TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

Transkript

1 TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn konstruktion er, t mn ud fr de etingelser, der er stillet op, kn udlede en hel række egensker, der gælder for et legeme. Det smrte ved det, er, t hvis mn kn vise, t et egre (f.eks. de reelle tl) opfylder de oprindelige etingelser, så ved mn også, t lle de udledte regler gælder for de reelle tl. Vi ser nu på opygningen f et legeme og noterer os smtidig, t de reelle tl velkendte regneopertioner + og er et legeme. med vores Vi får rug for følgende tegn: : "For lle" : "Der findes" / "Findes der" : "Tilhører" \ : "Frregnet mængden estående f..." Legeme M Regneopertioner: I et legeme M findes der to regneopertioner + og, der virker på to elementer i M og dnner et nyt element (mn klder sådnne regneopertioner for inære opertorer, fordi de virker på to elementer). Disse regneopertioner opfylder følgende: Aksiomer (sætninger): Stilitet: 1) x, y M : x y M ) x, y M : x y M Det vil sige, t når mn lægger to elementer fr M smmen, så vil resulttet også være et element i M. Og ligeledes: Et produkt f to elementer fr M vil også ligge i M. Bemærk t dette gælder for de reelle tl. Både summen og produktet f to reelle tl er reelle tl. Kommuttivitet: 3) x, y M : x y y x 4) x, y M : x y y x Det vil sige, t åde ved ddition og multipliktion er det ligegyldigt, hvilket element der skrives først. Bemærk t egge disse ksiomer er opfyldt for de reelle tl. Når vi rejder med tl, omtler vi normlt ksiom 4 som: "Fktorernes orden er ligegyldig" 1

2 Associtivitet: 5) x, y, z M : x y z x y z 6) x, y, z M : x y z x y z Bemærk t ddition og multipliktion som udgngspunkt kun er defineret for to elementer d gngen, og derfor kn mn - som udgngspunkt - ikke skrive f.eks. xy z, d der er tre elementer. MEN pointen med disse ksiomer er, t mn lligevel godt kn skrive xy z eller c d, d ksiomerne siger, t du kn ddere/multiplicere elementerne to og to, og t den rækkefølge, du gør dette i, ikke hr etydning for resulttet. Dette gælder for de reelle tl (tænk selv over dette). Distriutivitet: 7) x, y, z M : x y z x y x z Bemærk t denne sætning kominerer de to regneregler, og emærk t dette gælder for de reelle tl. Prenteserne på højresiden er nødvendige i ksiomet, d mn skl sikre sig, t multipliktionerne foretges før dditionen. Når vi rejder med de reelle tl - eller ndre slgs tl - hr vi dog indført den regel, t multipliktion ltid skl foretges før ddition, og så liver prenteserne på højresiden unødvendige. F.eks Neutrle elementer: 8) 0 M : x M : x 0 x 9) 1 M : x M : x1 x 0 1 Det vil sige, t der findes et element i M, der hr den egensk, t unset hvilket element x i M, det lægges til, giver det elementet x selv. Og et lignende element findes for multipliktion. Disse to elementer må ikke være identiske. Når vi rejder med reelle tl, er det neutrle element ved ddition tllet 0, mens det neutrle element ved multipliktion er tllet 1. Modstte elementer ved ddition: x M x M x x 10) : 0 Dvs. t lle elementer hr et modst element. Når vi rejder med de reelle tl, hvor det neutrle element ved ddition er 0, fører dette ksiom til indførelsen f regneopertionen minus. Hvis vi f.eks. tger udgngspunkt i tllet 5,3. Så er det modstte element tllet -5,3, og der gælder: 5,3 5,3 0. Dette vælger vi t skrive som 5,3 5,3 0 og hr så indført regneopertionen -. Det modstte element til tllet -8 er tllet 8. Reciprokke elementer ved multipliktion: x M 1 M x 1 11) \ 0 : 1 x x Inden for de reelle tl hr vi, t det reciprokke element til 8 er 1 8, det reciprokke element til 3 er 7 7 og det reciprokke element til er 1. Med røkstregen indfører vi regneopertionen division. 3

