Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
|
|
- Mads Kirkegaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X 1, X,..., X n : Da er variansen for Y givet ved Y = a + a 1 X 1 + a X + + a n X n Var(Y ) = a 1Var(X 1 ) + a Var(X ) + + a nvar(x n ). Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a VarX 1/ / Eksempel: Vinkelberegning R i Slutfejl af vinkelmålinger i trekant β V ij α γ Vinkler bestemmes som differensen mellem to retningsbestemmelser. Fx. er V ij = R j R i hvor både R j og R i er uafhængige stokastiske variable. Vi antager retningerne er målt med samme nøjagtighed, dvs Var(R j ) = Var(R i ) = σ R. Variansen på V ij er givet ved σ V = Var(V ij ) = Var(R j R i ) = Var(R j ) + ( 1) Var(R i ) = σ R. R j 1 Betragt trekanten med sande vinkler α, β og γ. Dvs α + β + γ = gon. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med E(X α ) = α E(X β ) = β E(X γ ) = γ og Var(X α ) =.3 Var(X β ) =.1 Var(X γ ) =.3 3/ /
2 Antag vi har målt x α = 61 x β = 7 x γ = 65. Da er slutfejlen Estimation af α: r = = Sæt Y α = X β X γ. Da har Y middelværdi α og varians =.. Vægtet gennemsnit (vægte henholdsvis 3 for X α og Y α ): x = 3 + x α y α = 3 + x α (r + x α) = x α r = NB: her fordeles slutfejlen ikke ligeligt! Varians af vægtet gennemsnit (idet vinkelmålingerne antages uafhængige): ( ) ( ) Var X 3 = VarX α + VarY α = Alternativ beregning σ =.3 = 3. = 1. Var X = σ p 1 + p = 1. 7 =.171 5/ 6/ Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan måles direkte, men kan beregnes ud fra andre målinger: Vinkler - vha differenser af retningsmålinger. Arealer - vha vinkler og længder. Længder - vha trigonometriske relationer.... I resten af kurset gennemgår vi hvorledes fejlene på de målbare størrelser forplanter sig til fejlen på den interessante ikke-målbare størrelse. Eksempelvis kan arealet, T, af en trekant bestemmes ved T = 1 ab sin C, hvor længdemålingerne a og b samt vinklen C måles med usikkerhed. Mere teknisk: Vi vil finde tilnærmede udtryk for (teoretiske) middelværdi og varians for de ikke-målbare størrelser på baggrund af middelværdi og varians for de målbare størrelser. 7/ Repetition: Linearisering Vi har tidligere set, hvordan vi finder tilnærmede udtryk for middelværdi og varians for Y, når Y ikke er en lineær funktion af én stokastisk variabel: Lineær approximation af g omkring µ: Y = g(x) g(µ) + g (µ)(x µ) = g (µ)x g (µ)µ + g(µ) = ax + b, hvor a = g (µ) og b = g (µ)µ + g(µ). g(µ) µ ax + b g(x) 8/
3 Linearisering: Flere variable Linearisering: Flere variable Antag X 1, X,..., X n er n uafhængige stokastiske variable. Middelværdi og varians for X i er hhv. µ i og σ i. Antag Y er en funktion af X 1, X,..., X n : hvor g er differentiabel. Y = g(x 1, X,..., X n ), Vi ønsker at finde (tilnærmede) udtryk for middelværdi og varians for Y. Hvis g ikke er lineær i X 1,..., X n kan vi ikke anvende de sædvanlige udtryk. Løsningen er at linearisere g omkring punktet (µ 1, µ,..., µ n ): Y g(µ 1, µ,..., µ n ) + (X 1 µ 1 ) + + (X n µ n ), hvor vi anvender notationen (x 1, x,..., x n ) x i x1=µ 1,x =µ,...,x n=µ n, dvs. betegner den i te partielle afledede evalueret i punktet (µ 1, µ,..., µ n ). I praksis kender vi typisk ikke µ 1,..., µ n. I stedet anvender vi estimater, fx. gennemsnit af en eller flere målinger af µ i. 9/ 1/ Eksempel Fejlforplantningsloven For n = svarer den lineære approksimation til at tilnærme en funktion med et tangent-plan. g(x, y) = 3 y + 1 y3 1 3 y x Tilnærm med tangent-plan i punktet (,): g(, ) = 8/3 (, ) = x g(x, y) 8/3 (x ) (, ) = y 3 Vi kan approximere variansen på Y ( Var(Y ) Var g(µ 1, µ,..., µ n ) + (X 1 µ 1 ) + + ( = Var g(µ 1, µ,..., µ n ) µ 1 µ n + X }{{ n } konstant ( = Var ( = X X ) X n ) ( ) Var(X 1 ) + + Var(X n ) ) (X n µ n ) ) X n 11/ 1/
