6.7 Capital Asset Pricing Modellen
|
|
- Morten Juhl
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 0 Lineær regreion 67 Capital Aet Pricing Modellen I dette afnit vil vi gennemgå et ekempel hvor den intereante hypotee er om regreionlinien kærer y-aken i nul Ekempel 62 Capital Aet Pricing Model) I finanielle ammenhænge benytte the Capital Aet Pricing Model CAPM) til at betemme det forventede afkat for et givet aktiv, åom aktier i en betemt virkomhed Modellen blev introduceret i 960 erne af flere forkellige forkere uafhængigt af hinanden, og udløte Nobelprien i økonomi i 990 til Harry Markowitz, Merton Miller og William Sharpe Det forventede afkat modellere om funktion af markedet bevægeler og det åkaldte riikofri aktiv Det riikofri aktiv er afkatet på et aktiv, hvor man på forhånd kender afkatet Det varer til at ætte pengene i banken til en kendt rente i tedet for at invetere dem Det iger ig elv at afkatet er mindre end hvad man vil forvente fra en invetering, da man jo ikke riikerer noget eller er der ingen grund til at invetere! Lad r betegne afkatet af det riikofri aktiv, markedafkatet betegne med M, og afkatet af et betemt aktiv betegne med R CAPM antager at ER r) = β EM r) 60) Her er β pecifik for det konkrete aktiv vi er intereeret i og repræenterer hvor kraftigt aktivet reagerer på markedet bevægeler Man kan dagligt finde etimater af β for en lang række aktiver i finanielle avier Etimaterne benytte af invetorer til at ammenætte dere inveteringer å henigtmæigt om muligt Sammenhørende værdier af de tre tørreler r, M og R kan måle til forkellige tidpunkter, og opgive typik om månedlige afkat Vi definerer nu variablene Y i = R i r i og i = M i r i, hvor ubinde i angiver tidpunktet Modellen 60) paer da ind i modellen for en lineær regreion, definition 6, bortet fra to ting: Det tatitike udagn i CAPM er at regreionlinien kærer y-aken i nul, hvilket varer til at α = β Der er gode finanieringteoretike argumenter for dette men dem må I vente med til enere kurer Vi vil tete om antagelen virker rimelig udfra data Bemærk at dette er et andet tet end det vi har 67 Capital Aet Pricing Modellen behandlet tidligere i kapitlet, hvor vi kun har tetet for om hældningen β er forkellig fra nul Der er deværre ogå en anden afvigele, om er værere at håndtere Der er ingen grund til at tro at to målinger til to tætliggende tidpunkter kulle være uafhængige! Hvi for ekempel aktivet afkat har været højt i mart, vil vi ogå forvente at det ligger højt i april, ogå udover hvad der kan forklare med markedafkatet Vi vil derfor kun analyere data med tre måneder mellemrum og mide de mellemliggende datapunkter væk, i håb om at die data er nogenlunde uafhængige Det er ikke nogen optimal løning, men det bedte vi kan gøre med de redkaber vi har til rådighed på dette kuru På enere kurer vil metoder til at håndtere afhængighed blive behandlet I figur 67 er data for Carlberg aktier i perioden fra juli 985 til oktober 2009 plottet Data er månedlige afkat i % men kun opgivet med tre måneder mellemrum Data betår af 98 ammenhørende målinger af Y i = R i r i, betegnet y,, y 98, og i = M i r i, betegnet,, 98 Obervationerne y,, y 98 betragte om realiationer af tokatike variable Y,, Y 98 om antage at være uafhængige og normalfordelte med varian σ 2 og middelværdier α + β i ) Udfra figuren kan ammenhængen mellem Carlberg aktien afkat og markedafkatet udmærket være lineær Derudover er det ud til at regreionlinien kunne kære y-aken i nul, da punktet 0, 0) lader til at ligge meget tæt på den etimerede regreionlinie Bemærk en ektrem obervation nedert i ventre hjørne, hvor både Carlberg aktien afkat og markedafkatet er meget negativt Dette er målingen i oktober 2008 det tidpunkt hvor den finanielle krie var ved at ramme Danmark, efter at være begyndt i USA For de 98 obervationer,, 98 af markedafkatet og de tilvarende 98 obervationer y,, y 98 af Carlberg aktien afkat, vite det ig at = 620; SSD = i = 3746 ȳ = 09392; y j ȳ) i ) = 257
