Protonterapiens fysik en kort udledning af Braggkurven
|
|
- Ejnar Rasmussen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Protonterapiens fysik en kort udledning af Braggkurven og dens top Af Pernille Bræmer-Jensen og Ulrik I. Uggerhøj, Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet Med den nært forestående kommissionering af Dansk Center for Partikelterapi ved Aarhus Universitetshospital, planlagt til oktober 2018, er det relevant med en simpel, men alligevel stort set retvisende, gennemgang af den såkaldte Bragg-kurve og dens top. Som yderligere motivation til en sådan gennemgang er et emne med arbejdstitlen Medicinsk fysik for tiden under overvejelse til brug for fysik i det 21. århundrede i gymnasieskolen fra I denne artikel gives en analytisk tilgang til energitabskurven for protoner op til deres endelige rækkevidde. Formålet er at give en kortfattet og overskuelig gennemgang af en tung, elektrisk ladet partikels indtrængning i stof med særlig vægt på aspekter relevante for partikelterapi. Protoner i kræftbehandling I 2018 åbner Dansk Center for Partikelterapi, DCPT, som en del af Aarhus Universitetshospital og det bliver det første sted i Danmark, hvor kræftpatienter kan blive behandlet med protonstråling frem for røntgenstråling. Derfor har det stor relevans at forstå, hvordan protoner afsætter energi i en tumor såvel som i det raske væv. Det er selvfølgelig komplekst at forstå det fulde billede af, hvordan protonen agerer, og derfor kan et simpelt estimat af den ladede partikels opførsel være meget nyttigt, og også være med til at give en god forståelse for, hvordan denne type stråling kan bruges inden for medicinsk fysik, og hvilke fordele det kan give. Protoner og tungere ioner bliver i dag brugt som strålingsterapi på over 50 centre verden over [1], og derfor er der allerede meget erfaring med denne type strålebehandling, som også vil blive implementeret i partikelcenteret i Aarhus. Men hvorfor overhovedet bruge protoner til strålebehandling? Ladede partikler har en meget karakteristisk måde at afsætte dosis på, da de afsætter mest energi lige inden de bliver stoppet helt, mens røntgenstrålingen afsætter energi hele vejen igennem patienten, og den største del af dosis bliver afsat i starten. Denne top for protoner, hvor det meste dosis bliver afsat, kaldes for Bragg Peak eller på dansk Bragg-toppen, og den er kvalitativt vist i figur 1 som den blå kurve der, i modsætning til røntgenstråling, vist med den sorte kurve, leverer det meste af dosis ved stor indtrængningsdybde. Denne indtrængningsdybde for en Bragg-top er bestemt af protonstrålens energi. Dermed kan et større område af fx en tumor modtage en høj dosis, ved at have flere stråler med varierende energier, den såkaldte Spread Out Bragg Peak, SOBP eller udbredt Bragg-top. En SOBP er ligeledes illustreret kvalitativt på figur 1 med den orange kurve. Det er netop denne velafgrænsede rækkevidde, der gør protonstråling fordelagtig, både fordi tumoren bliver bestrålet med højst mulig dosis, og fordi det omkringliggende raske væv samtidigt bliver skånet, og mulige bivirkninger derved mindskes [2]. Som dette er fordelen ved partikelterapi, er det også én af de største udfordringer. Hvor den høje afsatte dosis ender, er af stor betydning, og kan meget præcist bestemmes ved hjælp af energien hvilket vi vender tilbage til i udregningerne nedenfor. Derfor er det lige så vigtigt, at tumorens placering er kendt med stor nøjagtighed, da der ellers kan afgives store mængder dosis i raskt væv. Det giver nogle restriktioner på, hvilke typer kræft, der med fordel kan behandles med partikelstråling. Hvis tumoren er i lungerne, vil den konstant ændre placering, når patienten trækker vejret, og ligeledes kan en tømt eller fyldt blære ændre positionen af tumoren i prostata. Der bliver forsket i forskellige teknikker, der kan korrigere for disse bevægelser, hvor bl.a. adaptiv strålebehandling er en mulighed, da dosisplanlægningen kan ændres under stråleforløbet. Den radiobiologiske effekt (altså hvordan strålingen påvirker vævet) ved protonstråling er forskellig fra effekten ved den konventionelle strålebehandling. Hvor stor denne relative forskel, på engelsk kaldet Relative biological effectiveness, RBE, er, kan ikke nemt bestemmes, da der kan være rigtig mange faktorer, der spiller ind, fx celletypen, den samlede dosis eller den afsatte energi. Derfor bliver der især også eksperimenteret med hvilke RBE modeller, der giver den bedste forståelse af, hvad den egentlige afsatte dosis er i tumoren såvel som i det raske væv. Figur 1. Et eksempel på, hvordan røntgenstråling, sort kurve, og protonstråling, blå kurve, afsætter dosis. Den orange kurve viser et eksempel på Spread Out Bragg Peak (SOBP), der udgøres af adskillige vægtede Bragg-toppe, hver med en forskellig indtrængningsdybde og varierende intensitet. KVANT, juni