3 Smlet set hr vi ltså disse 11 ksiomer: 1) x, y M : x y M ) x, y M : x y M 3) x, y M : x y y x 4) x, y M : x y y x 5) x, y, z M : x y z x y z 6) x, y, z M : x y z x y z 7) x, y, z M : x y z x y x z 8) 0 M : x M : x 0 x 9) 1 M : x M : x1 x 10) x M x M : x x ) x M \ 0 M : x 1 x x Anvendelser f ksiomerne Ud fr disse 11 ksiomer kn vi nu egynde t udlede en hel række sætninger, der gælder for legemer. Og emærk endnu engng: Når vi hr vist, t de reelle tl opfylder ovenstående 11 ksiomer, så vil de sætninger, vi udleder ved hjælp f ksiomerne, også gælde for de reelle tl. Sætning 1: 0 0 Denne sætning siger ltså, t hvis mn tger det neutrle element ved ddition og multiplicerer det med et element fr legemet, så liver resulttet det neutrle element (unset hvd er for et element). Bevis: Vi ser på udtrykket 0 og nvender vores ksiomer på dette: Aksiom 8 nvendes med 0 i stedet for x (d ksiomet jo gælder for lle x) Aksiom 7. Aksiom 8 fortæller os så, t 0 0, for 0 er netop det element, hvorom det gælder, t xx 0, hvor mn i dette konkrete tilfælde hr x 0. Opsmling: Vi hr ltså nu vist, t det neutrle element ved ddition, der lev indført i ksiom 8, det hr også den egensk, t når mn multiplicerer det med et tl, så får mn det neutrle element. Eller med ndre ord: Når mn gnger med 0, får mn 0. 3

4 Sætning : 1 Denne sætning siger, t hvis mn hr et element og multiplicerer dette med (-1), der er det modstte element til det neutrle element ved multipliktion, så får mn det modstte element til. Vi skl ltså vise, t Bevis: Vi eviser dette ved t se på udtrykket , som vi kn regne på. Aksiom 9 er nvendt på det ndet led. D 1 Aksiom 7 er nvendt. 0 Aksiom 8 nvendt på elementet 1. 0 Sætning 1. lgt til giver 0, fortæller ksiom 10 os, t 1. Opsmling: Bemærk t vi i dette evis også hr nvendt sætning 1. Dette er tilldt, d denne sætning llerede er levet evist. Og vi hr ltså nu to sætninger, som vi må ruge, når vi skl evise de næste sætninger. Sætning 3: Denne sætning siger, t produktet f elementet og det modstte element til, vil give det modstte element til produktet f og. Eller i et konkret tilfælde med tl: Dvs. når mn gnger et positivt tl med et negtivt tl, får mn et negtivt tl. Bevis: Dette evis minder om eviset for sætning. Vi egynder med udtrykket Aksiom 7 er nvendt. D lgt til 0 Aksiom 8 nvendt på elementet. 0 Sætning 1. giver 0, fortæller ksiom 10 os, t.. Opsmling: Vi hr nu vist, t negtivt gnget positivt giver negtivt. 4

5 Sætning 4: Sætningen siger, t produktet f de modstte elementer til og giver det smme som produktet f og. Et konkret tleksempel: Bevis: Vi ser på udtrykket. Sætning 3 nvendt på ndet led. Aksiom 7 Aksiom 10 0 Sætning 1. D lgt til giver 0, fortæller ksiom 10 os, t. Opsmling: Vi hr nu vist, t negtivt gnget negtivt giver positivt. Vigtig pointe ved multipliktion: Hvis mn hr flere størrelser estående f forskellige fortegn, tl og ogstver, der skl multipliceres, skl mn tge hver del for sig: Fortegn for sig. Tl for sig. Hvert ogstv for sig. Eksempel: c c d c c d Fortegn for sig: Der er tre - dvs. et ulige ntl - negtive fortegn, så der skl også være et negtivt fortegn på resulttet. Tl for sig: Hvert ogstv for sig: 3 ; 4 ; 4 c ; d d c c c 5

6 Prentesregneregler Sætning 5: Dvs. mn kn hæve en "plusprentes" uden t ændre noget ved rgumentet (indholdet i prentesen). Bevis: Aksiom 9 fortæller os, t , og ved t enytte ksiomerne 7 og 9 får mn: Vi hr hidtil nvendt nottionen om det modstte element til, og vi hr så f.eks. kunnet skrive. Dvs. tegnet hr ikke været nvendt som et regnetegn, men som et fortegn, der etød "det modstte element f...". Nu ønsker vi imidlertid t indføre regneopertion sutrktion ("minus"), dvs. vi ønsker t kunne skrive f.eks.. Her er det vigtigt t emærke, t vi ikke kn nvende ksiomerne til t indføre denne (nye) regneopertion, d den ikke er nævnt et eneste sted. Vi hr rug for en definition, dvs. vi hr rug for t eskrive, hvd regnetegnet skl etyde. Definition 1: Indførelse f regneopertionen sutrktion: Dvs. er det element, der lgt til, giver. Bemærk t du nvender denne definition, når du løser visse typer f ligninger. Se f.eks. på denne udregning: 3 x 8 x 83 Ofte siger mn, t mn hr trukket tre fr på egge sider, eller mn siger, t mn flytter tre-tllet over på den nden side og skifter fortegn. Men egentlig følger ovenstående direkte f vores definition, for nederste linje fortæller os, t 8 3 giver 8 (se den øverste linje). x, og 8 3 er netop det tl, der lgt til 3, 6

