Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur

Transkript

1 Statistik - Lærervejledning Om kapitlet I dette kapitel om statistik skal eleverne arbejde med statistik og lære at indsamle, beskrive, bearbejde og præsentere store mængder af tal og data. I kapitlet er der desuden fokus på, at eleverne kan tolke og analysere data, så de kan lære at forholde sig kritisk til data og observationer og til diagrammer og tabeller. Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne: kan vælge relevante deskriptorer til beskrivelse og analyse af datasæt kan indsamle, bearbejde og præsentere data i relevante diagrammer og tabeller kan analysere statistiske tabeller og diagrammer kan sammenligne datasæt ud fra statistiske deskriptorer kan anvende digitale værktøjer til behandling af statistiske data. Faglige ord og begreber I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: summeret hyppighed H(x) summeret frekvens F(x) kvartilsæt trappediagram intervaller intervalmidtpunkt sumkurve Huskeliste Printark Materialer U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik Mobiltelefon Stopur Digitalt værktøj Regneark Internet GeoGebra

2 FACIT SIDE Opgave 1 A x h(x) f(x) ,14 % ,28 % ,7 % ,28 % ,14 % ,28 % ,14 % B Mindsteværdi: 13 Størsteværdi : 21 Variationsbredde: 8 Typetal: 16 C Gennemsnitstemperaturen: 16,57 grader. D Elevens forklaring på deskriptorernes betydning. Opgave 2 A Ali: 26,4 point. Pierre: 21,6 point. B Elevens forklaring. C Bl.a. mindsteværdi, størsteværdi, typetal.

3 Opgave 3 A Tom 20 m: Tom 25 m: x h(x) f(x) 0 1 6,66 % ,33 % % ,33 % ,66 % % x h(x) f(x) 0 1 6,66 % ,33 % ,33 % % % ,66 % Alex 20 m: Alex 25 m: x h(x) f(x) ,33 % 2 1 6,66 % ,66 % 6 1 6,66 % ,66 % % x h(x) f(x) % 2 1 6,66 % ,33 % ,33 % ,66 % % B Pindediagrammer: Tom, 20 m Tom, 25 m

4 Alex, 20 m Alex, 25 m C D Typetallet er 10 for Tom og kun 8 for Alex. Alex har i gennemsnit 5,6 point fra 25 m. Tom har i gennemsnit 6,3 point fra 25 m. Dette er en opgave, der kan give anledning til en samtale i klassen om tolkning af statistiske resultater. Man skal bemærke, at statistikken udelukkende giver redskaber til at beskrive pointfordelingen mellem de to drenge. Statistikken forholder sig ikke til spørgsmålet om, hvem der kaster bedst det er mennesker, der gør det. Hvis man ser på de resultater, der stammer fra spørgsmål C, må man konkludere, at Tom er den, der har klaret netop disse to spil bedst. Det rigtige svar på det mere generelle spørgsmål Hvem er bedst til at kaste? er imidlertid, at det kan man slet ikke sige noget om på baggrund af et så spinkelt datamateriale. Prøv at stille spørgsmål til klassen som fx: Kan man nu være sikker på, at Tom vil vinde enhver kamp af denne art? Hvorfor? Hvorfor ikke? Kunne man forestille sig, at Axel en anden dag (eller i næste kamp) ville vinde over Tom? Kan denne pointfordeling for de to kampe godt forekomme, hvis det i virkeligheden er Axel, der er den bedste til at kaste? Hvorfor kan vi ikke udtale os med sikkerhed om, hvem der er bedst til at kaste ud fra denne statistik?

5 Hvad ville I gøre, hvis I skulle være mere sikre på, hvem der er bedst til at kaste? Undersøgelse - Hurtigst på tasterne DEL 1 og 2 Elevundersøgelse og elevbesvarelser.

