Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer
|
|
- Ingrid Laursen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer Introduktion Undervisningsnote til Mikro A, af Ole Kveiborg og Michael Teit Nielsen Vi har kigget en hel del på, hvordan forbrugeren reagerer på prisændringer - både når indkomsten er eksogen, og når den fremkommer ved privat ejendomsret til nogle ressourcer: Vil forbrugeren vælge at bruge/efterspørge/købe/sælge flere eller færre enheder af varen, når en pris ændrer sig? Vi har, i god neoklassisk tradition, hele tiden været bevidste om, at nyttefunktionerne kun giver mening i ordinal forstand og ikke i kardinal. Så vi kan afgøre, om en prisændring stiller en forbruger værre eller bedre, alt efter om nytten stiger eller falder. Men den absolutte ændring af nytten om den stiger med ½, 17 eller kan vi på grund af den kardinale fortolkning ikke bruge til noget. Men kan vi på en anden måde få et udtryk for, hvor meget værre eller bedre forbrugeren bliver stillet? Det er her, at begreber som forbrugeroverskud samt ækvivalerende og kompenserende variationer kommer ind, fordi de kan give os en ide om velfærdsændringen, ikke målt i nytte, men i kroner (allerede Aristoteles sagde jo: Alt måles i penge ). Formålet med denne note er at give en kort gennemgang af disse begreber, som anvendes i den almindelige mikro-litteratur, og sammenligne dem med Nechybas kapitel 10, idet Nechybas definition af forbrugeroverskud afviger fra den øvrige litteraturs. Kort sagt er forbrugeroverskuddet forskellen mellem det, forbrugeren er villig til at betale, og det beløb, vedkommende faktisk betaler. Den helt centrale forskel mellem Nechyba s definition og den gængse definition er, om man måler betalingsviljen ud fra den (Hicks-)kompenserede efterspørgselsfunktion (Nechyba) eller den ordinære (Marshall) efterspørgselsfunktion (litteraturen). Forbrugeroverskud: Diskret gode og quasi-lineære præferencer Lad os først se på den definition af forbrugeroverskud, som anvendes i de fleste lærebøger (f.eks. Hal Varian: Intermediate Microeconomics ). For at forstå, hvad consumer s surplus er, vil vi prøve at se på tilfældet med en forbruger, der har quasi-lineære præferencer ift. et diskret gode (dvs. et udeleligt gode). Vi lader gode 1 være det diskrete gode og nyttefunktionen have formen u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2. For at gøre tingene simple, lader vi prisen på gode 2 være lig 1 idet vare 2 kan tænkes som aggregeret forbrugsgode eller penge til andet forbrug. Vi lader (uden tab af generalitet) nyttefunktionen have absolut værdi 0 for nul enheder, dvs.: v(0)=0. Vi kan nu opstille to betingelser for, at vores forbruger vælger n enheder af det diskrete gode (hvor n er et positivt naturligt tal), nemlig at nytten er mindst så stor som ved at vælge (n-1) hhv. (n+1): v(n) + m n p 1 v(n 1) + m (n 1) p 1,
2 og p 1 v(n) v(n 1) v(n) + m n p 1 v(n +1) + m (n +1) p 1, p 1 v(n +1) v(n) Vi kan omskrive og sammenfatte disse betingelser til: v(n +1) v(n) p 1 v(n) v(n 1) eller at hvor vi definerer: r(n+1) p 1 r(n) r(n)=v(n)-v(n-1) idet r(n) er den højeste pris, ved hvilken forbrugeren køber mindst n enheder af vare 1 dvs. reservationsprisen for n enheder. Ved at indsætte finder vi, at vi kan skrive v(n)=r(1)+r(2)+r(3)+ +r(n). Med andre ord kan vi skrive den samlede nytte ved et forbrug på n enheder, når prisen er netop r(n), som: u(x 1,x 2 ) = v(n) + I n r(n) = r(1) + r(2) + + r(n)+i n r(n) Hvis vi illustrerer reservationspriserne som en trinvis funktion, vil nytten derfor kunne findes som arealet fra prislinjen og op til den inverse efterspørgselsfunktion (reservationspris- trappen ). Dette ses i nedenstående illustration. Figur 1. Reservationspriser og Consumer s surplus for diskrete goder.