7 Efter t hve indført regneopertionen sutrktion, skl det nu vises, hvordn regneminusset og fortegnsminusset hænger smmen: Sætning 6: Dvs. det giver det smme, om du trækker fr, eller om du lægger det modstte element f til. Bevis: Ideen i eviset er, t vi tger udtrykket på venstresiden og ser, hvd der sker, når vi lægger det smmen med : Aksiom 5 0 Aksiom 10 Aksiom 8 Bemærk t lgt til giver, og dermed fortæller Definition 1 os, t Vi hr ltså nu vist, t det er det smme, om du skriver 5 7 eller 5 7. Vi vil derfor i det efterfølgende ikke skelne mellem skrivemåderne og. Videre med prentesregnereglerne: Sætning 7: Mn hæver ltså en "minusprentes" ved t ændre fortegn på lle led i prentesen. Bevis: Sætning giver os, t , og ksiom 7 og sætning giver derefter: Sætning 8: c d e c d e Mn gnger ind i en prentes ved t gnge ind på hvert led. Bevis: I det følgende nvendes en hel række ksiomer. Tænk selv over hvilke: c d e c d e c d e c d e Sætning 9: c d c d c d Mn gnger to prenteser smmen ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden. Bevis: Beviset nvender ksiom 7 to gnge. c d c d c c d d c c d d Aksiom 3 kn så nvendes, når der skl rykkes rundt på leddene. 7

8 Brøkregneregler Vi er stødt på en røkstreg en enkelt gng under ksiomerne, nemlig d 1 x lev introduceret som det reciprokke element til x. Men dette er ikke tilstrækkeligt i forhold til vores nvendelse f røkstreger, hvor vi også tillder udtryk f formen. Vi skl ltså hve defineret, hvd vi mener med udtrykket, og ved vores definition fstsætter vi også etydningen f røkstregen som den regneopertion, vi klder division. Definition : Dvs. er det element, der gnget smmen med elementet, giver elementet. Sætning 10: 1 Bevis: Det følger direkte f definitionen, når 'erne udskiftes med 'er, d så er det tl, der gnget med giver, hvilket ifølge ksiom 9 netop er tllet 1 (det neutrle element ved multipliktion). Bemærk t d vi også ved, t 1 1 (Aksiom 11), hr vi direkte følgende sætning: Sætning 11: 1 Og vi hr: Sætning 1: 1 Bevis: Vi ser på, hvd der sker, når venstresiden gnges smmen med : 1 1 Aksiom 6 1 Aksiom 11 Aksiom 9 D venstresiden gnget smmen med giver, fortæller Definition os, t 8 1

9 Sætning 13: c c Dvs. mn gnger en røk med et tl ved t gnge i tælleren og eholde nævneren. Bevis: Vi ved ifølge vores definition f, hvd en røkstreg etyder, t er det tl, der gnget med c c giver, eller opskrevet som ligning: c. Bemærk endnu engng t dette er en c definition, dvs. det er etydningen f røkstregen, der forklres ved ligningen, og der foregår derfor som sådn ikke nogen udregning. Men vi ser nu på udtrykket cog regner på dette: c c c Aksiom 6 c c Definition D c c hr vi ifølge den indledende emærkning vist, t. c c Sætning 14: c c Dvs. mn dividerer en røk med et tl ved t gnge tllet ind i nævneren (og eholde tælleren). Bevis: Ifølge Definition er c det tl, der gnget med ( c) c. giver, dvs. c Vi vil nu evise sætningen ved t vise, t når venstresiden gnges med c, får mn : c c c c Aksiomerne og 6 Definition Definition Her er plds til en onussætning: D 1 ifølge Definition, hr mn ifølge Aksiom 9, t: 1 1 9

