Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
|
|
- Daniel Johannsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36
2 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er kendt estimeres σ 2 ved Ŝ 2 = 1 n Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved S 2 = 1 n 1 n (X i µ) 2 i=1 n (X i X) 2 NB: begge estimater er centrale (middelværdirette) men Ŝ2 har mindst varians (mest præcist). i=1 2/36
3 Dobbeltmålinger: X i1 og X i2 uafhængige middelværdi µ i og varians σ 2. Da har differens Y i = X i1 X i2 kendt middelværdi nul og varians σ 2 Y = 2σ2. σ 2 Y kan da estimeres ved Ŝ 2 Y = 1 n n i=1 Y 2 i og σ 2 estimeres ved Ŝ 2 Y/2 3/36
4 Linearisering Antag X har middelværdi 10 og spredning 0.1. Lad Y = log(x) (naturlig logaritme). Linearisering af log( ): Dermed log(x) log(10) (x 10) = 1 10 x+log(10) 1 EY log(10) = VarY ( ) = /36
5 Fortolkning af afledet Hvis Y = h(x) måler h (µ) hvor sensitiv Y er overfor ændringer i X omkring µ (hvor meget giver en ændring i X anledning til at Y ændres). Derfor giver det god mening at VarY (h (µ)) 2 VarX 5/36
6 Vægte motiverende eksempel Højdeforskellen mellem punkterne P 1 og P 2 er opmålt ved et geometrisk nivellement over to forskellige strækninger l 1 > l 2. l 1 h 1 P 2 P 1 l2 h 2 De to estimater h 1 og h 2 er realisationer af stokastiske variable H 1 og H 2 med varianser l 1 σ 2 k og l 2σ 2 k. Kan vi kombinere de to estimater h 1 og h 2 for at opnå et bedre estimat under hensyntagen til, at der er større usikkerhed for H 2 end for H 1? En mulighed: h = (h 1 +h 2 )/2 - men det kan gøres bedre! 6/36
7 Vægte Antag X 1,...,X n er uafhængige stokastiske variable med ens middelværdi µ men forskellige varianser σ 2 1,...,σ 2 n. F.eks. målinger med instrumenter af variende kvalitet eller nogle X i kunne repræsentere gennemsnit af gentagne målinger. Hvert X i tildeles en vægt p i > 0 som afspejler målingens kvalitet (stort p i svarer til god måling). Vi estimerer da µ ved det vægtede gennemsnit Definition: Vægtet gennemsnit For observationer X 1,...,X n med vægte p 1 > 0,...,p n > 0 er det vægtede gennemsnit X = p 1 n i=1 p X i p n n i=1 p ix n = 1 n i=1 p i(p 1 X 1 + +p n X n ). 7/36
8 resulterende vægte w i = p i n l=1 p l summer sammen til en: n w i = 1 i=1 8/36
9 Centralitet af vægtet gennemsnit Det vægtede gennemsnit X = p 1 n i=1 p X i er et centralt estimat af µ, dvs. p n n i=1 p ix n = E( X ) = µ for et hvilket som helst valg af vægte p 1 > 0,...,p n > 0. 1 n i=1 p i(p 1 X 1 + +p n X n ) 9/36
10 Optimale vægte Der er uendelig mange mulige valg af vægte. Hvad er det bedste valg? Bedst betyder variansen Var X mindst mulig! Sætning: Optimale vægte Variansen Var X er minimal hvis vægtrelationen p 1 σ1 2 = p 2 σ2 2 = = p n σn. 2 er opfyldt. 10/36
11 Vægtrelationen Antag vægtrelationen er opfyldt: p 1 σ 2 1 = p 2 σ 2 2 = = p n σ 2 n. Lad σ0 2 betegne den fælles værdi af p i σi 2 observation med vægt p 0 = 1). (svarer til varians for Da ser vi p i = σ2 0 σ 2 i Dvs. vi skal simpelthen vælge vægtene så de er omvendt proportionale med varianserne! 11/36
