Program. Normalfordelingen. Hvad skal vi bruge normalfordelingen til? Eksempel: hjerneceller hos marsvin

Transkript

1 Program Normalfordlig Hll Sørs I dag: ormalfordlig Hvad skal vi brug ormalfordlig il og hvorfor r d vigig? Hisogram og ormalfordligsæhd Brgig af sadsylighdr i ormalfordlig Er daa ormalfordl? Fordlig af gmsi (måsk, llrs orsdag) Torsdag: saisisk ifrs for kl sikprøv Kofidsirval for middlværdi Ts af hypos om middlværdi Prædikiosirval SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig / 8 SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 2 / 8 Eksmpl: hjrllr hos marsvi Hvad skal vi brug ormalfordlig il? Fra hvr af marsvi har ma ilfældig udvalg hjrll fra bsm områd og opal aall af ddrii brah sgms. Rsular: Sids ug: Gmsi og sikprøvsprdig: ȳ = 35.8 og s =.8. Tgigr, fx. hisogram og boxplo D ug: Er d rimlig a aag a daa r ormalfordl? Saisisk ifrs for kl ormalfordl sikprøv Tæk på populaio af all marsvi. Hvad r d gmsilig aal ddrii brah sgms for all diss marsvi? D vd vi ikk og kommr hllr aldrig il d! M vi har ag sikprøv (sampl) på marsvi og få gmsi ȳ = Sikprøvgmsi r vors sima vors bds gæ på populaiosgmsi. Hvis vi havd ag ad sikprøv havd vi få ad gmsi. Så hvor mg ka vi sol på d 35.8? Hvor præis r sima? Hvad ka vi kokludr om populaio udfra sikprøv? D ka vi svar mg præis på hvis vi ka aag a aall i populaio r ormalfordl! SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 3 / 8 SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 4 / 8

2 Normalfordligsæhd Marsvi: hisogram og ormalfordligsæhd Forolkig af hisogram, for giv irval: adl af obsrvaior i irvall r aral af rkagl adl obs. = saml aral Ka vi ilpass kuv il hisogramm, så vi får ilsvard forolkig? Sadsylighd for a hav i irvall r lig (rlaiv) aral udr kurv: P r sadsylighd = Vil brug ormalfordligsæhd! aral udr kurv i irvall saml aral udr kurv ou Tæhd for ormalfordlig md middlværdi 35.8 og sprdig.8: 2π.8 2 (x 35.8)2 /(2.8 2 ) SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 5 / 8 Hisogram samm md N(35.8,.8)-æhd ormr så aral udr kurv r d samm som d samld aral af rkaglr. SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 6 / 8 Normalfordlig Trasformaio og brgig af sadsylighdr Tæhd for ormalford. md middlværdi µ og sprdig σ, N(µ,σ): 2πσ 2 (x µ)2 /(2σ 2 ) Forml i sig slv ikk vigig! M følgd gskabr r vigig: Middlværdi µ rykkr kurv/fordlig il vsr/højr Sprdig σ ædrr brdd af kurv/fordlig Saml aral udr kurv r Forolkig: sadsylighd for a hav i irval r lig aral udr kurv ovr d irval Sadsylighd for a hav i irvall µ ± 2σ r Ka rasformr il N(0, ), og brg sadsylighdr dr. S figurr på sid 7 8 i bog! Trasformaio il N(0,): Hvis X r ormalfordl md mv. µ og sprdig σ så r Z = (X µ)/σ ormalfordl md mv. 0 og sprdig Hvis Z r ormalfordl md mv. 0 og sprdig så r X = µ + σ Z ormalfordl md mv. µ og sprdig σ. Drfor ka all N(µ, σ)-sadsylighdr omskrivs il N(0, )-sadsylighdr. Hvis X N(µ,σ), så r ( X µ P(X a) = P z µ ) ( = P Z z µ ) σ σ σ Sadsylighdr i N(0,) giv i Tabl B4, sid 462. SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 7 / 8 SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 8 / 8