3 I figur B udgøres forbrugeroverskuddet af det blå areal, når prisen på vare 1 er p. Dette areal svarer til et beløb i kroner. Det mest relevante for vores velfærdsbetragtninger er dog ikke selve størrelsen af det samlede forbrugeroverskud, men ændringen i dette overskud, når prisen ændres. På grund af de særlige forudsætninger om quasi-lineære præferencer, samt at vare 2 opfattes som alt andet forbrug med prisen 1, kan vi dermed faktisk skabe en forbindelse fra nyttefunktionen (den absolutte nytte samt marginale ændringer i nytten) til kronebeløb. Hvis man i figur B forestiller sig, at prisen falder fra r 3 til p, vil ændringen i forbrugeroverskuddet være, at dette forbrugeroverskud vokser med præcis det areal, der lodret har højden (r 3 - p) og vandret længden (3-0). Forbrugeroverskud: Kontinuert gode og quasi-lineære præferencer Lad os nu gå over til det mere gængse tilfælde, nemlig at vare 1 er et fuldt ud deleligt gode, hvis mængde kan beskrives ved et ikke-negativt reelt tal idet vi kan overføre en stor del af intuitionen fra det diskrete godes tilfælde. Vi antager stadig, at vi kan skrive nyttefunktionen som u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2, idet v nu antages at være to gange differentiabel, med v > 0 og v < 0. Vi antager fortsat, at prisen på vare 2 er 1. Betragt nyttemaksimeringsproblemet i dette særlige tilfælde: Førsteordensbetingelsen bliver: Max v(x 1 ) + x 2 ubb. p 1 x 1 + x 2 = I v (x 1 ) = p 1 Hvoraf vi kan udlede dette udtryk for den Marshallske efterspurgte mængde af vare 1: x 1 = *v + -1 (p 1 ) Vi får ikke overraskende at indkomsten ikke spiller nogen rolle for efterspørgslen efter vare 1; der er jo tale om quasi-lineære præferencer. Af ovenstående kan vi se, at grafen for funktionen v, når man aflæser den fra mængdeaksen, kan opfattes som den inverse (Marshallske) efterspørgselsfunktion. Med andre ord angiver v (x 1 ) den marginale betalingsvillighed: Hvis forbrugeren i forvejen forbruger x 1 enheder af vare 1, hvor meget er forbrugeren da villig til at betale for en ekstra enhed af denne vare? Svaret er: v (x 1 ). Antag, at prisen på vare 1 er p 1 *. Intuitivt kan vi da betragte hver marginal forøgelse af forbruget fra mængden 0 og op til mængden x 1 * = *v + -1 (p 1 * ). Vi kan da for mængden x 1, hvor 0 < x 1 < x 1 *, se på: Hvor meget var forbrugeren villig til marginalt at betale? Svaret er: v (x 1 ). Hvor meget betalte forbrugeren faktisk, marginalt? Svaret er p 1 *. Det marginale forbrugeroverskud er derfor afstanden fra den inverse efterspørgselskurve ned til p 1 *.
4 Det samlede forbrugeroverskud fås naturligvis ved at integrere; grafisk svarer det til arealet mellem den vandrette linje ved p 1 * og op til *v +-kurven. Og som før vil det relevante være at se på virkningen af prisændringer. Hvis prisen falder 1 kr., forøges forbrugeroverskuddet med det areal, der lodret afgrænses af priserne (p 1 * -1) og p 1 og vandret afgrænses af prisaksen i venstre side og efterspørgselskurven (*v + -1 ) i højre. Som nævnt har vi hele tiden forudsat, at forbrugeren havde quasi-lineære præferencer, sådan at efterspørgslen efter vare 1 var uafhængig af indkomsten I. I dette særlige tilfælde, og når vare 2 var alt andet forbrug til en pris på 1, gav det hele god mening. Forbrugeroverskud: Kontinuert gode og generelle præferencer De fleste økonomer har dog syntes, at der var noget intuitivt tiltalende ved at se på Marshallefterspørgselskurven for en vare og betragte den lodrette afstand fra den inverse efterspørgselskurve ned til prislinjen som et udtryk for marginalt forbrugeroverskud, og dermed ændringer i arealet bag ved efterspørgselskurven når prisen på varen blev ændret som et udtryk for velfærdsændring for forbrugeren, målt i kroner. Det betyder, at i litteraturen bruges begrebet forbrugeroverskud (Consumer s Surplus) således for en forbruger uanset om forbrugeren har quasi-lineære præferencer eller: Hvor s * er markedsprisen på vare i, og x() angiver Marshall-efterspørgslen. Man bruger ofte den inverse efterspørgselsfunktion p i (x i ) og kan derfor også beregne det som Hvor vi altså ser på ændringen fra intet forbrug til det faktiske forbrug. Det mest interessante er dog stadig, når vi vil se på velfærdsændringer som følge af prisændringer: Hvor toptegnene 0 og 1 i integralets grænser angiver prisen før ændringer (0) hhv. efter ændringen (1).
