma omme fra det ee hjøre til det diagoalt modsatte hjøre, år ma u må gå lags atere af ehedsubere og sal vælge e rute der er så ort så mulig? 4 Reursio I stedet for at fide e formel for atal ombiatioer ud fra e eller ade parameter, a ma bestemme atallet af ombiatioer reursivt dvs at ma a besrive hvor mage ombiatioer der er for et givet, ud fra atallet af ombiatioer for og måse yderligere for Ma a sige at reursio går ud på at ma udtryer det -te tal af fx e talræe ved hjælp af ogle af de foregåede tal Fx er Fiboacci-tallee,,, 3, 5, 8, 3, besrevet reursivt da det æste tal i ræe etop er summe af de to foregåede 4 Esempel Peter sal gå op ad e trappe med tri I hvert sridt går ha ete et eller to tri op På hvor mage forsellige måder a ha gå op ad trappe? Dette problem a løses ved reursio Lad A betege atal ombiatioer ved e trappe med tri Det er emt at idse at A og A Det sidste sridt a ete bestå af et eller to tri Hvis trappe har tri, må der være A ombiatioer der eder med et sridt på et tri, da der er A forsellige måder at å det æstsidste tri på Tilsvarede er der A ombiatioer som afsluttes med et sridt på to tri Dermed er A A + A ligesom for Fiboaccitallee, og ma a gå op ad e trappe på tri på 33 forsellige måder 4 Opgave Peter sal gå op ad e trappe med tri, me tager dee gag både sridt af et, to og tre tri På hvor mage forsellige måder a Peter gå op ad trappe? 43 Opgave E iteressat delmægde af mægde M {,,, }, hvor er et ulige tal, er e delmægde som for hvert lige tal de ideholder, også ideholder de to ulige abotal Hvor mage iteressate delmægder fides der af M 3? 5 Sadsyligheder Kombiatori bruges også ofte i sadsylighedsregig Hvis ma fx øser at berege sadsylighede for at få syv rigtige i lotto med 36 tal, er der u e af de ombiatioer af 7 forsellige tal som udtræes, dvs sadsylighede for at få syv rigtige er Opgave da alle ombiatioer er lige sadsylige I e sål er der fem røde bolde, tre blå og to grøe Hvad er sadsylighede for at der er e rød, blå og e grø bold tilbage i såle, hvis ma fjerer syv tilfældige bolde?

7 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave I e papasse ligger et stort atal løse soer Nogle af soere er røde; de øvrige er blå Det oplyses at det samlede atal soer ie overstiger 993 Edvidere oplyses det at sadsylighede for at træe to soer af samme farve, år ma på tilfældig måde udtræer to soer fra asse, er Hvad er efter de foreliggede oplysiger det største atal røde soer der a befide sig i asse? GM993