2 Den basale kollision En billardkugle der rammer en anden billardkugle med samme masse, vil højst sandsynligt primært blive afbøjet fra sin indkommende retning. Dens energitab vil være ret begrænset, medmindre den rammer den anden kugle i et næsten centralt stød. Derimod, hvis billardkuglen rammer en samling små kugler med samme totalmasse, vil den sandsynligvis kun ændre retning meget lidt, men vil til gengæld tabe en betydelig mængde af sin kinetiske energi, grundet de mange små energioverførsler til kuglerne. Det er næsten det samme, der sker under nedbremsningen af en hurtig (men i første omgang antaget ikkerelativistisk, dvs. v c), tung, elektrisk ladet partikel, der gennemtrænger et materiale. I det følgende betegnes den indkommende partikels masse med M og dens elektriske ladning med ze, hvor z er lig med 1 for en proton. For elektronen betegnes massen med m, og ladningen er e. Energitabet af det tunge projektil sker hovedsageligt i analogi med billard-tilfældet omtalt ovenfor gennem mange små energioverførsler til elektronerne i det materiale den gennemtrænger. Med det formål at estimere størrelsen af energitabet, og for at være specifik i forbindelse med partikelterapi til behandling af kræft, vil vi i det følgende betragte protoner, der nedbremses i vand, idet vand udgør hovedbestanddelen af kroppen. Overførslen af energi til elektronen og derfor energitabet for projektilet kommer af den elektriske vekselvirkning mellem protonen og elektronen. Lad nu protonen have en stødparameter den mindste afstand på b i forhold til elektronen, og antag at protonens bevægelse foregår langs en ret linie, som vist i figur 2. At protonens spor er en (næsten) ret linie, er et resultat af, at protonen er meget tungere end elektronen, som vi antager som værende i hvile i begyndelsen, set fra laboratoriet. Endvidere, idet energitabet E per elektron-kollision er meget småt (af størrelsesorden ev) sammenlignet med den indkommende partikels kinetiske energi E (af størrelsesordenen MeV), kan projektilets hastighed under den enkelte kollision antages at være konstant lig med v, omend projektilet efter et stort antal kollisioner vil blive nedbremset. Figur 2. En skematisk tegning af kollisionen mellem en proton og en elektron. Kun kraftkomposanten vinkelret på protonens bevægelsesretning er vist. Vi estimerer nu vekselvirkningslængden længden over hvilken protonen overfører en betydelig impulsændring til elektronen til at være 2b, se figur 2, således at vekselvirkningstiden t kan findes ved at dele med v, dvs. t 2b v. (1) Den transversale i forhold til projektilets retning kraft F, er under hele vekselvirkningstiden cirka givet ved Coulomb-kraftens størrelse (her angivet i gaussiske enheder, som stort set overalt i det følgende kan konverteres til SI-enheder ved erstatningen e 2 e 2 /(4πε 0 )), dér hvor protonen er i afstanden b fra elektronen, F ze2 b 2. (2) Her kan vi benytte Newtons 2. lov F = d p/dt til at give p = F t, idet vi kun betragter den transversale komponent. I princippet skulle man integrere den korrekte værdi for kraften i den transversale retning, F c (t) = ze 2 b/(v 2 t 2 + b 2 ) 3/2, over tid i et interval fra til +. Men i den ovenfor nævnte tilgang er overvurderingen af kraften i ligning (2) kompenseret af en tilsvarende kortere varighed givet ved ligning (1), og faktisk giver p = F t det samme resultat som den korrekte integration, dvs. p = F t = = ze F c (t)dt bdt (v 2 t 2 + b 2. (3) ) 3/2 Ændringen af den longitudinale komponent p den langs protonens bevægelsesretning skifter fortegn dér hvor protonen passerer tættest forbi elektronen, dvs. hvor afstanden til elektronen er b. Denne komponent bidrager derfor meget lidt til impulsoverførslen, p 0, idet kollisionens impulsoverførsel i den anden fase efter passagen er næsten lig, men med modsat fortegn, impulsoverførslen i den første fase (eksakt lig, i tilfældet med nul energitab, og et lige projektil-spor). Derfor bliver kollisionens totale impulsoverførsels størrelse stort set lig produktet af