5 Figur 2. Ændring i Consumer s surplus Intuitionen i ovenstående er naturlig og virker meget overbevisende. Det har også fået økonomerne til at udbrede begrebet fra Consumer s Surplus til Consumers Surplus hvor man skal se godt efter for at finde den subtile forskel! Men pointen er, at hvor vi hidtil har kigget på den partielle Marshall-efterspørgselskurve for én forbruger og betragtet ændringer i arealet bag den individuelle efterspørgselskurve, er økonomer gået til at se på det tilsvarende for den samlede/aggregerede markedsefterspørgselskurve, hvor alle forbrugeres individuelle efterspørgselskurver er blevet adderet vandret. Det er en øvelse, der aldeles ser bort fra det værdipolitiske/etiske i, hvordan vi meningsfyldt prioritere forskellige forbrugeres velfærd i forhold til hinanden noget Arrow med sit umulighedsteorem viste, er en betænkelig affære. Men lad dette emne ligge og lad os igen vende os mod den enkelte forbruger. Her viser det sig nemlig, at hvis præferencerne er sådan, at der er en indkomsteffekt, så er ændringen i forbrugeroverskuddet som det er defineret i litteraturen, nemlig som ændring i arealet bag Marhall-efterspørgselskurven ikke det mest præcise mål for den velfærdsændring, forbrugeren oplever. Lad os derfor introducere nogle mere præcise begreber til at måle velfærdsændringen af en prisændring i pengetermer. Nogle begreber, der faktisk tager højde for indkomstvirkninger og som vil ende med at fortælle os, at velfærdsvirkningen for forbrugeren faktisk alene er knyttet til substitutionsvirkningen af en prisændring! Kompenserende variation og ækvivalerende variation Der er i litteraturen generelt to måder, at gøre dette på: Beregning af enten den ækvivalerende variation (EV) og den kompenserende variation (CV).
6 De to begreber kan kort defineres som: Kompenserende variation (CV): De ekstra penge, som forbrugeren skal tilføres i indkomst for at kunne opnå samme nytteniveau som inden prisændringen, dvs. ved de gamle priser Ækvivalerende variation (EV): Det beløb, man kunne have taget ud af forbrugerens indkomst ved de oprindelige priser, så han kan opnå samme nytteniveau som ved de nye priser Centralt her er Hicks tanker om, hvordan man billigst muligt kan kompensere forbrugerens indkomst for prisændringer. Med andre ord at udgiftsminimere, idet vi betragter en situation, hvor prissystemet ændres fra p* til p. Lad notationen være, at forbrugeren i udgangspunktet opnår nytten u* = V(p*, I*), og efter prisændringen til p opnår nytten u = V(p, I*) (når indkomsten er uændret, dvs. der ikke er givet nogen kompensation), idet V er den indirekte nyttefunktion. Matematisk set kan CV da defineres som: E(p,u*) I* fordi E(p,u*) er den laveste indkomst, der kan sikre forbrugeren det gamle nytteniveau u, når priserne nu er ændret til p. Forbrugeren råder selv kun over indkomsten I*, så derfor er ovenstående differens nøjagtig det (lavest mulige) beløb, vi skal tilføre forbrugeren, for at denne