Diverse. Ib Michelsen

Transkript

1 Diverse Ib Michelsen Ikst 2008

2 Forsidebilledet Version: 0.02 ( ) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider)

3 Indholdsfortegnelse Regning med procent og indeks... 5 Indledning... 7 Procent... 7 Beregn lønforhøjelsen... 8 Beregn rbtten... 8 Indekstl... 9 Bsl Algebr vigtige sætninger Potensenser Definition f en potens I Bemærkninger Definition f en potens II Definition f en potens III Logrimefunktionen log(x) Den logritmiske skl Logritmefunktionen log log(x) Ligninger Hvd er en ligning? Nogle typiske eksempler Hvordn løses en ligning? Opstilling og løsning f ligning A3

4

5 % Regning med procent og indeks

6

7 Indledning Procent-tl og indeks-tl benyttes ofte: i dgligdgen, i forretningslivet, i det offentlige liv - kort sgt: lle steder. Skl vi dele fifty - fifty? Hun rvede 20 % f formuen Prisen er nedst med 60 % Mrginlsktten er 66 % Lønindekset steg i 10-året lidt mere end forbrugerprisindekset Nettovægten udgjorde 88 % f bruttovægten Renten er 5,6 % p.. Vægttbet udgjorde 30 % f den oprindelige vægt I lle disse tilfælde er der tle om, t vi måler det smme med 2 skler: én, hvor den undesøgte størrelse måles i kroner eller kg eller meter osv. og en nden, hvor der tles om procent (eller indekstl.). Grunden til, t der benyttes en ny skl, er t gøre det nemmere t smmenligne størrelser som fx. rentebeløb for kpitler f forskellig størrelse, lønforhøjelse med smtidige prisforhøjelser, vægttb for personer med forskellig strtvægt osv. Procent betyder: pr. hundrede. Den størrelse, der nvendes som udgngspunkt, sættes til 100 %. Der rbejdes nu med to skler til t måle det smme. Tger mn dobbelt så meget i følge den ene skl gælder det også for den nden skl. Og det gælder for enhver fktor - og lige meget hvilken f de to skler, der benyttes. Undersøg det på I stedet for t indføre en lng række formler til beregning, nvendes her kun denne simple observtion: t den smme fktor kn nvendes på begge skler. A7

8 Beregn lønforhøjelsen Som et eksempel oplyses, t Signe Jensen, der tjener kr. pr. måned, får en lønforhøjelse på 5 % (underforstået f den tidligere løn.) Beregn lønforhøjelsen. Tekst Kroner Procent Løn Lønforhøjelse 5% Rutinemæssigt udfyldes et skem som ovenstående med 3 kolonner: en (beskrivende) tekst, størrelsernes værdi (for så vidt de er kendt) med nvendelse f en skl med kroner som her eller kg eller... og til sidst procentkolonnen. Det er underforstået, t lønforhøjelsen beregnes som 5 % f den oprindelige løn; dvs. t den mnglende procent er 100 %. Skriv det tl ind i tbellen! Nu kendes forholdet mellem lønforhøjelse og løn; ved hjælp f procenttllene fås: k 5 / 100 Denne fktor kn også benyttes i kolonnen med kroner, således t: Lønforhøjelsen 22000*k 22000*5/ Lønforhøjelsen 1100 kr. Skriv også det tl ind i tbellen! Hvis vi hvde kendt lønforhøjelsen, men ikke den oprindelige løn, kunne lønnen være beregnet som Løn 1100/k; vi kn finde en fktor, der gælder i begge kolonner, når vi "bevæger" os i smme retning, men som vi dividerer med, når vi bevæger os i modstte retninger. En simpel kontrol siger, t store kronetl svrer til store procenttl, små kronetl svrer til små procenttl. Beregn rbtten I Dmernes Mgsin gives der nu 40 % rbt på sommerkjolerne. Fx koster en blåprikket kjole kun 180 kr. på udslget efter t rbtten er trukket fr. Hvor stor er rbtten? og den oprindelige pris? A8

