Projekt Lineær programmering i to variable
|
|
- Jesper Kjeldsen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Projekt Lineær programmering i to variable. Den grundlæggende ide i lineær programmering Håndtering af optimeringsproblemer er et af de store anvendelsesområder inden for differentialregningen. Det kan være problemer af tpen: Hvilken rute giver den korteste transporttid? Hvilke dimensioner giver det mindste materialeforbrug? Eller: Hvilken hastighed giver den mest effektive trafikafvikling? Alt ammen under nogle bestemte betingelser. Fremgangsmåden i den gren af matematikken er at identificere en uafhængig variabel, og så udtrkke eksempelvis materialeforbruget som en funktion dernæst ved at differentiere og bestemme lokale ekstrema. f ( ) af denne variabel. Svaret på optimeringsproblemet findes Mange optimeringsproblemer inden for virksomhedsøkonomi eller vedrørende håndtering af logistikken inden for store organisationer involverer imidlertid ikke én, men et stort antal uafhængige variable. Det kræver ne matematiske metoder. En vej at gå er her at generalisere differentialregningen til funktioner af flere variable. Men der findes en anden vej, der populært sagt er udviklet ud fra trial and error metoder, dvs hvor man prøver sig frem med kvalificerede gæt. Disse metoder fik fast grund under fødderne i årene efter 2. Verdenskrig, og ikke mindst udviklingen af computere med deres enorme regnekraft gav muligheder for at udvikle disse metoder til en helt n gren af matematikken, lineær programmering. Vi vil her introducere de grundlæggende metoder i lineær programmering, eller LP som man af og til kalder det, ud fra et eksempel med blot to variable. Et fælles træk ved alle LP-problemer er: - de uafhængige variable er underlagt bestemte betingelser (begrænsninger), som vi repræsenterer grafisk i et koordinatsstem - vi ønsket at optimere produktion, fortjeneste eller andet, og opstiller et funktionsudtrk for dette. Funktionen er afhængig af alle de uafhængig variable og kaldes kriteriefunktionen - anbefalinger af bestemte optimale løsninger kan ikke altid imødekommes eksakt, så vi er også interesseret i, hvor følsom den optimale løsning er i forhold til små udsving på betingelserne. Eksempel: Eksamensopgave hh, A-niveau Virksomheden Gern Glas A/S producerer planglas og spejle til bl.a. møbelindustrien. Produktionen foregår i tre processer: slibning, hærdning og boring. Kilde: Gern Glas A/S. Til et planglas bruges 0 minutter til slibning, 20 minutter til hærdning og 4 minutter til boring. Til et spejl bruges 20 minutter til slibning, 5 minutter til hærdning og 2 minutter til boring. Til slibning er der 50 minutter til rådighed pr. dag, til hærdning er der 00 minutter til rådighed pr. dag, og til boring er der 56 minutter til rådighed pr. dag Lad angive antal planglas pr. dag og lad angive antal spejle pr. dag. Begrænsningerne definerer følgende polgonområde:
2 Det samlede dækningsbidrag pr. dag bestemmes ved funktionen f (, ) = a) Bestem det antal planglas og det antal spejle, der skal produceres pr. dag for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag pr. dag. b) Bestem, indenfor hvilket interval dækningsbidraget pr. spejl kan variere, så f stadigvæk antager sin størsteværdi i punktet bestemt i spørgsmål a). Løsning For at kunne overskue problemet gennemføres en matematisk modellering, hvor vi som sædvanligt indfører relevante variable og deres variabelsammenhænge beskrevet ved funktioner. I eksemplet præsenteres vi således for to uafhængige variable og, der repræsenterer den daglige produktion af antal planglas henholdsvis antal spejle, samt den afhængige variabel z, der repræsenterer dækningsbidraget per dag. I opgaveteksten er dækningsbidraget per dag oplst via sin funktionsforskrift z = f(, ). Opgaven er nu delt i to dele: en optimeringsdel (a) og en følsomhedsanalse (b). 