Stereologi. Foredrag ved Matematiklærerdagen 18. marts Eva B. Vedel Jensen. Institut for Matematik Science and Technology Aarhus Universitet

Transkript

1 Stereologi Institut for Matematik Science and Technology Aarhus Universitet Foredrag ved Matematiklærerdagen 18. marts 2016

2 Estimation af volumen - æggedeler design U O

3 Estimation af volumen - æggedeler design Æggedeler design T U+mt, m Z, systematisk sæt af parallelle planer (grå planer). t er afstanden mellem naboplaner. U er uniform i [0, t), så placeringen af planerne er tilfældig. Lad Y R 3 med volumen V (Y ). En central ("unbiased") estimator af V (Y ) er V (Y ) = t m A(Y T U+mt ), hvor A står for areal.

4 Bevis for centralitet Estimatoren er en funktion af U, V (Y ) = g(u). Middelværdien er E V (Y ) = = t 0 t 0 = m = m = g(u) f U (u) du t m t 0 (m+1)t mt A(Y T u+mt ) 1 t du A(Y T u+mt ) du A(Y T v ) dv A(Y T v ) dv = V (Y ).

5 Variansen af volumen estimatoren Variansen af V (Y ) afhænger af formen af Y. Systematiske planer giver sædvanligvis en mindre varians end hvis planerne placeres uafhængigt af hinanden. Under regularitetsbetingelser kan det vises, at V (Y ) er asymptotisk superecient for t 0.

6 Mere om volumen estimatoren Arealer kan estimeres med et systematisk sæt af kvadrater. Y U D 0

7 Estimation af længde i planen

8 Estimation af længde - Buon's nåleproblem Buon's nåleproblem T, systematisk sæt af linier, tilfældigt placeret og orienteret, afstand t mellem nabolinier. Y R 2, liniestykke i planen af længde L(Y ) < t. N(Y T ), antal skæringer mellem Y og T (enten 0 eller 1). Da gælder P(N(Y T ) > 0) = 2L(Y ). πt Normalt bruges dette resultat til at estimere π, men i stereologien bruges resultatet i stedet til at estimere L(Y ).

9 Estimation af længde i planen T, systematisk sæt af linier, tilfældigt placeret og orienteret, afstand t mellem nabolinier. Y R 2, kurve i planen. En central estimator af L(Y ) er L(Y ) = π t N(Y T ). 2

10 Bevis for centralitet Lad Y = i Y i, hvor Y i er et liniestykke med L(Y i ) < t. Da gælder [ π ] E L(Y ) = E 2 t N(Y T ) = π 2 t E i N(Y i T ) = π 2 t i = π 2 t i = π 2 t i EN(Y i T ) P(N(Y i T ) > 0) 2L(Y i ) πt = i L(Y i ) = L(Y ).

11 Estimation af længde i rummet U O W L(Y ) = 2t N(Y T )

12 Estimation af overade areal - fakir design D 0 W Y O Ŝ(Y ) = 2A(D 0 ) N(Y T )

13 Estimation af overade areal - vertikale snit V q, p p q

14 Estimation af antal partikler Antal partikler i et snit afhænger ikke kun af antallet i 3D, men også af deres størrelse.

15 Tomatsalat eksemplet

16 Estimation af antal partikler Antal i snit Antal i rummet Middel partikel højde. Lad T U være et plan med fast orientering og placering givet ved U, der er uniform i et interval af længde D. Lad Y 1,..., Y N betegne N partikler med højder H(Y i ), i = 1,..., N. Da gælder E#{i : T U Y i } N H, hvor H er middel partikel højden, H = i H(Y i)/n.

17 Bevis For den ite partikel gælder Heraf fås P(T U Y i ) = H(Y i )/D. E#{i : T U Y i } = i P(T U Y i ) = i H(Y i )/D = 1 D N H.

18 Estimation af antal partikler Løsningen er at bruge 2 planer, en såkaldt disector. De 2 planer betegnes T U, T U+h, hvor h > 0. Lad p(i) være det 'øverste' punkt af Y i, i = 1,..., N. Vi tæller Y i, hvis partiklens øverste punkt falder mellem planerne, dvs. U < p(i) < U + h. Sandsynligheden for at Y i bliver talt er dermed P(U < p(i) < U + h) = P(p(i) h < U < p(i)) = h/d. Sandsynligheden afhænger ikke af i.