6 FACIT SIDE Opgave 4 A B C Datasættets størrelse står i det nederste felt i søjlen med de summerede hyppigheder H(x). Hvis frekvenserne er regnet rigtigt ud, skal det nederste felt i søjlen med de summerede frekvenser F(x) indeholde tallet 100 %. Dette er en såkaldt svag kontrol. Hvis frekvenserne er regnet rigtigt ud, og de summerede frekvenser er regnet rigtigt ud, vil F(størsteværdien) være 100 %. Hvis dette tal ikke er 100 %, er der noget galt. Hvis værdierne for F(x) beregnes ved at summere værdierne for f(x), vil man desuden kunne komme ud for, at afrundinger på værdierne for f(x) undervejs kan resultere i, at man ender med et tal mellem 99,98 % og 100,02 %. Men selv om tallet er 100 %, kan der godt være fejl, som i givet fald ophæver hinanden. Eleverne skriver spørgsmål, som kan besvares ved hjælp af h(x), H(x), f(x) og F(x). Opgave 5 A Elevernes vurderinger. B Elevernes beskrivelse af datasættene vha. deskriptorer. C Hyppigheds- og frekvenstabel for 7. a: x h(x) H(x) f(x) F(x) % 8 % % 20 % % 40 % % 72 % % 88 % % 100 % Hyppigheds- og frekvenstabel for 7. b: x h(x) H(x) f(x) F(x) ,55 % 5,55 % ,11 % 16,66 % ,77 % 44,43 % ,33 % 77,76 % ,55 % 83,33 % ,66 % 100 %

7 D Det sædvanlige redskab til at besvare spørgsmålet er klassens karaktergennemsnit. Idet gennemsnittet for 7. a er 6,96 og gennemsnittet for 7. b er 6,17, vil man nok sige, at 7. a har klaret prøven bedst. E Tre elevformulerede spørgsmål. Opgave 6 A 7.a x h(x) H(x) f(x) F(x) ,4 % 7,4 % ,11 % 18,51 % ,51 % 37,02 % ,33 % 70,35 % ,52 % 88,89 % ,11 % 100 % 7.b x h(x) H(x) f(x) F(x) ,09 % 9,09 % ,09 % 18,18 % ,27 % 45,45 % ,81 % 77,26 % ,54 % 81,82 % ,18 % 100 % B Gennemsnittet for 7.a: 6,48. Gennemsnittet for 7.b: 6,14. C Traditionelt vil man mene, at den klasse, der har det højeste karaktergennemsnit, har klaret prøven bedst. Det er så i dette tilfælde 7. a. Opgave 7 A Nej, og det var heller ikke at forvente. B Færre får 4 og 10 og flere får 02, 7 og 12. C Her er mulighed for en klassediskussion. Hvordan måler man, hvor tæt to fordelinger er på hinanden? Lad eleverne komme med nogle forslag. Et bud ligger i disse to regneark. Her er der for hver karakter større end 02 udregnet den numeriske differens mellem den faktiske og den anbefalede fordeling. Derefter er disse forskelle lagt sammen som et muligt mål for tætheden mellem de to fordelinger. Men andre bud er formentlig mulige. Bemærk, at da vi skal se bort fra karakterer under 02, er dette en anden fordeling end den tilsvarende i opgave 6.

8 Hvis summen af forskellene lægges til grund, er det 7. a, der har den mindste forskelssum og derfor er tættest på den anbefalede fordeling. D Det er ikke muligt at ændre hyppighedstabellen, så man præcist rammer Undervisningsministeriets fordeling. Ved at eksperimentere med hyppighederne i regnearket kan man bringe forskelssummen ned på 8 procentpoint. Opgave 8 A Elevernes egne løsninger. B Elevernes egne løsninger.

9 FACIT SIDE Opgave 9 A-B Elevformulerede spørgsmål. Opgave 10 A Kvartilsættet er (1, 2, 3). Opgave 11 A Statistik over drengenes svar: x h(x) f(x) F(x) ,3 % 4,3 % ,3 % 8,6 % ,7 % 17,3 % ,3 % 21,6 % kvartil 1 4,3 % 25,9 % ,3 % 30,2 % ,3 % 34,2 % ,9 % 47,4 % kvartil (median) 2 8,7 % 56,1 % ,3 % 60,4 % ,3 % 64,7 % kvartil 3 12,9 % 77,6 % ,3 % 81,9 % ,3 % 86,2 % ,9 % 100 %

10 Statistik over pigerne svar: x h(x) f(x) F(x) % 4 % % 8 % % 12 % % 16 % % 20 % % 24 % kvartil 1 4 % 28 % % 32 % % 40 % % 44 % kvartil (median) 2 8 % 52 % % 56 % % 60 % % 64 % % 68 % % 72 % kvartil 1 4 % 76 % % 88 % % 96 % % 100 % B Om drengene eller pigerne er bedst til at vurdere gangens længde, kan vurderes på flere måder. Et bud kunne være at se på, om drengenes eller pigernes gennemsnit er nærmest på det virkelige mål (45 m). Ud fra den betragtning er pigerne bedst med et gennemsnit på 41,6 m mod drengenes 35, 6 m. Hvis man derimod lægger medianen til grund er de lige gode medianen er i begge tilfælde 41 m. Der er altså baggrund for en diskussion. Kan man fx overhovedet sige noget fornuftigt om hvem, der er bedst ud fra det foreliggende materiale? Hvorfor/hvorfor ikke? Opgave 12 A Tabel: x h(x) H(x) f(x) F(x) % 15 % % 20 % 3 1. kvartil % 45 % 4 2. kvartil (median) % 55 % 5 3. kvartil % 75 % % 100 % B Kvartilsættet er (3, 4, 5).

