Bestemmelse af smeltevarme for et N-partikelsystem
|
|
- Rikke Lund
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Bestemmelse af smeltevarme for et N-partikelsystem Formål At foretage en computer simulering af et N partikelsystem med henblik på at bestemme smeltevarmen fus H for faseovergangen fra krystal til væske. Indledning Vi betragter et simpelt 2-dimensionalt lag af N partikler, hvis begyndelseskonfiguration svarer til et tridiagonal krystalgitter som vist i Fig. 1a. I denne øvelse, vil vi lade den potentielle energi mellem de enkelte partikler (se [3], Fig ) være beskrevet ved et simpelt Lennard-Jones potential V (r) [ (σ ) 12 ( σ ) ] 6 V (r) = 4ǫ. (1) r r Den generelle form af Lennard-Jones potentialet V (r) er angivet i Fig. 1b. Den anden virialkoefficient B(T) for en række atomer og molekyler kan beregnes ud fra kendskab til deres par-potentiale V (r) (se f.eks. [3], 18.5, p. 637). Ved at justere ǫ og σ i Ligning (1) kan man opnå en perfekt overenstemmelse mellem beregnede og eksperimentelt bestemte værdier for B(T). 3 2 (a) (b) 1 Figur 1: 2-Dimensionalt krystal med partikler fordelt i en tridiagonal gitterstruktur (a). Afstandene fra en partikel (hvid) til dennes tre nærmeste naboklasser (grå) er angivet. Lennard-Jones potentiale V (r) (b). Bemærk at V (r) antager et minimum for r = σ2 1/6 svarende til V (r) = ǫ. 2-dimensionale lag af atomer eller molekyler opfører sig i mange henseender som 3- dimensionale systemer, og har i lighed med disse en stabil gas-, væske-, og krystaltilstand afhængig af lagets tryk, areal og temperatur. Begyndelsestilstanden vist i Fig. 1a svarer til en 2-dimensional krystallinsk tilstand. Denne er dog ikke nødvendigvis en 1
2 (ii) (i) (iii) Figur 2: Fasediagram [1] for et stof der kontraherer under frysning angivet ved en såkaldt pv T -flade (i). Faseovergangene langs med linien angivet med punkterne (a)-(f) finder sted langs en såkaldt isoterm; her undergår systemet en række tryk- og volumenændringer ved konstant temperatur, som vist i projektionen på pv -plannet i (ii) (svarende til Fig og 1.17 i [3]). I øvelsen betragtes den isoterme faseovergang fra en krystal- til en væskefase svarende til overgangen fra punkterne (e) til (d). Projektionen af pv T -fladen fra (i) på pt -plannet er vist i (iii) (se Fig.4.4 i [3]). stabil tilstand, idet systemet afhængigt af trykket p, arealet A og temperaturen T kan bevæge sig mod en tilstand med enten gas- eller væskeegenskaber. Den eller de stabile tilstande et system befinder sig i for givne værdier af p, T og A kan bekvemt angives i et såkaldt fasediagram. Et eksempel herpå for et tilsvarende 3-dimensionalt system er vist i Fig. 2. Betragter vi punktet f i Fig. 2a, befinder systemet sig her i en stabil krystallinsk tilstand. Øges nu systemets volumen isotermt langs med linien (f)-(e), når vi et punkt, hvor den krystallinske tilstand nu kun er marginalt stabil, idet stof vil begynde at smelte hvis voluminet forøges yderligere. Langs linien (e)-(d) vil systemet bestå af både en krystal- og en væskefase; når voluminet forøges vil mere og mere stof smelte, indtil punktet (d) nås, hvor hele systemet nu befinder sig på flydende form. Forholdet mellem 2