9 Tekst Kroner Procent Oprindelig pris - Rbt 40% Udslgspris 180 Igen er det vigtigt t gøre sig klrt, hvilke størrelser der indgår og hvd der oplyses. Er kjolen nedst med 40 % eller til 40 %. Det er ikke det smme. (Hvd gælder her?) Hvor skl der stå 100 %? det er jo ikke oplyst, men det er underforstået, t procent beregnes f den oprindelige pris. Derfor udfylder du procentkolonnen øverst med 100 % og nederst med 60 %. Forholdet mellem udslgspris og rbt er (med tl fr procentkolonnen) k 60 / 40; derfor beregnes rbtten som: Rbt 180 / k 180 / (60 / 40) 120 Rbt 120 kr. Den oprindelige pris kn findes på tilsvrende måde eller som: Oprindelig pris Udslgspris + rbt Oprindelig pris Oprindelig pris 300 kr. Indekstl Når mn vil beskrive et tidsmæssigt forløb bruges ofte indekstl. Eksempler kunne være: forbrugerpriser lønindeks omsætning i et privt firm befolkningens størrelse... Som et eksempel vises herunder: BYG5X: A9

10 Reguleringsindeks for boligbyggeri År 1987 (jn) Reguleringsindeks År Reguleringsindeks ,8 164,7 168,2 Kilde: Dnmrks Sttistik 1 Reguleringsindekset for boligbyggeri hr til formål t belyse udviklingen i byggeomkostningerne fordelt på mterile- og lønomkostninger. Reguleringsindekset for boligbyggeri fløste i 1989 to byggeomkostningsindeks for henholdsvis et enfmiliehus og en montgebygget etgeejendom. Beregningen f byggeomkostningsindekset blev indledt i For dette reguleringsindeks er 1987 benyttet som bsisår. For hvert år i serien fr 1987 til 2002 er byggeomkostningerne opgjort og derefter beregnet som en procent f byggeomkostningerne i bsisåret (bsisbyggeomkostningerne). Derfor er indeks for et bsisår pr. definition 100. I forbindelse med indekstl nføres procenttegnet ikke. Beregning f indeks (eller omkostninger) forløber som nævnt under procentberegning. Beregn: ) 35 % f 150 kg b) 205 % f kr c) 0,5% f 30 ml Find hele størrelsen når d) 40 % 200 hl e) 105 % kr f) 16,1 % 2,9 Hvor mnge procent udgør g) 35 kr. f 140 kr? h) 5 æbler f 10 æbler? i) En nederdel kostede før 985 kr, men blev nedst til 285 kr. Hvor mnge procent er nedsættelsen på? j) En pkke vejer brutto 28 kg; tr udgør 5 %. Hvd er nettovægten? k) Udfyld tbellen herunder. Den viser nogle indekstl hhv månedlønninger for kvindelige funktionærer uden ledelsesnsvr. År Indeks ,3 120,3 124,4 128 Månedsløn (Kilde: Dnmrks Sttistik ( 1 A10

11 Bsl Algebr 2 b 2 2 b 2 b 2

12

13 18 vigtige sætninger Sætning 1: Addendernes orden Addendernes orden er ligegyldig. + b b + Sætning 2: Plusprenteser Plusprenteser kn hæves og sættes, som mn hr lyst. + (b+c) (+b) + c + b + c Sætning 3: Minusprenteser Mn hæver en minusprentes ved t ændre fortegnet på de led, der står i prentesen. 2 - ( b+c-d) - b - c + d Sætning 4: Fktorernes orden Fktorernes orden er ligegyldig: 3 b b Sætning 5: Gnge ind i en prentes Mn kn gnge ind i en prentes med et tl ved t gnge hvert led i prentesen med tllet. 4 (b + c) b + c Sætning 6: Gnge prentes med prentes Mn kn gnge flerleddede størrelser smmen ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden. 5 (+b)(c+d-e) c + d - e + bc + bd - be 2 Det svrer til t gnge lle led (tl dskilt f + og -)med (-1). 3 Bemærk det usynlige gngetegn mellem fktorerne, dvs. de tl, der skl gnges med hinnden. 4 Husk forklringen med kurve: æbler og pærer :-) 5 Husk: hvordn beegnes relet f en mrk... Tegn den. Opdel den. Beregn delreler. A13