11 Opgave 13 A-B De ønskede tabeller er: x h(x) H(x) f(x) F(x) % 4 % % 12 % % 24 % % 32 % % 42 % % 60 % % 66 % % 68 % % 76 % % 82 % % 82 % % 88 % % 94 % % 98 % % 98 % % 100 % C Det ønskede grafiske billede af frekvenserne er et pindediagram: D Typetal: 30 Gennemsnit: 30,74 træk 1. kvartil: 28 Median: kvartil: 33 E Kvartilsættet er (27, 29, 33). Elevens vurdering af Amines partier ud fra kvartilsættet.

12 FACIT SIDE Opgave 14 A 74,33 km/t B Hastighedsinterval [a; b[ h([a; b[) H([a; b[) f([a; b[) F([a; b[) [60; 65[ ,66 % 16,66 % [65; 70[ ,33 % 40 % [70; 75[ ,66 % 56,66 % [75; 80[ ,66 % 73,33 % [80; 85[ % 83,33 % [85; 90[ % 93,33 % [90; 95[ ,66 % 100 % C Intervalhyppighederne for intervallerne og ændres fra 5 hhv. 7 til 6 hhv. 6. D Middeltallet bliver lidt lavere (74,17 km/t i stedet for 74,33 km/t). Opgave 15 A Eleven stiller tre spørgsmål til tabellen i opgave 14. B Eleverne bytter spørgsmål og besvarer dem. Opgave 16 A B Interval Intervalhyppighed h Intervalfrekvens f 02,00,00-02,04, % 02,05,00-02,09, % 02,10,00-02,14, % 02,15,00-02,19, % 02,20,00-02,24, % C Gennemsnitstiden er 2 t. 13 min. 03 sek.

13 D 21 løbere 13 løbere 02,00,00-02,09,59 4 min. 33 sek. Det er de langsomste tider. De ligger på 2:18:08 eller derover. Opgave 17 A Skemaet angiver løbernes alder i x h(x) f(x) F(x) % 4 % % 12 % % 16 % % 20 % kvartil 2 8 % 28 % % 48 % kvartil (median) 1 4 % 52 % kvartil 6 24 % 76 % % 88 % % 96 % % 100 B Kvartilsættet er (28, 30, 32). C 28 år eller derunder. 32 år eller derover. Det er rigtigt, at Eliud Kiptanui er blandt de 25 % yngste af de 25 løbere, men han er ikke blandt de 25 % bedste. D 29,88 år. E 48 % F I top-10 er der kun to løbere, som er over 30 år (vinderen og nr.10). I top-25 er der i alt 8 løbere over 30 år. Det giver ikke noget overbevisende argument for reporterens påstand. Man skal dog være opmærksom på, at hvis man skal sige noget mere præcist om påstanden, så skal man også kende aldersfordelingen for resten af løberne fra nr. 26 og nedefter.

14 FACIT SIDE Opgave 18 A 1.kvartil: 20 median: 25 3.kvartil: 25 Opgave 19 A B-C Trappediagram, der viser F(x) med kvartilsættet indtegnet:

15 D Kvartilsættet er (4, 5, 8). Opgave 20 Grafiske illustrationer til elevens eget valg af 3 idrætsgrene. Undersøgelse. Fritiden i 7. klasse Elevernes egen beskrivelse.

16 SIDE FACIT SIDE Undersøgelse. Facebook.

17 FACIT SIDE Opgave 21 A Interval x h(x) f(x) F(x) ,2 % 11,2 % ,18 % 23,38 % ,59 % 35,97 % ,11 % 48,08 % ,31 % 62,39 % ,19 % 75,58 % ,27 % 87,85 % ,9 % 95,75 % ,5 % 99,25 % ,73 % 99,98 % ,018 % 99,998 % ,002 % 100 % I alt B Intervalfrekvenser, histogram:

18 Summeret intervalfrekvens, sumkurve: C 12,16 % af danskerne var over 70 år 1. juni D Et grafisk billede, hvor man kan sammenligne antal mænd og kvinder kunne være dette (fra Excel): Mænd Kvinder E Elevtekst.

