Integer Factorization
|
|
- Poul Laustsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/ kl. 10:15
2 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder 4 General Number Field Sieve Konceptet Algoritmen pgnfs 5 Status
3 Outline 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder 4 General Number Field Sieve Konceptet Algoritmen pgnfs 5 Status
4 Faktorisering Primtal Et primtal p er et helt positivt tal som kun har 1 og p som divisor.
5 Faktorisering Primtal Et primtal p er et helt positivt tal som kun har 1 og p som divisor. Eksempel 2,3,5,7,11,13,17,19,...
6 Faktorisering Primtal Et primtal p er et helt positivt tal som kun har 1 og p som divisor. Eksempel 4,12,33,1978,...
7 Faktorisering Primtal Et primtal p er et helt positivt tal som kun har 1 og p som divisor. Eksempel 4 = 2 2,...
8 Faktorisering Primtal Et primtal p er et helt positivt tal som kun har 1 og p som divisor. Aritmetikkens fundamentalsætning Ethvert helt tal n kan skrives entydigt som et produkt af primtal.
9 Lille øvelse Eksempel 1978
10 Lille øvelse Eksempel 1978 =
11 Lille øvelse Eksempel 360
12 Lille øvelse Eksempel 360 =
13 Lille øvelse Hvor svært kan det være?
14 Lille øvelse Hvor svært kan det være?
15 Lille øvelse Hvor svært kan det være? =
16 Lille øvelse Lille regnestykke til resten af tiden:
17 Lille øvelse Lille regnestykke til resten af tiden:
18 Outline 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder 4 General Number Field Sieve Konceptet Algoritmen pgnfs 5 Status
19 Hvorfor er det interessant? Sikkerheden for de fleste public key krypteringsalgoritmer er baseret på at det er svært at faktorisere store heltal. For eksempel RSA
20 Hvorfor er det interessant? Sikkerheden for de fleste public key krypteringsalgoritmer er baseret på at det er svært at faktorisere store heltal. For eksempel RSA
21 RSA algoritmen (1978) Initialisering af RSA (p, q : n : φ(n) :d :e ) 1 Vælg 2 primtal p og q. 2 Sæt n = p q. 3 Beregn Eulers φ-funktion af n, dvs. φ(n) = (p 1) (q 1) 4 Vælg d primisk til φ(n), dvs. gcd(d, φ(n)) = 1. 5 Vælg e som den multiplikative inverse til d, dvs. e d 1 mod φ(n). Nøgler (offentlig : privat) Parret (e, n) er så den offentlige nøgle. Og parret (d, n) er den private nøgle.
22 RSA algoritmen (1978) Initialisering af RSA (p, q : n : φ(n) :d :e ) 1 Vælg 2 primtal p og q. 2 Sæt n = p q. 3 Beregn Eulers φ-funktion af n, dvs. φ(n) = (p 1) (q 1) 4 Vælg d primisk til φ(n), dvs. gcd(d, φ(n)) = 1. 5 Vælg e som den multiplikative inverse til d, dvs. e d 1 mod φ(n). Nøgler (offentlig : privat) Parret (e, n) er så den offentlige nøgle. Og parret (d, n) er den private nøgle.
23 RSA algoritmen (1978) Initialisering af RSA (p, q : n : φ(n) :d :e ) 1 Vælg 2 primtal p og q. 2 Sæt n = p q. 3 Beregn Eulers φ-funktion af n, dvs. φ(n) = (p 1) (q 1) 4 Vælg d primisk til φ(n), dvs. gcd(d, φ(n)) = 1. 5 Vælg e som den multiplikative inverse til d, dvs. e d 1 mod φ(n). Nøgler (offentlig : privat) Parret (e, n) er så den offentlige nøgle. Og parret (d, n) er den private nøgle.
24 RSA algoritmen (1978) Initialisering af RSA (p, q : n : φ(n) :d :e ) 1 Vælg 2 primtal p og q. 2 Sæt n = p q. 3 Beregn Eulers φ-funktion af n, dvs. φ(n) = (p 1) (q 1) 4 Vælg d primisk til φ(n), dvs. gcd(d, φ(n)) = 1. 5 Vælg e som den multiplikative inverse til d, dvs. e d 1 mod φ(n). Nøgler (offentlig : privat) Parret (e, n) er så den offentlige nøgle. Og parret (d, n) er den private nøgle.
25 RSA algoritmen (1978) Initialisering af RSA (p, q : n : φ(n) : d :e ) 1 Vælg 2 primtal p og q. 2 Sæt n = p q. 3 Beregn Eulers φ-funktion af n, dvs. φ(n) = (p 1) (q 1) 4 Vælg d primisk til φ(n), dvs. gcd(d, φ(n)) = 1. 5 Vælg e som den multiplikative inverse til d, dvs. e d 1 mod φ(n). Nøgler (offentlig : privat) Parret (e, n) er så den offentlige nøgle. Og parret (d, n) er den private nøgle.
26 RSA algoritmen (1978) Initialisering af RSA (p, q : n : φ(n) :d : e ) 1 Vælg 2 primtal p og q. 2 Sæt n = p q. 3 Beregn Eulers φ-funktion af n, dvs. φ(n) = (p 1) (q 1) 4 Vælg d primisk til φ(n), dvs. gcd(d, φ(n)) = 1. 5 Vælg e som den multiplikative inverse til d, dvs. e d 1 mod φ(n). Nøgler (offentlig : privat) Parret (e, n) er så den offentlige nøgle. Og parret (d, n) er den private nøgle.
27 RSA algoritmen (1978) Initialisering af RSA (p, q : n : φ(n) :d :e ) 1 Vælg 2 primtal p og q. 2 Sæt n = p q. 3 Beregn Eulers φ-funktion af n, dvs. φ(n) = (p 1) (q 1) 4 Vælg d primisk til φ(n), dvs. gcd(d, φ(n)) = 1. 5 Vælg e som den multiplikative inverse til d, dvs. e d 1 mod φ(n). Nøgler (offentlig : privat) Parret (e, n) er så den offentlige nøgle. Og parret (d, n) er den private nøgle.