14 Sætning 7: Kvdrtet på en toleddet størrelse Kvdrtet på en toleddet størrelse er kvdrtet på det første led plus kvdrtet på det ndet led plus eller minus det dobbelte produkt. ( + b) b 2 + 2b ( - b) b 2-2b Sætning 8: To tls sum gnge de smme tls differens To tls sum gnge de smme tls differens er lig med kvdrtet på det første led minus kvdrtet på det ndet led. (+b)(-b) 2 - b 2 Sætning 9: Gngeprenteser Ved multipliktion kn mn hæve og sætte prenteser, som mn hr lyst. (bc) (b)c bc Sætning 10: Brøk gnge tl Mn kn gnge en brøk med et tl ved t gnge tælleren med tllet og beholde nævneren. c * c * b b Sætning 11: Brøk gnge brøk Mn kn gnge to brøker med hinnden ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner. c * c * b d b* d Sætning 12: Forlænge brøk Mn kn forlænge en brøk med et tl ved t gnge i tæller og nævner med tllet. * x b b* x Sætning 13: Dele med brøk Mn dividerer et tl med en brøk ved t gnge med den omvendte brøk. b c : * c b A14

15 Sætning 14: Dele brøk med tl Mn dividerer en brøk med et tl ved t gnge brøkens nævner med tllet og beholde tælleren. : c b b* c Sætning 15: Dele brøk med tl Mn kn dividere en brøk med et tl ved t dividere brøkens tæller med tllet og beholde nævneren. c : c : b b Sætning 16: Dele en flerleddet størrelse Mn kn dividere en flerleddet størrelse med et tl ved t dividere hvert led med tllet. + b c b c + q q q q Sætning 17: Dele produkt med tl Mn kn dividere et produkt med et tl ved t dividere én f fktorerne med tllet. b (b):c * b * c c Sætning 18: Forkorte en brøk Mn kn forkorte en brøk med et tl ved t dividere i tæller og nævner med tllet. : t b b : t Lv 18 eksempler et for hver regel der kn vise, hvd sætningen går ud på, hvordn den benyttes og t den giver et fornuftigt resultt. Dine forklrende kommentrer er en del f besvrelsen. A15

16

17 Potensenser n

18 Definition f en potens I n kldes en potens. kldes grundtllet og n kldes eksponenten. Hvis er et reelt tl og n et helt positivt tl, er potensen et reelt tl, der beregnes: n... hvor der er n fktorer på højre side. For t definitionen skl være en definition, må vi selvfølgelig præcisere, hvd og n er og hvd potensen er. For t forstå potensbegrebet, defineres det i flere omgnge; denne første er den intuitivt letforståelige. I det følgende bruges ikke lommeregner: Hvis ikke ndet nævnes, er svrene i øvelserne en eller nden potens. Løsningsmetoden er: skriv udtrykket, omskriv det ved hjælp f definitionen, brug evt. lmindelige regneregler og brug så definitionen igen for påny t skrive svret som en potens (eller evt. et udtryk, hvori der indgår en potens). Øvelse 1 Omskriv udtrykkene herunder: / b / / b / / Regler for produkter og kvotienter n m Produktet Du hr et produkt f to potenser. Begge hr smme grundtl. Resulttet bliver en potens med smme grundtl - her - og en ny eksponent - her n + m. A18