2 2 Lineær regreion 67 Capital Aet Pricing Modellen 3 Carlberg afkat riikofrit aktiv Markedafkat riikofrit aktiv Figur 67: Sammenhæng mellem det månedlige afkat af Carlberg aktier og markedafkatet Den rette linie er den etimerede regreionlinie ålede at etimaterne er 2 = ˆα = 09392; ˆβ = = y i ȳ ˆβ i ) = , = 98 2 Etimatorerne er uafhængige, ˆα Nα, σ 2 /98), ˆβ Nβ, σ 2 / SSD ) og 96 2 σ 2 χ 2 96 De etimerede fordelinger finde ved at indætte etimaterne for de ukendte parametre Den etimerede fordeling af ˆα er Nˆα, 2 /n) = N09392, 04673), pecielt er den etimerede predning af ˆα lig / 98 = Den etimerede fordeling af ˆβ er N ˆβ, 2 / SSD ) = N08099, 0044), pecielt er den etimerede predning af ˆβ lig / SSD = 020 Den etimerede fordeling af 2 er /96χ 2 96 = 04770χ 2 96 Den etimerede regreionlinie, ŷ) = ˆα + ˆβ ), er indtegnet på figur 67 I figur 68 er de ædvanlige modelkontroltegninger plottet I ventre plot er de tandardierede reidualer tegnet op mod de prædikterede værdier Punkterne lader til at ligge tilfældigt omkring nul, og prede ig lodret om tandard normalfordelte variable uanet hvor på førteaken man kigger, om de bør Bemærk at der er flere punkter tæt ved nul end langt fra, og det er derfor naturligt at e en lidt tørre predning her Der er et enkelt ektremt reidual, om tammer fra den føromtalte måling fra oktober 2008 I højre plot er tegnet et QQ-plot af reidualerne Normalfordelingantagelen er acceptabel i dette ekempel, og vi kan roligt fortætte vore analyer Standardierede reidualer Etimeret markedafkat riikofrit aktiv Empirike fraktiler N0,) fraktiler Figur 68: Standardierede reidualer plottet mod prædikterede værdier og et QQ-plot for de tandardierede reidualer fra analyen af Carlberg aktien For at beregne 95% konfidenintervaller for parametrene, behøver vi 975% fraktilen i t-fordelingen med n 2 = 96 frihedgrader Den er 98 Sålede er ± ± = ± 3569 = 0477, 22962) 3746 = ± = 0575, 0483) 95% konfidenintervaller for α og β Hvi β = 0 varende til at Carlberg aktien ikke afhænger af markedet øvrige bevægeler er det ålede uandynligt at vi kulle have oberveret de data vi har til rådighed, da nul jo ikke er indeholdt i konfidenintervallet for β Vi ved derfor allerede at et tet for om hældningen er nul vil være tatitik ignifikant, men vi kan ikke umiddelbart e p-værdien udfra konfidenintervallet Dette er ikke å overrakende det ville være mærkeligt hvi Carlberg aktien overhovedet ikke fulgte markedet øvrige bevægeler
3 4 Lineær regreion 67 Capital Aet Pricing Modellen 5 Vi vil nu tete om hældningen kan være nul, om vi har gjort tidligere i kapitlet Dette varer til hypoteen H : β = 0 Værdien af t-tettørrelen er t = og tetandynligheden er ˆβ / = SSD / 3747 = εy) = 2P T 67430) = 0 9 hvor T t 96 Der er ålede tærk eviden mod hypoteen om afvie på 5% ignifikanniveau, om vi allerede vidte fra konfidenintervallet Konkluionen er at Carlberg aktien følger markedet øvrige bevægeler, om angivet i modellen Huk at CAPM antager at regreionlinien kærer y-aken i nul, varende til at middelværdien