Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
|
|
- Morten Andersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil i det følgende gennemgå fem tilgnge til numeriske pproksimtion f bestemte integrler, også kldet numerisk integrtion. Numerisk integrtion er typisk f interesse i to tilfælde, nemlig når vi ikke kn finde en stmfunktion til integrnten, eller når vi ikke kender et nlytisk funktionsudtryk, men kun kender funktionsværdien i et begrænset ntl punkter. 1. Midtpunktsreglen Den første metode, vi vil se på, er nturligvis også den mest primitive. Antg, t vi er interesseret i en numerisk løsning f f(x) dx. Metoden går helt simpelt ud på t dele intervllet I = [, b], der integreres over, op i n delintervller I i = [, x i ], i = 1,..., n f længde h = b og så pproksimere integrlet over de enkelte n delintervller I i ved t gnge intervllængden I i = h med funktionsværdien f( + h ) f integrnten midt i intervllet I n. Her er x =, x n = b og x i = + h for i = 1,..., n. Det smlede integrl er så pproksimeret f summen f pproksimtionerne over disse delintervller, og vi får ltså f(x) dx h f( + h b ), hvor h = n. (1) Midtpunktsreglen kn tolkes på følgende måde. Funktionen p f( + h ) kn opfttes som en nulgrdspolynomiumspproksimtion f f. Så er x i p dx = hf( + h ), og (1) er ltså summen f integrlerne over stykkevise nulgrdspolynomiumspproksimtioner f f. 1
2 1. Trpezreglen I smme ånd som ovenfor kn vi finde en førstegrdspolynomiumspproksimtion p 1 f f på I i, hvis vi i stedet for midtpunktet f( + h) kender værdierne f(x i 1) og f(x i ) f f i endepunkterne f I n : p 1 (x) = f( ) + f() f(x i ) (x ) x i (her fundet vh. Newtons divideret differens-metode med x = og x 1 = x i ), som integrerer til xi p 1 (x) dx = h (f() + f(x i )), hvor h = x i. Trpezreglen er ltså følgende pproksimtion: f(x) dx h ( f(xi 1 ) + f(x i ) ) = h ( ) n 1 f() + f(b) + h f(x i ), () hvor sidste omskrivning følger f en simpel omorgnisering. Det kn vises, t fejlen i denne pproksimtion er ε t n = b 1 h f (x I ), () for et pssende vlg f x I I = [, b], hvor vi understreger, t n et intet hr med polynomiumsgrden t gøre, men henviser til ntllet f delintervller I i. Som for polynomiumsinterpoltionerne kn vi ltså finde øvre og nedre grænser for vores fejl ved t finde mksimum og minimum f f på I. Er det f den ene eller nden grund ikke muligt t finde sådnne grænser, kn mn, hvis n er et lige tl, benytte følgende formel til t estimere fejlen: 1.4 Simpsons regel ε t n 1 (J n t J t n ), hvor Jn t = h ( ) n 1 f() + f(b) + h f(x i ). (4) Næste nturlige skridt er t pproksimere f på I i med et ndengrdspolynomium p gennem f( ), f( + h) og f(x i). Den ihærdige læser kn selv finde p (med en vlgfri metode fr lektion 1) og integrere ndengrdspolynomiet. Den dovne kn ånde lettet op, læne sig tilbge, og få det hele serveret: xi p (x) dx = h ( f(xi 1 ) + 4f( + h ) + f(x i) ), hvor h = x i. Anvendes dette på lle delintervller, kldes resulttet Simpsons regel og ser ud som følger: f(x) dx h ( f(xi 1 ) + 4f( + h ) + f(x i) ) = h ( f(x ) + f(x n ) ) + h f(x i h) + h n 1 f(x i ). Det bemærkes, t bogen ikke er konsekvent med, om den tæller målepunkter (ltså steder, hvor f skl kendes) eller delintervller, og t deres formel f den grund ser lidt nderledes ud.
