Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
|
|
- Laurits Johannsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30
2 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan måles direkte, men kan beregnes ud fra andre målinger: Vinkler - vha differenser af retningsmålinger. Arealer - vha vinkler og længder. Længder - vha trigonometriske relationer.... I resten af kurset gennemgår vi hvorledes fejlene på de målbare størrelser forplanter sig i fejlen af den interessante ikke-målbare størrelse. Eksempelvis kan arealet, T, af en trekant bestemmes ved T = 1 absinc, hvor længdemålingerne a og b samt vinklen C måles med usikkerhed. Mere teknisk: Vi vil finde tilnærmede udtryk for (teoretiske) middelværdi og varians for de ikke-målbare størrelser på baggrund af middelværdi og varians for de målbare størrelse. /30
3 Repetition: Varians af linear kombination Antag X 1,X,...,X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X 1,X,...,X n : Da er variansen for Y givet ved Y = a 0 +a 1 X 1 +a X + +a n X n Var(Y) = a 1Var(X 1 )+a Var(X )+ +a nvar(x n ). 3/30
4 Eksempel: Vinkelberegning R i V ij Vinkler bestemmes som differensen mellem to retningsbestemmelser. Fx. er V ij = R j R i hvor både R j og R i er uafhængige stokastiske variable. Vi antager retningerne er målt med samme nøjagtighed, dvs Var(R j ) = Var(R i ) = σ R. Variansen på V ji er givet ved σ V = Var(V ji ) = Var(R j R i ) = Var(R j )+( 1) Var(R i ) = σ R. R j 4/30
5 Repetition: Linearisering Vi har tidligere set, hvordan vi finder tilnærmede udtryk for middelværdi og varians for Y, når Y ikke er en lineær funktion af én stokatisk variabel: Lineær approximation af g omkring µ: Y = g(x) g(µ)+g (µ)(x µ) = g (µ)x g (µ)µ+g(µ) = ax +b, hvor a = g (µ) og b = g (µ)µ+g(µ). ax+b g(x) g(µ) µ 5/30
6 Repetition: Linearisering Vi har en approksimation af g(x): Y ax +b, hvor a = g (µ) og b = g (µ)µ+g(µ). Heraf følger approximativ middelvædi og varians for Y: E(Y) ae(x)+b = g (µ)µ g (µ)µ+g(µ) = g(µ) Var(Y) a Var(X) = g (µ) σ, hvor approximationen er god, hvis σ er lille. 6/30
7 Linearisering: Flere variable Antag X 1,X,...,X n er n uafhængige stokastiske variable. Middelværdi og varians for X i er hhv. µ i og σ i. Antag Y er en funktion af X 1,X,...,X n : hvor g er differentiabel. Y = g(x 1,X,...,X n ), Vi ønsker at finde (tilnærmede) udtryk for middelværdi og varians for Y. Hvis g ikke er lineær i X 1,...,X n kan vi ikke anvende de sædvanlige udtryk. 7/30
8 Linearisering: Flere variable Løsningen er at linearisere g omkring punktet (µ 1,µ,...,µ n ): Y g(µ 1,µ,...,µ n )+ X 1 (X 1 µ 1 )+ + X n (X n µ n ), hvor vi anvender notationen X 1 (x 1,x,...,x n ) x i x1=µ 1,x =µ,...,x n=µ n, dvs. X 1 betegner den i te partielle afledede evalueret i punktet (µ 1,µ,...,µ n ). I praksis kender vi typisk ikke µ 1,...,µ n. I stedet anvender vi estimater, fx. gennemsnit af en eller flere målinger af µ i. 8/30