af afkatet af aktivet ikke er tørre end det riikofri aktiv, hvi markedet generelle afkat heller ikke er tørre end det riikofri aktiv Det er ålede intereant at tete om α kan antage at være lig β For at tete hypoteen H : α = β kan vi om vi allerede har et flere gange gøre følgende: etimere parametrene under hypoteen, opkrive kvotienttettørrelen, betemme p-værdien og til idt vurdere om hypoteen kan acceptere eller kal afvie, afhængigt af den fundne p-værdi Vi vil kyde en genvej, og den flittige læer kan elv udføre de relevante beregninger og e at man kommer frem til det amme reultat Dette er tillet om en opgave I afnit 65 fandt vi fordelingen af den tokatike variabel Ŷ ) for fat, dv den etimerede regreionlinie i et givet punkt Vi er intereerede i punktet = 0 og har at )) n Ŷ 0) N α β, σ 2 + SSD )) Vi har derfor at Ŷ 0) N 0, σ 2 + under hypoteen H : α = n β Betragt nu de tokatike variable U = Z = T = Ŷ 0) σ N0, ), n 2)2 σ 2 χ 2 n 2, U Z/n 2) = Ȳ ˆβ t n 2, hvor de angivne fordelinger er under hypoteen Fordelingen af T følger fordi U og Z er uafhængige Vi kan derfor udføre et tet på den oberverede værdi af T og vurdere den i t-fordelingen med n 2 frihedgrader, og finder at p-værdien er givet ved εy) = 2P T t ) = 2 F tn 2 t ) ) I ekemplet med Carlberg aktien få t-tettørrelen t = og p-værdien er ˆα ˆβ = = εy) = 2P T ) = 0998 Dette er en meget høj p-værdi! Vi accepterer derfor hypoteen dv die data giver eviden til CAPM Da vi har accepteret hypoteen kal vi opdatere vore etimater Likelihoodfunktionen under hypoteen er L y : R 0, ) R L y β, σ 2 ) = 2πσ 2 ) n/2 ep 2σ 2 ) y i β i På tilvarende måde om i afnit 62 kan et makimum likelihood etimat for β finde ved at minimaliere y i β i
4 6 Lineær regreion 67 Capital Aet Pricing Modellen 7 der har løningen ˆβ = y i i n 2 i Ligelede kan man nemt finde makimum likelihood etimatoren for σ 2, ˆσ 2 = n y i ˆβ i Regn elv efter! Som ædvanlig benytte i tedet den centrale etimator 2 = n y i ˆβ i På amme måde om vi å i afnit 62 kan det vie at etimatorerne ˆβ = Y i i n, 2 = Y i 2 i n ˆβ i er uafhængige, og dere marginale fordelinger er givet ved ) σ ˆβ 2 N β,, n σ 2 χ 2 n 2 i Bemærk at vi nu dividerer med n i varianetimatet fordi nˆσ 2 σ 2 χ 2 n Vi etimerer kun en middelværdiparameter og miter derfor kun en frihedgrad I ekemplet med Carlberg aktien få ålede at etimaterne er y i i = 2678; ˆβ = = 08098, 2 = 2 i = y i ˆβ i = , = Bemærk at etimaterne tort et er de amme om før Dette er endnu et udtryk for at hypoteen om at regreionlinien kærer y-aken i nul er meget plauibel Den etimerede regreionlinie, ŷ) = ˆβ kan faktik ikke kelne fra regreionlinien fra den fulde model indtegnet på figur 67 Etimatorerne er uafhængige, ˆβ Nβ, σ 2 / 2 i ) og 97 2 σ 2 χ 2 97 Den etimerede fordeling af ˆβ er N ˆβ, 2 / 2 i ) = N08098, 0037), pecielt er den etimerede predning af ˆβ lig / 2 i = 07 Den etimerede fordeling af 2 er /97χ 2 97 = 04673χ 2 97 Det er let at vie at et α -konfideninterval for β er givet ved For Carlberg aktien få at ˆβ ± t n, α /2 2 i ± = 05775, 0422) er et 95% konfideninterval for β Den etimerede regreionlinie er ŷ) = ˆβ = og den etimerede fordeling af Ŷ ) er )) )) N ˆβ, = N 08098, i Et 95% konfideninterval for regreionlinien i punktet er givet ved ± I figur 69 e regreionlinien indtegnet med punktvie 95% konfidengræner om tiplede kurver Bemærk at der ingen uikkerhed er for etimatet af regreionlinien i = 0 Det kylde at modellen antager at værdien her er nul - dv vi ikke etimerer noget i dette punkt Antag at der kommer en ny måling af markedafkatet og det riikofri aktiv ålede at differenen er 0% Vi vil da gerne prædiktere Carlberg aktien afkat Vi får Ẑ = ˆβ = = 8098