3 1. Præcisionsgrd Inden vi diskuterer fejlvurderinger i forbindelse med Simpsons regel, vil vi indføre begrebet præcisionsgrd f en metode til numerisk integrtion. For t en metode kn klde sig en numerisk integrtionsmetode, skl den kunne bestemme integrlet f en konstnt funktion også kendt som et nultegrdspolynomium uden fejl. Vi kn derfor for en given numerisk integrtionsmetode lde N betegne det største hele tl, sådn t metoden nvendt på et vilkårligt N tegrdspolynomium over et vilkårligt intervl giver det rigtige resultt. Dette tl kldes præcisionsgrden. Det er nemt t se, t midtpunktsreglen hr præcisionsgrd (mn kn kun være sikker på t få det rigtige resultt, hvis integrnten er et nultegrdspolynomium) og t trpezreglen hr præcisionsgrd 1 (trpezreglen giver det rigtige integrl for lle førstegrdspolynomier, men ikke for lle ndengrdspolynomier). Det er oplgt t gætte på, t Simpsons regel hr præcisionsgrd, og det er d også sndt, t ndengrdspolynomier integreres korrekt med Simpsons regel. Ld nu f være et tredjegrdspolynomium. Vi kn skrive f som f = p + g, hvor p er ndengrdsinterpoltionspolynomiet gennem f( ), f( + h) og f(x i) mens g er tredjegrdspolynomiet gennem et vilkårligt fjerde punkt x (, x i ), x + h, fr Newtons divideret differens-metode, g (x) = f[, + h, x i, x ](x ) ( x ( + h )) (x x i ). Det er nu nemt t vise, t x i g (x) dx = unset hvd f[, + h, x i, x ] er prøv evt. selv t betrgte det konkrete tilfælde = 1, x i = 1 og h =. Dette betyder, t også tredjegrdspolynomier ltid integreres korrekt med Simpsons regel, og præcisionsgrden er derfor. At Simpsons regel vh. tre målepunkter pr. delintervl og ndengrdspolynomiumsinterpoltion kn give korrekt integrtion f tredjegrdspolynomier, hænger i høj grd på, hvor de tre målepunkter er plceret i delintervllet i forhold til hinnden. Vi vil om lidt se på en metode kldet Guss-kvdrtur, som netop går ud på t optimere disse forhold. Inden d skl vi dog lige vende tilbge til et hængeprti. 1. Fejlvurderinger i Simpsons regel Ligesom præcisionsgrden i Simpsons regel ikke er men, er fejlen ved brug f Simpsons regel ikke proportionl med f (x I ) for et pssende vlg f x I [, b], men derimod ε S (b ) n = 88 h4 f (4) (x I ), () hvor n et indikerer ntllet f delintervller, som på højresiden er indkodet i værdien f h (husk igen bogens lidt nderledes nottion). Vi kn igen finde øvre og nedre grænser for fejlen ved t finde mksimum og minimum f f (4) på I = [, b]. Skulle f (4) f en eller nden grund være en problemtisk størrelse, kn mn, hvis n er et lige tl, benytte sig f følgende estimt: ε S n 1 1 (J n S J S n ),
4 hvor Jn S = h ( f(x ) + f(x n ) ) + h n 1 f(x i ) + h f(x i h) er pproksimtionen f integrlet fr Simpsons regel med n delintervller. Simpsons regel er endvidere numerisk stbil med hensyn til frunding i den forstnd, t frundingsfejl i værdierne f(x ), f(x i ) og f(x i h ), i = 1,..., n er begrænset f (b )u, hvor u er frundingsenheden, og fuldstændig ufhængig f n. 1. Guss-kvdrtur Guss-kvdrtur er som nævnt en metode, som går ud på t udnytte t præcisionsgrden fhænger f plceringen f målepunkterne. Mere specifikt foretges pproksimtionen ved f(x) dx b ( b w i f z i + + b ), for nogle særlige vægte w i og punkter z i. For n mellem og kn vægtene og punkterne flæses i følgende tbel. Antl målepunkter n punkter z i vægte w i præcisionsgrd N ± 1 4 ± ± ± ± 1 ± Det ses, t præcisionsgrden i ovenstående tbel er n 1. Dette gælder også for n > og det kn vises, t det er den højst opnåelige præcisionsgrd. Det er klrt, t vi kun kn vente, t Gusskvdrtur giver gode resultter, såfremt den pågældende integrnt ligner et polynomium. 1.8 Adptiv numerisk integrtion En metode, som tger mere hensyn til den konkrete funktion, er dptiv numerisk integrtion, som er en slgs overbygning på metoder, der som trpezreglen og Simpsons regel bserer sig på 4
5 inddeling i delintervller og som tillder estimtion f fejlen. Kernen i metoden er ltså eksempelvis Simpsons regel. Antg, t vi vil integrere en funktion f på intervllet I = [, b] og t vi ccepterer én eller nden grd f fejl, f.eks. t tolerncen T > skl være større end den bsolutte fejl ε. Vi lder J n ([c, d]) og ε n ([c, d]) betegne hhv. pproksimtionen f integrlet og fejlen på pproksimtionen over [c, d] når [c, d] er inddelt i n delintervller. Hvis vi eksempelvis nvender Simpsons regel på f over intervllet [c, d] med n = 1 og n =, så kn vi estimere ε ([c, d]) = ε S ([c, d]). Hvis den smlede bsolutte fejl skl være mindre end T, så er det tilstrækkeligt, t fejlen på hvert delintervl opfylder ε ([c, d]) b d c < T eller ε ([c, d]) < d c b T. Hvis et estimt f ε ([c, d]) er større end d c T, kn vi forbedre vores pproksimtion f integrlet b på dette delintervl ved t udregne J 4 ([c, d]) = J ([c, c+d]) + J ([ c+d, d]). Det skulle være klrt, t denne process kn fortsættes. Når vi skl udregne et integrl, begynder vi ltså med c = og d = b, udregner J 1 ([c, d]) og J ([c, d]), estimerer ε ([c, d]), og