2. Optimeringsdelen Spørgsmålet er, hvordan vi kan tilrettelægge produktionen, så dækningsbidraget pr. dag bliver størst muligt? Til hjælp for at besvare dette spørgsmål indføres der nu nogle uligheder i form af en række begrænsninger på produktionen. For det første er der positivitetsbetingelserne: Antal planglas og antal spejle må nødvendigvis være ikke-negative for at give mening, dvs. de uafhængige variable og skal opflde betingelserne: 0, 0. For det andet er der produktionsbetingelserne: Der er kun en begrænset mængde af tid til rådighed for at slibe, hærde og bore. De tilhørende oplsninger kan bekvemt opstilles i en produktionstabel: Emne\Aktivitet Uafhængige Slibning Hærdning Boring (min. per dag) variable (antal) Planglas = Spejl = Begrænsning (min. per dag) Værdi Produktionsbetingelse Afhængig variabel Dækningsbidrag Her udtrkker produktionsbetingelsen for slibning f at når vi bruger 0 min. på at slibe ét planglas, så bruger vi 0 minutter per dag på at slibe planglas og tilsvarende 20 på at slibe spejle. Da de to aktiviteter foregår uafhængige af hinanden bliver den samlede tid brugt på slibning derfor givet ved summen Men da der kun er 50 minutter til rådighed om dagen til at bruge på slibning er vi nødt til at opflde uligheden Vi har også indført forskriften for dækningsbidraget som funktion af antal planglas og antal spejle. Forskriften henter
3 vi direkte fra opgaveteksten uden begrundelse. Men målt i passende enheder (f kr.) gælder der åbenbart, at dækningsbidraget er henholdsvis 0 pr. planglas og 20 pr. spejl. Vi opbgger skemaet i et regneark med brug af dettes formelværktøj. Indsættes værdier for de uafhængige variable i de grønne celler, udregnes dels sandhedsværdierne for de orange begrænsningsceller - dvs. stemmer ulighederne, ja eller nej - dels værdien af dækningsbidraget i den røde celle. Øvelse a) Prøv f at tildele og værdierne 6 og 8. Er begrænsningerne opfldt? Hvad bliver dækningsbidraget per dag hørende til en produktion af 6 planglas og 8 spejle? b)hvor meget skal du ændre på antallet af spejle for at vi sprænger produktionsbetingelserne? Vi vil i første omgang løse optimeringsdelen med brug af traditionelle geometriske metoder. I opgaven er opstillet polgonområdet for begrænsningerne, dvs. det område i (,)-grafrummet, der rummer de mulige produktionspunkter (, ). Vi vil her selv prøve at opstille dette ved at regne på ulighederne. Når vi isolerer en variabel i en ulighed skal vi huske at uligheden kun bevares, hvis vi ganger/dividerer med positive tal! Vi omskriver til følgende uligheder: Positivitetsbetingelser Produktionsbegrænsninger En lineær ulighed tilfredsstilles af en halvplan afgrænset af en kantlinje. Polgonområdet fremstår derfor som fællesmængden af en række halvplaner. 4 F aflæser vi at den første produktionsbetingelse har kantlinjen 5 = Den tilfredsstilles derfor af alle punkterne i halvplanen under kantlinjen. Den nemmeste metode til at få tegnet polgonområdet er nu at tegne alle kantlinjerne, fastlægge deres skæringspunkter (gerne geometrisk) og tegne polgonen. (0,7.5) = (,6) = Øvelse 2 Find ud af hvordan man tegner grafer for uligheder i dit værktøjsprogram. Vi kan nu finde det maksimale dækningsbidrag. Vi skal altså have tegnet grafen for dækningsbidraget f(, ) = I hvert punkt af koordinatsstemet kan vi udregne værdien f(, ), og afsætter vi denne værdi op ad en z-akse, kunne vi forestille os grafen som en 2-dimensionel flade over -planen. Men en af de geniale