5 8 Lineær regreion Et 95% prædiktioninterval for afkatet af Carlberg aktien fratrukket det riikofri aktiv er til dette tidpunkt givet ved Ẑ ± t n, SSD = 8098 ± = 54642, 26606) I figur 69 er de punktvie 95% prædiktiongræner vit om prikkede kurver Bemærk at 7 obervationer falder udenfor grænerne I gennemnit vil vi forvente at 5% af obervationerne falder udenfor prædiktionkurverne, hvilket paer meget godt da vi har 98 obervationer i alt Til idt bør bemærke at modellen ikke kan fange ektreme begivenheder åom pludeligt optåede finanielle krier, der her giver ig udtryk i den ektreme måling fra oktober 2008 Man kunne overveje at gentage analyen hvor denne måling udelade for at e hvor tor indflydele den har på reultatet Hvi reultatet ikke ændrer ig nævneværdigt kan man tadig tole på konkluionerne Carlberg afkat riikofrit aktiv Markedafkat riikofrit aktiv Figur 69: Regreionlinie fuldt optrukket), punktvie konfidenintervaller tiplet) og punktvie prædiktionintervaller for Carlberg aktien
Program. Konfidensinterval og hypotesetest en enkelt normalfordelt stikprøve. Eksempel: hjerneceller hos marsvin. Eksempel: hjerneceller hos marsvin
Program Konfideninterval og hypoteetet en enkelt normalfordelt tikprøve Helle Sørenen E-mail: helle@math.ku.dk I dag: Lidt repetition fra i mandag Konfideninterval for µ the baic Tet af nulhypotee om µ
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Oversigt, Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kuru 02402 Introduktion til Statitik Forelæning 5: Kapitel 7: Inferen for gennemnit (One-ample etup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statitik og Dataanalye Bygning 324, Rum 220 Danmark Teknike Univeritet
Læs mereI dag. Binomialfordelingen Sandsynlighedsregning og statistik. Eksempel: cornflakessmagning. Binomialfordelingen
I dag Binomialfordelingen Sandynlighedregning og tatitik Helle Sørenen Binomialfordelingen! Sandynlighedregning: definition og andynlighedfunktion Sandynlighedregning v. tatitik Statitik: tatitik model
Læs mereGeometrisk nivellement. Landmålingens fejlteori - Lektion 7 - Repetition - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement. Modellen.
Landmålingen fejlteori Lektion 7 Repetition Fejlforplantning ved geometrik nivellement h t f t f t f t 4 f 4 t n f n - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervining/lf Intitut for Matematike Fag
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte. χ 2 -fordelingen
Program Statitik og Sandynlighedregning 2 Normalfordelingen venner og bekendte Helle Sørenen Uge 9, ondag Reultaterne fra denne uge kal bruge om arbejdhete i projekt 1. I formiddag: χ 2 -fordelingen, t-fordelingen,
Læs mereHjemmeopgave 1 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Vejledende besvarelse
Hjemmeopgave Makroøkonomi,. årprøve, foråret 2005 Vejledende bevarele Opgave. Korrekt. Arbejdtyrken er en beholdning- (tock) variabel, idet man på et givet tidpunkt (fx. jan) kan tælle, hvor mange der
Læs mereHypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder
Læs mereFaldmaskine. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 23. november 2008
Faldmakine Eben Bork Hanen Amanda Laren Martin Sven Qvitgaard Chritenen 23. november 2008 Indhold Formål 3 2 Optilling 3 2. Materialer............................... 3 2.2 Optilling...............................