19 n m Kvotienten / Du hr en kvotient med to potenser. Begge hr smme grundtl. Resulttet bliver en potens med smme grundtl - her - og en ny eksponent - her n - m. 6 Bemærkninger I øvelse 1 beregnede du 7 / 7 og fik forhåbentlig svret 1. Hvis der ikke hvde stået 7 som eksponent men 113 eller 2 eller hvd som helst: svret er det smme. Når dividend og divisor er ens, er svret (kvotienten) ltid 1. Du hr også set, t for en kvotient kn mn finde den nye eksponent som n-m. Kontroller det! Det forudsætter indtil nu - t n>m. Men hvis de er lige store (dvs. nm), ved vi t svret er 1 og t n-m 0 0 hr indtil nu ingen mening, men det ses, t hvis potensen defineres som 0 1, psser vore regneregler stdig Du beregnede også / 1/ 1/ ; hvde vi brugt regnereglerne ovenover, vr eksponenten blevet Det hr heller ikke nogen mening som eksponent indtil nu - men definerer vi 1 1 eksempelvis 1/ får det mening og vore regneregler stemmer. Derfor kn definitionen f en potens udvides: Definition f en potens II n kldes en potens. kldes grundtllet og n kldes eksponenten. Hvis er et reelt tl og n et helt positivt tl, er potensen et reelt tl, der beregnes: n... hvor der er n fktorer på højre side. 0 1 Hvis n er et helt negtivt tl, defineres n n 1 /. Bemærk, t (-n) på højresiden er et helt positivt tl, og t højresiden derfor kn beregnes med den hidtidige definition. 6 Overbevis dig selv om, t disse to regler er rigtige... A19

20 Øvelse 2 Kontroller på din lommeregner, t følgende ligninger er rigtige: 3, og 3,72 1/ 3,72 Prøv også med ndre potenser med ndre grundtl og ndre eksponenter. Bemærkninger Et udtryk som ( ) ( ) ( ) ( ) kn nturligvis skrives både som (ifølge regler om gngeprenteser) og som ( 2 ) 4 (ifølge definition f potenser), hvorf ses, t 2 8 ( ) 4 Øvelse 3 Omskriv følgende potenser til lettere læselige (enklere) potenser: (7 ) (2 ) ( ) 4 ) 2 (3 ( / b) b /( + ) / b ( b )/( b) + 2 / ((4 ) ) (2 2 ) 3 ((2 2) ) /(1/ ) 2 3 Er der nogen f prenteserne, der kunne undværes? A20

21 Funktionen f(x) x 3 Hvis du følger pilen fr y-værdien 80 til grfen og videre til x-ksen på den figuren fås værdien 4,3 (frundet.) Hvis du følger smme pil modst, finder du y- værdien 4, Tllet 4,3 er et eksempel på t finde den 3. rod", her f 80, det vil sige det tl, der opløftet i tredie giver 80. Det skrives trditionelt: ,3 Vi vil nu også indføre en potensbetegnelse for roden; i tilfældet her: ,3 Venstre side er ikke defineret endnu, men benyttes regnereglerne, ses det nemt, t 1 1 ( 3) (80 ) Det vil sige, t benyttes regnereglerne for potenser på 3 80 fås nøjgtig de smme resultter, som vi hvde fået med 3 80 Derfor udvides definitionen for potenser til også t omftte positive brøker: og for eksempel ( 80 ) 80 3 ( 80) 2 Helt generelt kn det skrives som følgende: A21

22 Definition f en potens III n kldes en potens. kldes grundtllet og n kldes eksponenten. Hvis er et reelt tl og n et helt positivt tl, er potensen et reelt tl, der beregnes: n... hvor der er n fktorer på højre side. 0 1 Hvis n er et helt negtivt tl, defineres n 1/ n Bemærk, t (-n) på højresiden er et helt positivt tl, og t højresiden derfor kn beregnes med den hidtidige definition. Hvis n er en positiv brøk p/q (fr mængden Q) og et positivt reelt tl, defineres: p q q ( ) p Hvis n er en negtiv brøk p/q (fr mængden Q) og et positivt reelt tl, defineres: p q 1/ p q Øvelse 4 Omskriv følgende potenser til lettere læselige (enklere) potenser: Lv efterfølgende kontrol v.hj.. lommeregner : (7 ) (7 ) 2,8 0, ,8 2 7 : 7 1 2,8 2 7 : 7 1 2,8 2 1,4 7 : 7 7 2,8 3,4 4 ( ) ( ) 2 3,1 4 2 (3,14) 2,8 3,4 3 2,5 : A22

