MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
|
|
- Mathilde Brøgger
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences
2 Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger
3 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Mængder a A, b A A B betyder at alle elementer i A er elementer i B A = B betyder at alle elementer i A er elementer i B og alle elementer i B er elementer i A Intervaller [a, b] = {t a t b} ]a, b] = {t a < t b} ]a, b[= {t a < t < b} Afbildninger f : A B A a f f (a) B A f B g C g f
4 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Regneregler for mængder A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) X (A B) = (X A) (X B) X (A B) = (X A) (X B) X (X A) = A A B X A X B A B X = (X A) B A = B A B og B A
5 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Regneregler i logik a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) (a b) = a b (a b) = a b a = b = (a b) = a b a b = ( a b) (a b) = (a b) ( a b)
6 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Tal N De naturlige tal {1, 2, 3,...} Z De hele tal {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Q De rationale tal {..., ±2, ± 1 2, ± ,...} R De reelle tal {..., ±2, ± 1 2, ± , ±π, ± 2...} N Z Q R Regneregler for reelle tal De vigtigste regneregler er addition x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + z multiplikation x y = y x, x (y z) = (x y) z samspil x (y + z) = x y + x z
7 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Q versus R Hvad er galt med de rationale tal Q? Ligningen x 2 = 2 har ikke nogen løsning! Diagonalen i et enhedskvadrat har ikke nogen længde i Q!? 1 2 = er ikke korrekt! Hvad er godt ved de reelle tal R? Ligningen x 2 = 2 har en løsning! Proposition (De rationale tal ligger tæt i de reelle tal be vis ) Ethvert reelt interval ]a, b[ R, a < b, indeholder et rationalt tal.
8 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Overtal og undertal for en mængde A R af reelle tal Definition (Overtal) Et tal M R er et overtal for A hvis a M for all a A A er opad begrænset hvis A har et overtal A + = {M R M a for all a A} alle overtal. Definition (Undertal) Et tal m R er et undertal for A hvis a m for all a A A er nedad begrænset hvis A har et undertal A + = {m R m a for all a A} alle undertal.
9 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Definition (Begrænset mængde) A er begrænset hvis A er både opad og nedad begrænset Eksempel Intervallet ], 1[ er opad, men ikke nedad, begrænset; 100 er et overtal. Z er hverken opad eller nedad begrænset. Observation A er begrænset A er indeholdt i et interval [a, b], a, b R, a < b.
10 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Største og mindste element i en mængde Definition (Største element) En mængde A R har et største element hvis A har et element som er alle elementer i A. Hvis M er største element i A skriver vi max(a) = M. Mindste element, min(a), defineres på tilsvarende måde. Eksempel (Største eller mindste element findes ikke altid) Intervallet [0, 1] har et største element max([0, 1]) = 1 Intervallet [0, 1[ har ikke noget største element - hvad skulle det være? 0, 99? Intervallet ]0, 1[ har hverken et største eller et mindste element
11 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Mindste overtal og største undertal Kontinuitetsaksiomet I Hvis A R har et overtal, så har A et mindste overtal. sup(a) = min(a + ) Hvis A R har et undertal, så har A et største undertal. inf(a) = max(a )
12 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Eksempler på sup og inf Eksempel sup([0, 1[) = 1 inf(]0, 1[) = 0 sup{x Q x 2 < 2} = 2 inf{1/n n N} = 0 Eksempel Hvis f (x) er en positiv kontinuert funktion skriver vi b a f (x)dx for supremum af mængden af alle undersummer for f (x). Proposition S = sup(a) er mindste overtal for A hvis og kun hvis a S for alle a A For ethvert T < S findes at a A så T < a def
13 Notation Tal Overtal og undertal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal Lemma A B = { sup A sup B inf A inf B sup(a) = inf( A) Lemma ( af foreningsmængde) sup ( b B A b) = sup{sup Ab b B} inf ( b B A b) = inf{inf Ab b B} Bevis. For ethvert x b B A b findes et b B så x A b. Dermed x sup A b sup{sup A b b B}. Altså er sup ( b B A b) sup{sup Ab b B}. Da A b b B A b er sup A b sup ( b B A b) for ethvert b B. Altså er sup{sup A b b B} sup ( b B A b).