3 stofmængderne af krystal og væskefasen langs (e)-(d) vil være bestemt af den såkaldte vægtstangsregel (se [3], p. 181). Bemærk at i punktet (e) vil den flydende fase også være marginalt stabil, idet stof nu vil krystallisere, hvis voluminet formindskes. Betegner vi nu systemets indre energi i de to punkter (e) og (d) med henholdvist U e og U d, vil ændringen fus U i den indre energi for smelteprocessen altså være givet som fus U = U d U e. (2) Da vi her som nævnt betragter et 2-dimensionalt system, skal vi i stedet for systemets volumen betragte dettes areal A. For et sådant system er entalpien H defineret som H = U + pa, (3) hvor A angiver systemets areal. Tilvæksten i entalpi for smelteprocessen ved konstant tryk p vil derfor være givet som fus H = fus U + p fus A. (4) Ved konstant tryk gælder H = q, hvor q angiver systemets tilførte varme. Tilvæksten fus H svarer altså til smeltevarmen, når faseovergangen foregår ved konstant tryk. I den følgende øvelse vil vi anvende en såkaldt molecular dynamics simulering til at bestemme fus H for et system bestående af 400 partikler. Ved at bestemme en række sammenhængende ligevægtsværdier for systemets tryk p og volumen A ved konstant temperatur, kan smeltevarmen fus H findes udfra Ligning (4). Da vi ikke arbejder med uendeligt store systemer og da systemet i princippet skal bruge uendelig lang tid for at nå til ligevægt, vil den observerede sammenhæng mellem p og A afvige noget fra Fig. 2. Et typisk pa-plot samt bestemmelsen af fus U ud fra dette er vist i Fig. 3. Numeriske beregninger I øvelsen benyttes en såkaldt Molecular Dynamics algoritme [2] at bestemme de N partiklers bevægelse, således at disse opfylder Newtons klassisk-mekaniske love. Algoritmen der anvendes er den såkaldte Leap-frog algoritme [2] svarende til Hamiltons formulering r i (t + t) = r i (t) + tv i (t + t/2), (5) v i (t + t/2) = v i (t t/2) + t(f i (t) η(t)v i (t t/2)), (6) η(t + t) = η(t) + a(k(t) K eq ), (7) hvorr i (t) ogv i (t) er hhv. den i te partikels position og hastighed. VektorenF i er kraften på den i te partikel givet ved F i (t) = V (r ij (t)). (8) r i 3 j i
4 p U e U d l A e A d A Figur 3: Typisk sammenhæng mellem tryk og volumen for en simuleret smelteproces. Udfra vendetangenten (hvid cirkel) bestemmes kurvens to skæringspunkter (sorte cirkler) med isobaren l. Udfra værdierne af den indre energi, U e og U d, i de to skæringspunkter kan smeltevarmen bestemmes udfra Ligning (2) og (4). Termostatens friktion η(t), er proportional med forskellen mellem den øjeblikkelige kinetiske energi, K(t), og den (middel) kinetiske energi, K eq, af partikler med temperaturen T. Ud fra kendskab til (start) værdierne af v i (t t/2), r i (t) og friktionsstyrken a kan værdierne v i (t+ t/2) og r i (t+ t) beregnes. Længderne er i enheder af σ og energien i enheder af ǫ svarende til parametrene i Lennard-Jones potentialet (se Fig. 1b). I simuleringen er længder givet i enheder af σ, energi i enheder af ǫ og tid i enheder af σ m/ǫ, hvor σ og ǫ er parametrene i Lennard-Jones potentialet(1) og m er massen af en partikel. For simple molekyler, som argon eller oxygen, er et tidsskridt t af størrelsesordnen t s. For at opnå ligevægt i dette tilfælde, skal systemet udvikles over mindst 10 4 tidsstep svarende til 0.1ns. Bemærk, at den energi, der bestemmes under simuleringen, angiver energien pr. partikel i enheder af ǫ. Øvelsesgang Til øvelsen er på forhånd fremstillet en grafisk brugerflade (GUI) ved hjælp af C++ toolkittet Qt. Ved hjælp af GUI en kan inputværdier for den enkelte simulering indtastes og ændres direkte. Endvidere vil systemets tilstand blive opdateret løbende og vist grafisk under selve simuleringsforløbet. De enkelte vindueselementer i brugerfladen er vist og forklaret i Fig. 4. 4
