Geometrisk tegning - Facitliste

Transkript

1 Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger ved både plane og rumlige figurer. Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne: kan anvende nogle grundlæggende tegnemetoder til gengivelse af to- og tredimensionale figurer kan beskrive og undersøge linjers indbyrdes forhold og beliggenhed knyttet til polygoner og cirkler kan anvende forskellige metoder til at fremstille og undersøge to- og tredimensionale figurer - både på papir og ved hjælp af digitale værktøjer kender til muligheder og begrænsninger i de forskellige tegneformer til gengivelse af rumlighed. Fagord og begreber Eleverne skal arbejde med: midtpunkt og midtnormal skitse vinkelhalveringslinje topvinkler ensliggende vinkler ligedannethed isometrisk tegning projektionstegning. Huskeliste Printark A6 Figurkort A7 Store konstruktioner E7 Begreber og fagord Geometrisk tegning Materialer Centicubes Vinkelmåler Passer Teodolit Målebånd eller målehjul Snor Flag, atletikspyd eller lign. til markering Videooptager fx en mobiltelefon Karton Saks Lim og/eller tape

2 Digitalt værktøj Dynamisk geometriprogram Skærmoptager En del opgaver i dette kapitel er formuleret, så der ikke er noget kanonisk facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevens valg. Til disse opgaver anføres blot Intet fast facit.

3 FACIT SIDE Opgave 1 Intet fast facit. Opgave 2 Intet fast facit. Opgave 3 Intet fast facit.

4 FACIT SIDE Opgave 4 A-B Intet fast facit. Bemærk, at der i spørgsmål B ingen specifikke krav er til normalernes placering ud over, at de tre afstande mellem dem skal være lige store. Denne løsning vil fx være gyldig: Opgave 5 Figurer ligedannede med de viste men med dobbelt så store sidemål tegnes. A Sidelængden i kvadratet skal være 5 cm. B Sidelængderne i rektanglet skal være 4 cm og 8 cm. C Sidelængden i kvadratet (= diameteren i cirklen) skal være 4 cm. Opgave 6 A-D Figuren kommer til at se således ud:

5 Opgave 7 A-B Intet fast facit. C De iagttagelser, der forventes beskrevet, er: I en retvinklet trekant falder to af højderne sammen med de to kateter. I en spidsvinklet trekant falder alle højderne inde i trekanten. I en stumpvinklet trekant falder to af højderne uden for trekanten. I alle trekanter skærer højderne hinanden i samme punkt. Eventuelt også: I en retvinklet trekant er dette skæringspunkt den rette vinkels vinkelspids, i en spidsvinklet trekant ligger skæringspunktet i trekantens indre, og i en stumpvinklet trekant ligger skæringspunktet uden for trekanten. Opgave 8 A-C Intet fast facit. D Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for den indskrevne cirkel. Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for den omskrevne cirkel. Opgave 9 Intet fast facit, men følgende kommentarer til opgave: C Den røde cirkelperiferi bliver inddelt i 6 lige store stykker. Selve cirkelfladen bliver inddelt i 6 kongruente blomsterblade og 6 kongruente øksehoveder. D Trekanten bliver ligesidet.

6 FACIT SIDE Opgave 10 A Tegning (målfast): B Da trekanten er ligebenet, er A = C. De har derfor begge gradmålet ( ):2 = 49. Opgave 11 A Firkanten er et trapez med højden 3 og de parallelle sider 5 og 7.

7 B Denne firkant tilhører ikke nogen navngiven kategori. C Firkanten er et rektangel med siderne 2 og 7. D Firkanten er et trapez med højden 2,5 og de parallelle sider 3 og 10.