12 Vægtrelationen: Eksempel Antag variansen på første måling er dobbelt så stor som på den anden (σ 2 1 = 2σ 2 2). Et valg af vægte, der opfylder vægtrelationen, er p 1 = 1 og p 2 = 2 (σ 2 0 = 2σ 2 ), idet p 1 σ 2 1 = p 2 σ σ 2 2 = 2σ 2 2 Der er uendelig mange lige gode valg af vægte!! Et andet valg er p 1 = 1 2 og p 2 = 1 (σ 2 0 = σ 2 2). Bemærk: I eksemplet er vægten på den bedste måling dobbelt så stor som vægten på den dårlige måling. Begge valg af vægte giver samme X : p 1 /(p 1 +p 2 ) = 1/(1+2) = (1/2)/(1/2+1) = 1/3 12/36
13 Alle vægte der opfylder vægtrelationen giver samme resulterende vægte og dermed samme X. Dermed p i = σ2 0 σ 2 i w i = p i n l=1 p l = σ 2 0 σ 2 i n l=1 σ 2 0 σ 2 l = 1 σ 2 i n l=1 1 σ 2 l = 1 n l=1 σ 2 i σ 2 l Dvs. i sidste ende afhænger X ikke af σ 2 0. Med et andet sæt vægte p i = σ 2 0/σ 2 i fås nøjagtig samme w i! 13/36
14 Variansen for det vægtede gennemsnit Sætning: Variansen af vægtet gennemsnit Antag vægtrelationen er opfyldt, dvs. p 1 σ 2 1 = = p n σ 2 n = σ 2 0. Da gælder Var( X ) = σ0 2 n i=1 p. i 14/36
15 Eksempel X 1, X 2 og X 3 har fælles middelværdi µ og varianser hhv. 3,4,1. Et optimalt sæt af vægte er p 1 = 1/3, p 2 = 1/4 og p 3 = 1. Antag x 1 = 5, x 2 = 5.7 og x 3 = 4.9 er observeret. Da er x = Endvidere er Var X 1 = = /36
16 Estimat af σ 2 0 Estimat af σ0 2 Som estimat af σ0 2 anvendes S0: 2 n S0 2 i=1 = p i(x i X ) 2 n 1 n i=1 = p ixi 2 ( X ) 2 n n 1 i=1 p i. Der gælder, at S 2 0 er et centralt estimat for σ 2 0: ES 2 0 = σ /36
17 Estimat af Var( X ) Vi har, at s 2 0 er et centralt estimat for σ 2 0. Variansen for det vægtede gennemsnit er Var( X ) = σ 2 0 n i=1 p i Et centralt estimat for variansen af det vægtede gennemsnit er derfor s 2 0 n i=1 p i 17/36
18 Eksempel: Geometrisk nivellement En højdeforskel er nivelleret over n strækninger med samme kilometerspredning σ k. Variansen over en længde l er fra tidligere givet ved σ 2 k l. Højdeforskel h Længde l Varians på h over l h 1 l 1 σ 2 1 = σ 2 k l 1 h 2 l 2 σ2 2 = σk 2l 2... h n l n σ 2 n = σ 2 k l n Forskellige varianser pga. forskellige strækninger (l i l j ). 18/36
19 Eksempel: Geometrisk nivellement valg af vægte Vægtrelationen er opfyldt når σ 2 0 = p 1 σ 2 1 = = p n σ 2 n Indsættes udtrykket for σi 2 = l iσk 2 har vi: Heraf fremgår det at hvis p i = l 1 i σ 2 0 = p 1 σ 2 kl 1 = = p n σ 2 kl n er ligheden opfyldt: σ 2 0 = l 1 1 σ2 kl 1 = = l 1 n σ 2 kl n = σ 2 k = = σ 2 k. Dvs. vægte kan vælges til p i = (l i ) 1 (reciprokke længde). Bemærk: her svarer σ 2 0 til kilometervariansen σ 2 k. Hvis σ 2 k er ukendt kan den estimeres vha. S2 0! 19/36
20 Eksempel Højdeforskellen mellem punkterne P 1 og P 2 er opmålt ved et geometrisk nivellement over to forskellige strækninger. l 1 h 1 P 2 P 1 l2 h 2 Data: h 1 = 347mm, l 1 = 671m h 2 = 356mm, l 2 = 853m Estimat af højdeforskel (vægtet gennemsnit): x = 1/671 1/671+1/ / ,96mm 1/671+1/853 20/36
21 Antag yderligere at kilometerspredning σ k = 3mm/ km. Varians på estimatet: Var X = 3 2 /1000 1/671+1/853 = Til sammenligning er varianserne for X 1 og X 2 henholdsvis og NB: vi omregner kilometervarians 3 2 mm 2 /km til metervarians 3 2 /1000 mm 2 /m da længderne er angivet i m. 21/36
22 Eksempel - polygonvinkler Vi måler vinklerne i punkterne 1-4. Alle vinkler er målt med samme varians σv. 2 Lad σm,i 2 være variansen af middelsatsen i punkt i. Punkt Antal satser σ 2 m,i 1 2 σ 2 m,1 = σ2 v σ 2 m,2 = σ2 v σm,3 2 = σ2 v σm,4 2 = σ2 v /36