ligningerne (1) og (2) p p ze2 2b b 2 v = 2ze2 bv, (4) hvor fortegnet er negligeret, da vi ikke er interesserede i, hvilken retning elektronen har efter kollisionen, men blot den energi, den har taget fra protonen. Idet vi betragter en energirig, men ikke-relativistisk, kollision (dvs. kinetiske energier under Mc MeV), kan den kinetiske energi skrives som W = mv 2 /2, og da impulsen er p = mv, kan vi skrive W = p 2 /2m, hvorved overførslen af kinetisk energi per elektron bliver W ( p)2 ( 2ze 2 ) 2 1 2m = bv 2m = 2z2 e 4 mb 2 v 2, (5) hvor fortegnet viser, at energi bliver taget væk fra projektilet. Alt dette var for en ganske bestemt stødparameter, b, og eftersom atomer er bittesmå, er det umuligt at kontrollere denne stødparameter. Vi må derfor integrere over alle de mulige stødparametre, som protonen udsættes for under kollisionerne med elektronerne, under gennemtrængningen af materialet med massetætheden ρ m og tykkelse x. Med massetætheden givet, bliver 14 Protonterapiens fysik
3 antalstætheden n = N/V = N A ρ m /M m, hvor N A = 6, mol 1 er Avogadros konstant og M m er molar-massen. For vand er M m = 18,0 g/mol og ρ m = 0,998 g/cm 3 hvilket giver n = 33, cm 3. Dette er imidlertid molekyltætheden, og da hvert vandmolekyle har Z = 10 elektroner, fås n e = Zn = 3, cm 3. (6) Antallet af elektroner, med en stødparameter mellem b og b + db, mødt af partiklen mens den gennemtrænger den inifinitesimale tykkelse dx er n e 2πbdbdx (antallet af elektroner i en cirkelskive af bredde db, omkreds 2πb, tykkelse dx og tæthed n e ). Således, fra ligning (5), bliver energitabet for disse kollisioner givet som dw b 2Zz2 e 4 mb 2 v 2 n2πbdbdx = e 4 db 4πnZz2 mv 2 b dx, (7) der kan integreres over b, efter at have delt på begge sider med dx. Integration over stødparametre Men inden integrationen kan udføres, skal integrationsgrænserne for b bestemmes. Elektronerne i materialet er i virkeligheden ikke helt i hvile, de bevæger sig forholdsvist langsomt, men de bevæger sig dog med en vinkelfrekvens ω omkring den kerne de er bundet til. Såfremt kollisionen er tilstrækkeligt fjern, dvs. med stor stødparameter, så er vekselvirkningstiden lang ifølge ligning (1), hvorved elektronen tager mange omgange omkring sin kerne under kollisionen. I dette tilfælde bliver stort set ingen energi overført, i stedet vil det blot resultere i en midlertidig polarisering af elektronskyen. Derfor kan den maksimale stødparameter estimeres som b max v ω, (8) hvor, hvis b b max, vinkelfrekvensen af elektronen vil være ω v/b max, så elektronen udfører mange omløb om kernen i løbet af tiden t givet fra ligning (1). Den minimale stødparameter kan findes ved at betragte den maksimale impulsoverførsel til en elektron, p max = 2mv. For at indse, at udtrykket for p max er korrekt, kan man transformere til det referencesystem, hvori projektilet er i hvile, og tænke på en elektron der i dette system rammer protonen med impulsen p = mv og derved bliver reflekteret. Der kan ikke være en større impulsoverførsel end en fuldstændig retningsændring, hvor elektronen starter med p = mv og slutter med p = mv hvilket giver p max. Men i henhold til ligning (4), er impulsoverførslen omvendt proportional med stødparameteren, så en maksimal impulsoverførsel svarer til en minimal stødparameter, dvs. der fører til 2ze 2 v = 2mv = p max, (9) ze2 mv 2. (10) Nu kan ligning (7) integreres (vi sætter = dw b ) dx = bmax dw b dx e 4 4πnZz2 mv 2 bmax hvor integralet giver en (naturlig) logaritme db b, (11) dx e 4 ( bmax ) 4πnZz2 mv 2 ln, (12) hvilket med ligningerne (8) og (10) giver dx e 4 ( mv 3 ) 4πnZz2 mv 2 L B med L B = ln ωze 2, (13) så præcise værdier for b max og er ikke nødvendige for at estimere effekten, da afhængigheden kun er logaritmisk. Fra front-faktoren i ligning (13), 4πnZz 2 e 4 /mv 2, og den langsomme variation af L B, kan det ses, at energitabet hovedsageligt skalerer som 1/v 2, op til det område hvor projektilet bliver relativistisk, dvs. hvor E kin Mc 2 og dermed v c. Fra dette punkt og opefter i energi, bliver energitabet stort set kun en logaritmisk tiltagende funktion. På den anden side, ved tilpas lave hastigheder vil b max v/ω, der aftager med faldende hastighed, og ze 2 /mv 2, der tiltager, til sidst blive ens, hvilket må betyde, at denne tilgang bliver ugyldig (logaritmen i ligning (12) bliver negativ under denne grænse). For z = 1 sker dette når (v/v B ) 3 = ω/α 2 mc 2, hvor α = e 2 / c 1/137 er finstruktur-konstanten, og