8 Opgave 12 A Elevtegninger B-C Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 Netop én løsning, da to trekanter, der har to vinkler og den mellemliggende side parvis lige store, er kongruente. Øverste vinkel er 47 ( ). Netop én løsning, da to trekanter, der har to vinkler og den mellemliggende side parvis lige store, er kongruente. Der er løsninger, idet summen af de tre vinkler er 180. Der er uendeligt mange løsninger, nemlig alle de trekanter som er ensvinklede med den givne. Netop én løsning. Figur 5 Figur 6 Figur 7 Figur 8 Ingen løsning. I en trekant skal summen af længderne af de to korteste sider være større end den sidste side. Det er ikke tilfældet her. Netop én løsning en retvinklet trekant med kateterne 3 og 4 og hypotenusen 5. Uendeligt mange løsninger, nemlig enhver ligebenet trekant med grundlinjen 4 cm. Uendeligt mange løsninger.

9 FACIT SIDE Opgave 13 A Linjestykker fra medianernes skæringspunkt til vinkelspidserne vil dele trekanten i tre lige store deltrekanter, der alle har én af den oprindelige trekants sider som den ene side. B Flere muligheder. For eksempel deler midtpunktstransversalerne trekanten i fire kongruente trekanter. Men en trekantside delt i fire lige store dele kan også være udgangspunkt for en deling af trekanten i fire trekanter med samme areal (samme grundlinje og højde):

10 Opgave 14 A-D Intet fast facit. Opgave 15 A-F Undersøgelse af vinkelhalveringslinjer. Den ønskede konklusion er: En vinkels halveringslinje består af de punkter, der har samme vinkelrette afstand til vinklens ben. Opgave 16 A Poolen skal deles af midtnormalen for linjestykket AB. B Intet fast facit. C Intet fast facit.

11 FACIT SIDE Opgave 17 De manglende mål er skrevet på figurerne herunder. A B

12 Opgave 18 A Disse vinkelpar er ensliggende: a og e c og g b og f d og h B Elevernes argumentation for hvilke vinkler der er lige store. Bemærk, at sætningen om, at ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store, først afsløres for eleverne i opgave 19. Argumentationen kan i denne opgave basere sig på, at topvinkler er lige store, men man må også acceptere måling som et argument her. Følgende vinkler er lige store: a, d, e og h b, c, f og g. Opgave 19 A-D: Intet fast facit. E Når parallelle linjer skæres af en tredje linje, er de ensliggende vinkler lige store. F Når ikke-parallelle linjer skæres af en tredje linje, er de ensliggende vinkler ikke lige store. Bemærk, at disse to sætninger tilsammen indeholder den modsatte sætning til E: Når linjer skæres af en tredje linje således, at de ensliggende vinkler er lige store, så er de to linjer parallelle. Denne påstand (som er en sætning i faglig forstand) kan evt. diskuteres med klassen. Opgave 20 A Trekant ABE og trekant DCE er ligedannede. Forklaring: B og C er begge rette. E i de to trekanter er topvinkler og dermed lige store. Så er også A = D (vinkelsum). Altså er de to trekanter ensvinklede og dermed ligedannede. B AB = 64 cm. Opgave 21 A A er fælles i de to trekanter, E og C er (ligesom D og B) ensliggende vinkler ved parallelle linjer. Altså er trekanterne ensvinklede. 16 B Længdeforholdet mellem ABC og ADE er 0,712. Længdeforholdet mellem ADE og ABC er 45 1,4. 32 C AC = ,34 cm. 32 = 32 22,5 45 Opgave 22 A-B: Eriks skitse. EDC og ABC er ensvinklede (og dermed ligedannede) i længdeforholdet 9:3 = 3. Afstanden x (= AB ) er da lig med 3 2 = 6 m. Johans skitse.

13 ABC og ADE er ensvinklede og dermed ligedannede. Johan kan derfor opstille ligningen AAAA = AAAA BBBB DDDD xx = xx Af denne ligning kan x bestemmes til x = 6. Den søgte afstand er derfor 6 m.

14 FACIT SIDE Opgave 23 A Elevbygget figur. B Bemærk: Når man skal tegne en genstand Forfra, Oppefra og Fra siden vil der være en vis valgfrihed fx med hensyn til, hvad man kalder Forfra, og hvilken side man vælge at tegne fra. I denne facitliste er valget faldet på denne inddeling: Projektionstegning i længdeforholdet 1:1. Forfra Oppefra Fra siden C Isometrisk tegning i længdeforholdet 1:1.