4 Den simple fejlforplantningslov Antag X 1, X,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ1,..., Var(X n )=σn. Lad Y = g(x 1, X,..., X n ), hvor g er en differentiabel funktion. Et tilnærmet udtryk for variansen for Var(Y )=σy er ( ) ( ) σy σ1 + + σn Bemærk: X i s bidrag til den samlede varians (for Y ) afhænger af 1. Variansen σ i for X i.. Hvor sensitiv Y er overfor ændringer i X i - målt ved X i Bemærk: For en lineær transformation Y = a + a 1 X 1 + a X a n X n gælder = a 1,..., = a n. I dette tilfælder giver ovenstående resultatet det samme som den sædvanlige variansregel for en linearkombination af stokastiske variabel. 13/ 1/ Fejlforplantning ved arealbestemmelse Fejlforplantning anvendt på (1) Vi analyserer arealudtrykket (1): T = 1 ab sin C. Jf. fejlforplantningsloven gælder der, A b c C a B Arealet T kan bestemmes på flere måder: T = 1 ab sin C (1) T = 1 ac sin B () T = 1 bc sin A (3) σ T ( T a ) σ a + De partielt afledte er: ( T b ) σ b + T a = 1 1 b sin C = ab sin C = T a a T b = 1 1 a sin C = ab sin C = T b b T C = 1 ab cos C 1 ω = 1 cos C ab sin C sin C Sidste omskrivning gælder idet tan x = sin x cos x ( T C ) σ C 1 ω = T cos C 1 sin C ω = 1 tan x = cos x sin x. T tan C 1, [ω = ω π ] 15/ 16/
5 Estimat af T Variansen σ T I et eksempel fra noterne er følgende oplysninger givet: a = m, b = 15.17m σ a = σ b = 1cm. C = gon Dvs. vi kan regne estimatet for T som σ C =.gon. T = 1 ab sin C = m 15.17m sin = 871.7m Variansen σt på estimatet T er fra forrige slide påvirket af σ a, σ b og σ C på følgende måde, ( ) T ( ) T ( ) T σt σa + σb a b + 1 σc tan C ω ( 871m ) 871m = (.1m) +( ) 871m (.1m) ) 1 +( (.gon) m 15.17m tan ω =.57m +.33m +.8m =.933m. Standard-afvigelsen er: σ T = σt =.95m. 17/ 18/ Eksempel - Extended edition Estimater af arealet T Antag nu at målene i trekanten er målt således: a b c A B C x Var( X) σ a 8 σ b 3 σ c 5 σ A σ B σ C 3 5 Fra tidligere kan arealet T beregnes på mindst tre måder (1)-(3). Hvis vi anvender gennemsnitsmålingerne fra forrige slide har vi: (1) T 1 = 1 ab sin C = sin = m () T = 1 ac sin B = sin = m (3) T 3 = 1 bc sin A = sin = m 19/ /
6 Vægte til estimat af T vha x Tidligere så vi hvordan σt blev bestemt for (1) med data fra noternes eksempel. Nedenfor bestemmes σt 1, σt og σt 3 : σ T 1 σ T σ T 3 ( ) ( ) ( tan 93.9 =.18185m. ( ) ( ) ( tan 6.95 =.16968m. ( ) ( ) ( tan 3.75 =.16m. ) 1. ω 3 ) 1. ω ) 1. ω Vægte til estimat af T vha x Vægtene i det vægtede gennemsnit x skal opfylde vægtrelationen, p 1 σ T 1 = p σ T = p 3 σ T 3. Fx. kan vi vælge p 1 = 1, hvilket medfører at p = σ T 1 σ T = = og p 3 = σ T 1 σ T 3 = =.8553 Således er p + = = 3.95 og estimatet af T, x = p 1 p + T 1 + p p + T + p 3 p + T 3 = = m 1/ / Konfidensinterval for T Varians af afhængige variable For at udregne konfidensinterval for T har vi brug for at kende variansen af X. Det er nemt hvis T 1, T og T 3 kan betragtes som realisationer af uafhængige stokastiske variable - men dette er ikke tilfældet! (hvorfor?) Vender tilbage til udregning af variansen i lektion 6. 6 Betragt X 1 og X som ikke antages at være uafhængige. Dette betyder at Var(X 1 + X ) bliver mere kompliceret. Lad E(X 1 ) = µ 1 og E(X ) = µ : Var(X 1 + X ) = E [[(X 1 + X ) (µ 1 + µ )] ] = E [[(X 1 µ 1 ) + (X µ )] ] = E [ (X 1 µ 1 ) + (X µ ) + (X 1 µ 1 )(X µ ) ] Middelværdien = E[(X 1 µ 1 ) ] + E[(X µ ) ] + E[(X 1 µ 1 )(X µ )] = Var(X 1 ) + Var(X ) + E[(X 1 µ 1 )(X µ )] E[(X 1 µ 1 )(X µ )] kaldes kovariansen mellem X 1 og X. 3/ /