v B = αc er Bohr-hastigheden. For ω = 23 ev bliver denne betingelse til (v/v B ) 3 = 0,84, og for en proton bliver Bohr-hastigheden opnået ved en kinetisk energi på 25 kev. Eftersom energitabet for E kin Mc 2 øges efterhånden som hastigheden aftager, /dx 1/v 2, kan man forvente det maksimale energitab ved en energi cirka svarende til Bohr-hastigheden, under hvilken denne approksimation altså fejler. Det er ikke så overraskende, at maksimum opnås dér, idet ved disse energier kan projektilet og elektronen overføre energi resonant, da de har næsten ens hastigheder. Derfor øges dets energitab drastisk, efterhånden som projektilets hastighed aftager under indtrængningen. I den afsluttende del af dets bane, hvor projektilets hastighed er på sit laveste, afleverer partiklen derfor en signifikant del af sin kinetiske energi: Bragg-toppens basis [3]. Som det kan ses af bl.a. [4, 5], er der en stor fordel forbundet med dybdepræcision i dosisafsættelsen ved brug af Bragg-toppen i forbindelse med cancerterapi. Det var den kvalitative forklaring af Bragg-toppen, vi udleder nu et analytisk udtryk for hele Bragg-kurven. Eftersom logaritmen i ligning (13) er en langsomt varierende funktion, bliver essensen af hastighedsafhængigheden for E kin Mc 2 altså givet fra frontfaktoren /dx 1/v 2, så for et simpelt estimat kan vi negligere logaritmens variation med hastigheden, og med z = 1 og v = 0,43c for en 100 MeV proton, sætte logaritmen til ( mv 3 ) L B = ln ωe 2 12,4, (14) KVANT, juni
4 hvor det er benyttet, at ω 23 ev for vand. Et alternativ til denne klassiske rute der i hovedsagen er den Niels Bohr introducerede i 1913 og 1915 blev senere udledt af Hans Bethe. I hans kvantemekaniske tilgang, bliver L i ligning (14), igen for en 100 MeV proton, erstattet af ( 2γ 2 mv 2 ) L = ln v2 8.0, (15) I c2 hvor det såkaldte ionisations-potential er givet som I = ω 75 ev for vand [6], og en relativistisk korrektion, v 2 /c 2, her er blevet sat ind per håndkraft. Som eksempler er værdier beregnet fra ligning (15) for 50 MeV, 175 MeV og 500 MeV lig med 7,2, 8,3 og 9,2, respektivt, dvs. med en en ganske svag variation indenfor intervallet af energier relevante for protonterapi. Bethes tilgang er temmelig præcis for disse relativt høje energier. Rækkevidde og energitab pr. vejlængde Højresiden i ligning (13), uden 1/v 2 -delen og med L B erstattet af L, giver k n = 4πnZe 4 L/m, som vi således sætter til at være en konstant, k n. Med disse approksimationer og simplifikationer kan energitabet skrives som dx k n v 2. (16) Da den kinetiske energi af projektilet i det ikkerelativistiske område er E = Mv 2 /2 kan vi skrive = Md(v 2 )/2 = M2vdv/2 = Mvdv, hvorved ligning (16) bliver dv dx k m v 3 (17) med k m = k n /M = 4πnZe 4 L/mM. Vi kan nu omskrive ligning (7) til v 3 dv k m dx (18) og integrere på begge sider, fra en indgangshastighed til sluthastigheden v = 0, svarende til en indgangsdybde på x = 0, til partiklens endepunkt ved rækkevidden x = x 0, 0 v 3 dv k m Disse integraler kan løses til x0 0 dx. (19) v 4 0 4k m x 0, (20) hvorved rækkevidden er proportional med kvadratet på partiklens kinetiske energi x 0 v 4 0 /4k m = (Mv 2 0 /2)2 /M 2 k m E 2 m x 0 = 4πnZe 4 L M. (21) Omsat til tal kan det udnyttes, at e 2 = 14,4 ev Å, m/m 1/1836 og n e = nz = 3, /cm 3 for vand (og med L = 8,3) x 0 = E 2 cm, (22) 1325 (MeV) 2 så en proton med en kinetisk energi på 175 MeV har en rækkevidde på 23,1 cm i vand. I virkeligheden er dens rækkevidde 20,6 cm, dvs. godt 12 % kortere ikke dårligt når man tager approksimationens lidt grove karakter i betragtning. I stedet for, som i ligning (19), at integrere hele vejen op til partiklens endepunkt, kan vi integrere op til punktet x, hvor hastigheden er v, som er mindre end så v v 3 dv k m Ved hjælp af ligning (20) opnås x 0 dx (23) v 4 v 4 0 4k m x. (24) v 2 2 k m (x 0 x), (25) der kan indsættes i ligning (13) til at give et energitab pr. vejlængde, den såkaldte stoppe-evne, for en proton på eller dx 2πnZe 4 m k m (x 0 x) L (26) dx πnze 4 L M x 0 x m, (27) der er næsten identisk med energiafsætningen (en lille del af projektilets tabte energi kan undslippe materialet, f.eks. i form af de såkaldte δ-elektroner). Ligning (27) viser Bragg-kurvens omtrentlige form: At stoppe-evnen afhænger af indtrængningsdybden x, frem til partiklens rækkevidde x 0, som en funktion (x)/dx 1/ x 0 x. Man kan naturligvis øge præcisionen i forhold til eksperimentelle data ved en