14 Grænseværdi for en funktion f : R R Definition (Grænseværdi) Hvis ε > 0 δ > 0: 0 < x x 0 < δ = f (x) a < ε siger vi at f (x) går mod a når x går mod x 0 og vi skriver lim x x 0 f (x) = a eller f (x) a for x x 0 Eksempel sin x 1 x for x 0. (Arealet af en regulær n-kant med radius 1 er A n = n 2 sin( 2π n ) og lim n = π.) n
15 f : A R Definition (Kontinuitet) 1 Funktionen f : A R er kontinuert i punktet x 0 A hvis lim x x0 f (x) = f (x 0 ). 2 Funktionen f : A R er kontinuert hvis den er kontinuert i alle punkter i A Eksempel Alle standard-funktioner, polynomier, logaritme, eksponential, og trigonometriske funktioner er kontinuerte. Absolut værdi funktionen f (x) = x er kontinuert.
16 Regneregler for kontinuerte funktioner Theorem (Nye kontinuerte funktioner fra gamle) Hvis f : R R og g : R R er kontinuerte, så er også 1 f ± g 2 f g og f /g (hvis g(x) 0 for alle x R) 3 g f kontinuerte funktioner. Eksempel exp(x) sin(x 2 1) er kontinuert. Eksempler på ikke-kontinuerte funktioner.
17 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Definition () En følge (af reelle tal) er en afbildning x : N R Der er tradition for at skrive x n i stedet for x(n) Eksempel (Eksempler på følger) { x n = n 1 n = 1 K n = x n = 1/n x n = n sin ( 1, 05K n 1 n 2 ) 1 { n 1 n = 1 x n = n2 10 2n 2 +n What is a sequence? P n = 1, 05(1 P n )P n 1 n 2
18 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Grænseværdi af en følge Definition Lad x : N R være en følge og a R et reelt tal. Hvis ε > 0 N > 0: n > N = x n a < ε siger vi at følgen x konvergerer mod tallet a og vi skriver lim x n = a eller x n a for n n Proposition (Entydighed af grænseværdi) En følge kan ikke konvergere mod to forskellige tal Anvendelse af definitionen til at vise 1/n 0 for n
19 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Eksempel (Konvergent følge) a n = n sin ( nπ ) 5 Eksempel (Divergent følge) a n = sin ( nπ ) 20
20 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Funktionsgrænseværdier giver følgegrænseværdier Proposition 1 f (x) a for x = f (n) a for n 2 f (x) a for x 0 = f (1/n) a for n } f (x) b for x a 3 = f (a a n a for n n ) b for n Eksempel n sin(1/n) 1 for n fordi sin(x) x 1 for x 0 n ln(1 + a n ) a for n fordi x ln(1 + a x ) = a ln(1+ a x ) ln(1) a x konvergerer mod differentialkvotienten a 1 1 = a for x 0.
21 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger der går mod ± Definition Lad x : N R være en følge. 1 Hvis K > 0 N > 0: n > N = x n > K siger vi at følgen x går mod og vi skriver x n for n 2 Hvis K < 0 N > 0: n > N = x n < K siger vi at følgen x går mod og vi skriver x n for n
22 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Regneregler for grænseværdier Antag at 1 x og y er følger, a og b er reelle tal, og x n a for n og y n b for n 2 f : R R er en funktion. Nye konvergente følger fra gamle r + x n r + a for n og rx n ra for n (r R) x n ± y n a ± b for n x n y n ab for n x n y n a b for n hvis b 0 f (x n ) f (a) for n hvis f er kontinuert i a
23 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Regneregler for grænseværdier Eksempel Da vi ved at 1/n 0 for n får vi nu 1 = 1 n 2 n 1 n 0 0 = 0 for n 10 = = 0 for n n 2 n 2 n n 2 +n = 1 10/n2 2+1/n = 1 2 for n maple magma Da vi ved at n ln(1 + a/n) a for n får vi at demo (1 + 1/n) n (1 + a/n) n = exp(n ln(1 + a/n)) e a for n
24 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Voksende og aftagende følger Voksende og aftagende følger 1 x n er voksende hvis x n x n+1 for alle n N 2 x n er aftagende hvis x n x n+1 for alle n N Grænseværdi af voksende og aftagende følger 1 Hvis x n er voksende og opad begrænset, så er x n konvergent og x n sup x(n) for n 2 Hvis x n er aftagende og nedad begrænset, så er x n konvergent og x n inf x(n) for n
25 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Edderkop-følgen x n = 1 + x n 1 0, f (0), ff (0),..., x n = f (n) (0),... f (x) = 1 + x f (x) = x x = Funktionen f : [0, ] [0, ] er voksende 2 0 x y = 0 f (x) f (y) f ( ) = x 1 x = 0 x 2 x = 4 Følgen x n er voksende og opad begrænset derfor konvergent. 5 f (lim x n ) = lim f (x n ) = lim x n+1 = lim x n 6 lim x n = Eksamen 2012B, Opg 1
26 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Sandwichsætningen Antag at x n, y n og z n er tre følger. Hvis 1 x n y n z n for alle n N 2 x n a for n og z n a for n så vil også y n a for n. Uligheder bevares i grænsen Antag at x og y er to konvergente følger. Hvis x n y n for alle n N så er lim n x n lim n y n. Korollar Antag at x er en konvergent følge. Hvis x n a for alle n N så er lim n x n a.