28 RSA algoritmen (1978) Initialisering af RSA (p, q : n : φ(n) :d :e ) 1 Vælg 2 primtal p og q. 2 Sæt n = p q. 3 Beregn Eulers φ-funktion af n, dvs. φ(n) = (p 1) (q 1) 4 Vælg d primisk til φ(n), dvs. gcd(d, φ(n)) = 1. 5 Vælg e som den multiplikative inverse til d, dvs. e d 1 mod φ(n). Nøgler (offentlig : privat) Parret (e, n) er så den offentlige nøgle. Og parret (d, n) er den private nøgle.
29 RSA algoritmen (1978) Initialisering af RSA (p, q : n : φ(n) :d :e ) 1 Vælg 2 primtal p og q. 2 Sæt n = p q. 3 Beregn Eulers φ-funktion af n, dvs. φ(n) = (p 1) (q 1) 4 Vælg d primisk til φ(n), dvs. gcd(d, φ(n)) = 1. 5 Vælg e som den multiplikative inverse til d, dvs. e d 1 mod φ(n). Nøgler (offentlig : privat) Parret (e, n) er så den offentlige nøgle. Og parret (d, n) er den private nøgle.
30 RSA algoritmen (1978) Kryptering af klarteksten M 1 Repræsenter M som en række af tal M 0, M 1,..., M j hvor M i [0 : n 1]. 2 For hvert M i beregn C i = M e i mod n. 3 Cipherteksten C er så C = C 0, C 1,..., C j. Dekryptering af cipherteksten C 1 Repræsenter C som en række af tal C 0, C 1,..., C j hvor C i [0 : n 1]. 2 For hvert C i beregn M i = C d i mod n. 3 Klarteksten M er så M = M 0, M 1,..., M j.
31 RSA algoritmen (1978) Kryptering af klarteksten M 1 Repræsenter M som en række af tal M 0, M 1,..., M j hvor M i [0 : n 1]. 2 For hvert M i beregn C i = M e i mod n. 3 Cipherteksten C er så C = C 0, C 1,..., C j. Dekryptering af cipherteksten C 1 Repræsenter C som en række af tal C 0, C 1,..., C j hvor C i [0 : n 1]. 2 For hvert C i beregn M i = C d i mod n. 3 Klarteksten M er så M = M 0, M 1,..., M j.
32 RSA algoritmen (1978) Kryptering af klarteksten M 1 Repræsenter M som en række af tal M 0, M 1,..., M j hvor M i [0 : n 1]. 2 For hvert M i beregn C i = M e i mod n. 3 Cipherteksten C er så C = C 0, C 1,..., C j. Dekryptering af cipherteksten C 1 Repræsenter C som en række af tal C 0, C 1,..., C j hvor C i [0 : n 1]. 2 For hvert C i beregn M i = C d i mod n. 3 Klarteksten M er så M = M 0, M 1,..., M j.
33 RSA algoritmen (1978) Kryptering af klarteksten M 1 Repræsenter M som en række af tal M 0, M 1,..., M j hvor M i [0 : n 1]. 2 For hvert M i beregn C i = M e i mod n. 3 Cipherteksten C er så C = C 0, C 1,..., C j. Dekryptering af cipherteksten C 1 Repræsenter C som en række af tal C 0, C 1,..., C j hvor C i [0 : n 1]. 2 For hvert C i beregn M i = C d i mod n. 3 Klarteksten M er så M = M 0, M 1,..., M j.
34 RSA algoritmen (1978) Kryptering af klarteksten M 1 Repræsenter M som en række af tal M 0, M 1,..., M j hvor M i [0 : n 1]. 2 For hvert M i beregn C i = M e i mod n. 3 Cipherteksten C er så C = C 0, C 1,..., C j. Dekryptering af cipherteksten C 1 Repræsenter C som en række af tal C 0, C 1,..., C j hvor C i [0 : n 1]. 2 For hvert C i beregn M i = C d i mod n. 3 Klarteksten M er så M = M 0, M 1,..., M j.
35 RSA algoritmen (1978) Kryptering af klarteksten M 1 Repræsenter M som en række af tal M 0, M 1,..., M j hvor M i [0 : n 1]. 2 For hvert M i beregn C i = M e i mod n. 3 Cipherteksten C er så C = C 0, C 1,..., C j. Dekryptering af cipherteksten C 1 Repræsenter C som en række af tal C 0, C 1,..., C j hvor C i [0 : n 1]. 2 For hvert C i beregn M i = C d i mod n. 3 Klarteksten M er så M = M 0, M 1,..., M j.
36 RSA algoritmen (1978) Kryptering af klarteksten M 1 Repræsenter M som en række af tal M 0, M 1,..., M j hvor M i [0 : n 1]. 2 For hvert M i beregn C i = M e i mod n. 3 Cipherteksten C er så C = C 0, C 1,..., C j. Dekryptering af cipherteksten C 1 Repræsenter C som en række af tal C 0, C 1,..., C j hvor C i [0 : n 1]. 2 For hvert C i beregn M i = C d i mod n. 3 Klarteksten M er så M = M 0, M 1,..., M j.
37 RSA algoritmen (1978) Kryptering af klarteksten M 1 Repræsenter M som en række af tal M 0, M 1,..., M j hvor M i [0 : n 1]. 2 For hvert M i beregn C i = M e i mod n. 3 Cipherteksten C er så C = C 0, C 1,..., C j. Dekryptering af cipherteksten C 1 Repræsenter C som en række af tal C 0, C 1,..., C j hvor C i [0 : n 1]. 2 For hvert C i beregn M i = C d i mod n. 3 Klarteksten M er så M = M 0, M 1,..., M j.
38 RSA algoritmen (1978) Sikkerheden af RSA Sikkerheden af RSA er baseret på at det er svært at faktorisere n da man nemt vil kunne finde d ud fra e og faktoriseringen af n. Udbredelsen af RSA RSA var et af de første offentligt nøgle kryptosystemer og er også det mest udbredte system og bruges i dag af homebanking systemer og anden sikker kommunikation over internettet. Ergo... Derfor vil opdagelsen af en hurtig metode til faktorisering af store heltal betyde en hel del og vil for en overgang betyde at nøgleudveksling vil være stort set umuligt.