forøgelse af den matematiske kompleksitet, og gennem introduktionen af mindre betydningsfulde fænomener, men det sker oftest på bekostning af gennemskueligheden af de bagvedliggende fysiske mekanismer. De her indrammede formler giver således et relativt simpelt estimat for Bragg-kurverne, men er til gengæld overskuelige og rimeligt præcise. Divergensen ved x = x 0 forsvinder ved introduktion af den såkaldte energitabs-spredning, der skyldes det statistiske element i nedbremsningsprocessen: Ikke alle protoner med samme indgangsenergi taber samme mængde energi i løbet af den samme tilbagelagte afstand. Igen var Niels Bohr en af de første i behandlingen, med et estimat for kvadratet på energitabsspredningen, Ω 2 B, der er givet ved Ω 2 B(x) = 4πnZe 4 x, (28) ved gennemtrængning af et materiale af tykkelse x. 16 Protonterapiens fysik
5 [3] W.H. Bragg og R. Kleeman (1904), On the Ionization Curves of Radium. Phil. Mag. bind 8, 6th series, 726. [4] C.S. Søndergaard (2016), Strålebehandling med partikler. KVANT årgang 27, nr. 2, maj 2016, s. 28. [5] C.E. Andersen (2016), Dosimetri og kalibrering det fysiske grundlag for stråleterapi. KVANT årgang 27, nr. 2, maj 2016, s. 11. Figur 3. Simulerede og beregnede Bragg-kurver for 175 MeV protoner i vand. Simuleringen er udført med Shieldhit [9], der tager alle vekselvirkninger med så eksakt som muligt, og som er vist at være i fin overensstemmelse med eksperimenter. Beregningen er udført med ligning (27), men med rækkevidden omskaleret fra værdien givet fra ligning (21), 23,1 cm, til den målte værdi, 20,6 cm. Der er overordnet en forskel på op til cirka 30 %, men totalt set er kurvernes former ret ens. Den simple tilgang givet i denne artikel og de resulterende indrammede udtryk for rækkevidde og stoppeevne giver således en udmærket første approksimation til Bragg-kurverne. Omsat til tal (igen med L = 8,3), bliver energitabet cirka lig dx 18,2 MeV x0 /cm x/cm cm, (29) [6] H. Paul (2007), The mean ionization potential of water, and its connection to the range of energetic carbon ions in water. Nucl. Instr. Meth. B 255, [7] S. Molinelli m.fl. (2013), Dosimetric accuracy assessment of a treatment plan verification system for scanned proton beam radiotherapy: one-year experimental results and Monte Carlo analysis of the involved uncertainties. Phys. Med. Biol. bind 58, [8] stopping-power and range tables for protons (pstar ), [9] SHIELD-HIT12A (Monte Carlo particle transport program), hvorved en 175 MeV proton taber dx 18,2 MeV 23,1 x/cm cm, (30) dvs. omkring /dx 3,8 MeV/cm ved x x 0, ifølge denne approksimation. Dette er i rimelig overensstemmelse med målinger [7] og tabeller [8] der giver /dx 4,9 MeV/cm, og er i overensstemmelse med den lidt længere rækkevidde sammenlignet med eksperimentelle værdier. Simulerede og beregnede Braggkurver er vist i figur 3. Man kan se, at den simple tilgang givet i denne artikel, og de resulterende indrammede udtryk for rækkevidde og stoppeevne, giver en udmærket første approksimation til Bragg-kurverne. Tillige giver udledningen forhåbentlig en god fysisk fornemmelse for, hvorfor Bragg-kurverne ser ud som de gør. Litteratur [1] Particle Therapy Co-Operative Group, Pernille Bræmer-Jensen er fysikstuderende ved Aarhus Universitet. Hun specialiserer sig inden for medicinsk fysik, og er i øjeblikket i gang med sit bachelorprojekt, der handler om modeller for de biologiske effekter ved protonstråling i tumor i prostata. Ulrik I. Uggerhøj er professor ved Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet, og underviser bl.a. i kurserne Speciel relativitetsteori og Partiklers indtrængning i stof. [2] Det nationale center for partikelterapi, det-nationale-center-for-partikelterapi-2012.pdf. KVANT, juni
Absorption af Gammastråler i Vand og α strålers flyve længde i tågekamre
Absorption af Gammastråler i Vand og α strålers flyve længde i tågekamre Aarhus Universitet - Institut for Fysik og Astronomi (IFA) 27. august 2018 I hverdagen støder vi på 3 forskellige typer stråling,
Læs mereAbsorption af γ-stråler i vand og α-strålers flyvelængde i et tågekammer
Absorption af γ-stråler i vand og α-strålers flyvelængde i et tågekammer Aarhus Universitet - Institut for Fysik og Astronomi (IFA) 12. november 2018 28 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk I hverdagen
Læs mereAbsorption af Gammastråler i Vand og α strålers flyve længde i tågekamre
