Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
|
|
- Magdalene Hald
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f (b) = 0, så findes der et ξ (a, b) så f (ξ) = 0. BEVIS: Hvis f (x) = 0 for alle x (a, b) er påstanden indlysende rigtig. Så lad os antage at der findes et x så f (x) 0. Ved eventuelt at erstatte f med f kan vi sikre os at der findes et x så f (x) > 0. Den kontinuerte funktion f antager sit maksimum på den kompakte mængde [a, b], og de overvejelser vi har gjort indtil nu sikrer at dette maksimum ikke antages i randpunkterne a og b. Altså må det antages i det åbne interval (a, b). Og sådan et maksimumspunkt er nødvendigvis stationært. Lemma 3.2 (Udvidet Rolles sætning) Lad f : (a, b) R være en n gange differentiabel funktion. Lad x 0, x (a, b) være to forskellige punkter, og antag at f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 og f (x) = 0. Der findes da et punkt ξ mellem x 0 og x så f (n) (ξ) = 0. 37
2 38 Kapitel 3. Taylors formel BEMÆRK: når vi siger at ξ ligger mellem x 0 og x, så mener vi at ξ (x 0, x) hvis x 0 < x, mens vi mener ξ (x, x 0 ) hvis x < x 0. Pointen med formuleringen er at vi undlader at sondre mellem de to situationer. BEVIS: Lad os antage at x 0 < x. Rolles sætning fortælle at der findes et ξ 1 (x 0, x) hvor f (ξ 1 ) = 0. Bruges Rolles sætning på funktionen f og punkterne x 0 og ξ 1, ser vi at der findes et punkt ξ 2 (x 0, ξ 1 ) (x 0, x) så f (ξ 2 ) = 0. Og sådan kan vi fortsætte indtil vi har fundet et ξ n (x 0, ξ n 1 ) (x 0, x) sådan at f (n) (ξ n ) = 0. Man kan gennemføre et helt tilsvarende argument hvis x 0 og x ligger i den modsatte rækkefølge, altså hvis x < x 0. Sætning 3.3 (Taylors formel) Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) f (n 1) (x 0 ) (n 1)! (x x 0 ) n 1 + f (n) (ξ) n! (x x 0 ) n. (3.1) BEMÆRK: Formlen (3.1) siger at f (x) kan regnes ud som det såkaldte Taylorpolynomimum for f af orden n 1 med udviklingspunkt x 0, regnet ud i x, plus et restled. For så vidt er denne påstand triviel, for man kan altid udråbe differensen mellem f (x) og Taylorpolynomiet til at være et restled. Det egentlige indhold i sætningen er således den specifikke form af restleddet. Denne form kaldes Lagranges restled. En anden populær variant af Taylors formel siger at f (x) = f (x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f (n 1) (x 0 ) (n 1)! x (x x 0 ) n 1 f (n) (t) + x 0 (n 1)! (x t)n 1 dt, der kun adskiller sig fra (3.1) ved formen af restleddet. For de fleste formål er det lige meget hvilken repræsentation man har af restleddet, men nogle gange gør det en forskel, og da er Lagranges restled ofte det mest brugbare. BEVIS: Bemærk at polynomiet P(t) = n 1 k=0 f (k) (x 0 ) k! (t x 0 ) k
3 3.1. Klassiske sætninger i en dimension 39 opfylder at P (i) (t) = Specielt ser vi derfor at n 1 k=i f (k) (x 0 ) (k i)! (t x 0) k i for i = 1, 2,..., n 1. P(x 0 ) = f (x 0 ), P (x 0 ) = f (x 0 ),..., P (n 1) (x 0 ) = f (n 1) (x 0 ). Faktisk er P det eneste (n 1) te grads polynomium med denne egenskab. Lad os nu konstruere hjælpefunktionen φ(t) = f (t) P(t) K(t x 0 ) n, hvor vi retter K sådan ind at φ(x) = 0 - det vil sige at vi bruger Bemærk at K = f (x) P(x) (x x 0 ) n. (3.2) φ(x 0 ) = φ (x 0 ) =... = φ (n 1) (x 0 ) = 0. Derfor siger den udvidede Rolles sætning at der findes et ξ mellem x 0 og x så φ (n) (ξ) = 0. Da P er et polynomium af grad n 1 er den n te afledte identisk nul, og konklusionen er derfor at 0 = φ (n) (ξ) = f (n) (ξ) K n!. (3.3) Kombineres (3.2) og (3.3) har vi fundet et mellempunkt ξ med den egenskab at f (n) (ξ) = n! og denne relation omformes let til (3.1). f (x) P(x) (x x 0 ) n, Eksempel 3.4 Hvis f : (a, b) R er differentiabel, kan vi bruge Taylors formel med n = 1 til at konkludere at der for x 0, x (a, b) findes et mellempunkt ξ så f (x) = f (x 0 ) + f (ξ) (x x 0 ). 1! Det omformes let til f (ξ) = f (x) f (x 0). x x 0 I denne form er resultatet kendt af enhver gymnasieelev som middelværdisætningen. Middelværdisætningen er nøglen til oversættelsen mellem monotoniforholdene for f på den ene side og fortegnsforholdene for f på den anden.