ideer i LP er i stedet at se på niveaulinjer, dvs. se på hvilke punkter i -planen, der giver en bestemt funktionsværdi. (, ) Vi indfører derfor en skder k for dækningsbidraget (op til 000 ) og tegner niveaulinjen med ligningen = k bestående af alle punkterne med dækningsbidraget k. Når man trækker i skderen og lader k vokse kan man se niveaulinjen bevæge sig væk fra origo. Dermed kan man nemt finde det sted, hvor der er maksimal fortjeneste, som er netop det hjørnepunkt, hvor niveaukurven forlader polgonen, altså punktet (2,4). Vi indsætter: f (2,4) = = = (0,0) (4,0) = Konklusion: Den optimale produktion består i 2 planglas og 4 spejle. Den maksimale fortjeneste er f(2,4) = (2,4)
4 Maksimum antages altid i et hjørnepunkt. Vi kunne derfor også have fundet den optimale løsning ved hjørneinspektion, dvs. ved at regne dækningsbidraget ud for de fem hjørnepunkter og derefter vælge det hjørnepunkt, der har det højeste dækningsbidrag. Hjørnepunktinspektion forudsætter stadigvæk, at man støtter sig til en graf. Det er ikke nok bare at finde alle skæringspunkterne mellem kantlinjerne, da nogle af kantlinjerne skærer hinanden udenfor polgonen (dvs. skæringspunktet opflder ikke begrænsningerne) og disse skæringspunkter skal selvfølgelig ikke indgå i hjørneinspektionen. Øvelse : Eksamensopgave UDEN hjælpemidler hh, mat B En funktion i to variable er givet ved forskriften f(, ) = I figuren herover er indtegnet et polgonområde. a) Bestem funktionens størsteværdi inden for polgonområdet.. Følsomhedsanalsen I det sidste spørgsmål skal vi nu finde hvor meget dækningsbidraget pr. spejl kan variere så det stadigvæk antager sit maksimum i produktionen (2,4), dvs. 2 planglas og 4 spejle. Dækningsbidraget har forskriften f(, ) = a + b, hvor a er dækningsbidraget for et planglas, dvs. her 0, og b er dækningsbidraget for et spejl, dvs. her 20. I følsomhedsanalsen ser vi på, hvor følsom placeringen af maksimumsstedet (2,4) er for variationer i b. Med andre ord, hvornår skifter maksimumsstedet til et nabopunkt, henholdsvis (4,0) eller (,6). Da a holdes fast, mens b varierer, er forskriften for dækningsbidraget: f(, ) = 0 + b Vi indfører igen en skder, denne gang for dækningsbidraget b. Vi ser da at maksimumsstedet skifter til nabopunktet (4,0) når b er ca. 5, og at det tilsvarende skifter til nabopunktet (,6), når b er ca For at finde de præcise værdier for intervalgrænserne for b aflæser vi hældningerne (rød og blå) for de to kantlinjer, der støder op til hjørnepunktet (2,4). Den sammenholdes da med hældningen for niveaulinjen: 0 + b = k 0 k 0 = +, dvs hældningen for niveaulinjen er: b b b 0 4 Kant : = 2. Vi finder da = 2 b = 5. Kant2: =. Vi finder da b (0,7.5) = k = b = 5 0 = -0 b + k b (2,4) -5 (0,0) (4,0) -5 (,6) = = b = = b 4 40 =
5 Konklusion: Maksimumsstedet ligger ved produktionen 2 planglas og 4 spejle om dagen, så længe dækningsbidraget for spejle ligger i det åbne interval ]5;22.5[. Øvelse 4: Kontrol af løsningerne i regneark Det første spørgsmål kunne også være løst ud fra tabellen i et regneark. Vi skal da først overføre tabellen til vores regneark (tabellen kan evt. hentes fra hjemmesiden), idet vi erstatter de matematiske formler med de tilsvarende regnearks-formler. Regnearket opbgges, så de uafhængige variable og i de grønne celler importeres i udregningen af produktionsbetingelser og dækningsbidrag. Visse regneark har en indbgget problemløsning af LP-problemer og tilsvarende følsomhedsanalse. Du kan på her finde en detaljeret gennemgang af løsningen af opgaven ved hjælp af regneark. Prais: Lineær programmering i to variable med følsomhedsanalse Optimeringsdel: Identificér de to uafhængige beslutningsvariable