23 Logrimefunktionen log(x)

24 Den logritmiske skl På kserne i koordintsystemet benyttes ofte "logritmiske skler" i forbindelse med eksponentielle funktioner og potensfunktioner. Årsgen er, t grferne i så fld kn tegnes som rette linjer. Både x-kse og y-kse kn indrettes med en logritmisk skl. t spre plds benyttes her kun vndrette kser i eksemplerne. Eksempler på logritmisk skler Ovenover er der vist et eksempel på en logritmisk skl. Enheden på sklen er 7. Afstnden mellem nbopunkterne er den smme: nemlig 7. Men bemærk forskellen fr den lineære skl: Bevæger du dig fr A til B hr du ikke lgt 7 til; du hr gnget med 7. Og går du den smme fstnd fr B til C gnger du igen med 7. Punktet G følger efter F en enhed længere ude i pilens retning. Hvilken "x-værdi" hr G? Punktet O kommer en enhed før A. Hvilken "x-værdi" hr O på sklen? Den lmindeligste logritmiske skl hr enheden 10. Enheden kldes en dekde. Så ser ksen således ud: Vi hr ldet ksen begynde ved 1. Det kunne lige så godt hve været 1000 eller 0,01. Og hvis ppiret ikke er fortrykt, er der egentlig ingen begrænsninger Hvd er enheden her (dvs. det tl, der gnges med?) Skriv de mnglende tl på ksen (med den logritmiske skl) A24

25 Logritmefunktionen log Betrgt funktionen f(x) 10 x Eksponenten x Potensen f(x) Hvis vi bytter om på tbellens rækker, fås en ny funktion: den omvendte funktion. Denne funktion kldes log(x) eller logritmefunktionen. D 10 er grundtllet i den benyttede potens, kldes den (med en præcisere betegnelse) titlslogritmen. 7 log(x) log(x) defineres som den omvendte funktion til f(x) 10 x, hvor x er et positivt tl. Potensen x Eksponenten log(x) Fr potensregning ved vi, t n m n m + Dvs. t vi udfører en multipliktion (gnger) ved t ddere (lægge smmen) eksponenterne. Er opgven ikke formuleret som potensregning, kræver det dog følgende procedure: De to fktorer skl begge omskrives til potenser med smme grundtl Så dderes eksponenterne Endelig omskrives produktet fr potens til "lmindeligt" tl De to sidste trin kn du foretge uden videre; det første kræver lige lidt hjælp: logritmefunktionen! I princippet kunne vi vælge et hvilken som helst positivt tl som grundtl. I prksis står vlget mellem 2, og 10. Vi vælger det sidste. 7 Bemærk, t der er defineret en funktion ved ombytning f rækkerne. For én bestemt potens y findes der nemlig kun én eksponent x således t 10 x y. 8 e 2, Vælges dette tl fås den nturlige logritmefunktion: ln(x) A25

26 x 10 x log(x) x 0,000 1,00 0,025 1,06 0,050 1,12 0,075 1,19 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,325 0,350 0,375 0,400 0,425 0,450 0,475 0,500 0,525 0,550 0,575 0,600 0,625 0,650 0,675 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925 0,950 0,975 1,000 10,00 1,025 10,59 1,050 11,22 1,075 11,89 1,100 12,59 Hvis opgven er, t finde produktet: 10*100, gøres følgende (se "opskriften" ovenover): Omskrivning til potenser: eller Omskrivning f potensen: Lige netop for denne opgve er der ingen rbejdsmæssig besprelse, men d princippet kn nvendes på lle tl, hr det været en enorm hjælp før lommeregneren... Ld os se hvordn: Øvelse Beregn: 1,06*1,12 I det følgende benytter du tbellen til venstre. Bemærk, t der er to overskriftsrækker. Først benytter du 2. række. Find log(1,06) Find log(1,12) Find log(1,06) + log(1,12) Så benyttes tbellen med overskrifterne i 1. række Find potensen, der svrer til eksponenten 0,075 Hvd hr du netop vist? Udfyld med hjælp flommeregneren tbellen ved siden f. Vis hvorledes du med tbellen kn beregne 2*3 3*3 Forklr, hvilket (lille) problem der er ved t benytte tbellen og hvordn det løses. Bemærk, hvorledes tbellen slutter! Hvorledes vil den næste linje se ud? (Kn besvres uden lommeregner) Indtegn grferne for 10 x og log(x) i et lm. koordintsystem på mm-ppir. Vælg x-kse med tl fr -10 til +5, y-kse med tl fr -5 til 20. Benyt smme enhed på kserne. Kn du se et mønster for grferne?? A26