ersttter efter behov (dvs. hvis ε ([c, d]) d c T ) hhv. c og d b med c+d og gentger processen med disse vlg f c og d. Forhåbentlig opnås efter et endeligt ntl skridt med pssende hlveringer f delintervllerne en tilps fin inddeling, til t ε ([c, d]) < d ct b for lle relevnte pr f c og d, og pproksimtionen f integrlet med en tolernce mindre end T er så summen f J ([c, d]) erne for disse pr. 1.9 Eksempler Midtpunktsreglen skulle gerne være ligetil, og d den smtidig generelt er noget mindre præcis end trpezreglen, som kun kræver 1 ekstr målepunkt for smme inddeling, vil vi ikke se nærmere på midtpunktsreglen. I stedet vil vi gennemgå et eksempel på nvendelsen f trpezreglen, Simpsons regel og Guss-kvdrtur. Eksempel 1.1 (Exmple 1,,, 4 og i bogen side 8, 8, 8, 81 og 84). Vi vil numerisk beregne integrlet 1 e x dx og vurdere fejlen. Vi begynder med trpezreglen. Skriv f(x) = e x og ntg, t vi kender f(x i ) = e x i for xi = i, i =,..., 1. Vi kn d nvende trpezreglen med 1 n = 1 hvilket svrer til h =.1 og inddelingen [, 1] = 1 [, x i ]. Vi får d vh. () 1 e x dx J t 1 = h ( f(x ) + f(x n ) ) + h 9 f(x i ) = =.411, hvor J t 1 indikerer, t det er trpezreglen med n = 1. Hvis vi i smme ånd skriver ε t 1 for fejlen, så kn vi finde øvre og nedre grænser for fejlen vh. (): ε t 1 = f (x I ) hvor x I [, 1], så 1 1 mx x [,1] f (x) ε t min x [,1] f (x).
6 D f (x) = (x 1)e x og f (x) for x [, 1] er så mx f (x) = f (1) =.9 og min f (x) = f () =, x [,1] x [,1] Vi kn også estimere ε t 1 vh. (4): så.14 ε t 1.1. J t = =.448 ε t 1 1 (J t 1 J t ) = Denne fejl kn vises t være korrekt med to betydende cifre: ε t 1 = Dette vr trpezreglen. Men hvd med Simpsons regel? Med de smme kendte målepunkter x i kn vi kun klre n =, idet Simpsons regel også bruger et målepunkt midtvejs i delintervllerne. Vi får derfor h =. og: =.48. Ud fr ovenstående er det klrt, t fejlen her er mindre, selvom vi tog udgngspunkt i præcis de smme tl. Benytter vi () til t vurdere fejlen ε S fås. = mx x [,1] f (4) (x) ε S min x [,1] f (4) (x) =.. D n = er ulige, kn vi ikke benytte ε S n 1 (J 1 n J n ) til t estimere fejlen. Til gengæld kunne vi bruge () til t finde n, så vi eksempelvis hr rigtige cifre efter kommet ved t indsætte h = b ε S n b 88 ( b n ) 4 mx x [,b] f (4) (x) = 1 88n 4 1 1, og dermed n = 1, idet vi bliver nødt til t runde op. Hvis f (4) vrierer meget på intervllet [, b] kn denne vurdering dog være lt for streng, forstået på den måde, t mn kunne klre sig med et mindre n. Til sidst vil vi pproksimere integrlet vh. Guss-kvdrtur. Dette er dog ikke problemfrit, d vi nu ikke længere kn bruge vores llerede kendte x i er som målepunkter. Vi dispenserer for ntgelsen om, t vi kun kender disse, og ntger i stedet, t vi selv må bestemme, hvor vi evluerer funktionen. Hvis vi vælger n =, så skl vi ltså kende f( 1), f( 1 (1 /) ) og f ( 1 (1 + /) ) : 1 e x dx 1 ( 9 f( 1 (1 )) f(1) + 9 f( 1 (1 ))) =.481. De få målepunkter tget i betrgtning, er der her tle om en ret imponerende præcision: fejlen er.1. Hvde vi i Simpsons regel forsøgt os med n =, hvde vi fået J S =.418, og trpezreglen ville hve været endnu værre. n :
7 Eksempel 1. (Exmple i bogen side 8). Vi vil nu numerisk integrere f(x) = 1 4 πx4 cos( 1 πx) fr 4 til 1 vh. dptiv integrtion og Simpsons regel og en tolernce på T =.. Først udregnes J 1 ([, ]) =.448 og J ([, ]) = J 1 ([, 1]) + J 1 ([1, ]) = = Vi kn så estimere fejlen ε ([, ]) 1 ( ) = Altså skl vi splitte [, ] i [, 1 ] = [, 1] og [, ] = [1, ]. Vi hr så J 1([, 1]) =.194 og J 1 ([1, ]) = 1.19 og finder J ([, 1]) = J 1 ([, 1]) + J 1([ 1, 1]) =.11 og J ([1, ]) = J 1 ([1, ]) + J 1([, ]) = = 1.1. Vi kn nu estimere ε ([, 1]) 1 (J 1 ([, 1]) J 1 ([, 1])) =.1 < 1., så [, 1] mener vi ltså t hve pproksimeret tilstrækkeligt godt, mens ε ([1, ]) 1 1 (J ([1, ]) J 1 ([1, ])) = Vi splitter derfor [1, ] i [1, ] og [, ]. Så beregnes J ([1, ]) =.889 og J ([, ]) =.9 smt ε ([1, ]) =.48 < 1. og ε ([, ]) =.8 <. og vi er ltså tilfredse med lle delintervller. Vi lægger smmen og får 1 4 πx4 cos( 1πx) dx J 4 ([, 1]) + J ([1, ]) + J ([ ]) = = Numerisk differentition Vi hr llerede i forbindelse med finite difference-metoden set på forskellige numeriske pproksimtioner f differentilkvotienter vh. differenskvotienter. Problemet med differentilkvotienter er, t de er defineret som en grænseværdi f en differenskvotient, hvor både tæller og nævner går mod. De er derfor ret følsomme overfor upræcisheder, idet deres værdi er forholdet mellem hstigheden, hvormed tæller og nævner går mod nul. Alterntivt til differenskvotienterne kn differentilkvotienten pproksimeres ved t pproksimere den pågældende funktion f med et polynomium p n vh. metoderne fr sidste lektion og bruge følgende: f (x) p n(x). Hvis n = og under ntgelsen x 1 x = x x 1 = h giver dette: f 1 h ( f + 4f 1 f ), f 1 1 h ( f + f ) f 1 h (f 4f 1 + f ) hvor f i = f (x i ) og f i = f(x i ). Med flere målepunkter stiger grden f polynomiet, og eksempelvis fås f = 1 1h (f 8f 1 + 8f f 4 ), igen under ntgelsen x i = h, f i = f(x i ) og f i = f (x i ).