og. Opskriv kriteriefunktionen, dvs. den afhængige variabel f(, ) = a + b. Omskriv begrænsningerne for de involverede aktiviteter til uligheder (herunder evt. positivitetsbetingelserne 0, 0 ) og tegn det tilhørende polgonområde. Du kan nu enten finde den søgte optimale løsning ved hjørneinspektion eller ved at undersøge niveaulinjerne. Bruges niveaulinjer, skal du tegne niveaulinjen a + b = k og forskde den i retning af voksende værdier af k (ved maksimering) eller aftagende værdier af k (ved minimering), indtil den slipper polgonområdet i et hjørnepunkt. Dette hjørnepunkt er da det optimale punkt. Fastlæg koordinater og tilhørende værdi af kriteriefunktionen for det optimale hjørnepunkt. Følsomhedsanalse: Fastlæg hældningerne og 2 for de to kanter, der støder op til det optimale hjørnepunkt. Ved følsomhedsanalse for skal du nu finde de tilhørende værdier af koefficienten a, så niveaulinjen netop får en af de to hældninger og 2. Tilsvarende ved følsomhedsanalse for, hvor det er værdien af koefficienten b, der tilpasses, så niveaulinjen netop får en af de to hældninger og 2. Den relevante koefficient skal da ligge i intervallet udspændt af de to fundne randværdier. α a +b = k a +b = k α 2 Øvelse 5: Frit efter eksamensopgaver fra hh mat A og B
6 En virksomhed ønsker at anskaffe et antal ne printere. Virksomheden skal vælge mellem tpe A, som både kan printe og kopiere samt tpe B, som kun kan printe. Lad angive antal printere af tpe A og lad angive antal printere af tpe B. Virksomheden har besluttet maksimalt at anvende kr. til anskaffelse af printere. Tpe A koster kr. pr. stk. og tpe B koster kr. pr. stk. Virksomheden har besluttet højst at anskaffe 8 ne printere, hvoraf mindst 2 skal være af tpe A. Kapaciteten for printer tpe A er opgivet til 500 print eller kopier i timen og for printer tpe B til 000 print i timen. Funktionen f (, ) = a + b angiver den samlede kapacitet i timen for de anskaffede printere. a) Argumenter for, at f(, ) = b) Tegn polgonområdet hørende til begrænsningerne. c) Bestem det antal printere af tpe A og det antal printere af tpe B, der giver virksomheden den størst mulige samlede kapacitet i timen. d) Gør rede for, at kapaciteten for tpe A kan variere i intervallet [000; 2000], hvis f stadig skal antage sin største værdi i punktet bestemt i spørgsmål c). Øvelse 6: Vejledende eksamensopgave, hh mat A En virksomhed producerer og sælger to tper handicaplifte, FLEXSTAIRS og UPLIFT. Lad angive antal FLEXSTAIRS og lad angive antal UPLIFT. Produktionen af de to lifte foregår i to afdelinger, produktionsafdelingen og testafdelingen. Til både produktion og testning er der et begrænset antal timer pr. måned. Det tager 20 timer at producere en FLEXSTAIRS og 5 timer at producere en UPLIFT. Samlet er der 00 timer i produktionsafdelingen pr. måned. Der skal bruges 2 timer til at teste en FLEXSTAIRS og 4 timer til at teste en UPLIFT. Samlet er der 40 timer i testafdelingen pr. måned. Ovenstående oplsninger er samlet i følgende skema: Flestairs Uplift Ma tid Produktion Testning Dækningsbidrag Foto: Det samlede dækningsbidrag ved en produktion af antal FLEXSTAIRS og antal UPLIFT er givet ved funktionen f(, ) = a)bestem det antal FLEXSTAIRS og det antal UPLIFT, virksomheden skal producere pr. måned for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag. Virksomheden ser de største fremtidsmuligheder i produktion og salg af FLEXSTAIRS. Hvis dækningsbidraget på FLEXSTAIRS stiger, overvejer virksomheden at stoppe produktionen af UPLIFT. b) Bestem hvor meget dækningsbidraget på en FLEXSTAIRS mindst skal stige til, for at det bedst kan betale sig for virksomheden udelukkende at producere FLEXSTAIRS.
Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014
Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Vejledende opgave 2
Matematik A Højere handelseksamen Vejledende opgave Efterår 01 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal
Læs mereOpgaver til Kapitel 6 MatB
Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver
Læs mere(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2
MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 15. december 2015 kl hhx153-mat/a
Matematik A Højere handelseksamen hh153-mat/a-15122015 Tirsdag den 15. december 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen
Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen
Læs mereLineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2
Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014
Matematik A Højere handelseksamen hh143-mat/a-151014 Mandag den 15. december 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.
Læs merePeter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 17. august Stamfunktionen til t 1 /2. Grænserne er indsat i stamfunktionen. a 2 +9.
Opgave 6 Arealet under grafen udregnes. b) Arealet er givet ved M = 4 0 2x x 2 + 9 dx Arealet udregnes ved at integrere funktionen. M = 25 9 t dt Der er foretaget substitution t = x 2 + 9. [ ] 25 M = Stamfunktionen
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mere2. Funktioner af to variable
. Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereLineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen
Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00. hhx143-mat/b-15122014
Matematik B Højere handelseksamen hhx143-mat/b-15122014 Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereStudieplan Stamoplysninger Periode Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Oversigt over planlagte undervisningsforløb Titel 1
Studieplan Stamoplysninger Periode August - November 2018 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Grundforløb) Søren Andresen 18-HH11, 18-HH12, 18-HH13
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereMatematik A og Informationsteknologi B
Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A htx102-mat/a-26082010 Fra torsdag den 26. august til fredag den 27. august 2010 Side 1 af 15 sider Forord Forberedelsesmateriale
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ MATEMATIK B-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt Kl STXB-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK B-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 2010 Kl. 09.00 13.00 STXB-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler: 1 time med autoriseret formelsamling
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.
Læs mereSvar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x =
MAT B GSK august 009 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 1 0 1 hvor angiver den efterspurgte mængde og d() angiver
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december kl
Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/b-20122010 Mandag den 20. december 2010 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hh141-mat/b-23052014 Fredag den 23. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereProjekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb
Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a
Matematik A Højere handelseksamen hhx14-mat/a-1808014 Mandag den 18. august 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Gammel ordning. Mandag den 17. december 2018 kl gl-hhx183-mat/a
Matematik A Højere handelseksamen Gammel ordning gl-hhx183-mat/a-17122018 Mandag den 17. december 2018 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave
Læs merePeter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b
stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hh11-mat/b-70501 Mandag den 7. maj 01 kl. 9.00-1.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs merePeter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 21. april 2014
Opgave 6 Ved hjælp af GeoGebra CAS ses at udtrykkes reduceres til noget som er forskelligt fra b 3 ab 2. Dette kan også ses ved f.eks. at indsætte a = 0 og b = 1. Se bilag 2! Opgave 7 Data er indlæst i
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereProgression frem mod skriftlig eksamen
Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder Center for Uddannelse (SCU)
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl. 9.00-14.00. hhx133-mat/a-16122013
Matematik A Højere handelseksamen hhx133-mat/a-161013 Mandag den 16. december 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010. Denne beskrivelse dækker efteråret 2011 og foråret 2012. Institution Roskilde Handelsskole
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj Juni 2011 Roskilde
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning Opgave 1: r ( t) Q( 7,8) 21. maj 2019: Delprøven UDEN hjælpemidler 2t + 1 = 2 t 1 a) Funktionsværdien bestemmes ved indsættelse af t-værdien: 2
Læs mereEksempler på mindstekrav for matematik C og matematik B
Indhold Indledning... Grundlæggende regnefærdigheder: procentregning og indekstal, regningsarternes hierarki reduktion, regler for regning med potenser og rødder, logaritmer.... Funktionsbegrebet: repræsentationsformer,
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx111-mat/a-305011 Mandag den 3. maj 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.