4 40 Kapitel 3. Taylors formel 3.2 Flerdimensionale varianter Sætning 3.5 (Middelværdisætningen) Lad U X være en konveks delmængde af et normeret vektorrum (f.eks. en kugle), og lad Y være udstyret med et indre produkt. Hvis f : U Y er differentiabel i alle punkter, findes for hvert x 1, x 2 U og y Y et punkt ξ U så f (x2 ), y = f (x 1 ), y + D f (ξ) (x 2 x 1 ), y. (3.4) BEMÆRK: Et hurtigt gæt på hvordan middelværdisætningen kunne tage sig ud, ville lyde på at vi kunne finde et mellempunkt ξ, så f (x 2 ) = f (x 1 ) + D f (ξ) (x 2 x 1 ). Men denne formel er desværre ikke rigtig. Det er derfor vi i (3.4) tvinges til at tage indre produkt med en fast vektor y: mellempunktet ξ afhænger ikke blot af x 1 og x 2, men også at hvilket y, vi tager indre produkt med! Medmindre selvfølgelig X og/eller Y er etdimensionale: i den situation vil et ξ der passer for et enkelt y også passe for de andre. BEVIS: Betragt funktionen g : R R givet ved g(t) = f (t x 2 + (1 t) x 1 ), y. Funtionen er næppe defineret for alle t, men eftersom både x 1 og x 2 ligger i U, der er åben og konveks, er g i hvert fald defineret for t ( ɛ, 1 + ɛ) for et passende ɛ > 0. Vi ser at vi kan skrive g = A f γ, hvor γ : R X er den affine afbildning γ(t) = t x 2 + (1 t) x 1 og hvor A : Y R er den lineære afbildning Ay = y, y. Kædereglen sikrer at g er differentiabel i ( ɛ, 1 + ɛ), og at g (t) = D(g)(t) 1 = A D f ( γ(t) ) Dγ(t) 1 = D f ( γ(t) ) (x 2 x 1 ), y. Den klassiske reelle middelværdisætning fortæller at g(1) = g(0) + g (t ) for et passende mellempunkt t (0, 1). Altså er f (x2 ), y = f (x 1 ), y + D f ( γ(t ) ) (x 2 x 1 ), y. Hvilket viser at (3.4) er opfyldt med ξ = γ(t ).