10 En nden vigtig ting, som mn ofte kn få rug for, er smmenhængen mellem t dividere med et tl og t gnge med det reciprokke til tllet. Der gælder nemlig: 1 Sætning 15: c c Dvs. det er det smme, om du dividerer med et tl, eller om du gnger med det reciprokke til tllet. Bevis: Det følger direkte f sætning 1, hvor mn ersttter med og med c. Opsmling: Mn gnger en røk med et tl ved t gnge tllet op i tælleren og eholde nævneren. Mn dividerer en røk med et tl ved t gnge tllet ned i nævneren og eholde tælleren. Når mn rejder med røker, vil mn ofte få rug for t forkorte eller forlænge en røk. Præcis som med egreerne sutrktion og division er vi nødt til først t definere, hvd mn egentlig mener med t forlænge (eller forkorte) en røk. Definition 3: Mn forlænger en røk med tllet k - der ikke må være 0 - ved t multiplicere med k i åde tæller og nævner, dvs. k k Det væsentlige - og hele pointen med t indføre egreet - er følgende sætning: Sætning 16: k k Dvs. røken ændrer ikke værdi, når den forlænges. Bevis: En række f llerede viste sætninger nvendes på højresiden: k k Sætning 13 k k k Sætning 14 k 1 k Sætning 15 k 1 = k Aksiom 6 k = 1 Aksiom 11 = Aksiom 9 Bemærk ltså endnu engng pointen: En røk ændrer ikke værdi, når den forlænges. Du kn ltså forlænge røker lige så meget, du hr lyst til, d du ikke ændrer de regnestykker, som røken indgår i. 10

11 Forlænge ligninger: Ligninger kn også forlænges, hvilket foregår ved, t mn gnger hvert led på egge sider f lighedstegnet med det tl, der forlænges med (og som igen ikke må være 0). F.eks. kn ligningen x x x x forlænges med 6, hvilket giver 3 4 x 3x x 1x. En røk ændrer ikke værdi, når den forlænges. En ligning ændrer ikke sndhedsværdi (dvs. den hr smme løsningsmængde), når den forlænges. Mn kn også forkorte røker: Definition 4: Mn forkorter en røk med tllet k - der ikke må være 0 - ved t dividere med k i åde tæller og nævner, dvs. k k Igen er det væsentlige: Sætning 17: k k Dvs. røken ændrer ikke værdi, når den forkortes. Bevis: Prøv selv t evise denne sætning. Pointe: Egentlig er det t forlænge og forkorte to sider f smme sg. Som sætning 15 viser, så opnås f.eks. det smme ved t forlænge med 1, som der opnås ved t forkorte med 7. 7 Vi er nu klr til de sidste sætninger omhndlende røkregneregler. Sætning 13 lev nvendt til t vise, hvd der sker, når mn gnger en røk med et tl. Men sætningen kn - ifølge vores ksiom 4 om kommuttivitet ved multipliktion - også forstås som en forklring på, hvordn mn gnger et tl med en røk. 11

12 Vi ser nu på, hvordn mn gnger to røker smmen: Sætning 18: c c d d Dvs. to røker multipliceres ved t multiplicere tæller med tæller og nævner med nævner, eller lidt mere præcist: Ved i tælleren t plcere produktet f de to tællere og i nævneren plcere produktet f de to nævnere. Bevis: Vi egynder med venstresiden og regner og ved hjælp f sætningerne 1-15 smt nogle ksiomer frem til højresiden. c 1 c d d Sætning 1 1 c d Aksiom 6 c 1 d Sætning 13 c d Sætning 15 c = d Sætning 14 Sætning 19: c c Dvs. mn dividerer et tl med en røk ved t gnge med den omvendte røk. Bevis: Vi forlænger udtrykket på venstresiden med c (hvilket ifølge sætning 16 ikke ændrer på udtrykket): c c c c c c I næst sidste skridt nvendes Definition, og i sidste skridt er Sætning 13 nvendt. d Sætning 0: c c d Dvs. mn dividerer en røk med en røk ved t gnge med den omvendte røk. 1 d Bevis: Vi forlænger med d og 1 d d d c : c c d c c c 1 d c 1 c d d c 1

13 De to sidste røkregneregler, vi ser på, omhndler udtryk, hvor der indgår flere led, dvs. i modsætning til lle de tidligere røkregneregler, ses der nu ikke kun på multipliktion og division, men også på ddition og sutrktion. Sætning 1: c d c d e e e e Dvs. mn dividerer en flerleddet størrelse med et tl ved t dividere hvert f leddene med tllet. Bevis: Vi kn udnytte Sætning 1 smt Sætning 8 fr prentesregnereglerne: c d c d c d 1 c d e e e e e e e e Sætning : c c c Dvs. mn kn ddere (og dermed også sutrhere) to røker med ens nævnere ved t ddere (sutrhere) tællerne og eholde nævneren. Bevis (og opgve): Find ud f hvilke sætningerne, der enyttes i følgende udregning, der udgør eviset: c c c c c c Oversigt over ksiomerne og sætningerne 1) x, y M : x y M ) x, y M : x y M 3) x, y M : x y y x 4) x, y M : x y y x 5) x, y, z M : x y z x y z 6) x, y, z M : x y z x y z 7) x, y, z M : x y z x y x z 8) 0 M : x M : x 0 x 9) 1 M : x M : x1 x 10) x M x M : x x ) x M \ 0 M : x 1 x x 13