kan opretholde sin gamle nytte. Tilsvarende kan EV defineres som: I*- E(p*,u) Fordi E(p*,u) er den laveste indkomst, der ville give forbrugeren det nye nytteniveau u ved de gamle priser p* Sammenligning af begreber når præferencer er quasi-lineære Lad os et kort øjeblik vende tilbage til særtilfældet med quasi-lineære præferencer, hvor p 2 hele tiden er 1, og prisændringen sker i prisen på vare 1. Lad os sige, at denne pris stiger fra p 1 * til p 1 > p 1 *. Da vil forbrugeren sænke sit forbrug af vare 1 fra x 1 * = *v + -1 (p 1 *) til x 1 = *v + -1 (p 1 ). Forbruget af vare 2 ændres fra (I* - p 1 * x 1 *) til (I* - p 1 x 1 ). Bemærk, at ved uændrede priser vil ændringer i indkomsten kun påvirke forbruget af vare 2, så en kompensation på a kroner ryger direkte over i en forøgelse på a enheder af vare 2. Derfor vil en kompensation på CV resultere i, at forbruget af vare 2 forøges med CV. Da må CV opfylde følgende lighed i velfærd i to situationer (nyt prissystem samt CV-kompensation hhv. gammelt prissystem og gammel indkomst) :
7 Hvoraf vi ser, at: v(x 1 ) + I* - p 1 x 1 + CV = v(x 1 *) + I* - p 1 * x 1 * Og EV må tilsvarende opfylde: CV = v(x 1 *) - v(x 1 ) - p 1 * x 1 *+ p 1 x 1 Hvoraf vi ser, at: v(x 1 ) + I* - p 1 * x 1 * - EV = v(x 1 ) + I* - p 1 x 1 EV = v(x 1 *) - v(x 1 ) - p 1 * x 1 *+ p 1 x 1 I særtilfældet med quasi-lineære præferencer bliver de to begreber CV og EV altså sammenfaldende. Men ikke nok med det vi kan også se på ændringen i CS (forbrugeroverskuddet). Det er i udgangssituationen v(x 1 *) - p 1 * x 1 * og ændres efter prisstigningen til v(x 1 ) - p 1 x 1. Dermed falder forbrugeroverskuddet med: v(x 1 *) - v(x 1 ) - p 1 * x 1 *+ p 1 x 1. Derfor får vi alt i alt, i tilfældet med quasi-lineære præferencer: CV = EV = - CS Det bekræfter os i, at når vi er i det særtilfælde, hvor forbrugeren har quasi-lineære præferencer, er ændringen i forbrugeroverskud faktisk et meget præcist mål for velfærdsændringen. Sammenligning af begreber i det generelle tilfælde Lad os nu vende tilbage til det generelle tilfælde med præferencer, der ikke nødvendigvis er quasi-lineære. Lad os betragte begrebet CV, der tager udgangspunkt i situationen, hvor prissystemet er p*, og nytteniveauet er u*. Som vi så, har CV at gøre med ændringer i det Hicks-kompenserede budget. Vi ved fra efterspørgselsteorien, at (på grund af Envelope Theorem): Så den marginale ændring i udgiftsfunktionen, når prisen på vare 1 stiger, svarer til den kompenserede efterspørgsel (Hicks-efterspørgsel). Dermed bliver den samlede ændring i udgiftsfunktionen integralet på et stykke af den kompenserede efterspørgsel, idet vi integrerer fra værdien p 1 * til værdien p 1. Med andre ord kan man aflæse velfærdsændringen for forbrugeren som ændringen i arealet til venstre for den kompenserede efterspørgselskurve. Det er netop dette begreb, som Nechyba betegner som Consumer s surplus, men som resten af litteraturen betegner som kompenserende variationer.