Læs mereFag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast
Det krå kat Data Forøg 1: = 38 V 0 = 4, 94 K vidde = 2, 058 H = 0, 406 t = 0, 53 Forøg 2 (60 ): = 60 V 0 = 4, 48 K vidde = 1, 724 H = 0, 788 t = 0, 77 Fyik del Udførel af forøg Kat på 38 : Forøgoptilling:
Læs mereProgram. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit
Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereVanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar
- 1 Vankelige vilkår for generationkifte med nye regler - Afkaffele af formuekattekuren amt vækkele af ikkerheden trod bindende var Af advokat (L) Bodil Chritianen og advokat (H), cand. merc. (R) Tommy
Læs mereEstimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs merePerspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression
Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem
Læs mereStatistik Lektion 8. Test for ens varians
Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematik modellering og numerike metoder Morten Grud Ramuen 4. oktober 26 Laplace-tranformationer. Definitionen af Laplace-tranformationen Definition. (Laplace-tranformation). Lad f være en funktion defineret
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs meren r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1
(a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2
Læs mereSamtaleark. Del 1: Elevens sprog. Spørgsmål til eleven. Noter og observationer under samtalen. Angiv elevens stærkeste sprog:
Samtaleark Del 1: Eleven prog Formål: At give kolen viden om, hvilke prog eleven har brugt og bruger med henblik på at anvende eleven prog om en reource i videre læringammenhænge. Gode råd til dig, der
Læs mereProteinkemi Grp. P1 Side 1 af 63
Grp. P Side af 63 Grp. P INDHOLDSFORTEGNELSE INDLEDNING 3 STANDARDPROTEINER 4. BOVIN SERUM ALBUMIN 4. LYSOZYM C 4.3 OVALBUMIN 5 3 TEORI 5 3. DIREKTE SPEKTROFOTOMETRI 5 3. BESTEMMELSE AF PROTEINKONCENTRATION
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereNanostatistik: Lineær regression
Nanostatistik: Lineær regression JLJ Nanostatistik: Lineær regression p. 1/41 Sammenhænge Funktionssammenhæng: y er en funktion af x. Ex: Hvis jeg kender afstanden mellem to galakser så kender jeg også
Læs mereAfdækning af nyankomne elevers sprog og erfaringer
Hele vejen rundt om eleven prog og reourcer afdækning af nyankomne og øvrige toprogede elever kompetencer til brug i underviningen Afdækning af prog og erfaringer TRIN Afdækning af nyankomne elever prog
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereSammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen:
Oplag 8: FORMLHÅNDTRING Sammenhængen mellem trækning og tid Farten angiver den tilbagelagte trækning i et tidrum. Farten kan betemme ved brug af formlen: fart = trækning tid Anvender vi i tedet ymboler,
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereguide skift elselskab og spar en formue billigere Januar 2015 Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus
guide Januar 2015 få billigere el kift elelkab og par en formue Se flere guider på bt.dk/plu og b.dk/plu 2 SKIFT ELSELSKAB SPAR EN FORMUE INDHOLD SIDE 4 Mange kan core hurtige og nemme penge ved at kifte
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereDansk Økonomi, forår 2018
Dokumentationnotat til Forventede konekvener af ændringer i uddanneletøtten Dank Økonomi, forår 2018 Formandkabet d. 24.05.2018 Brian Krogh Graveren Dokumentationnotat: Forventede konekvener af ændringer
Læs mereLøsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06)
Afdeling for Biostatistik Bo Martin Bibby 23. november 2006 Løsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06) Vi betragter 4699 personer fra Framingham-studiet. Der er oplysninger om follow-up
Læs mereTermodynamik - Statistisk fysik - Termodynamiske relationer - Fri energi - Entropi
Fag: Termodynamik - Statitik fyik - Termodynamike relationer - Fri energi - Entropi 1 Indholdfortegnele... 2 Forord... 3 Formelle definitioner... 3 Et ytem... 3 Et lukket ytem... 3 Et ioleret ytem... 3