Absorption af Gammastråler i Vand og α strålers flyve længde i tågekamre Aarhus Universitet - Institut for Fysik og Astronomi (IFA) 27. august 2018 I hverdagen støder vi på 3 forskellige typer stråling,
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q3-1 Large Hadron Collider (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner fra den separate konvolut, før du starter på denne opgave. Denne opgave handler om fysikken bag partikelacceleratorer LHC (Large
Læs mereTillæg til partikelfysik (foreløbig)
Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes
Læs merePartiklers energitab i boblekammer. Mads Sørensen, Jacob Svensmark og Rune Boas 27. marts 2006
Partiklers energitab i boblekammer Mads Sørensen, Jacob Svensmark og Rune Boas 27. marts 2006 1 Indhold 1 Indledning 3 2 Boblekammeret 3 2.1 Boblekammeret............................ 3 2.2 SHIVA.................................
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Læs mereRektangulær potentialbarriere
Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereGymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM)
Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Sep 2006. Lars Petersen og Erik Lægsgaard Indledning Denne note skal tjene som en kort introduktion
Læs mereA KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi
A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico, Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Attenuation af røntgenstråling
Læs mereRøntgenspektrum fra anode
Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af
Læs mereMedicinsk fysik. Side 1 af 11 sider
Side 1 af 11 sider Vejledende eksempler på opgaver til den skriftlige prøve i fysik (stx) Fysik i det 21. århundrede Skoleåret 2018-19 Medicinsk fysik Opgaverne Opgave 1 Cyklotron til produktion af tallium
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereMODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber
1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs merePartiklers energitab ved passage gennem stof
Partiklers energitab ved passage gennem stof Skrevet af Heidi Lundgaard Sørensen, Shuhab Hussain, Martin Spangenberg og Rastin Matin. Vejleder: Lektor Hans Bøggild. Afleveringsdato: 31. marts 2008. Resumé
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereBernoulli s lov. Med eksempler fra Hydrodynamik og aerodynamik. Indhold
Bernoulli s lov Med eksempler fra Indhold 1. Indledning...1 2. Strømning i væsker...1 3. Bernoulli s lov...2 4. Tømning af en beholder via en hane i bunden...4 Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2008 Bernoulli
Læs mereTeknikken er egentlig meget simpel og ganske godt illustreret på animationen shell 4-5.
Fysikken bag Massespektrometri (Time Of Flight) Denne note belyser kort fysikken bag Time Of Flight-massespektrometeret, og desorptionsmetoden til frembringelsen af ioner fra vævsprøver som er indlejret
Læs mereChristian Søndergaard, Hospitalsfysiker
Christian Søndergaard, Hospitalsfysiker!"!" #!$ %&'( ) ) & *'( G. F. Knoll, Radiation Detection and Measurement, 3. udg. (2000) Kapitel 2, Radiation Interactions, s. 29-57. Aspekter Fundamental (fysisk)
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereStrålings vekselvirkning med stof
Strålings vekselvirkning med stof Forelæsning (25. februar 2008, 15 15-16 00 ) som del af kurset: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Med udgangspunkt i: G. F. Knoll, Radiation Detection and Measurement,
Læs mereHeisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1
Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge
Læs mereLongitudinal dynamik: Indledning. Vi betragter her synkrotroner En synkrotron vil have en (el. flere) RF-kaviteter til acceleration
Moderne acceleratorers ysik og anvendelse 5 Forelæsning 9a Longitudinal Dynamik Longitudinal dynamik (synkrotroner) Energitilvækst Bundter og Buckets Transitionsenergien Synkrotron bevægelse Longitudinal
Læs mereModerne Fysik 1 Side 1 af 7 Speciel Relativitetsteori
Moderne Fysik 1 Side 1 af 7 Hvad sker der, hvis man kører i en Mazda med nærlysfart og tænder forlygterne?! Kan man se lyset snegle sig afsted foran sig...? Klassisk Relativitet Betragt to observatører
Læs mereEksamen i fysik 2016
Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereStandardmodellen og moderne fysik
Standardmodellen og moderne fysik Christian Christensen Niels Bohr instituttet Stof og vekselvirkninger Standardmodellen Higgs LHC ATLAS Kvark-gluon plasma ALICE Dias 1 Hvad beskriver standardmodellen?