23 Eksempel - fortsat Ifølge vægtrelationen skal p i σm,i 2 være ens for alle i, Jf. udtrykkene fra forrige slide p 1 σ 2 m,1 = p 2 σ 2 m,2 = p 3 σ 2 m,3 = p 4 σ 2 m,4. σv 2 p 1 2 = p σv = p σv = p σv Således kan vægtene vælges lig antal satser for hvert punkt: Med disse vægte gælder σ 2 0 = σ 2 v. p 1 = 2 p 2 = 3 p 3 = 4 p 4 = 6 Igen kan σ 2 v om fornødent estimeres vha. S /36
24 Fordeling af slutfejl Betragt en situation, hvor vi ved, at summen af vores observationer skal være lig en kendt værdi x 0. Dette kunne eksempelvis være: x 0 = 200 gon, hvor vores målinger er vinkler i en trekant. x 0 = 0 mm, hvor vi nivellerer i et lukket net, dvs. slut- og startpunkt er det samme.... Slutfejlen er afvigelsen mellem x 0 og den faktiske sum af observationer. 24/36
25 Nivellement bestemmelse af kote Vi ønsker at beregne koten µ til punktet P med højdeforskelle h 1 til P 1 og h 2 til P 2. Længderne fra P til de to punkter P 1 og P 2 er henholdvis l 1 og l 2. P 2 P 1 l 1 h 1 P µ l 2 h 2 µ 2 µ 1 Punkterne P 1 og P 2 har kendte koter, hhv. µ 1 og µ 2. To bud på koten i P: µ 1 +h 1 og µ 2 h 2. 25/36
26 Model P 2 P 1 l 1 h 1 P µ l 2 h 2 µ 2 µ 1 X 1 = µ 1 +H 1 og X 2 = µ 2 H 2 er uafhængige stokastiske variable med E(X 1 ) = E(X 2 ) = µ hvor H 1 og H 2 er de stokastiske variable svarende til h 1 og h 2. Fra før har vi, at Var(X 1 ) = l 1 σ 2 k og Var(X 2) = l 2 σ 2 k. 26/36
27 Estimat af µ Til at estimere µ anvendes det vægtede gennemsnit x idet varianserne på højdemålingerne ikke nødvendigvis er ens, x = p 1 p 1 +p 2 (µ 1 +h 1 )+ p 2 p 1 +p 2 (µ 2 h 2 ), hvor vægtene p 1 og p 2 opfylder vægtrelationen p 1 l 1 σ 2 k = p 2l 2 σ 2 k. Dvs. de reciprokke længder kan anvendes som vægte, Estimatet for µ er altså givet ved: x = l 1 1 l 1 1 +l 1 2 p 1 = l 1 1 og p 2 = l 1 2. (µ 1 +h 1 )+ l 1 2 l 1 1 +l 1 2 (µ 2 h 2 ). 27/36
28 Eksempel Højdeforskellen mellem punkterne P 1 og P 2 er opmålt ved et geometrisk nivellement over to forskellige strækninger. P 2 P 1 µ 1 l 1 h 1 P l 2 h 2 µ 2 Data: µ 1 = 7431mm, h 1 = 247mm, l 1 = 671m µ 2 = 7828mm, h 2 = 156mm, l 2 = 853m Estimat af koten i punktet P: x = 1/671 1/671+1/853 ( )+ 1/853 ( ) 7675,36mm 1/671+1/853 28/36
29 Estimat af µ - en omskrivning Vi kan omskrive udtrykket for x således: x = l 1 1 l 1 1 +l 1 2 (µ 1 +h 1 )+ l 1 2 l 1 1 +l 1 2 (µ 2 h 2 ) = 1 l 1 l 1 l 2 1 l (µ 1 +h 1 )+ l 2 l 1 l 2 1 l 2 l 1 l 2 1 l (µ 2 h 2 ) l 2 l 1 l 2 = l 2 l 1 +l 2 (µ 1 +h 1 )+ l 1 l 1 +l 2 (µ 2 h 2 ) 29/36
30 Slutfejlen r På grund af målefejl er h 1 +h 2 µ 2 µ 1. Derfor indføres slutfejlen r r = µ 2 µ 1 (h 1 +h 2 ) µ 2 h 2 = µ 1 +h 1 +r. Indsættes dette i udtrykket for x får vi x = = l 2 l 2 +l 1 (µ 1 +h 1 )+ l 1 l 2 +l 1 (µ 2 h 2 ) l 2 l 2 +l 1 (µ 1 +h 1 )+ l 1 l 2 +l 1 (µ 1 +h 1 +r) = (µ 1 +h 1 )+ l 1 l 2 +l 1 r Slutfejlen på estimatet x af koten µ skal under de anvendte vægte (reciprokke længdemål) fordeles proportionalt med vejlængden. 30/36
31 Eksempel fortsat P 2 l 2 µ 2 P 1 l 1 h 1 P h 2 Data: µ 1 µ 1 = 7431mm, h 1 = 247mm, l 1 = 671m µ 2 = 7828mm, h 2 = 156mm, l 2 = 853m Slutfejl: µ 2 µ 1 = = 397, h 1 +h 2 = = 403mm Slutfejl r n = = 6mm Estimat af koten i punktet P: (µ 1 +h 1 )+ l r n = ( 6) = ,64 l 2 +l Højdeforskelen h 1 skal altså nedkorrigeres 2,64mm. 31/36