39 RSA algoritmen (1978) Sikkerheden af RSA Sikkerheden af RSA er baseret på at det er svært at faktorisere n da man nemt vil kunne finde d ud fra e og faktoriseringen af n. Udbredelsen af RSA RSA var et af de første offentligt nøgle kryptosystemer og er også det mest udbredte system og bruges i dag af homebanking systemer og anden sikker kommunikation over internettet. Ergo... Derfor vil opdagelsen af en hurtig metode til faktorisering af store heltal betyde en hel del og vil for en overgang betyde at nøgleudveksling vil være stort set umuligt.
40 RSA algoritmen (1978) Sikkerheden af RSA Sikkerheden af RSA er baseret på at det er svært at faktorisere n da man nemt vil kunne finde d ud fra e og faktoriseringen af n. Udbredelsen af RSA RSA var et af de første offentligt nøgle kryptosystemer og er også det mest udbredte system og bruges i dag af homebanking systemer og anden sikker kommunikation over internettet. Ergo... Derfor vil opdagelsen af en hurtig metode til faktorisering af store heltal betyde en hel del og vil for en overgang betyde at nøgleudveksling vil være stort set umuligt.
41 Outline 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder 4 General Number Field Sieve Konceptet Algoritmen pgnfs 5 Status
42 Historien Før computeren Faktorisering har igennem matematikkens historie optaget mange matematikere og mangel på regnekraft har sat en begrænsning i udviklingen. Computerens ankomst Computerens ankomst gav mulighed for at faktorisere større tal end hidtil grundet den markant større regnekraft til rådighed. Det pustede nyt liv i forskningen i faktoriseringsmetoder. Public key cryptography Med ankomsten af offentlig nøgle kryptering (som alle er baseret på et eller andet talteoretisk problem) blev der for alvor sat gang i udviklingen af hurtigere og bedre algoritmer da den praktiske brug pludselig var MEGET tydelig.
43 Historien Før computeren Faktorisering har igennem matematikkens historie optaget mange matematikere og mangel på regnekraft har sat en begrænsning i udviklingen. Computerens ankomst Computerens ankomst gav mulighed for at faktorisere større tal end hidtil grundet den markant større regnekraft til rådighed. Det pustede nyt liv i forskningen i faktoriseringsmetoder. Public key cryptography Med ankomsten af offentlig nøgle kryptering (som alle er baseret på et eller andet talteoretisk problem) blev der for alvor sat gang i udviklingen af hurtigere og bedre algoritmer da den praktiske brug pludselig var MEGET tydelig.
44 Historien Før computeren Faktorisering har igennem matematikkens historie optaget mange matematikere og mangel på regnekraft har sat en begrænsning i udviklingen. Computerens ankomst Computerens ankomst gav mulighed for at faktorisere større tal end hidtil grundet den markant større regnekraft til rådighed. Det pustede nyt liv i forskningen i faktoriseringsmetoder. Public key cryptography Med ankomsten af offentlig nøgle kryptering (som alle er baseret på et eller andet talteoretisk problem) blev der for alvor sat gang i udviklingen af hurtigere og bedre algoritmer da den praktiske brug pludselig var MEGET tydelig.
45 2 Kategorier Vi kan inddele faktoriseringsmetoder i 2 kategorier: Specielle metoder Metoder som udnytter en speciel struktur ved tallet eller dens faktorer, som f.eks.: Pollards p 1 og ρ metoder Lenstras ECM Generelle metoder Metoder som kræver den samme mængde udregning uafhængig af tallet og dets faktorer, som f.eks.: Continued FRACtions metoden Quadratic Sieve (General) Number Field Sieve
46 2 Kategorier Vi kan inddele faktoriseringsmetoder i 2 kategorier: Specielle metoder Metoder som udnytter en speciel struktur ved tallet eller dens faktorer, som f.eks.: Pollards p 1 og ρ metoder Lenstras ECM Generelle metoder Metoder som kræver den samme mængde udregning uafhængig af tallet og dets faktorer, som f.eks.: Continued FRACtions metoden Quadratic Sieve (General) Number Field Sieve
47 2 Kategorier Vi kan inddele faktoriseringsmetoder i 2 kategorier: Specielle metoder Metoder som udnytter en speciel struktur ved tallet eller dens faktorer, som f.eks.: Pollards p 1 og ρ metoder Lenstras ECM Generelle metoder Metoder som kræver den samme mængde udregning uafhængig af tallet og dets faktorer, som f.eks.: Continued FRACtions metoden Quadratic Sieve (General) Number Field Sieve
48 Kun generelle algoritmer for RSA RSA og lignende metoder bruger allesammen hårde sammensatte tal, dvs. med 2 store primfaktorer - derfor er det kun de generelle metoder der kan bruges til at faktorisere f.eks. en RSA modulus.
49 Outline 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder 4 General Number Field Sieve Konceptet Algoritmen pgnfs 5 Status
50 Kongruente kvadrater De kendte generelle algoritmer er alle baseret på teorien om kongruente kvadrater og Legendres Kongruens. Definition (Legendres Kongruens) x 2 y 2 mod n ( for 0 x y n, x y, x + y n) Hvis vi har x og y opfyldende Legendres kongruens, så er der stor sandsynlighed for at gcd(n, x ± y) er en ikke-triviel divisor af n.
51 Kongruente kvadrater De kendte generelle algoritmer er alle baseret på teorien om kongruente kvadrater og Legendres Kongruens. Definition (Legendres Kongruens) x 2 y 2 mod n ( for 0 x y n, x y, x + y n) Hvis vi har x og y opfyldende Legendres kongruens, så er der stor sandsynlighed for at gcd(n, x ± y) er en ikke-triviel divisor af n.
