Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Transkript

1 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006

2 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap ) Motivation for gennemgangen af SLR Definition af SLR Antagelser for SLR Udledning af OLS estimatoren (tavlegennemgang) Forudsagte værdier og residualer Mekaniske egenskaber ved OLS estimatoren Eksempel på en simpel regressionsmodel Variablernes enheder

3 Motivation for simpel regressionsmodel (SLR) Vi beskæftiger os med modeller, hvor vi ønsker at forklare y med x. Eksempler: 1. Hvordan påvirker kunstgødning udbyttet af sojabønner (Ex 1.3)? 2. Hvordan påvirker uddannelsesniveauet timelønnen (Ex. 1.4)? 3. Hvordan afhænger virksomhedens afkast af direktørens løn (Ex. 2.3)? Regressionsmodellen vil være den samme som i Teoretisk Statistik. Estimatoren OLS er også den samme. De statistiske antagelser for modellen er (lidt) anderledes: Ofte mere realistiske for økonomiske anvendelser Grundlag for generalisering/alternativer senere i kurset

4 Motivation (fortsat) Når modellen opstilles, er vi nødt til at forholde os konkret til flg. spørgsmål: Hvad nu, hvis x ikke er den eneste faktor, som har betydning for y? Hvilken funktionel form kan beskrive sammenhængen mellem y og x? Kan y fx beskrives som en lineær funktion af x? Eller log(x)? Eller kan y beskrives som en funktion af x? log(x)? Kan modellen bruges til ceteris paribus fortolkninger?

5 Definition af SLR Den simple regressionsmodel y = β + β x+ u 0 1 Kaldes også for den bivariate regressionsmodel y: afhængig variabel x: forklarende variabel u: (uobserveret) fejlled β 0 : konstantled (intercept) sjældent fortolkeligt β 1 : hældningskoefficient ( slope ) Konstantleddet og den forklarende variabel kaldes under ét regressorerne

6 Definition (fortsat) Når vi opskriver den simple regressionsmodel, besvarer vi implicit spørgsmålene i motivationen: Andre faktorer: Andre faktorer (end x), som påvirker y: Er indeholdt i fejlleddet u Fejlleddet u indeholder derfor: Udeladte faktorer/variable Målefejl Hvad indeholder u i eksemplet med uddannelse og løn?

7 Definition (fortsat) Funktionel form: Vi antager, at variablerne er bragt på en form, så y kan beskrives som en lineær funktion af x. En ændring i y kan forklares ved en ændring i x (forudsat Δu=0) Δ y = β Δx 1 Parameteren β 1 angiver hældningskoefficienten for y som funktion af x.

8 Definition (fortsat) Ceteris paribus fortolkning af parameter: Vi kan ikke generelt lave ceteris paribus fortolkninger af parameterne. Fortolkningen af β 1 som effekten af x på y forudsætter at Δu=0. I uddannelse løn eksemplet, hvad kan problemet med ceteris paribus antagelsen være?

9 Statistiske antagelser for regressionsmodellen Antagelse 1 - (2.5) i Wooldridge. Middelværdien af u er lig 0 Eu ( ) = 0 Samme antagelse som i Teoretisk Statistik Antagelsen er normalt uproblematisk, så længe det er effekten af x, som er den interessante parameter, og der er et konstantled i modellen men gør også tit fortolkningen af konstantleddet problematisk

10 Antagelser (fortsat) Antagelse 2 - (2.6) i Wooldridge. Den betingede middelværdi af u givet x er lig 0 Eu ( x) = Eu ( ) = 0 Denne antagelse er ofte kritisk Lidt om antagelsen (se Appendix B.4): x og u er uafhængige E(u x)=e(u) (appendix B, CE.3, side 751) (enhver funktion af) x og u er ukorrelerede (appendix B, CE.5, side 752)

11 Antagelser (fortsat) Antagelse 1 Teoretisk Statistik E(u)=0 Økonometri 1 E(u)=0 Antagelse 2a Antagelse 2 x givne (ikke stokastisk) E(u x)=e(u) følger af (2a) x stokastisk E(u x)=e(u) per antagelse

12 Antagelser (fortsat) Eksempel: Timeløn og uddannelse Vi har følgende model: timeløn = β + β ( ) 0 1 uddannelse + u Fejlleddet u indeholder blandt andet evner og arbejdsiver. Er følgende antagelsen rimelig? E( evner uddannelse = 9) = E( evner uddannelse = 17)