9 Fejlforplantningsloven Vi kan approximere variansen på Y ( Var(Y) Var g(µ 1,µ,...,µ n )+ (X 1 µ 1 )+ + ) (X n µ n ) X 1 X n ( = Var g(µ 1,µ,...,µ n ) µ 1 µ n + X 1 X }{{ n } konstant ( = Var X ) X n X 1 X n ( ) ( = Var(X 1 )+ + X 1 X n X ) X n X 1 X n ) Var(X n ) 9/30
10 Den simple fejlforplantningslov Antag X 1,X,...,X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 1,...,Var(X n )=σ n. Lad Y = g(x 1,X,...,X n ), hvor g er en differentiabel funktion. Et tilnærmet udtryk for variansen for Var(Y)=σ Y er ( ) ( ) σy σ1 + + σn X 1 X n Bemærk: For en linære transformation Y = a 0 +a 1 X 1 +a X +...+a n X n gælder X 1 = a 1,..., X n = a n. I dette tilfælder giver ovenstående resultatet det samme som den sædvanlige variansregel på slide 3. 10/30
11 Trigonmetriske funktioner: Gon og radianer Lad sin r (x) og sin(x) betegne sinus når vinklen x er målt i hhv. radianer og gon. Tilsvarende for cosinus og tangens. Vi har ( ) π sin(c) = sin r 400 gon C ( ) 1 = sin r ω C, hvor er en konverterings-faktor. ω = 00 gon, π 11/30
12 Trigonmetriske funktioner: Differentitation Vi har regneregler for differentiation af trigonmetriske funktioner, når vinklen er målt i radianer. Fx. dsin r (x) dx = cos r (x). Når vinklen er målt i gon får vi: dsin(x) = dsin ( 1 r ω x) ( ) 1 1 = cos r dx dx ω x ω = cos(x)1 ω. Konverterings-faktoren 1 ω = π/00 gon optræder på samme måde ved differentiation af cosinus og tangens: dcos(x) dx = sin(x) 1 ω og dtan(x) dx = 1/30
13 Fejlforplantning ved arealbestemmelse A b c C a B Arealet T kan bestemmes på flere måder: T = 1 absinc (1) T = 1 acsinb () T = 1 bcsina (3) 13/30
14 Fejlforplantning anvendt på (1) Vi analyserer arealudtrykket (1): T = 1 absinc. Jf. fejlforplantningsloven gælder der, ( ) ( T T σt σa + a b De partielt afledte er: ) σ b + ( ) T σc C T a = 1 1 bsinc = absinc = T a a T b = 1 1 asinc = absinc = T b b T C = 1 abcosc 1 ω = 1 absinccosc 1 sinc ω = T cosc 1 sinc ω = T 1 tanc ω. Sidste omskrivning gælder idet tanx = sinx cosx 1 tanx = cosx sinx. 14/30
15 Estimat af T I et eksempel fra noterne er følgende oplysninger givet: a = m, b = 15.17m C = 93.73gon σ a = σ b = 1cm. σ C = 0.00gon. Dvs. vi kan regne estimatet for T som T = 1 absinc = m 15.17m sin93.73 = m 15/30
16 Variansen σ T Variansen σt på estimatet T er fra forrige slide påvirket af σ a, σ b og σ C på følgende måde, ( ) T ( ) T ( ) T σt σa + σb a b + 1 σc tanc ω ( 8741m ) 8741m = (0.01m) +( ) 8741m (0.01m) ) 1 +( (0.00gon) m 15.17m tan ω = 0.57m m m 4 = m 4. Standard-afvigelsen er: σ T = σ T = m. 16/30
17 Eksempel - Extended edition Antag nu at målene i trekanten er målt således: a b c A B C x Var( X) σ a 8 σ b 3 σ c 5 σ A σ B 4 σ C 3 17/30
18 Estimater af arealet T Fra tidligere kan arealet T beregnes på mindst tre måder (1)-(3). Hvis vi anvender gennemsnitsmålingerne fra forrige slide har vi: (1) T 1 = 1 absinc = sin = m () T = 1 acsinb = sin = m (3) T 3 = 1 bcsina = sin = m 18/30
19 Vægte til estimat af T vha x Tidligere så vi hvordan σt blev bestemt for (1) med data fra noternes eksempel. Nedenfor bestemmes σt 1, σt og σt 3 : σ T 1 ( ) ( ) ( tan 93.9 = m 4. ) ω 3 σ T ( ) ( ) ( tan 6.95 = m 4. ) ω 4 σ T 3 ( ) ( ) ( tan = m 4. ) ω 19/30