5 For at kunne anvende GUI en skal en række environment variable være defineret i din unix shell. Filen du finder under punktet Shell variable på kursets hjemmeside tilføjes nu til sidst i filen.cshrc der ligger i dit hjemmekatalog på fys.ku.dk. Variablene sættes dernæst ved at udføre kommandoen source.cshrc fra kommandolinien. Du skal stå i dit hjemmekatalog når kommandoen udføres. Når du logger ind på fys.ku.dk næste gang, vil de nødvendige variable automatisk blive sat. Simuleringsprogrammet phase kan nu køres fra kommandolinien ved at skrive phase & GUI en er bedst at arbejde med, hvis en ordentlig font og fontstørrelse er valgt. Du kan vælge en passende font ved at skrive qtconfig & og her f.eks. vælge fonten Helvetica i punktstørrelse Husk at gemme dine ændringer under menubjælken File->Save. Test programmet og gør dig fortrolig med dets interface. En detaljeret beskrivelse af GUI funktionerne er angivet i Fig. 4. Udfør en simulering hvor densiteten ρ varieres fra 0.92 til 0.80 mens temperaturen holdes konstant på T = 1.0. Simuleringen udføres i 50 skridt (Steps variabel i GUI) og 1000 iterationer (Iterations variabel), hvoraf kun de sidste 800 benyttes (Use variabel). Husk at knappen On skal være valg. Simuleringen startes dernæst ved at trykke på knappen start. Når simuleringen er nået til ende, kan tilvæksten i den indre energi fus U bestemmes ved at udvælge den vandrette vendetangent i datasættet, der svarer til opførslen vist i Fig. 3, og venstreklikke på denne med musen. Gem til sidst plottet som en PDF fil ved at trykke på knappen Phase plot. 5
6 Opgaver 1. Benyt den bestemte værdi af fus U fra simuleringen til at finde fus H. 2. For argon har man bestemt følgende værdier for σ og ǫ σ = Å = m, (9) ǫ = J (pr. partikel). (10) Benyt disse oplysninger til at udregne fus U og fus H for argon således at disse angives i enheder af kj/mol. 3. Udfør en analog simulering, men nu således at ρ varieres fra 0.80 til 0.92 mens temperaturen holdes konstant ved T = 1. Den bestemte faseovergang udviser ikke et ligeså tydeligt spring som i den første simulering. Forklar denne forskel. 4. Hvilket fortegn har fus U? Forklar kvalitativt energiforskellen mellem krystalog væskefasen, idet egenskaberne for Lennard-Jones potentialet (1) tages med i betragtning. 5. Vis at Lennard-Jones potentialet (1) antager et minimum i r = σ2 1/6. Hvorfor svarer dette til ligevægtsafstanden for et partikelpar? Evaluering Der afleveres en skriftlig rapport over øvelsen, hvor dennes elementer (formål, teori og øvelsesgang) beskrives. Opgaverne 1-5 besvares. Litteratur [1] W. J. Moore. Physical Chemistry (Longman, New Jersey, 1972), fifth edition. [2] S. Toxværd. Algorithms for canonical dynamics simulations. Molec. Phys, 72, , [3] P. W. Atkins. Atkins Physical Chemistry (Oxford University Press, Oxford, 2006), 8th edition. 6
7 Phase: Hovedvindue. Her sættes temperaturen T, densiteten ρ. Tryk Retur før ændringerne er aktive. Antallet af iterationer, samt antal iterationer før den egentlige simluering, sættes via de to tællere. Simuleringen startes/afbrydes ved tryk på Start/Stop. Init benyttes til at initialisere en ny simulering. Brug Plot phase til at gemme et PDF plot af den bestemte faseovergang. En enkelt partikel kan highlightes ved at vælge dennes index i Highlight; Længden af dennes path sættes med variablen Markers. Hele programmet afbrydes ved tryk på Quit. PhasePlot: Viser sammenhængen mellem de bestemte værdier for arealel A og trykket p. Den præcise faseovergang bestemmes ved at venstreklikke med musen på punktet med vendetangent. ParticleBox: Her vises de N partiklers øjeblikkelige rumlige placering. Figur 4: Beskrivelse af de enkelte vindueselementer i den GUI, der skal anvendes til simuleringen. 7
1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre.