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mere(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1
SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereANALYSE 1, 2013, Uge 2
ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mereSpil- og beslutningsteori
Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12
Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi
Læs mereNoget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2
Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej 7 9220 Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereEksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =
Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mere( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger
Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereIntegrationsteknikker
Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mereOm Riemann-integralet. Noter til Matematik 1
Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereDifferentialregning. integralregning
Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs merek(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus
Læs mereUGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC
UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele
Læs mereDifferential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.
Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker
INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER...
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereDu kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.
Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereArctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel
Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereFUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression
FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs mereMere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)
Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.
Læs mereMatematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010
Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mereIntegralregning. Erik Vestergaard
Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereMat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2
Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................
Læs mereMichel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereKap. 3: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Differential- og integralregning.
- 94 - Kp. 3: Logritme-, eksponentil- og potensfunktioner. Differentil- og integrlregning. 3.. Differentition f logritmefunktioner. Sætning 3... ) Enhver logritmefunktion er differentibel ) Den nturlige
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereMatematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011
Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................
Læs mereOm Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.
Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske
Læs mere- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske
- 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs merePlanintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =
Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling
Læs mereStamfunktion & integral
PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mere9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning
9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et stykke f en
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs merehvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.
!#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet
Læs mereFor så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,
15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget
Læs mereFremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen
Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereTrigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v
Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...
Læs mere114 Matematiske Horisonter
114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereFælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.
5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mere1 Plan og rumintegraler
1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f
Læs mereTips. til træningsambassadørerne
Tips til træningsmbssdørerne NÅR I TRÆNER GENERELT 1. Brug et motiverende sprog også selvom du fktisk er lidt træt. Du kn for eksempel sige: Jeg er mx klr til træning hvd med dig? Er du frisk?! 2. Din
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereElementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet
Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning
Læs mereKEGLESNIT OG BANEKURVER
KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger
Læs mere