Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A

Transkript

1 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx171-matn/a Tirsdag den 3. maj 017 kl

2 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

3 Stx matematik A-net maj 017 side 1 af 6 Delprøven uden hjælpemidler Kl Opgave 1 a) Løs ligningssystemet y= x+ 7 x+ y= 4. Opgave På en bestemt vejstrækning har man optalt antallet af køretøjer, der årligt kører på vejstrækningen. Det viser sig, at antallet af køretøjer, der årligt kører på vejstrækningen, vokser med % pr. år. I 011 kørte køretøjer på vejstrækningen. a) Indfør passende variable, og opstil en model, som fra og med år 011 beskriver udviklingen i antallet af køretøjer, der årligt kører på vejstrækningen. Opgave 3 To vektorer i planen er bestemt ved æ ö a = ç ç- è 1 og ø æ5 ö b =, ç çèk ø hvor k er et tal. a) Bestem tallet k, så de to vektorer er ortogonale. b) Bestem arealet af det parallelogram, der er udspændt af a og b, når k = 5. Linjen l går gennem punktet P (,3) og er parallel med a. c) Bestem en ligning for l. Opgave 4 I en gymnasieklasse bestående af 0 piger har man opgjort pigernes skostørrelser: Til opgaven hører et bilag a) Bestem kvartilsættet, og tegn et boksplot over pigernes skostørrelser. Vedlagte bilag kan indgå i besvarelsen.

4 Stx matematik A-net maj 017 side af 6 Opgave 5 På figuren til højre ses fire parabler, der hver er bestemt ved en af ligningerne A, B, C og D. A y x x : = B y x x : = C y x x : = D y x x : = q () p r t (1) a) Gør for hver af graferne rede for, hvilken af ligningerne A, B, C og D den er bestemt af. Opgave 6 En funktion f er bestemt ved f x x x x 3 ( ) = a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(, f ()). b) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 7 To funktioner f og g er bestemt ved 1 f( x) = x+ 5+ x 1 gx x x x ( ) = ( + 1) + ln a) Undersøg, om g er netop den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P (1, 9).

5 Stx matematik A-net maj 017 side 3 af 6 Opgave 8 C 6 cm B x 4 cm x A Et stykke papir har form som en retvinklet trekant ABC, hvor kateternes sidelængder er henholdsvis 4 cm og 6 cm. Ved trekantens retvinklede hjørne udklippes et kvadrat med sidelængden x, som vist på figuren. a) Bestem arealet af det tiloversblevne stykke papir udtrykt ved x, når 0< x < 4. b) Bestem den største sidelængde x, som kvadratet kan få ved et sådant udklip. Besvarelsen afleveres kl

6 Stx matematik A-net maj 017 side 4 af 6 Delprøven med hjælpemidler Kl Opgave 9 Grafik: Tabellen viser sammenhørende værdier af længde og vægt for nogle regnorme. Længde (cm) Vægt (gram),4 3,5 5,0 7,1 8, 9,5 1,6 13,7 0,058 0,16 0,45 1,1,1,68 6,51 7,55 I en model kan sammenhængen beskrives ved M = b x a, hvor M er vægten (målt i gram) af en regnorm med længde x (målt i cm). a) Benyt modellens data til at bestemme konstanterne a og b. b) Benyt modellen til at bestemme længden af en regnorm, der vejer 4,0 gram, og til at bestemme den procentvise ændring af vægten, når længden af en regnorm forøges med 30%. Opgave 10 I trekant ABC er AC = 5 og A = 30. Det oplyses, at arealet af trekanten er 10. a) Bestem AB og omkredsen af trekant ABC. Opgave 11 Et gartneri reklamerer med, at for en bestemt slags forårsløg vil 9 ud af 10 løg spire. a) Opstil en binomialmodel, og bestem sandsynligheden for, at der blandt 30 forårsløg fra gartneriet netop er 5 forårsløg, der spirer. En kunde køber 50 af de pågældende forårsløg fra gartneriet, men observerer, at kun 40 af dem spirer. b) Benyt et binomialtest med et 5% signifikansniveau til at vurdere, om kunden har grund til at klage til gartneriet.

7 Stx matematik A-net maj 017 side 5 af 6 Opgave 1 z A T B T(0,17,41) A(1,5,1) B(17,17,1) y Foto: x På figuren ses en simpel model af en pavillon indtegnet i et koordinatsystem med enheden dm på alle akser. Koordinatsættene til nogle af modellens hjørner er angivet på figuren. a) Benyt modellen til at bestemme arealet af tagfladen ABT. Det oplyses, at planen a, der i modellen indeholder loftet i pavillonen, er parallel med xy-planen. b) Bestem en parameterfremstilling for den linje l, der går gennem punkterne B og T, og bestem den spidse vinkel mellem l og a. Opgave 13 To funktioner f og g er bestemt ved f( x) =- x + x + x+ 7 gx ( ) = x Graferne for f og g afgrænser i første og anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal. a) Tegn graferne for f og g, og bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 omkring førsteaksen. Opgave 14 På en arbejdsplads er der 00 kvinder og 150 mænd, hvoraf der på tilfældig vis skal udvælges 15 personer til et fokusgruppeinterview. a) Opstil en hypergeometrisk model for antallet af kvinder i fokusgruppen, og bestem middelværdi og spredning. b) Bestem sandsynligheden for, at mindst 10 personer i fokusgruppen er kvinder. VEND!

8 Stx matematik A-net maj 017 side 6 af 6 Opgave 15 Foto: colourbox En skole vil undersøge, hvordan CO -koncentrationen i ventilerede klasseværelser udvikler sig i løbet af en lektion. Ct ( ) angiver CO -koncentrationen (målt i ppm) til tidspunktet t (målt i timer efter lektionens start). I en model for et bestemt klasseværelse er Ct () en løsning til differentialligningen: dc P R ( C 400). dt = 0, Om parametrene P og R i modellen oplyses P : Samlet mængde CO, personerne i klasseværelset udskiller pr. time (målt i liter). R : Luftudskiftninger pr. time via ventilation i klasseværelset. Det oplyses endvidere, at én stillesiddende person udskiller 50 liter CO pr. time. 4 elever og 1 lærer går i gang med en lektion i klasseværelset. Ved lektionens start er CO -koncentrationen i lokalet 400 ppm. Der er 7,0 luftudskiftninger pr. time under hele lektionen. a) Bestem en forskrift for Ct ( ), og benyt modellen til bestemme, hvor lang tid der går, inden CO -koncentrationen i klasseværelset overstiger 1000 ppm. Når CO -koncentrationen overstiger 1000 ppm, begynder eleverne og læreren at blive mærkbart døsige. Luftudskiftningen i klasseværelset skal derfor reguleres. b) Bestem den mindste værdi af R, så eleverne og læreren ikke bliver døsige på grund af CO -koncentrationen i løbet af en lektion på 1,5 time.

9

10 BILAG S tx matematik A-net maj 017 Bilaget kan indgå i besvarelsen. Skole Hold ID Navn Ark nr Antal ark i alt Tilsynsførende Opgave 4

11

12 BILAG S tx matematik A-net maj 017 Bilaget kan indgå i besvarelsen. Skole Hold ID Navn Ark nr Antal ark i alt Tilsynsførende Opgave 4