14 Sætning 1: 0 0 Sætning : 1 Sætning 3: Sætning 4: Sætning 5: Sætning 6: Sætning 7: Sætninger Sætning 8: c d e c d e Sætning 9: c d c d c d Sætning 10: 1 1 Sætning 11: 1 Sætning 1: Sætning 13: c c Sætning 14: c c Sætning 15: 1 c c Sætning 16: k k Sætning 17: k k Sætning 18: c c d d Sætning 19: c c Sætning 0: c d c d Sætning 1: c d c d e e e e Sætning : c c c 14

15 Komplekse tl Som fslutning på forløet ses nu på en nvendelse f det store rejde med t udlede sætningerne ud fr ksiomerne. Vi vil nu indføre de komplekse tl og tjekke, om de indførte regneregler opfylder de 11 ksiomer, og når vi hr fået ekræftet dette, ved vi, t lle de udledte sætninger også gælder for komplekse tl, dvs. vi ehøver ikke igen t evise disse. Indførelse f i Vi indfører nu ogstvet i som etegnelse for et tl med følgende egensk: i 1 eller i 1. Vi ser med det smme, t dette tl i ikke er et reelt tl, for vi kender ingen tl med den egensk, t deres kvdrt er et negtivt tl. Bogstvet "i" står for "Imginært", og i kldes den imginære enhed (ligesom tllet 1 er enheden, når vi rejder med de reelle tl). Et komplekst tl defineres til t være tl på formen i, hvor og er reelle tl, og hvor kldes reldelen, og kldes imginærdelen. Regnetegnene + og er de regnetegn, vi kender fr de reelle tl, og vi regner med i som med ethvert ndet ogstv, lot med den egensk t i 1. Addition f to komplekse tl foregår efter reglen: i c id c i d Multipliktion f to komplekse tl: ic id c d id c Øvelse: Vis t de første 7 ksiomer gælder. Øvelse: Hvd er det neutrle element ved ddition og det neutrle element ved multipliktion (ksiomerne 8 og 9)? Øvelse: Hvd er det modstte element til et komplekst tl (ksiom 10)? i Øvelse: Kontrollér t det reciprokke element til et komplekst tl i er (ksiom 11). Tælleren i udtrykket i ovennævnte øvelse kldes den komplekst konjugerede til i. Ligesom med de reelle tl får mn desuden rug for t definere sutrktion og division, og fremgngsmåden er den smme: i c id c id i, Sutrktion: hvilket fører til i c i d c i d. i c i d i, hvilket fører til i c d c d i c i d c i d c d c d Division: Øvelse: Vis ovenstående udtryk ved t forlænge venstresiden med c i d. 15

16 LIGNINGER Definition 1: En ligning er et udsgn, der fstslår, t to udtryk A og B er lige store. Kommentr: De to udtryk A og B kn indeholde én eller flere vrile. Bemærk t der står kn og ikke skl. Mn ngiver, t de to udtryk A og B er lige store, ved t skrive A B. Lighedstegnet lev opfundet f Roert Recorde i midten f det 16. århundrede. Det estår f to prllelle rette linjer f smme længde. Eksempler på ligninger er: ) 3 5 ) 6x18 7 c) 10 3 d) x y 1 e) 0 0 f ) x y x y xy g) y x 5 h x y z ) 1 Øvelse: Mn kn grundlæggende dele ligninger op i tre typer. Kig på ovenstående ligninger og se, om du kn dele dem op i tre forskellige typer. Definition : At løse en ligning vil sige t fgøre, om udsgnet er sndt eller flsk, eller t estemme for hvilke værdier f vrilerne, t udsgnet er sndt. Kommentr: Mn kn sommetider møde formuleringer l "At løse en ligning vil sige t estemme de x-værdier, der gør udsgnet sndt" eller "At løse en ligning vil sige t isolere x-værdien". Disse formuleringer er ikke så præcise, og de kn kun nvendes på estemte typer f ligninger, så enyt den ngivne definition. Nogle ligninger kn mn hurtigt løse: Eksempel 1: Vi vil løse ligningen 3 5. Her er udtrykket på venstre side f lighedstegnet et regnestykke, der kn udregnes til 5, og derfor er der tle om et sndt udsgn. Vi hr derfor løst ligningen ved t sige, t "Udsgnet er sndt". Eksempel : Vi vil løse ligningen x y x y xy. Vi vil løse ligningen ved t udregne venstresiden (to prenteser gnges smmen): x y x y x y x xy yx y x y xy 16

