Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Transkript

1 Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a Onsdag den 6 maj 010 kl

2 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af helhedsindtrykket i besvarelsen af de enkelte spørgsmål vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation

3 Stx matematik A-net maj 010 side 1 af 6 Delprøve 1 Kl Opgave 1 B 1 B 6 18 A 8 C C 1 A 16 1 På figuren ses to ensvinklede trekanter ABC og A 1 B 1 C 1, hvor nogle af sidelængderne er angivet på figuren a) Bestem AB og B1C 1 Opgave Ved en terminsprøve i matematik kunne eleverne opnå 50 point Nedenfor ses en sumkurve, der viser fordelingen af elevernes opnåede pointtal i testen 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 10% 0% Pointtal a) Bestem kvartilsættet for elevernes opnåede pointtal i testen (brug gerne vedlagte bilag) b) Bestem hvor stor en procentdel af eleverne, der opnåede mellem 150 og 00 point

4 Stx matematik A maj 010 side af 6 Opgave 3 En familie får vand fra Vandcenter Syd De betaler en fast årlig målerafgift på 600 kr inkl moms Prisen pr m 3 er 41,75 kr inkl moms a) Indfør passende variable, og opskriv en sammenhæng mellem familiens årlige vandforbrug og dens samlede udgift til Vandcenter Syd Kilde: Opgave 4 En funktion f er givet ved f( x) = x 6x+ 5 a) Bestem funktionens nulpunkter Opgave 5 En funktion f er givet ved f ( x) 4x lnx = + a) Bestem f ( x) b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P= (1, f(1)) Opgave 6 En funktion f er givet ved f( x) = x x+ 4 a) Bestem forskriften for den stamfunktion F til f, hvis graf går gennem punktet P = (3,1) Opgave 7 Figuren viser grafen for et andengradspolynomium g, der har forskriften g( x) ax bx c = + + y g a) Bestem fortegnet for hver af koefficienterne a, b og c samt diskriminanten d x

5 Stx matematik A maj 010 side 3 af 6 Opgave 8 En funktion f har forskriften f x 3 ( ) x e x = + a) Vis, at f er en løsning til differentialligningen y = y x ( x 3) Opgave 9 A P(0, x) M(4,) C Qx (,0) B På figuren ses en retvinklet trekant ABC, hvor A = (0,4), B = (8,0) og C = (0,0) I trekant ABC er der indskrevet en trekant MPQ Koordinatsættene for de tre punkter M, P og Q fremgår af figuren a) Vis, at arealet af trekant PQM kan udtrykkes ved funktionen T x = x + x, 0 x 4 1 ( ) 3 b) Bestem x, så arealet af trekant PQM bliver størst muligt Besvarelsen afleveres kl 1100

6 Stx matematik A maj 010 side 4 af 6 Delprøve Kl Opgave 10 På toppen af bjerget Rigi i Schweiz er der en tavle (figur 1), som viser information om stedet På figur ses en geometrisk model af denne triangulering L H R S Figur 1 Figur Afstanden fra R til L er målt til 49 km Vinklen mellem sigtelinjen RL og sigtelinjen RH er målt til 51,6, mens vinklen mellem sigtelinjen LR og sigtelinjen LH er målt til 68,0 a) Bestem afstanden fra R til H Afstanden fra R til S er målt til 41 km, og afstanden fra H til S er målt til 37 km b) Bestem vinklen mellem sigtelinjen RH og sigtelinjen RS Opgave 11 Udviklingen i antallet af fedmerelaterede operationer på danske sygehuse i perioden kan beskrives ved modellen Nt ( ) = 76 1,77 t, hvor N( t) betegner antallet af fedmerelaterede operationer til tiden t (målt i år efter 005) a) Gør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om antallet af fedmerelaterede operationer på danske sygehuse i perioden b) Benyt modellen til at bestemme det forventede antal fedmerelaterede operationer i 01, og bestem fordoblingskonstanten Kilde: Kristeligt Dagblad den 8/1 009 og Ugeskrift for Læger 168/50

7 Stx matematik A maj 010 side 5 af 6 Opgave 1 En funktion f er givet ved f( x ) x + x x = x 10 a) Bestem monotoniforholdene for f b) Bestem x-koordinaten til røringspunkterne for de tangenter til grafen for f, der er parallelle med linjen y= 48x+ 7 Opgave 13 På en skole undersøger elevrådet hvert år, hvor mange af skolens elever, der køber mad i kantinen Sidste skoleår købte 45 % af eleverne mad i kantinen Da skolen har mere end 1000 elever, vælger elevrådet at spørge 100 elever, om de køber mad i kantinen eller ej Her viser det sig, at 56 ud af de 100 svarer ja til, at de køber mad i kantinen a) Opstil en nulhypotese, og undersøg på et 5 % signifikansniveau om andelen af elever, der køber mad i kantinen, har ændret sig Opgave 14 To funktioner f og g er givet ved f ( x) = x+ 1+ sin( x) og g( x) = x+ cos( x) 1 Graferne for de to funktioner afgrænser sammen med linjen med ligningen x = π et område M, der har et areal a) Bestem arealet af M Den lodrette linje med ligningen x = c deler M i to punktmængder, der har samme areal b) Bestem værdien af c Opgave 15 En kugle har ligningen ( x 1) ( y 3) ( z 4) =, og en linje har parameterfremstillingen x 3 y 4 t 1 = + z a) Bestem skæringspunkterne mellem kuglen og linjen Kuglens centrum kaldes C, og P t er et punkt på linjen b) Bestem koordinaterne til P t således, at CP t står vinkelret på linjen

8 Stx matematik A maj 010 side 6 af 6 Opgave 16 Når en undervandsrugbybold slippes under vandet, vil den bevæge sig lodret ned mod bunden i et 5 meter dybt bassin Boldens hastighed v (målt i meter pr sekund) opfylder differentialligningen v () t = 9,8 5,5() v t, hvor t betegner tiden målt i sekunder a) Bestem en forskrift for v som funktion af t, idet v (0) = 0 Det stykke bolden synker fra tiden t 1 til tiden t kan beregnes ved t t1 s = vtdt () b) Bestem, hvor langt bolden synker de første sekunder