20 Vægte til estimat af T vha x Vægtene i det vægtede gennemsnit x skal opfylde vægtrelationen, p 1 σ T 1 = p σ T = p 3 σ T 3. Fx. kan vi vælge p 1 = 1, hvilket medfører at p = σ T 1 σ T = = og p 3 = σ T 1 σ T 3 = = Således er p + = = og estimatet af T, x = p 1 p + T 1 + p p + T + p 3 p + T 3 = = m 0/30
21 Konfidensinterval for T Fra tidligere har vi at [ x 1.96 σ 0 ; x σ ] 0 p+ p+ Idet vægtrelationen foreskriver σ 0 = p 1 σ T 1 = p σ T = p 3 σ T 3 gælder der i vores tilfælde med p 1 = 1 at σ 0 = σ T 1 = Med p + = og x = m bliver et 95% konfidensintervallet [ ] ; [ ; 874.7] 1/30
22 Kovarians Vi har indtil nu antaget at vores målinger, X 1 og X, er uafhængige. Dvs at Cov(X 1,X ) = 0. Lader vi nu X 1 og X være afhængige, dvs ændringer i de to variable kan påvirke hinanden. Dette betyder at Var(X 1 +X ) bliver mere kompliceret. Lad E(X 1 ) = µ 1 og E(X ) = µ : Var(X 1 +X ) = E [[(X 1 +X ) (µ 1 +µ )] ] = E [[(X 1 µ 1 )+(X µ )] ] = E [ (X 1 µ 1 ) +(X µ ) +(X 1 µ 1 )(X µ ) ] = E[(X 1 µ 1 ) ]+E[(X µ ) ]+E[(X 1 µ 1 )(X µ )] = Var(X 1 )+Var(X )+Cov(X 1,X ) hvor Cov(X 1,X ) kaldes kovariansen mellem X 1 og X. /30
23 Kovarians Definition: Kovarians Antag X 1 og X er to stokastiske variable med middelværdier hhv. µ 1 og µ. Kovariansen mellem X 1 og X er da defineret som Cov(X 1,X ) = E[(X 1 µ 1 )(X µ )]. Notation: Kovariansen mellem to stokastiske variable X 1 og X betegnes ofte σ 1. Egenskab: Kovarians og uafhængighed Hvis X 1 og X er uafhængige, så er Cov(X 1,X ) = 0. Det modsatte gælder ikke!! Dvs. Cov(X 1,X ) = 0 er ikke ensbetydende med uafhængighed. 3/30
24 Kovarians: Regneregler Kovariansen mellem a 1 X 1 og a X er Cov(a 1 X 1,a X ) = a 1 a Cov(X 1,X ). Det medfører at variansen for a 1 X 1 +a X er Var(a 1 X 1 +a X ) = Var(a 1 X 1 )+Var(a X )+Cov(a 1 X 1,a X ) = a 1Var(X 1 )+a Var(X )+a 1 a Cov(X 1,X ). 4/30
25 Korrelation Definition: Korrelation Antag X 1 og X er to stokastiske variable med varianser σ 1 and σ. Korrelation Corr(X 1,X ) mellem de stokastiske variable X 1 og X er defineret som Corr(X 1,X ) = Cov(X 1,X ) Var[X1 ]Var[X ]. Ofte skrives korrelation som ρ 1 = Corr(X 1,X ). Med notationen Var[X i ] = σ i og Cov(X 1,X ) = σ 1 er korrelationen mellem X 1 og X ρ 1 = σ 1 σ 1 σ. Hvis vi kender korrelation og varianserne har vi kovariasen: σ 1 = σ 1 σ ρ 1. 5/30
26 Korrelation: Egenskaber og Eksempler 1 ρ 1 Mål for graden af lineær sammenhæng. ρ = 1 og ρ = 1 perfekt lineær sammenhæng. Uafhængighed ρ = 0. Eksempler: ρ er korrelationen i populationen og r er den estimerede korrelation for de viste stikprøver ρ = 1 r = ρ = 0.4 r = ρ = 0.9 r = ρ = 0 r = ρ = 0 r = ρ = 0 r = /30
27 Fejlforplantning: Afhængige målinger Tidligere har vi set Y=g(X 1,X ) hvor g er en transformation af X 1 og X. En lineær approximation af Y omkring punktet (µ 1,µ ) er givet ved: Y = g(x 1,X ) g(µ 1,µ )+ X 1 (X 1 µ 1 )+ X (X µ ) Hvis X 1 og X er uafhængige har vi set, at ( ) ( ) Var(Y) Var(X 1 )+ + Var(X n ) X 1 X n Hvordan ser det ud, hvis X 1 og X er afhængige, dvs. når Cov(X 1,X ) 0? 7/30