52 Kongruente kvadrater De kendte generelle algoritmer er alle baseret på teorien om kongruente kvadrater og Legendres Kongruens. Definition (Legendres Kongruens) x 2 y 2 mod n ( for 0 x y n, x y, x + y n) Hvis vi har x og y opfyldende Legendres kongruens, så er der stor sandsynlighed for at gcd(n, x ± y) er en ikke-triviel divisor af n.
53 De generelle metoders fremgangsmåde Moderne algoritmer er alle baseret på Legendres kongruens, forskellen ligger i hvordan den finder x og y der opfylder den. Quadratic Sieve, Continued FRACtions og Number Field Sieve bruger de samme grundlæggende idéer for at opnå dette.
54 De generelle metoders fremgangsmåde Moderne algoritmer er alle baseret på Legendres kongruens, forskellen ligger i hvordan den finder x og y der opfylder den. Quadratic Sieve, Continued FRACtions og Number Field Sieve bruger de samme grundlæggende idéer for at opnå dette.
55 Algebraiske tallegemer Før NFS blev der kun arbejdet i Z[x] og Q[x] NFS arbejder også i Z[x] men arbejder også i det algebraiske tallegeme Z[α], som er den væsentligste forskel fra tidligere algoritmer. NFS har derfor 2 sigter både en rationel og en algebraisk - dermed bruger den også 2 faktorbaser.
56 Algebraiske tallegemer Før NFS blev der kun arbejdet i Z[x] og Q[x] NFS arbejder også i Z[x] men arbejder også i det algebraiske tallegeme Z[α], som er den væsentligste forskel fra tidligere algoritmer. NFS har derfor 2 sigter både en rationel og en algebraisk - dermed bruger den også 2 faktorbaser.
57 Algebraiske tallegemer Før NFS blev der kun arbejdet i Z[x] og Q[x] NFS arbejder også i Z[x] men arbejder også i det algebraiske tallegeme Z[α], som er den væsentligste forskel fra tidligere algoritmer. NFS har derfor 2 sigter både en rationel og en algebraisk - dermed bruger den også 2 faktorbaser.
58 Afbildningen φ Definition (φ) Givet polynomium f (x) Z[x], en rod α C og m Z/nZ sådan at f (m) 0 (mod n) så eksisterer der en entydig afbildning φ : Z[α] Z/nZ der opfylder for alle a, b Z[α] φ(1) 1 mod n φ(α) m mod n φ(ab) = φ(a)φ(b) φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
59 Kernen af NFS Vi vil gerne finde x og y som opfylder Legendres kongruens - og det kan vi hvis vi kan finde en ikke tom mængde S hvor følgende er opfyldt: y 2 = β 2 = (a + bm) : y 2 Z (a,b) S (a,b) S (a + bα) : β 2 Z[α] Hvis vi har sådan en ikke tom mængde S som beskrevet så har vi, med lidt hjælp fra φ, en Legendre Kongruens og dermed en god chance for at finde en ikke-triviel faktor.
60 Kernen af NFS φ(β) 2 = φ(β)φ(β) = φ(β 2 ) = φ (a + bα) = = (a,b) S (a,b) S (a,b) S φ(a + bα) (a + bm) = y 2 Så vi skal derfor bare finde sådan en mængde S.
61 Kernen af NFS NFS algoritmen finder mængden S ved at sigte elementer i et tallegeme og denne sigte er selvfølgelig defineret ud fra det tallegeme vi arbejder i. Algoritmen består af 5 trin.
62 Trin 1 - Valg af polynomium Vælg et irreducibelt polynomium f (x) Z n [x] med rod m Z n, dvs. f (m) 0 mod n. Graden d af polynomiet skal være større end 3 og er afhængig af n (rekordforsøg bruger d = 5 eller d = 6) Et godt valg af polynomium er vigtigt da den dikterer hastigheden for resten af algoritmen. Dette trin er et af de mindre udforskede elementer af NFS, men der findes visse heuristiske metoder til at kvantificere godheden af et polynomium.
63 Trin 1 - Valg af polynomium Vælg et irreducibelt polynomium f (x) Z n [x] med rod m Z n, dvs. f (m) 0 mod n. Graden d af polynomiet skal være større end 3 og er afhængig af n (rekordforsøg bruger d = 5 eller d = 6) Et godt valg af polynomium er vigtigt da den dikterer hastigheden for resten af algoritmen. Dette trin er et af de mindre udforskede elementer af NFS, men der findes visse heuristiske metoder til at kvantificere godheden af et polynomium.
64 Trin 1 - Valg af polynomium Vælg et irreducibelt polynomium f (x) Z n [x] med rod m Z n, dvs. f (m) 0 mod n. Graden d af polynomiet skal være større end 3 og er afhængig af n (rekordforsøg bruger d = 5 eller d = 6) Et godt valg af polynomium er vigtigt da den dikterer hastigheden for resten af algoritmen. Dette trin er et af de mindre udforskede elementer af NFS, men der findes visse heuristiske metoder til at kvantificere godheden af et polynomium.
65 Trin 1 - Valg af polynomium Vælg et irreducibelt polynomium f (x) Z n [x] med rod m Z n, dvs. f (m) 0 mod n. Graden d af polynomiet skal være større end 3 og er afhængig af n (rekordforsøg bruger d = 5 eller d = 6) Et godt valg af polynomium er vigtigt da den dikterer hastigheden for resten af algoritmen. Dette trin er et af de mindre udforskede elementer af NFS, men der findes visse heuristiske metoder til at kvantificere godheden af et polynomium.
66 Trin 2 - Opsætning af faktorbaser Vi skal bruge 2 faktorbaser, nemlig en rationel faktorbase ( RFB) og en algebraisk faktor base ( AFB). RFB indeholder alle primtal under en givet grænse samt dets rest modulus m, dvs. elementerne i RFB er par (p, p mod m). AFB indeholder par (p, r) hvor f (r) 0 mod p for primtal p under en givet grænse. AFB indeholder normalt 2-3 gange så mange elementer som RFB. Antallet af elementer i RFB og AFB er i rekordforsøg mere end 1 million.