17 Der står nu det smme på egge sider f lighedstegnet, og udsgnet må derfor være sndt, unset hvd der indsættes på x's og y's pldser. Ligningen løses derfor igen ved t sige: "Udsgnet er sndt" Eksempel 3: Vi vil løse ligningen Her løser vi ligningen ved t sige, t "Udsgnet er flsk". Dette kn også udtrykket med symoler fr mængdelæren ved L Ø, der udtles "Løsningmængden er den tomme mængde". Eksempel 4: Vi vil løse ligningen x y 1. Her kn vi igen se, t udsgnet vil være flsk unset hvilke værdier, vi indsætter som x og y, d kvdrtet på et tl ldrig kn live negtivt (det er her ntget, t vi ikke regner med komplekse tl). Derfor løser vi igen ligningen ved t skrive L Ø. Ovenstående eksempler hr ikke krævet det store regnerejde. Det kn ikke ltid undgås, og mn skl derfor være opmærksom på følgende sætning: Sætning 1: En ligning ændrer ikke sndhedsværdi, hvis mn dderer, sutrherer, multiplicerer med eller dividerer med det smme udtryk på egge sider f lighedstegnet, så længe mn ikke multiplicerer eller dividerer med et udtryk, der hr værdien 0. Kommentr: Ofte siger mn re "I en ligning må mn lægge det smme tl til på egge sider, mn må trække det smme tl fr på egge sider, mn må dividere med det smme tl (der ikke er 0) på egge sider, og mn må gnge med det smme tl (der ikke er 0) på egge sider". Med sndhedsværdi menes, om ligningen er snd eller flsk, eller hvilke værdier f vrilerne, der gør udsgnet sndt. Mn ngiver, t to udsgn hr smme sndhedsværdi med en iimpliktion : Det kldes også et "ensetydende tegn". Eksempel 5: Vi vil løse ligningen 3x17 x 18. 3x17 x18 3x x x 35 x x Biimpliktionerne fortæller som sgt, t ligningerne hr smme sndhedsværdi. Og pointen er så, t den sidste ligning er meget nem t flæse. Den fortæller os, t udsgnet er 35 sndt, netop når x er 7. Derfor er udsgnet x også sndt, netop når x er 7. Og således fortsættes 5 opd, indtil mn kn konkludere, t udsgnet 3x17 x18 er sndt, netop når x er 7. 17

18 Væsentlig detlje: I sætning 1 nævnes 4 forskellige ting, mn kn t gøre ved en ligning, uden t den ændrer sndhedsværdi. Der er flere ting, mn må gøre: ) Mn må uddrge kvdrtroden på egge sider f lighedstegnet, hvis de er ikke negtive: x 1 49 x 1 49 x 1 7 ) Mn må tge logritmen på egge sider f lighedstegnet, hvis de er positive: x x 5 7 log 5 log 7 c) Mn må potensopløfte med en hvilken som helst positiv rod ortset fr 1: MEN... mn må f.eks. ikke tge kvdrtet på egge sider: ( 1) 1 Tlsættet, 1, gør egge udsgn snde. Det smme gælder for tlsættet, 3, Men prøv t finde et tlsæt,, der gør højresiden, men ikke venstresiden, snd.. DE TRE TYPER AF LIGNINGER Ligningerne opdeles i tre typer: 1) Identiteter. ) Asurditeter. 3) Bestemmelsesligninger. 18

19 IDENTITETER Definitioner: Identiteter er ligninger, der er snde (for lle værdier f de vrile). Når sidste del f formuleringen er i prentes, skyldes det, t der jo ikke nødvendigvis indgår vrile i en ligning. Vi er llerede stødt på identiteter lndt de første eksempler. Det drejer sig om: ) 3 5 e) 0 0 f ) x y x y xy De to første ligninger er oplgt snde udsgn, mens mn ved indsættelse f forskellige værdier for x og y i den sidste ligning kn overevise sig selv om, t det ltid giver et sndt udsgn. Anvendelser 1) Udregninger: Når mn nvender lighedstegn i en udregning, sker mn identiteter, for pointen med en udregning er jo netop, t mn skl skrive et nyt ritmetisk udtryk med smme værdi som det oprindelige: ) Alle de forskellige ritmetiske udtryk ovenfor hr værdien 34. ) Reduktionsstykker: Egentlig er en reduktion det smme som en udregning. Et reduktionsstykke indeholder re (også) en eller flere vrile: ) Unset hvilke værdier, der indsættes på 's og 's plds, vil lle de fire udtryk give smme værdi. 3) Nogle typer mtemtiske sætninger: Nogle mtemtiske sætninger er egentlig en slgs reduktionsstykker opskrevet uden mellemregninger. ) x y x y xy ) x y x y xy c) x y x y x y d) cos x sin x 1 e)log log log f ) p q p q 19