19 Opgave 22 A-C Resultaterne afhænger af elevens valg. Opgave 23 A Elevens beskrivelse af forskelle og ligheder i de to diagrammer. B De fleste vil nok vælge det nederste diagram. C Der ser overskuddet større ud end i det øverste diagram altså snyd med statistik. Måske en anledning til en klassesamtale? Opgave 24 A Der er 21 elever i klassen. B Elevens beskrivelse af forskelle og ligheder i de to diagrammer. C Elevens valg af diagram. D Elevens begrundelse for valget i C.

20 FACIT SIDE Elevernes egne undersøgelser og besvaresler.

21 FACIT SIDE Træn 1 - FÆRDIGHEDER Opgave 1 A Flere løsninger, fx 3, 4, 4, 12 B Variationsbredden er 12 3 = 9. C Flere løsninger, fx 3, 4, 4, 4, 10, 10, 11, 12, 12 D Flere løsninger, fx 3, 4, 4, 4, 7, 7, 9, 9, 11, 12. Opgave 2 A Karameller x h(x) H(x) B Gennemsnittet er 20 (20,05 for at være nøjagtig), så Nikolajs antal er under gennemsnittet. C Trappediagram med kvartilsættet indtegnet: D Se diagrammet. Kvartilsættet er (18, 20, 21). E Nikolaj skulle have samlet 22 karameller (eller derover) for at være i den bedste fjerdedel.

22 Opgave 3 A Størsteværdi: 11 Mindsteværdi: 5 Middeltal: 7,77 Typetal: 7, 8 og 9 Variationsbredde: 6 B Hyppigheden af 5 er 2, dvs. der er 2 elever, som har sovet 5 timer. C Pindediagram over sovetiderne: D Sovetiden 8 timer har en frekvens på 22,73 %. Opgave 4 A Man kan selvfølgelig diskutere (og det bør man også gøre!), hvad passende intervaller er. Resultaterne afhænger naturligvis af inddelingen. Her er valgt intervaller af længden 5. De to vægte, der så at sige falder uden for normalen er samlet i intervallet ]70: [. Interval ]40; 45] ]45; 50] ]50; 55] ]55; 60] ]60; 65] ]65; 70] ]70; [ Intervalhyppighed B Typeintervallet er ]60; 65]. C Et histogram over intervalfrekvenserne er igen afhængigt af den valgte intervalinddeling. Opgave 5 A Intervallængden er 5 år. I de sidste tre spørgsmål må man forvente nogen aflæsningsusikkerhed med deraf følgende unøjagtighed. B Det drejer sig om de sidste 7 søjler i diagrammet, aflæst til hhv. ca. 6,5 %, 9,9 %, 15,9 %, 19,5 %, 11,9 %, 3,9 % og 0,5 %. I alt ca. 68,2 %. C De første 3 søjler: 1,1 %, 1,4 % og 1,9 %, i alt ca. 4,4 %. D 19,6 % af = 4900.

23 Træn 2 - FÆRDIGHEDER Opgave 1 A Der er flere muligheder, fx et datasæt med 29 tal nemlig 23, 100 og 27 gange tallet 47. Under spørgsmål D er angivet endnu en mulighed. B At tilføje tallet 48 (= datasættets middeltal) vil naturligvis ændre datasættets størrelse (og det er jo også en deskriptor), men vil ikke ændre på mindsteværdi, størsteværdi eller middeltal. C Man vil ændre middeltallet, hvis man tilføjer et tal mellem mindsteværdi og størsteværdi, som er forskelligt fra middeltallet. D Flere løsninger, fx 23, 23, 23, 24, 25, 40, 48, 75, 99 og 100. E Tallet plus 23 skal give det dobbelte af middeltallet, altså 96. Det andet tal skal derfor være 73. Opgave 2 Flere løsninger, der afhænger af den valgte intervalinddeling. Opgave 3 A Flere løsninger fx 3, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 9. Opgave 4 A Elevens beskrivelse. B Flere diagramtyper er mulige. Her er løbstiderne angivet som funktion af antal år efter De slettede rekorder er ikke medtaget. 10 9,9 9,8 9,7 9,6 9,5 9,4 9,3 Verdensrekord 100 m løb Serie1 C I tiåret Opgave 5 A Elevens beskrivelse af udviklingen i mænds højde. B I 1987: 172,5 cm i 2000: 174 cm C Ca. 7-8 cm