5 3.2. Flerdimensionale varianter 41 Sætning 3.6 (Taylors formel) Lad U X være en konveks delmængde af et normeret vektorrum (f.eks. en kugle). Hvis f : U R er to gange differentiabel i alle punkter, så findes for x 1, x 2 U et mellempunkt ξ U så f (x 2 ) = f (x 1 ) + D f (x 1 ) (x 2 x 1 ) D2 f (ξ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ). BEMÆRK: funktionen i denne formulering af Taylors formel er antaget at have reelle værdier. Har den værdier i et mere generelt rum Y, må vi tage indre produkt med en fast Y-vektor som i sætning 3.5, og formlen får da useeendet f (x2 ), y = f (x 1 ), y + D f (x 1 ) (x 2 x 1 ), y + 1 D 2 f (ξ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ), y. 2 Man skal være opmærksom på at mellempunktet ξ ikke blot afhænger af x 1 og x 2, men også af det y man tager indre produkt med. BEVIS: Betragt funktionen g : R R givet ved g(t) = f (t x 2 + (1 t) x 1 ). Funktionen er næppe defineret for alle t, men vi kan være sikre på at den er defineret for t ( ɛ, 1 + ɛ) for et passende lille ɛ > 0. Vi ser at g = f γ hvor γ : R X er den affine funktion γ(y) = t x 2 + (1 t) x 1, og 2. ordens kædereglen fortæller derfor at g er to gange differentiabel i ( ɛ, 1 + ɛ). Kædreglens grundversion fortæller at g (t) = Dg(t) 1 = D f ( γ(t) ) Dγ(t) 1 = D f ( γ(t) ) (x 2 x 1 ), og 2. ordens kædereglen fortæller - når vi udnytter at D 2 γ = 0 - at g (t) = D 2 g(t) (1, 1) = D 2 f ( γ(t) ) (Dγ(t) 1, Dγ 1 ) = D 2 f ( γ(t) ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ). Den reelle version af Taylors formel giver at g(1) = g(0) + g (0) g (t ) for et passende mellempunkt t (0, 1). Altså er f (x 2 ) = f (x 1 ) + D f (x 1 ) (x 2 x 1 ) D2 f ( γ(t ) ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ). Hvilket viser det ønskede resultat, med ξ = γ(t ).
6 42 Kapitel 3. Taylors formel En symmetrisk bilinearform B : X X R siges at være positivt semidefinit, skrevet B 0, hvis B(x, x) 0 for alle x X, og positivt definit, skrevet B > 0, hvis B(x, x) > 0 for alle x X, x 0. For en symmetrisk bilinearform B A på R k, repræsenteret af en matrix A, kan disse begrebet formuleres i termer af A s egenværdier: B A er positivt semidefinit hvis alle A s egenværdier er ikke-negative, og B A er positivt definit hvis alle A s egenværdier er strengt positive. Sætning 3.7 Lad U X være en konveks delmængde af et normeret vektorrum, og lad f : U R være en afbildning, der er to gange differentiabel i alle punkter, og som opfylder at D 2 f (x) > 0 for alle x U. Hvis x 0 U er et stationært punkt, altså opfylder at D f (x 0 ) = 0, så gælder der at f (x) > f (x 0 ) for alle x U \ {x 0 }. BEVIS: Taylors formel med udviklingspunkt x 0 givet at for x U \ {x 0 } vil f (x) = f (x 0 ) + D f (x 0 ) (x x 0 ) D2 f (ξ) (x x 0, x x 0 ) = f (x 0 ) D2 f (ξ) (x x 0, x x 0 ) for et passende mellempunkt ξ U. Da D 2 f (ξ) er positivt definit, vil D 2 f (ξ) (x x 0, x x 0 ) > 0 og derfor vil f (x) > f (x 0 ) som ønsket. Lemma 3.8 Lad X være et normeret vektorrum, og lad F : X X R være en symmetrisk og positivt definit bilinearform. Der finde et ɛ > 0 sådan at det for alle symmetriske bilinearformer G : X X R gælder at hvis G F < ɛ, så må G være positivt definit.
7 3.2. Flerdimensionale varianter 43 BEVIS: Da F er positivt definit, er F(x, x) > 0 for alle x X med x = 1. Idet {x x = 1} er enkompakt mængde og x F(x, x) er kontinuert, må funktionen antage et minimum over den kompakte mængde. Dette minimum er ikke nul, og der findes derfor et λ > 0 sådan at Men dermed er F(x, x) λ for alle x X med x = 1. ( ) x F(x, x) = x 2 F x, x λ x 2 x for alle x 0 - og såmænd også for x = 0, i det begge sider af uligheden i så fald er nul. Hvis F G < λ 2, så er G(x, x) = F(x, x) + G(x, x) F(x, x) λ x 2 F G x 2 λ 2 x 2 for alle x X, hvilket viser at G er positivt definit. Man kan kombinere disse resultater til en betingelse, der sikrer at et stationært punkt for en reel funktion er et lokalt minimum: Korollar 3.9 Lad U X være en åben delmængde af et normeret vektorrum, og lad f : U R være en C 2 -afbildning. Hvis x 0 U opfylder at D f (x 0 ) = 0, D 2 f (x 0 ) > 0, så findes der en omegn V U af x 0, sådan at f (x) > f (x 0 ) for alle x V \ {x 0 }. BEVIS: Eftersom D 2 f (x 0 ) > 0 findes der et ɛ > 0 så alle symmetriske bilinerformer, der ligger tættere end ɛ på D 2 f (x 0 ) også er positivt definitte. Og eftersom f er C 2, findes der en omegn V af x 0 sådan at D 2 f (x) D 2 f (x 0 ) < ɛ for alle x V. I særdeleshed vil D 2 f (x) > 0 for alle x V. Sådan som vi har formuleret os, kan vi ikke være sikre på at V er konveks. Men det kan vi opnå ved at gøre V mindre - vi kan f.eks. gøre V til en lille kugle om x 0. Når vi er sikre på at V er konveks, så vil en henvisning til sætning 3.7 give det ønskede.