67 Trin 2 - Opsætning af faktorbaser Vi skal bruge 2 faktorbaser, nemlig en rationel faktorbase ( RFB) og en algebraisk faktor base ( AFB). RFB indeholder alle primtal under en givet grænse samt dets rest modulus m, dvs. elementerne i RFB er par (p, p mod m). AFB indeholder par (p, r) hvor f (r) 0 mod p for primtal p under en givet grænse. AFB indeholder normalt 2-3 gange så mange elementer som RFB. Antallet af elementer i RFB og AFB er i rekordforsøg mere end 1 million.
68 Trin 2 - Opsætning af faktorbaser Vi skal bruge 2 faktorbaser, nemlig en rationel faktorbase ( RFB) og en algebraisk faktor base ( AFB). RFB indeholder alle primtal under en givet grænse samt dets rest modulus m, dvs. elementerne i RFB er par (p, p mod m). AFB indeholder par (p, r) hvor f (r) 0 mod p for primtal p under en givet grænse. AFB indeholder normalt 2-3 gange så mange elementer som RFB. Antallet af elementer i RFB og AFB er i rekordforsøg mere end 1 million.
69 Trin 2 - Opsætning af faktorbaser Vi skal bruge 2 faktorbaser, nemlig en rationel faktorbase ( RFB) og en algebraisk faktor base ( AFB). RFB indeholder alle primtal under en givet grænse samt dets rest modulus m, dvs. elementerne i RFB er par (p, p mod m). AFB indeholder par (p, r) hvor f (r) 0 mod p for primtal p under en givet grænse. AFB indeholder normalt 2-3 gange så mange elementer som RFB. Antallet af elementer i RFB og AFB er i rekordforsøg mere end 1 million.
70 Trin 2 - Opsætning af faktorbaser Vi skal bruge 2 faktorbaser, nemlig en rationel faktorbase ( RFB) og en algebraisk faktor base ( AFB). RFB indeholder alle primtal under en givet grænse samt dets rest modulus m, dvs. elementerne i RFB er par (p, p mod m). AFB indeholder par (p, r) hvor f (r) 0 mod p for primtal p under en givet grænse. AFB indeholder normalt 2-3 gange så mange elementer som RFB. Antallet af elementer i RFB og AFB er i rekordforsøg mere end 1 million.
71 Trin 3 - Sigtning af elementer Formålet med sigtningen er at finde relationer. En relation er et par (a, b) hvis rationelle norm er glat over RFB og algebraiske norm er glat over AFB. Klassisk linie-sigtning tager et b ad gangen og gennemløber a i et fastlagt interval og gemmer så de relationer den finder. Dette trin er det der tager længst tid, så optimering er vigtig! Kan nemt distribueres ud på flere maskiner, hvor hver maskine tager et interval af b er at sigte.
72 Trin 3 - Sigtning af elementer Formålet med sigtningen er at finde relationer. En relation er et par (a, b) hvis rationelle norm er glat over RFB og algebraiske norm er glat over AFB. Klassisk linie-sigtning tager et b ad gangen og gennemløber a i et fastlagt interval og gemmer så de relationer den finder. Dette trin er det der tager længst tid, så optimering er vigtig! Kan nemt distribueres ud på flere maskiner, hvor hver maskine tager et interval af b er at sigte.
73 Trin 3 - Sigtning af elementer Formålet med sigtningen er at finde relationer. En relation er et par (a, b) hvis rationelle norm er glat over RFB og algebraiske norm er glat over AFB. Klassisk linie-sigtning tager et b ad gangen og gennemløber a i et fastlagt interval og gemmer så de relationer den finder. Dette trin er det der tager længst tid, så optimering er vigtig! Kan nemt distribueres ud på flere maskiner, hvor hver maskine tager et interval af b er at sigte.
74 Trin 3 - Sigtning af elementer Formålet med sigtningen er at finde relationer. En relation er et par (a, b) hvis rationelle norm er glat over RFB og algebraiske norm er glat over AFB. Klassisk linie-sigtning tager et b ad gangen og gennemløber a i et fastlagt interval og gemmer så de relationer den finder. Dette trin er det der tager længst tid, så optimering er vigtig! Kan nemt distribueres ud på flere maskiner, hvor hver maskine tager et interval af b er at sigte.
75 Trin 4 - Løse ligningssystem Vi sigter indtil vi har flere relationer end der er elementer i RFB og AFB og QCB sammenlagt +1. Vi kan nu opstille et linært ligningssystem udfra relationerne og deres faktorisering over faktorbaserne og grundet dimensionerne kan vi finde mindst en løsning til systemet. Der kan bruges Gauss Eliminering eller Block Lanczos. Løsningen svarer til den ønskede mængde S.
76 Trin 4 - Løse ligningssystem Vi sigter indtil vi har flere relationer end der er elementer i RFB og AFB og QCB sammenlagt +1. Vi kan nu opstille et linært ligningssystem udfra relationerne og deres faktorisering over faktorbaserne og grundet dimensionerne kan vi finde mindst en løsning til systemet. Der kan bruges Gauss Eliminering eller Block Lanczos. Løsningen svarer til den ønskede mængde S.
77 Trin 4 - Løse ligningssystem Vi sigter indtil vi har flere relationer end der er elementer i RFB og AFB og QCB sammenlagt +1. Vi kan nu opstille et linært ligningssystem udfra relationerne og deres faktorisering over faktorbaserne og grundet dimensionerne kan vi finde mindst en løsning til systemet. Der kan bruges Gauss Eliminering eller Block Lanczos. Løsningen svarer til den ønskede mængde S.
78 Trin 4 - Løse ligningssystem Vi sigter indtil vi har flere relationer end der er elementer i RFB og AFB og QCB sammenlagt +1. Vi kan nu opstille et linært ligningssystem udfra relationerne og deres faktorisering over faktorbaserne og grundet dimensionerne kan vi finde mindst en løsning til systemet. Der kan bruges Gauss Eliminering eller Block Lanczos. Løsningen svarer til den ønskede mængde S.