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereRækkevidde, halveringstykkelse og afstandskvadratloven
Rækkevidde, halveringstykkelse og afstandskvadratloven Eval Rud Møller Bioanalytikeruddannelsen VIA University College Marts 008 Program Indledende kommentarer. Rækkevidde for partikelstråling Opbremsning
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereA KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING
A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi DANNELSE AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Røntgenstråling : Røntgenstråling
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereØvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet
29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende
Læs mereKernefysik og dannelse af grundstoffer. Fysik A - Note. Kerneprocesser. Gunnar Gunnarsson, april 2012 Side 1 af 14
Kerneprocesser Side 1 af 14 1. Kerneprocesser Radioaktivitet Fission Kerneproces Fusion Kollisioner Radioaktivitet: Spontant henfald ( af en ustabil kerne. Fission: Sønderdeling af en meget tung kerne.
Læs mereMyonens Levetid. 6. december 2017
Myonens Levetid 6. december 2017 Det er en almindelig opfattelse at rigtigheden af relativitetsteorien nødvendigvis er vanskelig at eftervise eksperimentelt. Det er den faktisk ikke. Et lille eksperiment
Læs mereAtomers elektronstruktur I
Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære
Læs merePræcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden
Præcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden 2005-2012 Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 7. april 2014 30. april 2014 Søren
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereDansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer
Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 15 spørgsmål fordelt på 5 opgaver. Bemærk, at de enkelte spørgsmål ikke tæller
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereEksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor
Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias
Læs mereDosering af anæstesistoffer
Dosering af anæstesistoffer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Formål Formålet med opgaven er at undersøge hvordan man kan opnå kendskab til koncentrationen af anæstesistoffer i vævet på en person
Læs mereELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt
ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt Atomets partikler: Elektrisk ladning Lad os se på et fysisk stof som kobber: Side 1 Atomets
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereKernereaktioner. 1 Energi og masse
Kernereaktioner 7 1 Energi og masse Ifølge relativitetsteorien gælder det, at når der tilføres energi til et system, vil systemets masse altid vokse. Sammenhængen mellem energitilvæksten og massetilvækstener
Læs mereTeknologi & kommunikation
Grundlæggende Side af NV Elektrotekniske grundbegreber Version.0 Spænding, strøm og modstand Elektricitet: dannet af det græske ord elektron, hvilket betyder rav, idet man tidligere iagttog gnidningselektricitet
Læs mereProtoner med magnetfelter i alle mulige retninger.
Magnetisk resonansspektroskopi Protoners magnetfelt I 1820 lavede HC Ørsted et eksperiment, der senere skulle gå over i historiebøgerne. Han placerede en magnet i nærheden af en ledning og så, at når der
Læs mere6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning
49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for
Læs mereSPEKTRUM HALSE WÜRTZ FYSIK C. Fysiks optakt til et AST-forløb om kroppen af Niels Henrik Würtz. Energiomsætninger i kroppen
HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Fysiks optakt til et AST-forløb om kroppen af Niels Henrik Würtz Energiomsætninger i kroppen Kondital Glukoseforbrænding Fedtforbrænding Artiklen her knytter sig til kapitel
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereRækkeudvikling - Inertialsystem. John V Petersen
Rækkeudvikling - Inertialsystem John V Petersen Rækkeudvikling inertialsystem 2017 John V Petersen art-science-soul Vi vil undersøge om inertiens lov, med tilnærmelse, gælder i et koordinatsytem med centrum
Læs mereKræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.
Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den
Læs mereNår enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.