8 44 Kapitel 3. Taylors formel
Klassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereDifferentation i vektorrum
Kapitel 3 Differentation i vektorrum LadXogYvære normerede vektorrum. Vi vil gå ud fra at de er endeligdimensionale, skønt meget af hvad vi siger giver god mening også i uendeligdimensionale rum. Lad U
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereTrykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori
9. januar 2005 Stat 2A / EH Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2A-noterne indtil nu. 9 1 Forkert: x C x ro alle
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereStørste- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereDifferentation i vektorrum
Kapitel 2 Differentation i vektorrum LadXogYvære normerede vektorrum. Vi vil gå ud fra at de er endeligdimensionale, skønt meget af hvad vi siger giver god mening også i uendeligdimensionale rum. Lad U
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereExponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereTaylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable
Taylorpolynomier og -rækker samt lokale ekstrema for funktioner af flere variable Morten Grud Rasmussen 1. marts 2016 1 Taylors Sætning for funktioner af én variabel Sætning 1.1 (Taylors Sætning med restled).
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereMatematisk optimering. - Iterative metoder
Matematisk optimering - Iterative metoder Aalborg Universitet Institut for Matematiske fag Gruppe G3-112 MAT3 Efteråret 2012 AALBORG UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG SYNOPSIS: TITEL: Matematisk
Læs mereTaylorpolynomier og Taylors sætning
og Taylors sætning 10. november 2008 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet
Læs mereLokal estimationsteori
Kapitel 5 Lokal estimationsteori 5.1 Konsistens Vores første delmål er at sikre at regularitetsbetingelserne medfører at den reskalerede konkordanskombinant med meget stor sandsynlighed har en positivt
Læs mereEkstrema, Teori og Praksis
Kasper H. Christensen Andreas D. Christoffersen Christoffer Gøthgen Stine M. Jensen Kenneth V. L. Offersen Vini M. Olsen Ekstrema, Teori og Praksis - Ikke-lineæar optimeringsproblemer Vejleder: Martin
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereAffine og konvekse mængder
Kapitel 3 Affine og konvekse mængder 3.1 Affine mænger Definition 3.1 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer affin hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 R med λ 1 +λ 2 = 1. (3.1) Udtrykket
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereEkstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering
Ekstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering Gruppe G3-106 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag 20. december 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg
Læs mere[SS] Optimal control theory with economic applications, af Atle Seierstad og Knut Sydsæter; North Holland 1987.
OPTIMERING 6. september 2007 Oversigt nr. 1 Emnet for kurset i optimering vil her i efteråret 2007 blive variationsregning og optimal kontrolteori. Hensigten er at I skal stifte bekendtskab med disse metoder
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereGRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002
GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger,
Læs mereTaylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier
. 17. april 008 for I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for I Givet
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereSelvreference i begrænsningsresultaterne
Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereTransformation: tætheder pår k
Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k I dette kapitel vil vi angribe følgende version af transformationsproblemet: Lad X 1,, X k være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P), sådan at den
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereKirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino
12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereMat 6 projekt Projektoplæg 22. januar 2013
1 Generelt om projektet For nogle af de studerende er 6. semester det semester hvor man skal skrive bachelorprojekt. Andre har allerede skrevet bachelorprojekt i et andet fag. For dem er det et almindeligt
Læs mereDeskriptiv teori i flere dimensioner
Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner I kapitel 13 og 14 udviklede vi en række deskriptive værktøjer til at beskrive sandsynlighedsmål på (R, B) Vi vil i dette kapitel forsøge at udvikle varianter
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mere