15 D Elevaktivitet. E Kun afstande målt langs de tre isometriske tegneretninger er ens på tegningen og i virkeligheden. Opgave 24 A-C Intet fast facit.

16 FACIT SIDE Opgave 26 Intet fast facit. Opgave 27 A Isometrisk tegning.

17 B Projektionstegning. Eleven vælger selv længdeforhold. Tegningen her er i længdeforholdet 1:50. Forfra Oppefra Fra siden Opgave 28 Intet fast facit. Opgave 29 Intet fast facit. Opgave 30 3D-tegninger af genstande fra opgave 26 og 27. Opgave 31 Intet fast facit. Opgave 32 Intet fast facit.

18 FACIT SIDE Evaluering Opgave 1 og opgave 2 Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. Opgave 3 A Elevtegning. B Elevbeskrivelse. Det væsentlige er: En trekants indskrevne cirkel har centrum i vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt C og den vinkelrette afstand fra C til en trekantside som radius. En trekants omskrevne cirkel har centrum i sidemidtnormalernes skæringspunkt C og afstanden fra C til en vinkelspids som radius. Opgave 4 A Eleverne forklarer for hinanden. B Alle vinkler i kvadratet er lige store. Alle vinkler i trekanten er lige store. ADE = BCE. CBE = CEB. C CDE: Alle vinkler er 60. BCE: C = 150, B = E = 15. CEH: C = 60, E = 15, H = 105. Opgave 5 A Eleverne tegner en projektionstegning og en isometrisk tegning af hundehuset. B Alle længder på projektionstegningen kan bruges. De længder, der på den isometriske tegning er tegnet langs de tre isometriske tegneretninger, kan bruges.

19 FACIT SIDE Træn 1 FÆRDIGHEDER Opgave 1 A Længdeforholdet er her 1:2. Konstruktionsmetoden er antydet. Opgave 2 A Tegninger i længdeforholdet 1:1.

20 B C Eleven tegner den indskrevne cirkel i en af trekanterne. Eleven tegner den omskrevne cirkel til en af trekanterne. Opgave 3 A Længdeforholdet er 1:3. B DF = 9. Opgave 4 A Umiddelbart kan man kun sige, at følgende vinkler er lige store (fordi de er topvinkler): A = D, B = E, C = F, (A+B) = (D+E), (B+C) = (E+F) og (C+D) = (A+F). Eleverne kan måle på tegningen, og konstatere at de to lodrette linjer er parallelle, og de kan ligeledes ved at måle på tegningen konstatere, at trekanten mellem de to linjer er ligebenet. Med den viden, kan eleverne nå frem til, at: følgende vinkler være lige store (fordi de er ensliggende vinkler ved parallelle linjer): H = F, G = (A+B), I = B og J = (A+F). H = I (grundvinkler i en ligebenet trekant) og G = J (nabovinkler til de to grundvinkler). Eleverne kan måle på tegningen, og konstatere at linjerne er parallelle. Opgaven kan danne udgangspunkt for en samtale med klassen om forskellen på matematik i hverdagen og matematik som fag. På tegningen ser det ud som om, de to linjer er parallelle, og at trekanten er ligebenet. Det vil være tilstrækkeligt til at benytte vor viden om parallelle linjer og ligebenede trekanter i en hverdagssammenhæng. Opgave 5 A A er samme vinkel i begge trekanter. Desuden gælder B = E = F = C. B AF = 6 cm, CF = 3 cm. Opgave 6 A Projektionstegning: Forfra Oppefra Fra siden

21 Træn 2 FÆRDIGHEDER Opgave 1 A B C Eleven tegner trekantes indskrevne cirkel. Eleven tegner trekantens omskrevne cirkel. Opgave 2 A B Eleven tegner en figur ligedannet med den fra spørgsmål A. C Eleven angiver længdeforholdet mellem de to figurer.