19 Estimation af partikel størrelser Wicksell's problem: estimation af størrelsesfordeling af kugleformede partikler ud fra observationer i snit. Sandsynlighedstætheden g for fordelingen af de observerede diametre af cirkulære snit opfylder g(s) = s m hvor f er den tilsvarende tæthed i 3D. s 1 f (t) ds, t2 s2 At nde f udfra g er et 'ill-posed' inverst problem. Den moderne stereologi beskæftiger sig med metoder til at nde størrelsesfordelingen af partikler af generel form.

20 Optisk snitning

21 Lokal stereologi Lokal stereologi giver adgang til partikel størrelser i 3D. Målinger på lokale snit anvendes. T

22 Lokal stereologi - eksempler i 2D Cirkel r Areal = πr 2

23 Lokal stereologi - eksempler i 2D Konveks form df r Areal = 2π r 2 dφ = π 2π r 2 dφ 0 2π = π r 2

24 Lokal stereologi - eksempler i 2D Ikke-konveks form r 2 r 0 r 1 Areal(skraveret område)= 1 2 (r r 2 2 r 2 1 )dφ Areal= π r 2

25 Lokal stereologi - eksempel i 3D r dr w dv=r 2 drdw Volumen= 4π 3 r 3

26 Lokal stereologi - n dimensioner Den generaliserede Blaschke-Petkantschin formel: c(n q r, p q r) X 1 g(x 1,..., x q ) X q = X 1 L p g(x 1,..., x q ) X q L p L n p(r) q i=1 q r+q (e 1,..., e r, x 1,..., x q ) n p dx p i dl n p(r) i=1 dx n i n = 3, q = 1, r = 0, p = 1: volumen i 3D via lokale snit!

27 Lokal stereologi - volumen i 3D Isotropisk L 1: 2 3 x X L 1 ( 1) α(x) x 3 Isotropisk L 2, uniform G 1 L 2 : 2A 1 x (X L 2 ) G 1 ( 1) α(x) x ω 0 v 2 + π L2 L 1 x 2 dv Vertikal L 2, uniform G 1 L 2, L 1 L 1(0) : π 2 A1 x (X L 2 ) G 1 π L1 x 2 Isotropisk T 2, uniform G 1: A 2 x (X T 2 ) G 1 ( 1) ( α(x) x ω t F 2 0 1,2 )dv v 2 + π L x 2 1 Vertikal T 2, uniform G 1, L 1 L 1(0) : A 2 x (X T 2 ) G 1 ( 1) ( α(x) x ω t F 2 0 1,1 )dv v 2 + π (L1(0) +L 1 ) x 2

28 Lokal stereologi - overadeareal i 3D Isotropisk L 2, isotropisk L 1 L 2: 2π x X L 1 (1 + cot β x( π 2 βx)) x 2 Isotropisk T 2, uniform and isotropisk G 1: 2A 2 x X T 2 G 1 F 1,2(t 2 / x 2 ) 1 Vertikal T 2, uniform and isotropisk G 1: 2A 2 x X T 2 G 1 F 1,1(t 2 / π L 1(0) x 2 ) 1 Isotropisk T 2, G 1 T 2: 2A 2 x X T 2 G 1 F 1,1(t 2 / π L 1 x 2 ) 1

29 Lokal stereologi - længde i 3D Isotropisk T 2, uniform and isotropisk G 2: 2A 1 x X T 2 G 2 F 1,2(t 2 / x 2 ) 1 Vertikal T 2, uniform and isotropisk G 2: 2A 1 x X T 2 G 2 F 1,1(t 2 / π L 1(0) x 2 ) 1 Isotropisk T 2, G 2 T 2: 2A 1 x X T 2 G 2 F 1,1(t 2 / π L 1 x 2 ) 1

30 Lokal stereologi - antal i 3D Isotropisk T 2: x X T 2 F 1,2(t 2 / x 2 ) 1 Vertikal T 2: x X T 2 F 1,1(t 2 / π L 1(0) x 2 ) 1

31 Avanceret statistisk billedanalyse Antal kan bestemmes med større præcision, hvis synsfelter computer-styres til informative områder (her det granulære cellelag, vist blå).

32 Rumlig statistik Lokale skaleringsmodeller (selv-similære)

33 Rumlig statistik Rekonstruktion af netværk