NATURVIDENSKABELIG GRUNDUDDANNELSE Københavns Universitet, 6. april, 2011, Skriftlig prøve Fysik 3 / Termodynamik Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er
Læs merePARTIELT MOLÆRT VOLUMEN
KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen
Læs mereFYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve
FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er tilladt. Der må skrives med blyant.
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereKlasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010
HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 31. maj 2016 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 27. maj 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 2. juni 2017 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Fredag d. 2. juni 2017 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Læs mereStatistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden. Entropien er det centrale begreb i termodynamikkens anden hovedsætning (TII):
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereFørste og anden hovedsætning kombineret
Statistisk mekanik 3 Side 1 af 12 Første og anden hovedsætning kombineret I dette afsnit udledes ved kombination af I og II en række udtryk, som senere skal vise sig nyttige. Ved at kombinere udtryk (2.27)
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 8. juni 2018 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Fredag d. 8. juni 2018 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 8. august 2013 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 8. august 2013 kl. 9 00 13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereForløbet Stoffernes opbygning behandler stofs faseovergange, tilstandsformer, kogepunkt og smeltepunkt.
Stoffernes opbygning Niveau: 7. klasse Varighed: 5 lektioner Præsentation: Forløbet Stoffernes opbygning behandler stofs faseovergange, tilstandsformer, kogepunkt og smeltepunkt. Det er vigtigt overfor
Læs mereKemiF2 laboratorieøvelser 2008 Øvelse 3 v.1.4 HOMOGEN KATALYSE. Indledning
KemiF2 laboratorieøvelser 2008 Øvelse 3 v.1.4 HOMOGEN KATALYSE Indledning Overalt i kemi, biokemi og miljøkemi støder man på kinetiske problemer. Selvom en reaktion sagtens kan forløbe ud fra en termodynamisk
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereStatistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden i et system. Da der er mange flere uordnede (tilfældigt ordnede) mikrotilstande
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015-juni 2017 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX, Ernæringsassistent
Læs mereDer hænger 4 lodder i et fælles hul på hver side af en vægtstang. Hvad kan du sige med hensyn til ligevægt?:
1 At skabe ligevægt Der er flere måder hvorpå man med lodder som hænger i et fælles hul på hver sin side af en vægtstang kan få den til at balancere - at være i ligevægt. Prøv dig frem og angiv hvilke
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 23. august 2012 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 23. august 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og
Læs mereGennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 7. august 2014 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 7. august 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereNumeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk
Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen
Læs mere2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.
2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2015 Institution HTX Vibenhus Københavns Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereSkriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den fra 9.00 til Alle hjælpemidler er tilladte. Undtaget er dog net-opkoblede computere.
Skriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den 18-01-2007 fra 900 til 1300 lle hjælpemidler er tilladte Undtaget er dog net-opkoblede computere Opgave 1: I en beholder med volumen V er der rgon-atomer i gasfasen,
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereHTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering
HTX, RTG Rumlige Figurer Matematik og programmering Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason Morten Bo Kofoed Nielsen & Michael Jokil 10-10-2011 In this assignment we have been working with
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. 25. August 2011 kl. 9 00-13 00
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik 25. August 2011 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis), rigtigheden
Læs mereIDAP manual Emission
IDAP manual Emission Dato: 08-06-2005 16:32:35 Indhold INDHOLD... 1 1 EMISSION... 2 1.1 KURVER... 2 1.2 RAPPORTER... 5 1.3 DATA REDIGERING... 6 1.3.1 Masse redigering... 7 1.3.2 Enkelt redigering... 10
Læs mereAPPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A
Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A Termin August 2014 Juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Rybners HTX HTX Fysik A Jesper Pedersen (JEPE) Hold 2.A Oversigt over planlagte undervisningsforløb
Læs mereANALOG vs DIGITAL. figur 1: fotografi af en blyantsstreg. figur 2: en linje beskrevet som formel er omsat til pixels
ANALOG vs DIGITAL Ordet digitalt bliver brugt ofte indenfor skitsering. Definitionen af digitalt er en elektronisk teknologi der genererer, gemmer, og processerer data ved at benytte to tilstande: positiv
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Fysik B - 2.g
Undervisningsbeskrivelse Fysik B - 2.g Termin August 2014 Juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Rybners HTX Htx Fysik B Tom Løgstrup (TL) Hold 2.b Oversigt over planlagte undervisningsforløb
Læs mereKinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:
K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereBernoulli s lov. Med eksempler fra Hydrodynamik og aerodynamik. Indhold
Bernoulli s lov Med eksempler fra Indhold 1. Indledning...1 2. Strømning i væsker...1 3. Bernoulli s lov...2 4. Tømning af en beholder via en hane i bunden...4 Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2008 Bernoulli
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 21. september 2009 Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Øvelse nr. 10: Solen vor nærmeste stjerne Solens masse-lysstyrkeforhold meget stort. Det vil sige, at der
Læs mereAtomets bestanddele. Indledning. Atomer. Atomets bestanddele
Atomets bestanddele Indledning Mennesket har i tusinder af år interesseret sig for, hvordan forskellige stoffer er sammensat I oldtiden mente man, at alle stoffer kunne deles i blot fire elementer eller
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereOpstilling af model ved hjælp af differentialkvotient
Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der
Læs mereTermodynamikkens første hovedsætning
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 13 Termodynamikkens første hovedsætning Inden for termodynamikken kan energi overføres på to måder: I form af varme Q: Overførsel af atomar/molekylær bevægelsesenergi på
Læs mereKapitel 9: Netværksmodeller
Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter
Læs mereI dag. Hvad er principperne i strukturdannelse i Universet og hvordan kan vi simulere det?
Galakser 2014 F11 1 I dag Hvad er principperne i strukturdannelse i Universet og hvordan kan vi simulere det? Hvad fortæller simuleringerne os er der nogen forskelle/problemer i forhold hvad der observeres?
Læs mereØvre rand ilt. Den målte variation, er antaget at være gældende på randen i en given periode før og efter målingerne er foretaget.
MIKE 11 model til beskrivelse af iltvariation i Østerå Formål Formålet med denne model er at blive i stand til at beskrive den naturlige iltvariation over døgnet i Østerå. Til beskrivelse af denne er der
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereNewtons afkølingslov
Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden
Læs merePå opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen
Læs mereNetLogo-simuleringen. Simuleringer og fysiske modeller (henfaldsloven)
NetLogo-simuleringen Simuleringer og fysiske modeller (henfaldsloven) Hvad er en simulering? For at kunne arbejde med en simulering er der to vigtige elementer, man må have en grundlæggende forståelse
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereMålet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt.
Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at beskrive nogle algoritmer og datastrukturer relateret til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer
Læs mereDansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve. Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar. Prøvetid: 3 timer
Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 6 opgaver med tilsammen 17 spørgsmål. Svarene på de stillede
Læs mereMålet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt.
Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer (2. semester). Mål
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereJuly 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook
Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at
Læs mereForklaring. Størrelsesforhold i biologien DIFFUSION. Biofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8) Mindste organisme: 0.3 :m = m (mycoplasma)
Størrelsesforhold i biologien Forklaring Mindste organisme: 0.3 :m = 3 10-7 m (mycoplasma) Største organisme: 3 10 1 m (blåhval) Største Organismer : 10 Mindste = Enkelte celler: 0.3 :m - 3 :m Største
Læs mere- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Simulering af den asymmetriske dumbbell model Dan Elmkvist Albrechtsen Marts 2011 nr. 479-2011 Roskilde University, Department of Science, Systems and Models, IMFUFA P.O.