79 Trin 5 - Beregne kvadratrødder Vi skal bruge y og β som beskrevet tidligere, y er nemt at finde som produktet s(x) af alle elementerne i S og så er y = s(m). β er IKKE så nem at finde og kræver en hel del arbejde da det er kvadratroden af et algebraisk tal over et funktionslegeme. Teoretisk kan der bruges generelle faktoriseringmetoder for polynomier over tallegemer, men det er ikke brugbart for store tal da koefficienterne i det algebraiske tal er MEGET MEGET store og dette trin vil så dominere den samlede køretid.
80 Trin 5 - Beregne kvadratrødder Vi skal bruge y og β som beskrevet tidligere, y er nemt at finde som produktet s(x) af alle elementerne i S og så er y = s(m). β er IKKE så nem at finde og kræver en hel del arbejde da det er kvadratroden af et algebraisk tal over et funktionslegeme. Teoretisk kan der bruges generelle faktoriseringmetoder for polynomier over tallegemer, men det er ikke brugbart for store tal da koefficienterne i det algebraiske tal er MEGET MEGET store og dette trin vil så dominere den samlede køretid.
81 Trin 5 - Beregne kvadratrødder Vi skal bruge y og β som beskrevet tidligere, y er nemt at finde som produktet s(x) af alle elementerne i S og så er y = s(m). β er IKKE så nem at finde og kræver en hel del arbejde da det er kvadratroden af et algebraisk tal over et funktionslegeme. Teoretisk kan der bruges generelle faktoriseringmetoder for polynomier over tallegemer, men det er ikke brugbart for store tal da koefficienterne i det algebraiske tal er MEGET MEGET store og dette trin vil så dominere den samlede køretid.
82 ... med lidt held:... kan vi så finde ikke-trivielle faktorer af n ved at beregne gcd(n, y ± β). For dem interesseret i den teoretiske køretid så er den for GNFS: q O (e ( O(1)) 3 log n 3 ) (log log n) 2
83 ... med lidt held:... kan vi så finde ikke-trivielle faktorer af n ved at beregne gcd(n, y ± β). For dem interesseret i den teoretiske køretid så er den for GNFS: q O (e ( O(1)) 3 log n 3 ) (log log n) 2
84 ... med lidt held:... kan vi så finde ikke-trivielle faktorer af n ved at beregne gcd(n, y ± β). For dem interesseret i den teoretiske køretid så er den for GNFS: q O (e ( O(1)) 3 log n 3 ) (log log n) 2
85 pgnfs Jeg har implementeret alle trinene i GNFS. Min implementation kaldes pgnfs. (Formålet med pgnfs... ) At se min algoritmiske beskrivelse af algoritmen virke in action. At lave en offentlig tilgængelig implementation uden begrænsninger. At lave en modulær implementation der gør det muligt for andre at indsætte deres egen implementation af et eller flere af trinene.
86 pgnfs Jeg har implementeret alle trinene i GNFS. Min implementation kaldes pgnfs. (Formålet med pgnfs... ) At se min algoritmiske beskrivelse af algoritmen virke in action. At lave en offentlig tilgængelig implementation uden begrænsninger. At lave en modulær implementation der gør det muligt for andre at indsætte deres egen implementation af et eller flere af trinene.
87 pgnfs Jeg har implementeret alle trinene i GNFS. Min implementation kaldes pgnfs. (Formålet med pgnfs... ) At se min algoritmiske beskrivelse af algoritmen virke in action. At lave en offentlig tilgængelig implementation uden begrænsninger. At lave en modulær implementation der gør det muligt for andre at indsætte deres egen implementation af et eller flere af trinene.
88 pgnfs Jeg har implementeret alle trinene i GNFS. Min implementation kaldes pgnfs. (Formålet med pgnfs... ) At se min algoritmiske beskrivelse af algoritmen virke in action. At lave en offentlig tilgængelig implementation uden begrænsninger. At lave en modulær implementation der gør det muligt for andre at indsætte deres egen implementation af et eller flere af trinene.
89 Fremtiden for pgnfs Der har allerede været en del henvendelser efter offentliggørelse og der er flere grupper rundt om i verdenen der arbejder videre på pgnfs. pgnfs har potentiale for at blive gjort ligeså hurtig hvis ikke hurtigere end eksisterende ikke-offentlige implementationer. Jeg vil estimere at et par måneders fuld tid arbejde vil kunne gøre den fuldt konkurrence-dygtig.
90 Fremtiden for pgnfs Der har allerede været en del henvendelser efter offentliggørelse og der er flere grupper rundt om i verdenen der arbejder videre på pgnfs. pgnfs har potentiale for at blive gjort ligeså hurtig hvis ikke hurtigere end eksisterende ikke-offentlige implementationer. Jeg vil estimere at et par måneders fuld tid arbejde vil kunne gøre den fuldt konkurrence-dygtig.
91 Optimeringer af pgnfs Implementering af Montgomery s algoritme for kvadratrods trinet. Implementering af Block Lanczos metode til at løse det linære ligningssystem. Ændre repræsentationen af data mellem trinene for hurtigere I/O. En kombination af forskellige sigter under sigtningen. Filtrering af relationer og faktorbaser efter sigtningen for at opnå et mindre ligningssystem.
92 Optimeringer af pgnfs Implementering af Montgomery s algoritme for kvadratrods trinet. Implementering af Block Lanczos metode til at løse det linære ligningssystem. Ændre repræsentationen af data mellem trinene for hurtigere I/O. En kombination af forskellige sigter under sigtningen. Filtrering af relationer og faktorbaser efter sigtningen for at opnå et mindre ligningssystem.
93 Optimeringer af pgnfs Implementering af Montgomery s algoritme for kvadratrods trinet. Implementering af Block Lanczos metode til at løse det linære ligningssystem. Ændre repræsentationen af data mellem trinene for hurtigere I/O. En kombination af forskellige sigter under sigtningen. Filtrering af relationer og faktorbaser efter sigtningen for at opnå et mindre ligningssystem.