Læs mereHØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK B-NIVEAU. Tirsdag den 18. december 2007. Kl. 09.00 13.00 HFE073-MAB
HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK B-NIVEAU Tirsdag den 18. december 2007 Kl. 09.00 13.00 HFE073-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereHøjere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler
Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 008 HHX08-MAB Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse
Læs mereDelprøven uden hjælpemidler
Opgave 1 a) Ved aflæsning på graf fås følgende: Median: 800 kr. Andel dyrere end 1000 kr.: 45%. Opgave 2 Givet funktionen: f (x)= 3x 2 8x +5. a) F(x)= x 3 4x 2 +5x + k. Delprøven uden hjælpemidler Vi finder
Læs mereStart Excel Du skal starte med at åbne Excel. I Excel åbner du herefter en tom projektmappe.
Lineær programmering i Excel Version for PC I lærebogens kapitel 29 afsnit 4 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere knappe
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen
Matematik A Højere handelseksamen hhx1-mat/a-160801 Fredag den 16. august 01 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Gammel ordning. Fredag den 17. august 2018 kl gl-hhx182-mat/a
Matematik A Højere handelseksamen Gammel ordning gl-hhx182-mat/a-17082018 Fredag den 17. august 2018 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx11-mat/a-1508011 Mandag den 15. august 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hh123-mat/b-17122012 Mandag den 17. december 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl Mandag den 15. august 2011 kl hhx112-mat/b
Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx112-mat/b-15082011 Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen
Matematik A Højere handelseksamen hhx131-mat/a-705013 Mandag den 7. maj 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereForslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Sygeterminsprøve. Sorø Akademis Skole. Tirsdag den 15. august 2017 kl stx172-mat/b
Matematik B Studentereksamen Sygeterminsprøve Sorø Akademis Skole stx172-mat/b-15082017 Tirsdag den 15. august 2017 kl. 9.00-13.00 163494.indd 1 05/07/2017 07.48 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereProjekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A)
Projekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A) (Data er hentet fra M. Radelet, "Racial characteristics and imposition of death penalty", American Sociological Review, 46 (1981), pp 918-927
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj Juni 2011 Roskilde
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 13. august 2008. Kl. 09.00 13.00 STX082-MAB
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Onsdag den 13 august 2008 Kl 0900 1300 STX082-MAB Opgavesættet er delt i to dele Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål Delprøven
Læs mereProjekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!
Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl. 9.00-13.00. hhx142-mat/b-18082014
Matematik B Højere handelseksamen hhx142-mat/b-18082014 Mandag den 18. august 2014 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh10-mat/a-1608010 Mandag den 16. august 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGrafregnerkravet på hf matematik tilvalg
Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;
Læs mereHØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Fredag den 12. december Kl HFE083-MAB
HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Fredag den 12. december 2008 Kl. 09.00 13.00 HFE083-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE
Læs mereGU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet
GU HHX MAJ 009 MATEMATIK B Onsdag den 13. maj 009 Kl. 9.00 13.00 Undervisningsministeriet GL091-MAB Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og
Læs mereMAT B GSK juni 2007 delprøven uden hjælpemidler
MAT B GSK juni 007 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 Grafen for funktionen f er vist på bilag 1. Løs ligningen f() = 4 og uligheden f() < 4. Svar : f() = 4 =, = 1, = 1 eller = 3 ; L = { ; 1;1;3} (ses
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mere