27 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Berømte grænseværdier a n for n når a > 1 (eksponentielt voksende) n b for n når b > 0 (polynomielt voksende) log c n for n når c > 1 (logaritmisk voksende) logaritme < polynomium < eksponentiel følge 1 log c n n b 0 for n når c > 1 og b > 0 2 n b a n 0 for n når b > 0 og a > 1
28 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger 1 n sin(1/n) 1 for n 2 n ln(1 + x/n) x for n 3 (1 + x/n) n exp(x) for n for alle x R 4 x n n! 0 for n for alle x R 5 n n 1 for n Bevis. (4) Lad os antage at x er positiv. Lad k være et naturligt tal større end x. Da 0 x n n! = x k x k! k + 1 x n x k ( ) x n k k! k + 1 giver Sandwichsætningen at x n n! 0 for n.
29 Grænseværdi af en følge Konvergenskriterier Berømte grænseværdier Rekursive følger Iterative følger Fibonaccis kaniner 1 n = 1 F n = 1 n = 2 F n 2 + F n 1 n 3 Eksponentiel vækst med fast vækstrate K K = r info K n = { K 1 n = 1 (1 + r)k n 1 n > 1 Logistisk vækst med bærekapacitet K og P P = r(1 P/K )
30 Beviser Maple kode Kommentarer Appendix Beviser Maple kode Kommentarer
31 Beviser Maple kode Kommentarer De rationale tal ligger tæt i de reelle tal Proposition Ethvert reelt interval ]a, b[ R, a < b, indeholder et rationalt tal. Bevis. Læg mærke til at m n ]a, b[ m ]na, nb[ Vælg n N så stor at intervallet ]na, nb[ har længde større end 1 og vælg et helt tal m Z i det.
32 Beviser Maple kode Kommentarer Maple kode limit(n*sin(1/n), n = infinity); with(plots): pointplot({seq([n, log(n)/n], n = )}, color = red, symbol = solidcircle); /home/moller/underv/maso/maple/sequence.mw
33 Beviser Maple kode Kommentarer Sætning om grænseværdier Sætningen siger ikke noget hvis en af følgerne går mod ±. Eksempler paa anvendelser. tilbage
MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereMatematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING
Matematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING 1999 Indhold Talfølger, rækker og komplekse tal, noter ved Tage Gutmann Madsen, omredigeret til HHK af Gerd Grubb: 1 De reelle tal 1 5 2 Reelle talfølger 6 19 3 Uendelige
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereProjekt 5.3 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projet 53 De reelle tal og 2 hovedsætning om ontinuitet Mens den 1 hovedsætning om ontinuerte funtioner om forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2 hovedsætning betydeligt vanseligere
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereMASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereOversigt [S] 4.5, 5.10
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereHer skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler
Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge
Læs mereNormale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereMike Vandal Auerbach. Funktioner.
Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2017 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf-enkeltfag Matematik B
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2017 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf-enkeltfag Matematik B
Læs mereKonstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit
Keeping it real Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit Speciale 10. januar 2018 Pernille Andersen Rikke Bod Lund Matematisk Institut Skjernvej 4A 9220 Aalborg
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereAnalyse 1. Matthias Christandl
Analyse 1 Matthias Christandl Marts 2019 ii Forord Følger af tal kan opføre sig på mange forskellige måder, bare tænk på talfølgerne som går mod uendelig, som konvergerer mod nul, og 1, 2, 3, 4, 5,...,
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INFINITESIMALREGNING del 1 Infinitesimaler og differentialer. Grænseværdibegrebet. Kontinuitet Differentiabilitet Integrabilitet. Differentialligninger. x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereMeddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.
Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.
Læs mereAppendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.
- 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereLogaritmiske Transformationer
Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 17. marts 2015 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1
Læs mere1 Differentialkvotient
gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden
Læs mereIndhold. Forord. Det græske alfabet. 1. Kontinuitet og grænseværdi Indledning Kontinuitet Opgaver til 1.2
Indhold Forord Det græske alfabet 1. Kontinuitet og grænseværdi 1.1. Indledning 1.2. Kontinuitet Opgaver til 1.2 1.3. Regning med kontinuerte funktioner Opgaver til 1.3 1.4. Kontinuerte funktioners egenskaber
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereMatematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010
Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereOm uendelighedsbegrebet
Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mere