94 Optimeringer af pgnfs Implementering af Montgomery s algoritme for kvadratrods trinet. Implementering af Block Lanczos metode til at løse det linære ligningssystem. Ændre repræsentationen af data mellem trinene for hurtigere I/O. En kombination af forskellige sigter under sigtningen. Filtrering af relationer og faktorbaser efter sigtningen for at opnå et mindre ligningssystem.
95 Optimeringer af pgnfs Implementering af Montgomery s algoritme for kvadratrods trinet. Implementering af Block Lanczos metode til at løse det linære ligningssystem. Ændre repræsentationen af data mellem trinene for hurtigere I/O. En kombination af forskellige sigter under sigtningen. Filtrering af relationer og faktorbaser efter sigtningen for at opnå et mindre ligningssystem.
96 Outline 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder 4 General Number Field Sieve Konceptet Algoritmen pgnfs 5 Status
97 Status i faktoriseringsverdenen 2 uger efter min aflevering blev den hidtidige rekord slået, da RSA-640 blev faktoriseret af de samme mennesker som havde faktoriseret de 2 hidtil største tal. Overraskende var den samlede køretid på 5 måneder, som var mindre end forventet. Endnu mere overraskende var de ressourcer der var brugt!!!
98 Status i faktoriseringsverdenen 2 uger efter min aflevering blev den hidtidige rekord slået, da RSA-640 blev faktoriseret af de samme mennesker som havde faktoriseret de 2 hidtil største tal. Overraskende var den samlede køretid på 5 måneder, som var mindre end forventet. Endnu mere overraskende var de ressourcer der var brugt!!!
99 Status i faktoriseringsverdenen 2 uger efter min aflevering blev den hidtidige rekord slået, da RSA-640 blev faktoriseret af de samme mennesker som havde faktoriseret de 2 hidtil største tal. Overraskende var den samlede køretid på 5 måneder, som var mindre end forventet. Endnu mere overraskende var de ressourcer der var brugt!!!
100 RSA-640 Der vides ikke noget om valget af polynomium. Den rationelle faktorbase havde en grænse på og den algebraiske Sigtningen tog 3 måneder på 80 Opteron 2.2 GHz maskiner. Det linære ligningssystem havde dimensioner og tog måned på et cluster med 80 Opteron 2.2 GHz. Kvadratroden ser ud til at være fundet på 2-3 uger.
101 RSA-640 Der vides ikke noget om valget af polynomium. Den rationelle faktorbase havde en grænse på og den algebraiske Sigtningen tog 3 måneder på 80 Opteron 2.2 GHz maskiner. Det linære ligningssystem havde dimensioner og tog måned på et cluster med 80 Opteron 2.2 GHz. Kvadratroden ser ud til at være fundet på 2-3 uger.
102 RSA-640 Der vides ikke noget om valget af polynomium. Den rationelle faktorbase havde en grænse på og den algebraiske Sigtningen tog 3 måneder på 80 Opteron 2.2 GHz maskiner. Det linære ligningssystem havde dimensioner og tog måned på et cluster med 80 Opteron 2.2 GHz. Kvadratroden ser ud til at være fundet på 2-3 uger.
103 RSA-640 Der vides ikke noget om valget af polynomium. Den rationelle faktorbase havde en grænse på og den algebraiske Sigtningen tog 3 måneder på 80 Opteron 2.2 GHz maskiner. Det linære ligningssystem havde dimensioner og tog måned på et cluster med 80 Opteron 2.2 GHz. Kvadratroden ser ud til at være fundet på 2-3 uger.
104 RSA-640 Der vides ikke noget om valget af polynomium. Den rationelle faktorbase havde en grænse på og den algebraiske Sigtningen tog 3 måneder på 80 Opteron 2.2 GHz maskiner. Det linære ligningssystem havde dimensioner og tog måned på et cluster med 80 Opteron 2.2 GHz. Kvadratroden ser ud til at være fundet på 2-3 uger.
105 Sikkerhed af RSA De relativ små ressourcer der blev brugt til RSA-640 kom bag på de fleste og har rystet en del, 1024 bit tal der før lå langt ude i fremtiden ser ud til at være indenfor rækkevidde indenfor få år bit nøgler har hidtil været betragtet som sikre, men jeg vil mene man efter faktoriseringen af RSA-640 skal ændre det til at nøgler minimum skal være 2048 bit for at give en vis sikkerhed. RSA-704 eller RSA-768 kunne være mulige kandidater for en optimeret pgnfs og ved at gøre brug af NorduGrid.
106 Sikkerhed af RSA De relativ små ressourcer der blev brugt til RSA-640 kom bag på de fleste og har rystet en del, 1024 bit tal der før lå langt ude i fremtiden ser ud til at være indenfor rækkevidde indenfor få år bit nøgler har hidtil været betragtet som sikre, men jeg vil mene man efter faktoriseringen af RSA-640 skal ændre det til at nøgler minimum skal være 2048 bit for at give en vis sikkerhed. RSA-704 eller RSA-768 kunne være mulige kandidater for en optimeret pgnfs og ved at gøre brug af NorduGrid.
107 Sikkerhed af RSA De relativ små ressourcer der blev brugt til RSA-640 kom bag på de fleste og har rystet en del, 1024 bit tal der før lå langt ude i fremtiden ser ud til at være indenfor rækkevidde indenfor få år bit nøgler har hidtil været betragtet som sikre, men jeg vil mene man efter faktoriseringen af RSA-640 skal ændre det til at nøgler minimum skal være 2048 bit for at give en vis sikkerhed. RSA-704 eller RSA-768 kunne være mulige kandidater for en optimeret pgnfs og ved at gøre brug af NorduGrid.