24 FACIT SIDE Træn 1 - PROBLEMLØSNING Opgave 1 A Under forudsætning af, at ingen af eleverne har to eller flere fritidsinteresser, dækker de fem interesser 88 % af eleverne. Det vil sige, at 12 % af eleverne svarende til 3 elever ingen fritidsinteresser har. B Hyppigheds- og frekvenstabel: x h(x) f(x) Fodbold 8 32 % Spejder 4 16 % Floorball 2 8 % Håndbold 5 20 % Karate 3 12 % Ingen 3 12 % C Pindediagram: D Elevens beskrivelse af forskelle på de to diagramtyper (cirkeldiagram og pindediagram).

25 Opgave 2 A Allan har scoret 5 mål. Af tabellen herunder ses, at for at komme i den øverste fjerdedel skal man have scoret 6 mål eller derover (3. kvartil). Altså ligger Allan ikke i den øverste fjerdedel. Mål x h(x) f(x) F(x) kvartil kvartil (median) kvartil Opgave 3 A Elevens beskrivelse af udviklingen i kvinders højde. Opgave 4 x h(x) H(x) f(x) F(x) ,7 % 10,7 % 0, ,6 % 14,3 % 0, ,7 % 25 % 0, ,1 % 32,1 % 0, ,7 % 42,8 % 0, ,86 % 60,66 % 0, ,1 % 67,76 % 1, ,1 % 74,86 % 1, ,1 % 81,96 % 1, ,6 % 85,56 % 1, ,6 % 89,16 % 2, ,6 % 92,76 % 2, ,6 % 96,36 % 2, ,6 % 99,96 % (100 %) B 1. kvartil: 0,25 Median: 0,5 3. kvartil: 1,2 C Eleven tegner et grafisk billede af enten H(x) eller F(x). Det kan være et trappediagram, men man kan også vælge at gruppere observationerne og tegne en sumkurve. D Aflæsning af kvartilsættet. Hvis der er tegnet en sumkurve kan resultatet afvige fra spørgsmål B. Hvis der er tegnet et trappediagram vil resultatet være som i spørgsmål B. E 0,3 liter. F Da medianen er 0,5, har Olav ikke ret. Opgave 5 A Peter har tegnet en graf for en lineær funktion, der afbilder antallet af syge elever (y) som funktion af antallet af sygedage (x). Der er intet, der taler for at en sådan sammenhæng skulle eksistere. Desuden skifter enheden på x-aksen undervejs: mellem 4 og 5 er afstanden på x-aksen den samme som mellem 7 og 9 og mellem 9 og 12. B Elevens grafiske billede (fx et pindediagram eller et histogram).

26 Træn 2 - PROBLEMLØSNING Opgave 1 A Elevens beskrivelse af oplysninger fra skemaet. B Eleven fremstiller tre grafiske illustrationer med udgangspunkt i skemaet. C Elevens beskrivelse af udviklingen i antal tilskadekomne cyklister mellem 0 og 24 år. Opgave 2 A Fordelingen (intervalfrekvensen) af landbrug på de oplyste arealstørrelser fremgår af denne tabel: Areal i hektar Antal landbrug Procent af alle landbrug 0,1-29,9 ha ,9 % 30,0-49,9 ha ,9 % 50,0-59,9 ha 328 4,2 % 60,0-74,9 ha 437 5,6 % 75,0-99,9 ha 536 6,8 % 100,0-149,9 ha ,4 % 150,0-199,9 ha 477 6,1 % 200,0-299,9 ha 410 5,2 % 300,0-399,9 ha 143 1,8 % 400 ha og derover 95 1,2 % B Det tilhørende histogram er: De afmærkede punkter på den vandrette akse er: 0, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 200, 300 og 400 ha. De 1,2 % af landbrugene, der er større end 400 ha, vil ikke kunne ses på figuren.

27 Opgave 3 A Figuren viser, hvad der tilsyneladende er begyndelsen på et trappediagram. Et trappediagram skal ende på 100 % - det sker ikke her. Det kan heller ikke være en del af trappediagrammet hørende til hyppighederne i tabellen, selv om x-værdierne passer. Hvis det var tilfældet skulle springene i diagrammet svare til hyppighederne i tabellen, og det er ikke tilfældet: x h(x) Spring i grafen