E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne
Læs mereStrålings vekselvirkning med stof
Forelæsning (7. december 2015, 08 15-9 00 ) som del af kurset: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Strålings vekselvirkning med stof Christian Skou Søndergaard Hospitalsfysiker Medicinsk Fysik Aarhus
Læs mereMatBio. = r K xy, dx dt. = r xy. (2)
.1 Epidemier. En population (Storkøbenhavns befolkning, fiskene i et dambrug, en bakteriekultur,... ) rammes af en epidemi. Antag, at populationens størrelse er konstant individer. Heraf er individer inficerede
Læs mereRøntgenøvelser på SVS
Røntgenøvelser på SVS Øvelsesvejledning Endelig vil du se hvordan radiograferne kan styre kvaliteten af billedet ved hjælp af mængden af stråling og energien af strålingen. Ved CT-scanneren vil du kunne
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereIndhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...
Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...
Læs mereCoulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0
Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F
Læs mereØvelse 2: Myonens levetid
Øvelse 2: Myonens levetid Det er en almindelig opfattelse at rigtigheden af relativitetsteorien nødvendigvis er vanskelig at eftervise eksperimentelt. Det er den faktisk ikke. Et lille eksperiment (og,
Læs mereMåling af turbulent strømning
Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mere7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:
1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereRettelser til ORBIT AHTX 1.udgave 2. oplag
Rettelser til ORBIT AHTX 1.udgave 2. oplag Rettelsesblad version 6a pr januar 2014 68 O2.5 3. sidste linje: stål mod stål, skal erstattes af stål mod stål er 80 E3.5 Linje 15 en metaltråd i midten skal
Læs mereModellering af stoftransport med GMS MT3DMS
Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse
Læs mere1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter
1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereMassespektrometri og kulstof-14-datering
Massespektrometri og kulstof-14-datering Opgavehæfte AMS 14 C Daterings Center Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet JO\ AUG 2004 BP\FEB 2010 Opgaverne 5,6 og 7 er hentet eller modificeret
Læs mereKrystallografi er den eksperimentelle videnskab der anvendes til bestemmelse af atomernes positioner I faste stoffer.
Krystallografi er den eksperimentelle videnskab der anvendes til bestemmelse af atomernes positioner I faste stoffer. Kilde: Wikipedia INTRO? Sildenafil, trade name VIAGRA TM, chemical name 5-[2-ethoxy-5-(4-methylpiperazin-1-ylsulfonyl)phenyl]-1-
Læs mereNotat. Den adaptive algoritme i De Nationale Test. Opbygning af test og testforløb. januar 2015
Notat Vedrørende: Den adaptive algoritme i De Nationale Test Olof Palmes Allé 38 8200 Aarhus N Tlf.nr.: 35 87 88 89 E-mail: stil@stil.dk www.stil.dk CVR-nr.: 13223459 Den adaptive algoritme i De Nationale
Læs mereKinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:
K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereKvantecomputing. Maj, Klaus Mølmer
Kvantecomputing Maj, 2009 Klaus Mølmer Virkelighed Drøm: Intel Pentium Dual Core T4200-processor, 2,0 GHz, 3072 MB SDRAM. (250 GB harddisk) 5.060 kr Kvantecomputer Ukendt processor 1 khz er fint, 100 Hz
Læs mereNoget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger. Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet
Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære
Læs mereStrålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen
Strålingsintensitet Skal det fx afgøres hvor skadelig en given radioaktiv stråling er, er det ikke i sig selv relevant at kende aktiviteten af kilden til strålingen. Kilden kan være langt væk eller indkapslet,
Læs mereGravitationsbølger Steen Hannestad, astronomidag 1. april 2016
Gravitationsbølger Steen Hannestad, astronomidag 1. april 2016 TYNGDELOVEN SIDST I 1600-TALLET FORMULEREDE NEWTON EN UNIVERSEL LOV FOR TYNGDEKRAFTEN, DER GAV EN FORKLARING PÅ KEPLERS LOVE TYNGDELOVEN SIGER,
Læs mereMekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane
Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk September 2012
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereJuly 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook
Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at
Læs mereSkriftlig eksamen BioMatI (MM503)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) 14. januar 2009 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, inklusive brug af lommeregner/computer. OPGAVESÆTTET
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereEnergibesparelse i vejtransporten.
Energibesparelse i vejtransporten. Af: Per Ullidtz, Dynatest International Bjarne Schmidt, Vejdirektoratet - Vejteknisk Institut Birgitte Eilskov Jensen, NCC Roads A/S Med den konstante fokus på energiforbrug
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder
Læs mereC) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.
C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011
Læs mereUdledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
s.1/5 For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel,
Læs mereMassefylden af tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C bruges som standard i vindkraftindustrien og er lig med 1, 225 kg
0.1 Vindens energi 0.1. VINDENS ENERGI I dette afsnit... En vindmølle omdanner vindens kinetiske energi til rotationsenergi ved at nedbremse vinden, således at hastigheden er mindre efter at rotorskiven
Læs mere