1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

Transkript

1 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App, så man kan afprøve geometrien i praksis. Alle hyperbolske tegninger i noten er lavet i HypGeo. 1.1 oincaré modellen Vores sædvanlige plangeometri kaldes også euklidisk geometri, og forskellen mellem den hyperbolske og den euklidiske geometri skyldes udelukkende det såkaldte parallelaksiom, som i den euklidiske geometri siger, at der til enhver ret linje og ethvert punkt udenfor linjen findes netop en linje gennem punktet, som er parallel med den givne linje. To linjer i planen er som bekendt parallelle netop når de ikke skærer hinanden. I den hyperbolske geometri siger parallelaksiomet derimod, at der til enhver hyperbolsk linje og ethvert punkt udenfor linjen findes uendelig mange hyperbolske linjer gennem punktet, som er parallelle med den givne linje. I oincaré modellen af den hyperbolske geometri består planen af alle punkter indenfor en enhedscirkel, og de hyperbolske linjer består af såkaldte ortogonale cirkelbuer i enhedscirklen samt af alle enhedscirklens diametre. En ortogonal cirkelbue er populært sagt en cirkelbue som står vinkelret på enhedscirklen, dvs at tangenterne i skæringspunkterne for cirkelbuen og enhedscirklen står vinkelret på hinanden. a c b l Tegningen viser tre hyperbolske linjer gennem punktet, som alle er parallelle med linjen l (blå) Enhedscirklen kaldes også for oincaré disken, og dens centrum (rigo) er markeret på tegningen. Linjerne a, b og l er ortogonale cirkelbuer, mens linjen c er en diameter. gså de hyperbolske linjer p og q på den næste tegning er hver især parallel med l: 1

2 a c b p l q elvom linjerne p og l og linjerne q og l mødes på randen af enhedscirklen, skærer de ikke hinanden, da punkterne på enhedscirklen ikke tilhører den hyperbolske geometri. 1.2 Hyperbolske trekanter Næste tegning viser tre hyperbolske linjer med skæringspunkterne A, B og, og som derfor bestemmer en hyperbolsk trekant AB. A B iderne i trekanten omtales som hyperbolske linjestykker. Trekantens vinkler er lig med vinklerne mellem tangenterne til cirkelbuerne i vinkelspidserne, og vinkelsummen i en hyperbolsk trekant er altid mindre end 180. iderne har også en hyperbolsk længde, som ikke bliver forklaret her, da formlen for hyperbolsk længde er ret indviklet, men egenskaberne ved længdebegrebet vil fremgå af eksemplerne. Den næste tegning viser, at de tre hyperbolske vinkelhalveringslinjer skærer hinanden i samme punkt : 2

3 A B g da den hyperbolske afstand fra en hyperbolsk vinkelhalveringslinje er den samme til hver af vinklens ben, bliver skæringspunktet centrum i trekantens indskrevne hyperbolske cirkel. Den hyperbolske radius er lig den hyperbolske afstand fra til en af siderne: A F B For at finde den hyperbolske radius har vi tegnet den hyperbolske vinkelrette (violet) til siden AB gennem : radius er lig med F. : Hvis du forstørrer tegningen i pdfreaderen kan du kontrollere nøjagtigheden i konstruktionen. En hyperbolsk cirkel er som punktmængde også en euklidisk cirkel, men det hyperbolske centrum og den hyperbolske radius stemmer normalt ikke overens med de sædvanlige euklidiske størrelser. Det fremgår tydeligt af den næste tegning, hvor vi har tegnet trekantens omskrevne cirkel: T Mb Ma A Mc B 3

4 irklens hyperbolske centrum er punktet T, og der er den samme hyperbolske afstand fra T til ethvert punkt på cirklen. De grønne linjer er de hyperbolske midtnormaler til siderne, dvs at de hver især står vinkelret på siden og går gennem sidens hyperbolske midtpunkt. I den euklidiske geometri vil midtnormalerne til siderne i en trekant altid skære hinanden i samme punkt, men i den hyperbolske geometri er der ingen garanti for at de skærer hinanden, dvs at en hyperbolsk trekant ikke behøver at have en omskreven hyperbolsk cirkel: A Mb Mc Ma B De tre hyperbolske midtnormaler ovenfor skærer ikke hinanden. Der findes derfor ikke et punkt, som har den samme hyperbolske afstand til de tre vinkelspidser, så derfor er der ingen omskreven hyperbolsk cirkel. Vi afslutter dette afsnit med at fortælle lidt mere om hyperbolsk afstand eller længde. Der er uendeligt langt fra oincaré diskens centrum og ud til randen af enhedscirklen, når vi bruger den hyperbolske længde, og det betyder for det første at en hyperbolsk linje har uendelig længde, og for det andet, at hvis vi tegner det samme hyperbolske linjestykke tættere og tættere på randen, så bliver dets euklidiske længde mindre og mindre: Alle linjestykkerne på tegningen har samme hyperbolske længde. 1.3 egulære hyperbolske polygoner En regulær hyperbolsk polygon er en polygon med lige store hyperbolske sider og vinkler. 4

5 T Tegningen viser en regulær hyperbolsk femkant. å den næste tegning har vi konstrueret de hyperbolske vinkelhalveringslinjer til vinkel og : T De skærer hinanden i punktet, og da vinklerne og i den hyperbolske trekant er lige store, er trekanten en hyperbolsk ligebenet trekant, og trekantens hyperbolske højde fra er dermed entydigt bestemt ved den halve vinkel og den halve side på samme måde som i den euklidiske geometri. Heraf følger, at punktet har samme hyperbolske afstand til alle siderne, og derfor går alle de hyperbolske vinkelhalveringslinjer gennem punktet : T Da alle benene er hyperbolsk lige lange, har femkanten altså en omskreven hyperbolsk cirkel med centrum i. g da har samme hyperbolske afstand til alle siderne, har femkanten også en indskreven hyperbolsk cirkel: 5