28 Fejlforplantning - fortsat Hvis Cov(X 1,X ) = σ 1 0 bliver variansen af Y: ( Var(Y) Var g(µ 1,µ )+ (X 1 µ 1 )+ ) (X µ ) X 1 X = Var g(µ 1,µ ) µ 1 µ + X 1 + X X 1 X }{{ X } 1 X ( = Var = = X 1 ( konstant X 1 + ) X X 1 X ( ) ( σ1 + X 1 ) σ 1 + X ( X ) σ + Cov(X 1,X ) X 1 X ) σ + X 1 X σ 1 8/30
29 Fejlforplantning: Matrix-formulering Udtrykket for variansen af Y kan opskrives vha. matricer: [ ][ ][ ] Var(Y) σ 1 σ 1 X 1 X }{{} σ 1 σ X 1 }{{} X G }{{} K X G hvor K X kaldes kovariansmatricen for X = (X 1,X ) og G er Jacobi-matricen. Bemærk: Cov(X 1,X ) = Cov(X,X 1 ) hvilket vil sige σ 1 = σ 1 og K X er derfor symmetrisk. 9/30
30 Udregning af udtrykket Var(Y) = [ X 1 ] X } {{ } 1 [ X 1 ( = X 1 ( = X 1 ] X [ ] σ 1 σ 1 σ 1 σ }{{} [ ) σ 1 + ) σ 1 + [ X 1 X ] }{{} 1 X 1 σ1 + X σ 1 X 1 σ 1 + X σ ] ( σ 1 + X X σ 1 + X 1 X X 1 ( ) σ + σ 1 X 1 X X ) σ 30/30
Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 9 - Repetition - Fejlforplantning. Kovariansmatrix. Kovariansmatrix
Fejlforplntning Lndmålingens fejlteori Lektion 9 Repetition - Fejlforplntning Ksper K Berthelsen - kk@mthudk http://peoplemthudk/ kk/undervisning/lf11 Institut for Mtemtiske Fg Alorg Universitet Lndmåling
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.3 April 2016 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.2
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.2 April 2014 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.1
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.1 April 2013 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereGeometrisk nivellement. Landmålingens fejlteori - Lektion 7 - Repetition - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement. Modellen.
Landmålingen fejlteori Lektion 7 Repetition Fejlforplantning ved geometrik nivellement h t f t f t f t 4 f 4 t n f n - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervining/lf Intitut for Matematike Fag
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereSupplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable
IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereSandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.5 Den bivariate
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereMat2SS Vejledende besvarelse uge 11
MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x
Læs mereSimpel Lineær Regression
Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereModul 6: Regression og kalibrering
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 6: Regression og kalibrering 6.1 Årsag og virkning................................... 1 6.2 Kovarians og korrelation...............................
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereStamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2018/19 Institution Uddannelse Thy-Mors HF & VUC GSK Fag og niveau Hold HF Matematik B, niveau C-B Hold Id: t605ma-b Lærer Knud
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mere