Læs mereKapitel 9: Netværksmodeller
Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en JUDI bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereDATALOGI 1E. Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1E Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004 Opgaverne vægtes i forhold til tidsangivelsen herunder, og hver opgaves besvarelse bedømmes
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereBiofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8)
Størrelsesforhold i biologien Forklaring Mindste organisme:.3 :m = 3-7 m (mycoplasma) Største organisme: 3 m (blåhval) Største Organismer : Mindste = Enkelte celler:.3 :m - 3 :m Største Celler : Mindste
Læs mereViditronic NDVR Quick Guide. Ver. 2.0
Viditronic NDVR Quick Guide Ver. 2.0 1 Indholdsfortegnelse 1. HOVEDMENU 3 1.1 START 5 1.2 AKTIVITETSINDIKATOR: 7 1.3 INFORMATIONS VINDUE: 7 1.4 PTZ KAMERA KONTROL: 7 1.5 SKÆRMMENU 8 1.5.1 AKTIVER BEVÆGELSE:
Læs mereScratch. - introduktionshæfte
Scratch - introduktionshæfte Opret bruger 2 Det første, du skal gøre er at oprette dig som bruger, så dine projekter bliver gemt. Gå ind på scratch.mit.edu/ Vælg knappen Meld dig ind i Scratch i den øverste
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereBevægelse med luftmodstand
SRP 4. Bevægelse med luftmodstand. Bevægelse med luftmodstand Banekurve beskrevet af Albert af Sachsen. Kilde: Fysikhistorie.dk. SRP 4. Bevægelse med luftmodstand. side 2/8 Problemformulering At bestemme
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereIDAP manual Analog modul
IDAP manual Analog modul Dato: 15-06-2005 11:01:06 Indledning Til at arbejde med opsamlede og lagrede analoge data i IDAP portalen, findes en række funktions områder som brugeren kan anvende. Disse områder
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2019 - juni 2021 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 -juni 2016 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Gastro-science
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereKommentarer til øvelser i basalkursus, 2. uge
Kommentarer til øvelser i basalkursus, 2. uge Opgave 2. Vi betragter målinger af hjertevægt (i g) og total kropsvægt (målt i kg) for 10 normale mænd og 11 mænd med hjertesvigt. Målingerne er taget ved
Læs mereModeldannelse og simulering
Modeldannelse og simulering Tom S. Pedersen, Palle Andersen tom@es.aau.dk pa@es.aau.dk Aalborg Universitet, Institut for Elektroniske Systemer Automation and Control Modeldannelse og simulering p. 1/21
Læs mereSpm. 1.: Hvis den totale koncentration af monomer betegnes med CT hvad er så sammenhængen mellem CT, [D] og [M]?
DNA-smeltetemperaturbestemmelse KemiF2-2008 DNA-smeltetemperaturbestemmelse Introduktion Oligonucleotider er ofte benyttet til at holde nanopartikler sammen med hinanden. Den ene enkeltstreng er kovalent
Læs mereDokumentation - Del 3 Måling og modellering af turbulent strømning og partikelspredning
Dokumentation - Del 3 Måling og modellering af turbulent strømning og partikelspredning Fremstilling af partikler Udgangspunktet for fremstilling af partikler er at fremstille gelkugler med en massefylde
Læs mereSådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler
Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den
Læs mereRøntgenspektrum fra anode
Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af
Læs mereTheory Danish (Denmark) Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point)
Q2-1 Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner i den separate konvolut før du starter på opgaven. Introduktion Bi-stabile ikke-lineære halvlederkomponenter
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 11. august 2015 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 11. august 2015 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og
Læs mere