6 F T Læg også mærke til, at de hyperbolske vinkelhalveringslinjer også er hyperbolske midtnormaler til femkantens sider. å den næste tegning har vi opdelt femkanten i fem hyperbolske centertrekanter ved at erstatte vinkelhalveringslinjerne med de tilsvarende hyperbolske radier i den omskrevne cirkel: T De hver af centertrekanterne er hyperbolsk ligebenede med den hyperbolske radius som ben, har de altså ens sider, og er derfor kongruente. pecielt er vinklerne i ens, og da de tilsammen er 360, bliver vinkel lig med 72 i hver centertrekant. Men heraf følger så, at polygonen kan frembringes ved successivt at rotere fx. 72 fire gange efter hinanden og forbinde endepunkterne med hyperbolske linjestykker. Tilsvarende gælder for,,... og disse radier kaldes derfor for polygonens frembringere. Den næste tegning viser en regulær hyperbolsk firkant: 6

7 Her kan vi se at frembringerne parvis bestemmer en hyperbolsk diagonal i firkanten, og at sidernes midtnormaler ikke indeholder frembringerne. 1.4 Euklidisk symmetri Vi betragter udelukkende spejlingssymmetrier. Når vi siger, at en figur er symmetrisk, så mener vi, at den kan spejles i sig selv, altså at figuren har en spejlingsakse. Enhver regulær hyperbolsk polygon er altid hyperbolsk symmetrisk om sidernes hyperbolske midtnormaler og om de hyperbolske diagonaler, som går gennem polygonens centrum. idstnævnte optræder kun, når antallet af kanter er et lige tal. Vi vil nu beskrive de euklidiske symmetriforhold for de regulære hyperbolske polygoner. Enhver regulær hyperbolsk polygon er jo også en euklidisk figur med cirkelbuer som sider. Det første eksempel viser en regulær hyperbolsk trekant. Den er hyperbolsk symmetrisk om hver af dens hyperbolske midtnormaler (grønne), men er klart euklidisk asymmetrisk: Det næste eksempel viser en regulær hyperbolsk sekskant, som er euklidisk symmetrisk. 7

8 Man kan let indse, at hvis en regulær hyperbolsk polygon har centrum i rigo, så er den også symmetrisk som euklidisk figur. Definition 1.1 Hvis en regulær hyperbolsk polygon ikke har centrum i rigo, kaldes den diameter, som går gennem polygonens centrum for polygonens akse. Der gælder så følgende ætning 1.2 En regulær hyperbolsk polygon, som ikke har centrum i rigo, er symmetrisk som euklidisk figur netop når polygonens akse er en symmetrilinje for figuren. Her er et eksempel på en regulær hyperbolsk sekskant med centrum forskellig fra rigo, som også er symmetrisk som euklidisk figur: Bemærk, at aksen i dette tilfælde er en diagonal i figuren. Det næste eksempel viser et tilfælde hvor aksen er en midtnormal i figuren: 8

9 Den er faktisk midtnormal til to modstående sider, og figuren er euklidisk symmetrisk. Definition 1.3 Ved retningsvinklen for en regulær hyperbolsk polygon, som har centrum i forskellig fra rigo, forstås vinklen mellem og den første frembringer i positiv omløbsretning. etningsvinklen for den regulære hyperbolske trekant ovenfor er lig med den spidse vinkel mellem frembringeren og aksen, og den er 10. Man kan bevise, at man altid kan forudsætte, at frembringervinklen for en regulær hyperbolsk n-polygon er mindre end eller lig med 180 n. Vi kan nu formulere den endelige (og konstruktive) sætning om euklidisk symmetri: ætning 1.4 En regulær hyperbolsk n-polygon med centrum forskellig fra rigo er symmetrisk som euklidisk figur netop når retningsvinklen er 0 eller 180 n. og heraf følger umiddelbart Korollar 1.5 En regulær hyperbolsk n-polygon med centrum forskellig fra rigo er asymmetrisk som euklidisk figur netop når retningsvinklen er større end 0 og mindre end 180 n. ætningen og korollaret fortæller os, hvordan vi kan konstruere euklidisk symmetriske eller asymmetriske regulære hyperbolske polygoner. Vi viser nu en række eksempler: 9

10 etningsvinklen = 0, og trekanten er euklidisk symmetrisk etningsvinklen = 36, og trekanten er euklidisk asymmetrisk En regulær hyperbolsk firkant: etningsvinklen = 60, og trekanten er euklidisk symmetrisk 10

11 etningsvinklen = 0, og firkanten er euklidisk symmetrisk etningsvinklen = 19, og firkanten er euklidisk asymmetrisk etningsvinklen = 45, og firkanten er euklidisk symmetrisk Hvis man kigger nærmere på ovenstående eksempler, kan vi se, at de opfylder følgende sætninger om regulære hyperbolske polygoner med henholdsvis et ulige kantantal og et lige kantantal: ætning 1.6 En regulær hyperbolsk polygon med centrum forskellig fra rigo og et ulige kantantal er symmetrisk som euklidisk figur netop når aksen går gennem en af polygonens vinkelspidser. ætning 1.7 En regulær hyperbolsk polygon med centrum forskellig fra rigo og et lige kantantal er symmetrisk som euklidisk figur netop når aksen går gennem en af polygonens vinkelspidser eller aksen står vinkelret på to modstående kanter. 11

12 12