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereDagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22
Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mereØvelse i Ziegler-Nichols med PID-regulator
Øvele i Ziegler-Nichol med PID-regulator Formål Forøgoptilling 1-1. orden ytem Procerør Formålet med øvelen er at finde brugbare parametre til regulering af et 1. og 2. orden ytem ved hjælp af Ziegler-Nichol
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereProgram. Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve I SAS. Øvelse: effekt af diæter
Program Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Øvelse: effekt af diæter. Repetition fra sidst... Parrede og ikke-parrede
Læs mereMultipel regression. Data fra opgave 3 side 453: Multipel regressionsmodel: Y = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ǫ. hvor ǫ N(0, σ 2 ).
Program 1. multipel regression 2. polynomiel regression (og andre kurver) 3. kategoriske variable 4. Determinationkoefficient og justeret determinationskoefficient 5. ANOVA-tabel 1/13 Multipel regression
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereEr der tvivl, om hvorvidt den sne, der retningslinier for tiltag mod alvorlige
Hvordan rydder jeg mit tag for ne? Forord Sne på tage Denne vejledning giver nogle generelle Baggrunden for vejledningen er, at der Større mængder af ne på tage kal tage Er der tvivl, om hvorvidt den ne,
Læs mereBrugerundersøgelse 2013 Plejebolig
Brugerunderøgele 2013 Plejebolig Brugerunderøgelen er udarbejdet af Epinion AS og Afdeling for Data og Analye, Sundhed- og Omorgforvaltningen, København Kommune. Layout: KK deign Foridefoto: Henrik Friberg
Læs mereOpgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 352 og 6ed: 11.2, side 345)
Kursus 4: Besvarelser til øvelses- og hjemmeopgaver i uge 11 Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 35 og 6ed: 11., side 345) Opgaven består i at foretage en regressionsanalse. Først afbildes data som i
Læs mereNanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs merePIA JENSEN, 3.X MANDAG DEN 20. NOVEMBER 2006 ØVELSERNE ER UDFØRT MANDAG DEN 23. OKTOBER 2006 I SAMARBEJDE MED JESPER OG TOVE FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST
PIA JENSEN, 3.X MANDAG DEN. NOVEMBER 6 ØVELSERNE ER UDFØRT MANDAG DEN 3. OKTOBER 6 I SAMARBEJDE MED JESPER OG TOVE FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST Side 1 af FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST FORORD OG INDHOLDSFORTEGNELSE
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke
Læs mereLøsning, Beton opgave 2.1
Løning, eton opgave. Løning, eton opgave. - diagrammet betemme or ølgende tværnit, hvor 8, Pa, d 38 Pa, d,4 0 Pa, 0,003 og u 0,08. Forkellige hjælpetørreler: h 0 + 40 300 mm d 300 40 60 mm d 40 mm π 6
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2003 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereSelkirk Rex i Danmark
Selkirk Rex i Danmark Af Florence McLean Der er mange ider på internettet, hvor man kan finde oplyninger om Selkirk Rex, derfor er dette blevet til en mere peronlig bekrivele af egne opleveler omkring
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmark Teknike Univeritet Side 1 af 7 Skriftlig prøve, tordag den 6 maj, 1, kl 9:-1: Kuru navn: Fyik 1 Kuru nr 1 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Bevarelen bedømme om en
Læs mereStatistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol
Statistik Lektion 4 Variansanalyse Modelkontrol Eksempel Spørgsmål: Er der sammenhæng mellem udetemperaturen og forbruget af gas? Y : Forbrug af gas (gas) X : Udetemperatur (temp) Scatterplot SPSS: Estimerede
Læs mereTennis eksempel på opgaveløsning i MatematiKan.nb
Opgave 1 1.1 Caroline alder, da hun blev profeionel: 2005-1990 15 18-11 7 Caroline var 15 år og 7 dage gammel. 1.2-1.6 1.5 Det er ud til, at den ekponentielle tendenlinje følger punkterne bedt. 1.6 R-kvadreret
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereØkonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data.
Økonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data. 1 / 32 Motivation Eksempel: Savings = β 0 + β 1 Income + u Vi ved allerede, hvordan vi estimerer regresseionlinjen:
Læs mereStatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs merePlanstrategi. s s. Hverdag og fællesskab i bevægelse
Plantrategi 2015 Hverdag og fællekab i bevægele Hverdag og fællekab i bevægele Byrådet i Egedal har en viion for kommunen fremtidige udvikling. Viionen handler om, at alle kal have en god og velfungerende
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mereModellering af strømning i CFX
Modellering af trøning i I følgende afnit bekrive optillingen og forudætningerne for opætning af en CFD-odel (Coputional Fluid Dynaic) i odellen 5.6. er en fuld dynaik tredienional trøningodel, o benytter
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mere6 ARMEREDE BJÆLKER 1
BETONELEMENTER, SEP. 009 6 ARMEREDE BJÆLKER 6 ARMEREDE BJÆLKER 1 6.1 Brudgrænetiltande 3 6.1.1 Bøjning 3 6.1.1.1 Tværnitanalye generel metode 3 6.1.1. Kanttøjning 5 6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering 5
Læs mereSCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER NORDREGÅRDSSKOLEN TEJN ALLÉ 3 2770 KASTRUP. Udarbejdet for:
Golder Aociate Maglebjergvej 6, 1. 2800 Kg. Lyngby Tel: [45] 7027 4757 Fax: [45] 7027 4457 http://www.golder.com SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER NORDREGÅRDSSKOLEN TEJN ALLÉ 3 2770 KASTRUP Udarbejdet
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006
Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske
Læs mereSHARKY varmeenergimålere
SHARKY varmeenergimålere SHARKY 773 er kabt til måling af varmeenergi i tørre og mindre varmeanlæg. Den er let at intallere og er meget betjeningvenlig. Med it patenterede måleytem og indat ikre tor måletabilitet,
Læs mereLineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ
Lineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ Per Bruun Brockhoff, DTU Compute, Claus Thorn Ekstrøm, KU Biostatistik, Ernst Hansen, KU Matematik January 17, 2017 Abstract
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mere1. Indledning I Visma Løn findes et standard bogføringsbilag, som indeholder følgende kolonner:
Indhold... 1 1. Indledning... 4 2. Menupunkter til bogføring... 5 2.1. Kontoplan... 5 2.2. Kontoplanfelt... 5 2.3. Sorteringkode... 5 2.4. Kontrol af bogføring... 6 2.5. Arbejdgiver tamoplyninger... 6
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereNanostatistik: Lineær regression
Nanostatistik: Lineær regression JLJ Nanostatistik: Lineær regression p. 1/69 Repetition Model: X 1,...,X n uafhængige, X i N(µ,σ 2 ) X = n 1 n i=1 X i, s 2 = n 1 1 n i=1 (X i X) 2 Teststørrelse: T = n
Læs mereSCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER SKELGÅRDSSKOLEN UGANDAVEJ 124 2770 KASTRUP. Udarbejdet for:
Golder Aociate Maglebjergvej 6, 1. 2800 Kg. Lyngby Tel: [45] 7027 4757 Fax: [45] 7027 4457 http://www.golder.com SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER SKELGÅRDSSKOLEN UGANDAVEJ 124 2770 KASTRUP Udarbejdet
Læs mere