22 Opgave 3 A Skitse: B Vinkler med samme størrelse er markeret på skitsen. C Trekanterne er ensvinklede og derfor også ligedannede. D Længdeforholdet er 3:16 (eller 1:5 1 ). 3 Opgave 4 A AE = 5,6. B AC = 22,4. C Omkredsen af BCE er 57,6. Opgave 5 A Projektionstegninger: Forfra Oppefra Fra siden

23 FACIT SIDE Træn 1 PROBLEMLØSNING Opgave 1 A-C Elevbeskrivelser, -tegning og -forklaringer. D Trekanten er ligesidet. E Trekantsiden spænder over 1 af cirkelperiferien (60 ). 6 F Elevtegning. G Siden i den nye trekant spænder over halvdelen af cirkelperiferien (180 ). Opgave 2 A Elevtegning i selvvalgt længdeforhold. B Der er mange muligheder for opdeling. Her er en af dem: C Arealet af hvert af de fire bede er 3 3 2,6 2 m2. D Der er mange muligheder for deling af sekskanten i seks lige store stykker. Den mest oplagte er vel denne: E Jordbærarealet er 3 1,7 m 2. Opgave 3 A Elevskitse. B Flagstangen er 12 m høj. C Jens Erik skal vælge flaget med dimensionerne cm.

24 Opgave 4 A Elevgæt. B Undersøgelse af gættet. Man kan tegne sig til resultatet på isometrisk papir. På tegningerne herunder angiver den røde ramme bagsiden af figuren med de 16 centicubes. Inden for denne ramme skal de ekstra centicubes tegnes, hvis de skal være skjult af de 16 forreste. De skjulte centicubes er tegnet lagvis, således at første tegning er nederste niveau, derefter kommer mellemste og øverste niveau. Nederste niveau Mellemste niveau Øverste niveau Her er 6 centicubes Her er 5 centicubes Her er 3 centicubes Som det ses, kan der i alt skjules 14 centicubes bag de 16 på forsiden. De kan ikke ses forfra, men fra den anden side ser figurtilføjelsen (de skjulte centicubes) således ud:

25 C Projektionstegning: Forfra Oppefra Fra siden D Intet fast facit. E Hvis figuren var bygget af 5 5 centicubes, kunne der skjules 30 centicubes. Som man måske kan se, ved at betragte figurtilføjelsen til 4 4-pladen herover, gælder, generelt, at hvis forsiden består af n 2 centicubes, vil der kunne skjules (n 1) 2 centicubes. Summen af de første n kvadrattal kan udregnes ved udtrykket nn (2nn+1) (nn+1). 6

26 Træn 2 PROBLEMLØSNING Opgave 1 A Elevtegning. B Eleven finder cirklens centrum. C Elevforklaring. Cirklens centrum er karakteriseret ved at ligge lige langt fra alle punkterne på cirkelperiferien dvs. det ligger fx lige langt fra C og D. Men de punkter, der ligger lige langt fra C og D, er punkterne på midtnormalen for linjestykket CD, så centrum ligger på denne midtnormal. Tilsvarende kan man se, at centrum må ligge på midtnormalen for linjestykket EF. Cirklens centrum ligger med andre ord på skæringspunktet mellem de to midtnormaler. Opgave 2 A Elevtegning. B Elevundersøgelse. C Elevbegrundelse for valg af mødested. Hvis mødestedet, som det forlanges i teksten, skal ligge lige langt fra de tre teltlejre, skal det ligge i centrum for trekantens omskrevne cirkel dvs. i sidemidtnormalernes skæringspunkt. Opgave 3 A Elevtegnet skitse. B Med den usikkerhed, der må ligge i målingerne, må man sige, at det passer, at Himmelskibet er 80 m højt. Opgave 4 A Rebet (linjestykket AB) er 40 m langt. Opgave 5 A Elevtegning. B Elevens projektionstegning. Bemærk: En 3 3-plade med 9 centicubes kan bruges (se opgave 4 i Træn 1-Problemløsning). Den vil netop skjule = 5 centicubes.