27 Øvelse Vælg nogle vilkårlige tl som x og beregn: x log(10 ) Vælg nogle vilkårlige positive tl og beregn: log( x) 10 Forklr resulttet ved hjælp f figuren med grfen for f ( x ) 10 x Logritmesætninger I. log(*b) log() + log(b) II. log(/b) log() / log(b) III. log( x ) x*log() Beviserne udeldes, men de benytter regnereglerne for potenser. Eksempel på løsning f ligning x x log(31 ) log(22) x log(31) log(22) x log(22) / log(31) x 0,900 0,90 L {0,90} A27

28

29 Ligninger

30

31 Hvd er en ligning? Nogle typiske eksempler ) 3x b) 2 - (x+5) 3 + x c) 5p p d) x 2 4 e) 3*sin(v) 1,5 f) f(x) g(x) Det ses, t i eksemplerne er der ltid: et lighedstegn ( ) et regneudtryk på hver side f lighedstegnet (kldet hhv. venstre side og højre side) smt et bogstv (en joker ) - ofte x. Opgven: løs ligningen, går ud på, t finde lle de tl, der st på jokerens plds, gør ligningen snd, det vil sige, t venstre side og højre side giver smme resultt (men det er ligegyldigt hvilket.) Typisk kldes tllet mn leder efter x ( den ubekendte, jokeren). Men det kn være et hvilkensomhelst bogstv. Også græske som α, β,...,λ,...eller det kn være forkortelser som BMI eller hele ord som vægt og højde. For så vidt kunne det ligeså godt være en tom firknt... Men benyt den lmindelig sædvne: et bogstv ;-) Mnge ligninger hr én løsning; det vil sige, t der er et tl, der gør ligningen snd og lle ndre gør ligningen flsk. Men der findes ligninger, der ingen løsninger hr ( 0 løsninger) og der findes nogle der hr 2, 3, 4,..., j der findes nogle, der hr uendelig mnge. Øvelse 1 Hvilke f tllene 1, 2 og 3 kn bruges som løsninger i ligningen: 3x-2 x+2? Hvilke f tllene -1, 0, 1, 2, og 3 kn bruges som løsninger i ligningen: x 2 1 Kn du finde en løsning til ligningen: ligningen: x 2-1 A31

32 Hvordn løses en ligning? Mn kn forestille sig, t venstre side og højre side er to vægtskåle med smme vægt: der vil lle opertioner være tilldt, blot de ikke forrykker blncen. Mn kn: ddere (lægge) lige meget til begge sider subtrhere (trække) lige meget fr begge sider multiplicere (gnge) begge sider med smme tl (dog ikke nul) dividere (dele) begge sider med smme tl (dog ikke nul) for enhver voksende eller ftgende funktion ersttte venstre side med funktionsværdien f venstresiden og tilsvrende for højresiden. 9 I stedet for vægte kunne mn tænke på skåle med smme værdier i begge skåle Opstilling og løsning f ligning 2 - (x+5) 3 + x 2 - x x -3 - x 3 + x -3 -x +x 3 + x +x x x x -6/2 2x/2-3 1x -3 x L {-3} Minusprentes hæves Reducer Adder x Reducer Subtrher 3 Reducer Divider med 2 Reducer Skriv 1x som x x-3 eller -3 x kn være en måde t skrive løsningen på men ellers: L {-3} Løs ligningen fr kpitlets forside: f(x) g(x) Bemærk, t mn ofte kn "tegne" sig til en løsning t du ltid bør gennemføre en form for kontrol f din løsning! 10 9 Det forudsættes, t funktionen er defineret for mulige værdier f venstreside hhv. højreside. 10 Prøv t kontrollere din løsningsmetode på A32