13 Udledning af OLS estimatoren OLS estimatoren udledes vha. moment metoden (Method of Moments) Ideen med moment metoden illustreres ved et eksempel: Antag at man har en tilfældig stikprøve af n observationer af en variabel x. x har en ukendt middelværdi μ, som man er interesseret i at bestemme. Dvs. Ex ( ) = μ. Hvad vil være et naturligt estimat for middelværdien? Gennemsnittet!! n = 1 n i = 1 Moment estimation går ud på at erstatte teoretiske momenter med data momenter (her: Gennemsnittet) μˆ x i

14 Udledning (fortsat) Resten af udledningen af OLS estimatoren foregår som tavlegennemgang

15 Forudsagte værdier og residualer Forudsagte værdier: Populations regressionsfunktionen E( y x) Ud fra estimaterne for parametrene kan de forudsagte værdier af y bestemmes: y ˆi = β + β x 0 1 = ˆ β + ˆ β x 0 1 Residualer: Residualerne kan bestemmes som forskellen mellem den faktiske og forudsagte værdi af y: uˆ = y yˆ = y ˆ β ˆ β x i i i 0 1 i i

16 Forudsagte værdier og residualer (fortsat) For residualerne (baseret på en OLS estimation med konstantled) gælder følgende sammenhænge mekanisk: n i= 1 uˆ = 0 i i= 1 ux ˆ = 0 Hvorfor er dette ikke så underligt? OLS estimatoren kan ækvivalent opnås ved at minimere residualkvadratsummen: Sådan blev OLS estimatoren udledt i Teoretisk Statistik n N N 2 2 uˆ ˆ ˆ i = ( yi β0 β1xi) i= 1 i= 1 i i

17 Flere egenskaber ved OLS Variansanalyse: Den afhængige variabel y dekomponeres i to komponenter: Forudsagte værdi: y ˆ ˆ ˆi = β0 + β1x i Residualet: u ˆi Variationen i y (total sum of squares) : hvor n SST = ( y y) y i= 1 i 1 n yi n i = 1 = 2

18 Flere egenskaber ved OLS (fortsat) Den totale variation kan også dekomponeres i to dele: SST=SSE+SSR n 2 Explained sum of squares SSE = ( yˆ i y) i= 1 Residual sum of squares SSR n = ( uˆ i ) i= 1 2 I Teoretisk Statistik kaldes SST for SAK, SSR for SRK

19 Egenskaber ved OLS (fortsat) Goodness of fit: På baggrund af variansanalysen kan man definere et mål for, hvor meget variation modellen (den forklarende variabel) forklarer: 2 SSE SSR R = = 1 SST SST Hvilke værdier kan R 2 antage?

20 Eksempel: Timeløn og uddannelse I dette eksempel estimeres en simpel model for timelønnen: timeløn = β ( ) 0 + β1 uddannelse + u i i i Til estimationen benyttes danske registerdata fra Danmarks Statistik. Data består af 2000 tilfældigt udtrukne individer. For disse personer har vi en række oplysninger om arbejdsmarkedsforhold i perioden Datasættet ligger på forelæsningssiden under Eksempler

21 Eksempel (fortsat) Til analysen benyttes følgende variabler: Timelønnen beregnet på baggrund af årlig lønindkomst (registreret hos SKAT) divideret med det årlige antal arbejdstimer udregnet på baggrund af ATP indbetalinger Uddannelse er antallet af års gennemført uddannelse Vi benytter data vedr Data består af personer: år Lønmodtagere Timelønnen er større end 20 kr.

22 Enhederne på variablerne: Hjemmeopgave Hvad sker der, hvis man skifter enhed på den afhængige variabel? Hvad sker der med estimaterne, hvis timelønnen omregnes til kr. (dvs. timeløn = timeløn 1980 *2.155 )? Hvad sker der med R 2? Hvad sker der, hvis den forklarende variabel skifter enhed? Hvad sker der med estimaterne, hvis uddannelse opgøres i antal måneder i stedet for år? Hvad sker der med R 2?

23 NB er fra denne forelæsning At skelne mellem Den simple lineære regressionsligning Og den regneregel, vi bruger til at opnå et estimat af ligningens koefficienter (her: OLS estimatoren). At skelne mellem Statistiske antagelser om populationen (fx Eu ( x ) = 0) Og de mekaniske egenskaber som fremkommer ved at anvende en given regneregel (her: OLS estimatoren) på data i en given stikprøve. x De forklarende variabler opfattes som udgangspunkt som stokastiske variabler

24 Næste gang Fredag om kapitel Husk: Hjemmeopgaven om enheder på variablerne. Øvelserne starter i denne uge: Læs Ugeseddel 1 om estimation af Engelkurver (ugeseddel og data ligger på hjemmesiden). Læs Varian Intermediate Microeconomics kap Medbring Elementær indføring i SAS og Statistik med SAS