32 Slutfejl af vinkelmålinger i trekant β α Betragt trekanten med sande vinkler α, β og γ. Dvs α+β+γ = 200 gon. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med E(X α ) = α E(X β ) = β E(X γ ) = γ γ og Var(X α ) = Var(X β ) = Var(X γ ) = σ 2 32/36
33 Estimat af α X α er en direkte observation af α. Y α = 200 X β X γ er en indirekte observation af α: EY α = 200 EX β EX γ = α VarY α = 2σ 2 Idet varianserne for de to observationer X α og Y α er forskellige anvendes vægtet gennemsnit med p 1 = 2 og p 2 = 1 (da variansen på Y α to gange varians på X α ). Dvs. α estimeres ved x = 2 3 x α y α = 2 3 x α (200 x β x γ ) 33/36
34 Slutfejlen r v på vinkelsummen Som i foregående eksempel er summen af x α, x β og x γ ikke 200 pga. uundgålige målefejl. Derfor indføres slutfejl r v r v = 200 (x α +x β +x γ ) 200 x β x γ = x α +r v, som indsættes i udtrykke for x, x = 2 3 x α (200 x β x γ ) = 2 3 x α (x α +r v ) = x α r v. Dvs. slutfejlen fordeles ligeligt på alle vinkler når vinklerne er målt med samme varians (NB ikke tilfældet i eksamensopgave B). 34/36
35 Eksempel Slutfejl: Estimat af α: x α = 91 x β = 28 x γ = 87 r v = = 6 x α r v = 91 2 = 89 Antag spredningen på vinkelmålingerne er σ = 0.1. Da er variansen på estimatet (med σ 2 0 = 2σ 2 ) Var X = 2σ2 3 = 2 3 σ2 og spredningen på estimatet er 2 3 σ = 0.816σ 35/36
Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereGeometrisk nivellement. Landmålingens fejlteori - Lektion 7 - Repetition - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement. Modellen.
Landmålingen fejlteori Lektion 7 Repetition Fejlforplantning ved geometrik nivellement h t f t f t f t 4 f 4 t n f n - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervining/lf Intitut for Matematike Fag
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereVægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen
Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereAntag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.
Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1
Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006
Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereSimpel Lineær Regression: Model
Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Specifikation og dataproblemer 2. maj 2007 KM2: F22 1 Program Specifikation og dataproblemer, fortsat (Wooldridge kap. 9): Betydning af målefejl Dataudvælgelse: Manglende observationer
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.3 April 2016 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereSimpel Lineær Regression
Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereProgram. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12
Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereBasal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november 2008 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 46 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs meregrupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereOpgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 6. november 2007 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 41 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mere