108 Det var det... Så er der 2 5 minutters pause!!
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF
Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Disposition 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal
Læs mereKRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)
KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereAf Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk
Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereNote omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereAffine - et krypteringssystem
Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på
Læs mereNote omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet
Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig
Læs mere6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur
6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært
Læs mereKøreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs meresætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.
sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert
Læs mereCamp om Kryptering. Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering. Rasmus Lauritsen. August 27,
Camp om Kryptering Datasikkerhed, RSA kryptering og faktorisering Rasmus Lauritsen August 27, 2013 http://users-cs.au.dk/rwl/2013/sciencecamp Indhold Datasikkerhed RSA Kryptering Faktorisering Anvendelse
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereKonfidentialitet og kryptografi 31. januar, Jakob I. Pagter
Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, 2009 Jakob I. Pagter Oversigt Kryptografi autenticitet vs. fortrolighed ubetinget vs. beregningsmæssig sikkerhed Secret-key fortrolighed Public-key fortrolighed
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mereRSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard
RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning
Læs mere1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs merePrimtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003
Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereTalteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik
Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal
Læs merePrimtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003
Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus
Læs merePrimtal. Frank Nasser. 20. april 2011
Primtal Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereHVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12
HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12 Udarbejdet af: Vejleder: Tomas Rasmussen Mads Rosendahl. Abstract Dette projekt har til formål at undersøge
Læs mereFredag 12. januar David Pisinger
Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Fredag 2. januar David Pisinger Kryptering Spartanere (500 f.kr.) strimmelrulle viklet omkring cylinder Julius Cæsar: substituering af bogstaver [frekvensanalyse]
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereKryptografi Anvendt Matematik
Kryptografi Anvendt Matematik af Marc Skov Madsen PhD-studerende Matematisk Institut, Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Kryptografi p.1/23 Kryptografi - Kryptografi er læren om, hvordan en tekst
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereIntroduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen
Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................
Læs mereKryptering kan vinde over kvante-computere
Regional kursus i matematik i Aabenraa Institut for Matematik Aarhus Universitet matjph@math.au.dk 15. februar 2016 Oversigt 1 Offentlig-privat nøgle kryptering 2 3 4 Offentlig-privat nøgle kryptering
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereRSA-KRYPTERING. Studieretningsprojekt. Blerim Cazimi. Frederiksberg Tekniske Gymnasium. Matematik A. Vejleder: Jonas Kromann Olden
14. DEC 2014 RSA-KRYPTERING Studieretningsprojekt Blerim Cazimi Frederiksberg Tekniske Gymnasium Matematik A Vejleder: Jonas Kromann Olden Informationsteknologi B Vejleder: Kenneth Hebel Indhold Indledning...
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereGrundlæggende køretidsanalyse af algoritmer
Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereIndhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2
Indhold 1 Indledning 2 1.1 Baggrund.................................. 2 2 Elliptisk kurve 3 2.1 Gruppeoperationen på E.......................... 4 2.1.1 sjove punkter på E........................ 8 2.2
Læs mere6. RSA, og andre public key systemer.
RSA 6.1 6. RSA, og andre public key systemer. (6.1). A skal sende en meddelelse til B. Denne situation forekommer naturligvis utallige gange i vores dagligdag: vi kommunikerer, vi signalerer, vi meddeler
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereHyperelliptisk kurve kryptografi
Christian Robenhagen Ravnshøj NKS November 2007 Elliptiske kurver Gruppelov på elliptisk kurve R P Q P Q R = 0. Elliptiske kurver Elliptisk kurve kryptografi Gruppelov giver krypto baseret på elliptisk
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereRSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet
RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereMinilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16
Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende
Læs mereFermat, ABC og alt det jazz...
Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereKursusgang 3: Autencificering & asymmetrisk kryptering. Krav til autentificering. Kryptering som værktøj ved autentificering.
Krav til autentificering Vi kan acceptere, at modtager (og måske afsender) skal bruge hemmelig nøgle Krav til metode: må ikke kunne brydes på anden måde end ved udtømmende søgning længde af nøgler/hemmeligheder/hashkoder
Læs mereAsymptotisk analyse af algoritmers køretider
Asymptotisk analyse af algoritmers køretider Analyse af køretid Recall: Vi ønsker at vurdere (analysere) algoritmer på forhånd inden vi bruger lang tid på at implementere dem. De to primære spørgsmål:
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereKursusgang 2: Symmetrisk kryptering (fortsat). Asymmetrisk kryptering. DES' vigtigste sikkerhedsmæssige egenskaber
Kursusgang 2: Symmetrisk kryptering (fortsat). Asymmetrisk kryptering. DES' vigtigste sikkerhedsmæssige egenskaber 1. DES (uddybning) 2. Rijndael 3. Asymmetrisk kryptering 4. RSA 5. Talteori til Rijndael
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereMartin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne
Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige
Læs mereDiMS 2010 Uge 7,
DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal
Læs mereIntroduktion til Kryptologi
Introduktion til Kryptologi September 22, 2014 Kryptologi Datasikkerhed Sikker kommunikation over usikre kanaler Kryptografi: Bygge systemer Kryptoanalyse: Bryde systemer Avancerede Protokoller Data er
Læs mereProjekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMed udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard
Med udgangspunkt i FIPS-97-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen Af Mathias Vestergaard F O R O R D " " " # # " $ # % '(%) '(%) %* %* +,-.), ) ( " $ 0 2 2 + 3 $ ' {0000} $, AA ) 4555 67 +8 9 :;
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs merePolynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen
Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereProjekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet
Læs mereP vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012
P vs. NP Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 Den handelsrejsendes problem Kan det lade sig gøre at besøge n byer forbundet ved et vejnet, G, inden for budget, B? Hvad
Læs mereProjekt 0.6 RSA kryptering
Projekt 0.6 RSA kryptering 1. Introduktion. Nøgler til kryptering Alle former for kryptografi prøver at løse følgende problem: En afsender, A ønsker at sende en mdelelse til en modtager, M, såles at den
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereTilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet
Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereKomplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereMålet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt.
Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer (2. semester). Mål
Læs mereAsymptotisk analyse af algoritmers køretider
Asymptotisk analyse af algoritmers køretider Analyse af køretid (RAM-modellen vs. virkeligheden) public class Linear { public static void main(string[] args) { long time = System.currentTimeMillis(); long
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereDIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING
DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING JOHAN P. HANSEN Resumé. Under den historiske indføring forklares, hvad der menes med en Diofantisk ligning. Der gøres rede for formulering af Fermats Store
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mere4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mere