3 Trasformaio og brgig af sadsylighdr Er daa ormalfordl? Hvad r sadsylighd for a dr højs r ddrii brah sgms i ll for ilfældig udvalg marsvi? Lad X vær aal aal ddrii brah sgms og aag a X r ormalfordl md mv og sprdig.8. Skal fid P(X ). ( ) X P(X ) = P.8.8 Tilsvard: = P (Z 0.42) = 0.66 Hvad r sadsylighd for a dr r mllm og 42 ddrii brah sgms i ll for ilfældig udvalg marsvi? Hvad r sadsylighd for a dr r mr d 50 ddrii brah sgms i ll for ilfældig udvalg marsvi? I æs hl kurs skal vi brug ormalfordlig som modl for vors daa. Drfor r d vigig a ku korollr a daa fakisk ka aags a komm fra ormalfordlig. Sammligig af hisogram og ormalfordligsæhd (ormr så aral udr hisogram og N-kurv r d samm). Normal probabiliy plo llr QQ-plo Hvad gør vi hvis ormalfordligsaagls ikk passr? Ka sommidr rasformr daa, dvs. fx. brug log(x ) i sd for X slv s opgav Ikk-paramrisk modr orsdag æs ug SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 9 / 8 SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig / 8 Marsvi: hisogram og ormalfordligsæhd Marsvi: QQ-plo 60 P r o u Sammligr frakilr i daa md frakilr i ormalfordlig, rasformr il N(0,). Liggr pukr omkrig r lii? Næs for pæ hr! ou Normal Quails Tæhd for ormalfordlig md middlværdi 35.8 og sprdig.8: 2π.8 2 (x 35.8)2 /(2.8 2 ) Hisogram samm md N(35.8,.8)-æhd ormr så aral udr kurv r d samm som d samld aral af rkaglr: SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig / 8 SAS lavr plo lid adrlds d forklar i bog m poi r d samm: Daa ka aags a vær ormalfordl hvis pukr liggr omkrig r lii. Dr må ikk vær sysmaiask afviglsr. D krævr slvfølglig vis rfarig a s på såda plos... SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 2 / 8

4 Marsvi: SAS-kod Hvorfor op ormalfordlig? daa guiapigs; ipu ou ards; ; pro pri; ru; pro uivaria daa=guiapigs; var ou; hisogram ou / ormal; qqplo ou / ormal(mu=s sigma=s); ru; Vi skal brug ormalfordlig i sor hl d kursus! Hvorfor op d fordlig? Passr of god il (biologisk) daa Pæ mamaisk gskabr får pæ rsular for simar, kofidsirvallr, saisisk s mm. Cral græsværdisæig (CLT): gmsi af æs hvad som hls r approksimaiv ormalfordl? Kalds også d Gaussisk fordlig. Opkald fr Carl Fridrih Gauss ysk mamaikr og fysikr, SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 3 / 8 SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 4 / 8 Carl Fridrih Gauss, Fordlig af gmsi Tæk på populaio af all marsvi. Hvad r d gmsilig aal ddrii brah sgms for all diss marsvi? Aag a aall r ormalfordl md middlværdi µ og sprdig σ. Vi kdr ikk populaiosværdir µ og σ, m vi ka simr dm vha. vors sikprøv y,...,y fra d marsvi. Vi skrivr ˆµ = ȳ = 35.8, ˆσ = s =.8 Hvis vi havd ag ad sikprøv havd vi få ad gmsi. Hvad r fordlig af gmsi? ȳ r ormalfordl md middlværdi µ og sprdig σ/. SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 5 / 8 SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 6 / 8

5 Fordlig af gmsi Rsumé Hisogrammr ovr gmsi af sk. N(0, )-fordl variabl. Dsiy = y Dsiy = y Middlværdi og sprdig i ormalfordlig Sadsylighd som aral udr ormalfordligsæhd 95% sadsylighd for a hav i irvall µ ± 2σ llr srg ag i irvall µ ±.96σ Brgig af sadsylighdr: rasformaio il N(0, ) og brug af abl Korol af ormalfordlig vha. hisogram og/llr QQ-plo Gmi af ormalfordl variabl r ig ormalfordl md middlværdi µ og sprdig σ/. Middlværdi? Sprdig? Fordlig? SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 7 / 8 SaBK (Ug 47, madag) Normalfordlig 8 / 8