7 Kovarians Hvis X 1 og X er uafhængige gælder E[(X 1 µ 1 )(X µ )] = E[X 1 µ 1 ]E[X µ ] = hvorved Var(X 1 + X ) = Var(X 1 ) + Var(X ) Definition: Kovarians Antag X 1 og X er to stokastiske variable med middelværdier hhv. µ 1 og µ. Kovariansen mellem X 1 og X er da defineret som Cov(X 1, X ) = E[(X 1 µ 1 )(X µ )]. Notation: Kovariansen mellem to stokastiske variable X 1 og X betegnes ofte σ 1. Egenskab: Kovarians og uafhængighed Hvis X 1 og X er uafhængige, så er Cov(X 1, X ) =. 5/ 6/ Fortolkning af kovarians Kovarians: Regneregler Kovariansen mellem a 1 X 1 og a X er Cov(a 1 X 1, a X ) = a 1 a Cov(X 1, X ). Kovarians > : (X 1 µ 1 ) og (X µ ) har overvejende samme fortegn. Kovarians < : (X 1 µ 1 ) og (X µ ) har overvejende modsat fortegn. Dvs. kovarians er et mål for om X 1 og X er positivt eller negativt associerede. 7 Det medfører at variansen for a 1 X 1 + a X er Var(a 1 X 1 + a X ) = Var(a 1 X 1 ) + Var(a X ) + Cov(a 1 X 1, a X ) = a 1Var(X 1 ) + a Var(X ) + a 1 a Cov(X 1, X ). Specialtilfælde: Var(aX) = Cov(aX, ax) = a a Cov(X, X) = a VarX Kovarians for summer: Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) 7/ 8/
8 Korrelation Antag Cov(X 1, X ) =. Så er kovarians mellem 3X 1 og X 1 gange så stor. Kovarians afhænger af skalering og er derfor ikke et velegnet mål for graden af afhængighed mellem to stokastiske variable - vi kan få vilkårlig stor kovarians ved blot at gange de stokastiske variable med store konstanter. Kovarians afhænger også af enheder. Kan virke underligt at måle afhængighed i f.eks. gon. Definition: Korrelation Antag X 1 og X er to stokastiske variable med varianser σ 1 and σ. Korrelation Corr(X 1, X ) mellem de stokastiske variable X 1 og X er defineret som Corr(X 1, X ) = Cov(X 1, X ) Var[X1 ]Var[X ]. Ofte skrives korrelation som ρ = Corr(X 1, X ). Med notationen Var[X i ] = σ i og Cov(X 1, X ) = σ 1 er korrelationen mellem X 1 og X ρ = σ 1 σ 1 σ. Hvis vi kender korrelation og varianserne har vi kovariansen som: σ 1 = σ 1 σ ρ. 9/ 3/ Korrelation: Egenskaber og Eksempler korrelation måler kovarians i forhold til varianser korrelation uafhængig af enheder 1 ρ 1 Mål for graden af lineær sammenhæng. ρ = 1 og ρ = 1 perfekt lineær sammenhæng. Uafhængighed ρ =. 8 Eksempler: ρ er korrelationen i populationen og r er den estimerede korrelation for de viste stikprøver ρ = 1 r = ρ =. r = ρ =.9 r = ρ = r = ρ = r = ρ = r = NB: de sidste (lidt patologiske) eksempler viser, at Cov(X 1, X ) = eller Corr(X 1, X ) = ikke medfører uafhængighed / 3/
9 Fejlforplantning: Afhængige målinger Eksempel: VarX 1 =, VarX = 3 ρ =.5 Var(X 1 + X ) = = 7.5 Dvs. positiv korrelation øger varians af sum. Med ρ =.5 fås Var(X 1 + X ) = =.55 Dvs. negativ korrelation mindsker varians af sum. Tidligere har vi set Y =g(x 1,X ) hvor g er en transformation af X 1 og X. En lineær approximation af Y omkring punktet (µ 1, µ ) er givet ved: Y = g(x 1, X ) g(µ 1, µ ) + (X 1 µ 1 ) + X (X µ ) Hvis X 1 og X er uafhængige har vi set, at ( ) ( ) Var(Y ) Var(X 1 ) + Var(X ) X Hvordan ser det ud, hvis X 1 og X er afhængige, dvs. når Cov(X 1, X )? 