8 Nedenstående figur kan forhåbentlig bidrage til lidt opklaring af de begreber, som Nechyba hhv. alle andre bruger, når det handler om at måle de velfærdsændringer for en forbruger, som prisændringer forårsager. Ændringer i arealet bag Marshallefterspørgselskurve Ændringer i arealet bag Hickskompenseret-efterspørgselskurve Nechyba Omtales ikke Consumer s Surplus Litteraturen i øvrigt Consumer s Surplus Compensating Variations Det kan godt være, at Nechyba er uenig med andre økonomer om betegnelserne men der er helt sikkert enighed om, at det mest retvisende begreb er at se på ændringer i arealet bag den kompenserede efterspørgselskurve. Hvorfor? Fordi det reelle velfærdstab for forbrugeren ligger i substitutionsvirkningerne eller man kunne sige: Andre indkomst-kompensationsbegreber end Hicks vil overkompensere forbrugeren. Alligevel er det blandt økonomer en kendt og populær løsning blot at se på ændringer i arealet bag Marshall-efterspørgselskurven. Vel blandt andet fordi det er lettere økonometrisk at estimere denne end det mere abstraktive og fiktive begreb kompenseret efterspørgsel. Normale kontra inferiøre goder Vi ved fra dualiteten mellem nyttemaksimering og udgiftsminimering, at vi har x 1 (p *, I * ) = h 1 (p *, u * ) dvs. i udgangspunktet angiver Marshall-efterspørgslen og den kompenserede efterspørgsel samme mængde. Fra Slutsky-ligningen kan vi se, at hvis der er tale om et normalt gode, vil Marshall-efterspørgselskurven have en stejlere hældning, læst fra prisaksen, end den kompenserede efterspørgsel har. Så hvis prisen på vare 1 stiger, vil vi (når vi bruger standard-litteraturens begreber) få, at ændringen i forbrugeroverskud underdriver det reelle velfærdstab for forbrugeren (som er mere reelt udtrykt ved det her numerisk større CV). Omvendt, hvis godet er inferiørt: Da har Marshall-efterspørgselskurven en fladere hældning, læst fra prisaksen, end den kompenserede efterspørgsel. Så hvis prisen på vare 1 stiger, vil vi (når vi bruger standard-litteraturens begreber) få, at ændringen i forbrugeroverskud overdriver det reelle velfærdstab for forbrugeren (som er mere reelt udtrykt ved det her numerisk mindre CV).
Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi
Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs mere1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15) 1. Markedseftersspørgselskurven: Sammenhængen mellem markedspris og samlet efterspørgsel på et marked.
1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15) 1. Markedseftersspørgselskurven: Sammenhængen mellem markedspris og samlet efterspørgsel på et marked. 2 Fra forbrugerefterspørgsel til markedsefterspørgsel 1. For enhver
Læs mere1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15)
1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15) 1. Markedsefterspørgselskurven: Viser sammenhængen mellem markedspris og samlet efterspørgsel på et marked. 1 2 Fra forbrugerefterspørgsel til markedsefterspørgsel 1.
Læs mereKapitel 15: Markedsefterspørgsel
November 29, 2008 Indledning individuel efterspørgsel: maximering af nytte under budgetbegrænsning Ligevægt: udbud er lig efterspørgsel afgørende: den samlede efterspørgsel Centralt: hvordan afhænger efterspørgslen
Læs mereKapitel 1: Markedet for lejeboliger - et eksempel.