20 Denne type sætninger nvendes, når udtryk skl reduceres, d mn kn ersttte venstre- og højresiderne med hinnden: Et eksempel på nvendelse f f): Et eksempel på nvendelse f ): s t 4s t 4st Et eksempel på nvendelse f e): log log 5 log 5 log 10 1 (Når mn hr lært om logritmer, ved mn, t log 10 1) 4) Definitioner: Mnge mtemtiske definitioner er identiteter, d de forklrer, hvordn et egre eller en nottion skl forstås, og d der dermed "pr. definition" dnnes et sndt udsgn. x 0 ) 1 (Dette gælder for lle værdier f x - også 0... pr. definition) 1 1 ) Dette er definitionen f prikproduktet f og x log c) 10 x ; x 0 Definitionen f logritmefunktionen 3 3 5) Løsning f differentilligninger: De såkldte differentilligninger er ligninger, hvor løsningerne er funktioner, og pointen er, t de funktioner, der er løsninger til differentilligningen, er de funktioner, der indst i differentilligningen giver et sndt udsgn (dvs. en identitet). Eksempel: Vi vil undersøge, om funktionen differentilligningen dy y x 5 dx. 1 f x x 3x 1er en løsning til Her følger en række udregninger, mn ikke kn følge med i, når mn ikke hr hft differentilregning, så du skl gå direkte til nederste linje i udregningen: f ' x x x x x x x x x x x 0 x 0 Og nu skl du være opmærksom! Den nederste ligning er et udsgn, der er sndt, når x er 0, MEN pointen er, t det ikke er en identitet. Det er ikke et sndt udsgn for lle værdier f x, og dermed er den ngivne funktion IKKE en løsning til den pågældende differentilligning. 0

21 ABSURDITETER Definitioner: Asurditeter er ligninger, der er flske (for lle værdier f de vrile). Blndt de første eksempler vr der også surditeter: c) 10 3 d) x y 1 Asurditeter viser, t et prolem ikke kn løses. Anvendelser Eksempel 1: Mn ønsker t estemme skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne y 3x 5 og y 3x 4. Mn skl finde den x-værdi, der indst i egge ligninger giver smme y- værdi. Hvis y-værdierne i de to ligninger skl være ens, skl højresiderne i de to ligninger også være ens: 3x 5 3x 4 3x 3x Det sidste udtryk er en surditet, og ifølge iimpliktionerne er de ndre udtryk også surditeter. Der er ltså ikke nogen x-værdi, der indst i egge ligninger giver smme y-værdi. Med ndre ord er der ikke noget skæringspunkt mellem de to linjer (de er prllelle). Eksempel : Vi vil løse ndengrdsligningen 0 x x Vi omskriver ligningen: 0 x x 0 1 x x 1 1 x x 1 (Her udnyttes en identitet på højresiden) 1 x 1 Det sidste udtryk er en surditet, d kvdrtet på et tl ikke kn live negtivt, og dermed er der ingen løsninger til den pågældende ndengrdsligning. 1

22 BESTEMMELSESLIGNINGER Definitioner: Bestemmelsesligninger er ligninger, hvor der indgår mindst én vriel, og hvor en eller flere, men ikke lle, værdier for vrilerne giver et sndt udsgn. Blndt estemmelsesligningerne hører de "lmindelige" ligninger, som mn møder i opgver f typen "Løs ligningen...". Men også ligninger for rette linjer, cirkler, kugler, ellipser, plner, prler, hyperler o.l. er estemmelsesligninger. Eksempel 1: Løs ligningen 7x 3 13x 9 7x 3 13x 9 1 0x x x Hermed hr mn løst ligningen ved t omskrive den, så det til sidst fremgår klrt, t når x er 3 5, så giver ligningen et sndt udsgn. Eksempel : Løs ligningen x1 x 1 Hvis mn ikke er så sikker i sine regneregler, kunne mn godt forveksle denne ligning med en identitet, men udregninger viser tydeligt noget ndet: x x 1 1 x 1 x x 1 x 0 x 0 Dvs. t ovenstående ligning giver kun et sndt udsgn, når x er 0. Eksempel 3: Ligningen y4x 7 Dette er en estemmelsesligning. Løsningerne til denne ligning er lle de tlpr xy,, der gør udsgnet sndt. F.eks. er tlprrene 0,7 og 1,3 egge løsninger til ligningen, fordi de indst i ligningen giver et snde udsgn (henholdsvis og ). Der er uendeligt mnge f sådnne løsninger. MEN... det er ikke lle tlpr, der er en løsning til ligningen. F.eks. er tlprrene,5 og 4,1 ikke løsninger til ligningen, d det giver de flske udsgn og