33/ 3/ Fejlforplantning - fortsat Variansen af afhængige variable Hvis Cov(X 1, X ) = σ 1 bliver variansen af Y : ( Var(Y ) Var g(µ 1, µ ) + (X 1 µ 1 ) + ) (X µ ) X = Var g(µ 1, µ ) µ 1 µ + X 1 + X X }{{ X } 1 X ( = Var = = ( konstant X 1 + ) X X ( ) ( σ1 + ) σ 1 + X ( X ) σ + ) σ + X Cov(X 1, X ) X σ 1 9 Varians for linearkombination af afhængige SV Antag X 1, X,..., X n er stokastiske variable, med varianser σ 1, σ,..., σ n. Antag desuden, at kovariansen mellem X i og X j er Cov(X i, X j ) = σ ij. Variansen for linearkombinationen er Var(a + a 1 X a n X n ) = a 1σ a nσ n + i j = n i=1 a i σ i + i<j a i a j σ ij a i a j σ ij Bemærk, at summen i<j = n 1 n i=1 j=i+1 betyder at vi lader i gennemløbe alle index 1,..., n og j skal hver gang være strengt større end i. 35/ 36/
10 i<j Variansen er altså Var(a + a 1 X a n X n ) = a 1σ a nσ n + i<j a i a j σ ij. Summen i<j svarer til de mørke celler nedenfor. Bemærk: σ ij = σ ji. i 1 3. n n 1 n j n n 1 n Vilkårlig transformation Er transformationen af Y = g(x 1,..., X n ) en vilkårlig differentiabel funktion laver vi som tidligere en lineær approximation af g omkring middelværdierne af X i erne (µ 1,..., µ n ), g(x 1,..., X n ) g(µ 1,..., µ n ) + (X 1 µ 1 ) + + (X n µ n ) Dette svarer til at hvor g(x 1,..., X n ) a + a 1 X a n X n, a = g(µ 1,..., µ n ) µ 1... µ n a i = i = 1,..., n X i 37/ 38/ Vi har altså hvor g(x 1,..., X n ) a + a 1 X a n X n, a = g(µ 1,..., µ n ) µ 1... µ n a i = i = 1,..., n X i Dvs. et tilnærmet udtryk for variansen, σy, af Y er n σy a i σi + a i a j σ ij i=1 i<j ( ) ( ) = σ1 + + σn + i<j X i X j σ ij 1 Eksempel: X a og X b betegner målinger af sidelængderne a og b (kateterne) i en retvinklet trekant. Et estimat for hypotenusen c er da x a + x b Antag X a og X b har samme spredning.5 og korrelation ρ =.. Med c = a + b fås c a = a a + b c b = b a + b Dermed fås en tilnærmet spredning på estimatet af c som ( ) ( ) x a.5 x + b x a x b x a + x b x a + x b x a + x b x a + x b Med x a = 3.1 og x b =.5 er estimatet for c 5.6 og variansen for estimatet af c bliver / Hvis ρ = bliver variansen kun.5. /
Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 9 - Repetition - Fejlforplantning. Kovariansmatrix. Kovariansmatrix
Fejlforplntning Lndmålingens fejlteori Lektion 9 Repetition - Fejlforplntning Ksper K Berthelsen - kk@mthudk http://peoplemthudk/ kk/undervisning/lf11 Institut for Mtemtiske Fg Alorg Universitet Lndmåling
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.3 April 2016 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.2
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.2 April 2014 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.1
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.1 April 2013 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereGeometrisk nivellement. Landmålingens fejlteori - Lektion 7 - Repetition - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement. Modellen.
Landmålingen fejlteori Lektion 7 Repetition Fejlforplantning ved geometrik nivellement h t f t f t f t 4 f 4 t n f n - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervining/lf Intitut for Matematike Fag
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006
Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs meregrupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mere1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ
Indhold 1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) 2 1.1 Variation indenfor og mellem grupper.......................... 2 1.2 F-test for ingen
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereSimpel Lineær Regression
Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mere