Kapitel 1: Markedet for lejeboliger - et eksempel. November 8, 2008 Kapitel 1 er et introducerende kapitel. Ved hjælp af et eksempel illustreres nogle af de begreber og ideer som vil blive undersøgt mere
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereInstitut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2
Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet Workshop Opgave 1 Antag at en forbrugers nyttefunktion er givet ved u(, x ) x 3 1 x. Forbrugeren har derudover følgende budgetbetingelse:
Læs mereBilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS
Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereForbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel
Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale
Læs mereVejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I
Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner MÅLBESKRIVELSE Karakteren 12 opnås, når den studerende ud fra fagets niveau på fremragende
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereKapitel 8: Slutsky ligningen
November 25, 2008 Forbrugerens valg: Vælg dets bedste mulige varebundt Efterspørgselsfunktion: x 1 (p 1, p 2, m) og x 2 (p 1, p 2, m) Kapitel 6: hvordan ændres efterspørgselsfunktionen med p 1, p 2 og
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereResidualer i grundforløbet
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad
Læs mereØKONOMISKE PRINCIPPER I
ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 4 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 4 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 3 påpegede mulige gevinster ved
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereKapitel 4: Nyttefunktioner
Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereØKONOMISKE PRINCIPPER I
ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 5 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 5 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 4 analyserede bl.a. hvordan ændringer
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs merePriskontrol og velfærd: Maksimalpriser eller mindste priser leder ofte til at der opstår overskudsefterspørgsel
riskontrol og velfærd: Maksimalpriser eller mindste priser leder ofte til at der opstår overskudsefterspørgsel eller overskudsudbud på markedet. Eksempel maksimalpris på maks : Overskudsefterspørgsel maks
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mere1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. Budgetbegrænsninger. 2. Præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens valg. 1 2 Optimalt forbrug - gra sk fremstilling
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs merePriselasticitet: Hvordan hænger pris og efterspørgsel
Priselasticitet: Hvordan hænger pris og efterspørgsel sammen? (3/3) 299,- kr./stk. 149,- kr./stk. RESUMÉ I tredje og sidste del af den tredelte serie om efterspørgsel går denne artikel i dybden med prisens
Læs mereRettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi
Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi 3 timers prøve med hjælpemidler, d. 1. Januar 009 Samtlige spørgsmål ønskes besvaret. Opgavens vægt i karaktergivningen er angivet ved hver opgave.
Læs mereHovedpointer fra undervisningen i Mikro I
Hovedpointer fra undervisningen i Mikro I Martin Nørgaard Petersen 15. december 2017 Følgende gennemgår udvalgte begreber fra Microeconomics (2. udgave) af T.J. Nechyba og undervisningen i Mikroøkonomi
Læs mereMikro II, Øvelser 1. a 2bx = c + dx. 2b + d
Mikro II 2018I Øvelser 1, side 1 Mikro II, Øvelser 1 Det præcise forløb af øvelsestimerne aftales på holdene. Det gælder dog generelt, at der kræves aktiv deltagelse fra de studerende. Bemærk, at sidste
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereØvelse 17 - Åbne økonomier
Øvelse 17 - Åbne økonomier Tobias Markeprand 20. januar 2009 Opgave 21.2 Betragt et land, der opererer under faste valutakurser, med den samlede efterspørgsel og udbud givet ved ligninger (21.1) og (21.2)
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereKapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer?
Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan
Læs mereMikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed
Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel
Læs mereØKONOMISKE PRINCIPPER I
ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 7 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 7 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Forelæsning 4-6 analyserede hvordan markedsmekanismen
Læs mereØKONOMISKE PRINCIPPER I
ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 7 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 7 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Forelæsning 4-6 analyserede hvordan markedsmekanismen
Læs mereOpgavebesvarelse - Øvelse 3
Opgavebesvarelse - Øvelse 3 Opgave 3.2 Lad økonomien være karakteriseret ved følgende adfærdsligninger: a) Løs for ligevægts BNP: derved at vi bruger ligningen. b) Løs for den disponible indkomst: c) Løs
Læs mereModellering af elektroniske komponenter
Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)
Læs mereLæring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret
Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEt Markedet for lejeboliger til studerende. Model:
Kapitel 1: Markedet - et eksempel. Et Markedet for lejeboliger til studerende Model: 1. Alle lejligheder er identiske. 2. Men nogle ligger tæt på universitet (indre ring), andre længere væk (ydre ring).
Læs mereKap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen
Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.
Læs mereAppendiks 2: Progression i de nationale test og Beregneren
: Progression i de nationale test og Beregneren Følgende appendiks indeholder en sammenligning af testsystemets og Beregnerens progression-visninger. Formålet er at give et indblik i de forskellige måder,
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereKapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn:
Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte er en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten måles for eksempel på en skala fra 0 til 100. 3. Skalaen er kardinal:
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereKapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere
Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereHjemmeopgavesæt 1, løsningsskitse
Hjemmeopgavesæt 1, løsningsskitse Teacher 26. oktober 2008 OPGAVE 1 1. Den samlede efterspørgsel, Z findes ved: Z = C + I + G = 40 + 0.8(Y 150 0.25Y ) + 80 + 400 = 0.6Y + 400 Ligevægtsindkomsten bliver:
Læs mereKap Introduktion 4. februar :19
Kap 1+2 - Introduktion 4. februar 2013 14:19 Definitioner og introduktion Økonomi er baseret på makro og mikro. Mikro økonomi er det enkelte marked Makro er aggregering over alle markeder inden for et
Læs mere2 Risikoaversion og nytteteori
2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereIS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi.
IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi. Det har ikke været nødvendigt at skelne mellem 1) Indenlandsk efterspørgsel efter varer 2) Efterspørgsel efter indenlandske varer For den åbne økonomi er
Læs mereAnalyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi
Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet
Læs mereVelkommen til Økonomi 1!!!!
Velkommen til Økonomi 1!!!! Mikro-delen Foråret 2004. Lars Østerdal Mail: lars.p.osterdal@econ.ku.dk Tlf: 35 32 35 61 Kontor: Økonomisk Institut, Nørregade 7A, 1. sal. www.econ.ku.dk/lpo Introduktion til
Læs mere1 Oligopoler (kapitel 27)
1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation med mange "små" aktører. (b) Monopol. Kun
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere1 Bytteøkonomier (kapitel 30)
1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! 2. Typiske spørgsmål:
Læs mere1 Bytteøkonomier (kapitel 31)
1 Bytteøkonomier (kapitel 31) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! (b) Vi har en "generel
Læs merematematik-økonomi-studerende
matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereØKONOMISKE PRINCIPPER II
ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 13 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 34 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Fra kapitel 33 AD-AS-diagrammet AD: Negativ hældning
Læs mereMikro II, Øvelser 4. 0, 002x 1 + 0, 0034x 2 = 100
Mikro II 018I Øvelser 4, side 1 Mikro II, Øvelser 4 1. To virksomheder konkurrerer på et marked, hvor forbrugernes efterspørgsel er tilnærmelsesvis lineær, og hvor der maximalt kan sælges 100000 enheder,
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx11-mat/a-1508011 Mandag den 15. august 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereHJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen (Opgave stillet i uge 9 med aflevering i uge 12)
HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen (Opgave stillet i uge 9 med aflevering i uge 12) Opgave 1. Vurdér og begrund, hvorvidt følgende udsagn er korrekte: 1.1. En provenuneutral
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereØvelse 11 - Opsummering af den lukkede økonomi
Øvelse 11 - Opsummering af den lukkede økonomi Tobias Markeprand 18. november 2008 X3 Opgave 1 C = 275 + 0, 75(Y T ) (Privat forbrug) I = 75 6, 25i (Investeringer) G = 350 (Offentligt forbrug) T = 387,
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereForbrugeren som agent
Kapitel 2: Budgetbegrænsninger Forbrugeren som agent 1. Paradigme: Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Lyder banalt og noget abstrakt - men... 3....viser sig at give en
Læs mereCentralt belastede søjler med konstant tværsnit
Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne
Læs mereOversigt. funktioner og koordinatsystemer
Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som
Læs mereMatematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
Læs mereBilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen.
Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 SDEA...
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereEfterspørgsel og udbud
J.Andersen og H.Keiding: Introduktion til Nationaløkonomi Kapitel 2, side 1 Kapitel 2 Efterspørgsel og udbud 1. Efterspørgsel og hvad der ligger bag Prisdannelsen og markedsmekanismens funktion er et af
Læs mereMatematik Terminsprøve 2h3g Ma/3
Matematik Terminsprøve 2h3g Ma/3 Onsdag d. 11/4-2018 Kl. 9.00 13.00 Opgavesættet er delt i to dele Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består
Læs mereUNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER
UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER Undervisningseffekten udregnes som forskellen mellem den forventede og den faktiske karakter i 9. klasses afgangsprøve. Undervisningseffekten udregnes
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereDet danske boligmarked
HA-almen, 6. Semester Bacheloropgave Nationaløkonomisk institut Forfatter: Anders Krog Vejleder: Anna Piil Damm Det danske boligmarked Handelshøjskolen i Århus Maj 2011 Executive summery The title of this
Læs mereEksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo!
Eksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo! Eksemplet er hentet fra side 122 i bogen "Counterexamples
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/a-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mere