23 Hvis mn etrgter ligningen som en ligning for en ret linje, så estår denne rette linje netop f de punkter xy,, der er en løsning til ligningen. Eksempel 4: Ligningen x y Dette er ligningen for en cirkel med centrum i 5, 3 og med rdius r 4. Cirklen estår f lle de punkter xy,, der giver et sndt udsgn, når de indsættes i ligningen. Opgve Afgør om følgende er identiteter (i), surditeter () eller estemmelsesligninger (): 3

24 GENNEMSNIT Når mn møder ordet 'gennemsnit', menes der næsten ltid Det Aritmetiske Gennemsnit (også kldet Det Aritmetiske Middeltl), der oftest er det smme som Middelværdien. Men der findes ndre slgs "gennemsnit", og nogle f dem er vigtige t kende i gymnsiet. For et dtsæt f størrelsen n, x 1 x x 3 x 4,,,,..., n x, defineres følgende størrelser: Aritmetisk gennemsnit / Aritmetisk middeltl / (Middelværdi) x x x... x x n 1 3 n i1 n n x i x H n n n x x x x x 1 3 n i1 i Hrmonisk gennemsnit eller Geometrisk gennemsnit n n n G n i i1 x x x x x x n x1 x x3 xn i1 xi x n n H Kvdrtisk gennemsnit x Q x x x... x n 1 3 n i1 Når mn udregner et gennemsnit, kn mn sige, t det skl fungere som svr på et spørgsmål (der ikke nødvendigvis er stillet explicit). Mn skl ltså være opmærksom på, hvd det egentlig er for et spørgsmål, mn ønsker t esvre, og derefter skl mn vælge det rigtige gennemsnit. Dette ses der ort fr et øjelik, d vi nu skl se et eksempel på, hvordn formlerne nvendes på et konkret tlsæt. Vi ner ltså intet om, hvor følgende tl kommer fr, men får re oplyst, t vi hr tllene, 6, 17, 10 og 3. Vi udregner nu hvert f de fire gennemsnit uden t tænke på, hvd resultterne fortæller os: Aritmetisk gennemsnit: x 7, Hrmonisk gennemsnit: xh 4, Geometrisk gennemsnit: x ,7 G Kvdrtisk gennemsnit: x Q 9,36 5 Mn får ltså - ikke overrskende - 4 forskellige tl som resultter. Uden evis kn det nævnes, t det ltid gælder, t xh xg x xq. n n x i 4

25 Anvendelser f de forskellige gennemsnit Vi skl nu se på en række eksempler, hvor det giver mening t udregne et estemt gennemsnit. Aritmetisk gennemsnit Eksempel 1: En fodoldspiller øver sig i t jonglere med en old, og ntllet f erøringerne noteres for hvert forsøg: 8, 31,, 5, 5, 9, 17, 43, 41 Der er 9 forsøg, så n 9, og det ritmetiske gennemsnit er x 3, Dette fortæller os, t hvis en nden fodoldspiller i de 9 forsøg opnår smme ntl erøringer i hvert forsøg, skl dette ntl være 3, hvis hun skl opnå det smme smlede ntl, som den første fodoldspiller (der vil pg. frunding mngle en enkelt erøring). Eksempel : På en ferie, der vrer 7 dge, ruger du på de enkelte dge følgende elø i kroner: 01, 318, 340, 119, 147, 354 og 6. Det ritmetiske gennemsnit f disse tl er: x 59 7 Dette fortæller os, t hvis du hver dg hvde rugt 59 kroner, ville du efter de 7 dge smlet hve rugt det smme, som du gjorde med de forskellige elø. s Eksempel 3: Frten v er defineret som v, hvor s er strækningen, genstnden hr evæget sig, t og t er den tid, der er rugt på evægelsen. Pheidippides er en udholdende løer. Hn løer i tre timer. Den første time løer hn med frten 8 km/h, den nden time med frten 15 km/h og den tredje time med frten 7 km/h. Hvor hurtigt hr hn løet i gennemsnit? Hn hr løet i lt 30 km og rugt 3 timer på det, så gennemsnitsfrten er ssmlet 30km km v 10. t 3h h smlet Hvis udregningen skl gøres mere generel, kn vi indføre følgende størrelser: v 1 8 km er frten den første time. h v 15 km er frten den nden time. h v 3 7 km er frten den tredje time. h t t t t h : D tidsintervllerne med hver frt er lige store, ruger vi kun én størrelse t, der er 1h (1 time). 5